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• Johany Mad

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1. Calcular las matrices de rigidez y de masa, los períodos, frecuencias y modos naturales de vibración. Normalizar y graficar los modos respecto al desplazamiento del último nivel.

CONVERSION DE UNIDADES: 1𝑘𝑖𝑝𝑠 = 1000 𝑙𝑏 − 𝑓 𝑔 = 386 𝑝𝑢𝑙/𝑠 2 1𝑝𝑖𝑒 = 12 𝑝𝑢𝑙𝑔  Para la masa: 𝑚 𝑚1 = 𝑚2 , 𝑚3 = 21 𝑚1 = 𝑚1 =

𝑊 𝑔

100 ∗ 1000 386

𝑚1 = 259.067

𝑙𝑏 − 𝑓 𝑠2

 Para la altura: 1𝑝𝑖𝑒 = 12 𝑝𝑢𝑙𝑔 ℎ = 144 𝑝𝑢𝑙𝑔  Para la rigidez: 𝑘 = 326.220 𝑘 = 326220

𝑘𝑖𝑝𝑠 𝑠2

𝑙𝑏 − 𝑓 𝑝𝑢𝑙𝑔

 Para la base: 𝑏 = 2ℎ 𝑏 = 2(144 ) 𝑏 = 288 𝑝𝑢𝑙𝑔 1) Identificación de grados de libertad

2) Matriz de masa 𝑚 𝑚1 = 𝑚2 , 𝑚3 = 1 2

𝑙𝑏 − 𝑓 𝑠2 𝑙𝑏 − 𝑓 𝑚2 = 259.067 𝑠2 𝑙𝑏 − 𝑓 𝑚3 = 127.534 𝑠2 𝑚1 = 259.067

a) Para 𝑚11 = 1 ; 𝑚21 = 0 ; 𝑚31 = 0 - 𝑚11 = 1 - 𝑚21 = 0 - 𝑚31 = 0 b) Para 𝑚12 = 0 ; 𝑚22 = 1 ; 𝑚32 = 0 - 𝑚12 = 0 - 𝑚22 = 1 - 𝑚32 = 0 c) Para 𝑚13 = 0 ; 𝑚23 = 0 ; 𝑚33 = 1 - 𝑚13 = 0

-

𝑚23 = 0 𝑚33 = 1

Armamos la matriz de masa: 𝑚1 𝑚=[ 0 0

0 𝑚2 0

0 0] 𝑚3

259.067 0 0 𝑚=[ 0 259.067 0 ] 0 0 127.534 3) Matriz de rigidez: La rigidez es igual para los tres niveles y ya nos da para una columna; hallamos para las dos columnas por piso:

𝑘 = 326220

𝑙𝑏 − 𝑓 𝑠2

𝑘 = 2 ∗ (326220 𝑘 = 652440

𝑙𝑏 − 𝑓 ) 𝑠2

𝑙𝑏 − 𝑓 𝑠2

𝑘 = 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘3 a) Para 𝑢1 = 1 ; 𝑢2 = 0 ; 𝑢3 = 0

b) Para 𝑢1 = 0 ; 𝑢2 = 1 ; 𝑢3 = 0

c) Para 𝑢1 = ; 𝑢2 = 0 ; 𝑢3 = 1

Entonces la matriz de rigidez: 𝑘1 + 𝑘2 𝑘 = [ −𝑘2 0

−𝑘2 𝑘2 + 𝑘3 −𝑘3

0 −𝑘3 ] 𝑘3

652440 + 652440 −652440 0 𝑘=[ −652440 652440 + 652440 −652440] 0 −652440 652440 1304880 −652440 0 𝑘 = [−652440 1304880 −652440] 0 −652440 652440 4) Frecuencias y Modos naturales de Vibración: |𝑘 − 𝜔𝑛2 ∗ 𝑚| = 0 , 𝜔𝑛2 = 𝜆 |𝑘 − 𝜆 ∗ 𝑚| = 0 1304880 −652440 0 259.067 0 0 𝑘 = [−652440 1304880 −652440] − 𝜆 [ 0 259.067 0 ] 0 −652440 652440 0 0 127.534

𝑘=[

-

1304880 − 259.067𝜆 −652440 0

−652440 1304880 − 259.067𝜆 −652440

0 ] −652440 652440 − 127.534𝜆

Hallamos la determinante:

𝑘 = (1304880 − 259.067𝜆) ∗ (1304880 − 259.067𝜆) ∗ (652440 − 127.534𝜆) + (−652440) ∗ (−652440) ∗ (0) + (0) ∗ (−652440) ∗ (−652440)-[(−652440) ∗ (−652440) ∗ (652440 − 127.534𝜆) + (1304880 − 259.067𝜆) ∗ (−652440) ∗ (−652440) + (0) ∗ (0) ∗ (1304880 − 259.067𝜆)] 3

2

8666154.6667‫ ג‬+ 65567726976 ∗ ‫ ג‬− 1.2401 ∗ 1014 ∗ ‫ ג‬+ 3.4748 ∗ 1016 = 0

-

Desarrollando la ecuación obtenemos: 𝜆1 = 337.8578 𝜆2 = 2524.5601 𝜆. = 4706.536 𝜆1 = 𝜔𝑛2 𝜔𝑛 = √𝜆

-

Reemplazando en la fórmula: 𝜔𝑛1 = √337.8578 = 18.3809 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝜔𝑛2 = √2524.5601 = 50.21514 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜔𝑛3 = √4706.536 = 68.6042 𝑟𝑎𝑑/𝑠

5) Periodos de Vibración: 𝑇𝑛 = 𝑇1 =

2𝜋 𝜔𝑛

2𝜋 = 0.34183 𝑠𝑒𝑔 18.3809

𝑇2 =

2𝜋 = 0.125125𝑠𝑒𝑔 50.21514

𝑇3 =

2𝜋 = 0.091586𝑠𝑒𝑔 68.6042

6) Modos de Vibración:  Modo 1: 𝜆1 = 337.8578; 𝜔𝑛1 = 18.3809 Reemplazando en

|𝑘 − 𝜔𝑛2 ∗ 𝑚|𝜙 = 0

1304880 − 259.067(337.8578) −652440 0 𝜙11 0 −652440 1304880 − 259.067(337.8578) −652440 [ ] [𝜙21 ] = [0] 0 −652440 652440 − 127.534(337.8578) 𝜙31 0 Se normaliza con el tercer nivel, 𝜙31 = 1 0 565202.7932 −326320 0 ᶲ11 [ −326320 565202.7392 −326320 ] ∗ {ᶲ21} = {0} 0 0 −326320 252601.3696 ᶲ31

Reemplazamos 𝜙21 = 0.7741 1089971.747𝜙11 − 652440𝜙21 + 0 = 0 𝜙11 = 0.44693

0.44693 Modo 1:[ 0.7741 ] 1

 Modo 2:

𝜆1 = 2521.5601; 𝜔𝑛1 = 50.21514

Reemplazando en

|𝑘 − 𝜔𝑛2 ∗ 𝑚|𝜙 = 0

1304880 − 259.067(2521.5601) −652440 0 𝜙12 0 −652440 1304880 − 259.067(2521.5601) −652440 [ ] [𝜙22 ] = [0] 0 −652440 652440 − 127.534(2521.5601) 𝜙32 0

Se normaliza con el tercer nivel, 𝜙32 = 1 𝜙12 62.7677 −326320 0 0 [−326320 62.7677 −326320] ∗ [𝜙22 ] = {0} 𝜙32 0 −326320 31.3838 0

Reemplazamos 𝜙32 = 1 𝜙12 = 0.0000962 𝜙22 = 0.0.958 0.0000962

Modo 2:[ 0.0.9581 ] 1

 Modo 3:

𝜆1 = 4706.536; 𝜔𝑛1 = 68.6042

Reemplazando en

|𝑘 − 𝜔𝑛2 ∗ 𝑚|𝜙 = 0

1304880 − 259.067(4706.536) −652440 0 𝜙13 0 −652440 1304880 − 259.067(4706.536) −652440 [ ] [𝜙23 ] = [0] 0 −652440 652440 − 127.534(4706.536) 𝜙33 0 Se normaliza con el tercer nivel, 𝜙33 = 1 𝜙13 0 −565406.8103 −326320 0 [ −326320 −565406.8103 −326320 ] ∗ [𝜙23 ] = {0} 𝜙33 0 0 −326320 −282703.4051

Reemplazamos 𝜙33 = 1 𝜙22 = 0.7744 𝜙21 = 0.4469 0.4469

Modo 3:[0.7744] 1