• Author / Uploaded
• Axel Luis Reategui Lobato

Citation preview

Modelamiento y Control de un Robot Scara Epson de la Serie EH empleado en la Industria Farmacéutica Luis Hernández-Núñez, Boris Ramos-Vilcas y Williams García-Portocarrero Asesor: Msc. Ing. Nilton Anchayhua-Arestegui  Resumen: En el presente trabajo se tiene por objetivo modelar un Robot Scara Epson de la serie EH de manera teórica empleando dinámica de Lagrange, luego contrastar dicho modelo con uno obtenido a partir del modelo real construido en Solidworks e importado a Simulink mediante el empleo de SimMechanics. A continuación aplicamos diversos tipos de control (Proporcional con retroalimentación de velocidad, PD, PID, Par calculado, control óptimo y LQR+PID), comparando los beneficios y perjuicios que ofrecen cada uno de ellos. Una aplicación usual de este robot el trabajo en la industria farmacéutica, donde el robot cumple la función de tomar y posicionar (‘pick and place’), en la cual mediante una ventosa sujeta paquetes pequeños y los posiciona en un lugar determinado.

diferentes industrias donde cumple distintas funciones como paletizado, ‘pick and place’ y ensamblaje. En la figura 1 se muestra el robot que analizaremos.

Palabras clave: robot Scara, dinámica de Lagrange, control óptimo, LQR, PID. I.

INTRODUCCION Figura1. Robot Scara Epson EH-580(Modelo del fabricante)

El presente artículo tiene como objetivo principal mostrar de manera completa el modelamiento y control de un robot manipulador de uso frecuente en la industria; para lograr aquello seguiremos una secuencia de trabajo que se enumera a continuación: 1.

Obtener el modelo matemático de un robot scara del fabricante Epson de la serie EH y código 850 y comprobar su validez frente al modelo real.

2.

Diseñar controladores para el robot scara en cuestión, analizar los resultados.

3.

Hacer una discusión sobre los resultados obtenidos mostrando ventajas y desventajas de cada tipo de control y seleccionar el controlador con mejores prestaciones.

II. MODELAMIENTO A. Obtención del modelo matemático del robot: A.1.- Descripción del prototipo: El robot utilizado es un robot SCARA de cuatro grados de libertad, tres articulaciones rotacionales y una prismática. Las dimensiones han sido extraídas del manual del fabricante y las masas aproximadas según el peso total y la distribución del volumen.

Un objetivo secundario radica en que este trabajo sea útil en la práctica industrial y pueda ser tomado en cuenta para una mayor comprensión del funcionamiento de manipuladores industriales. En parte para satisfacer este objetivo secundario se eligió un robot Scara por su amplia difusión en las Figura 2. Grados de libertad del Robot Scara

Se usará un modelo del robot hecho en un software CAD (Solidworks), que nos facilitará el cálculo de las propiedades geométricas (inercia y centro de masa) de cada eslabón y será posteriormente exportado a Matlab2009 para su control y simulación.

A.3.- Cinemática Directa: Con los parámetros DH calculamos las matrices homogéneas (A) de cada eslabón.

[

𝛼 𝛼 𝛼

𝛼 𝛼 𝛼

]

La cinemática directa lo obtendremos al multiplicar las matrices homogéneas:

[

]

Orientación del eje x del efector final respecto al inicial: Figura 3. Robot Scara Epson EH-580 diseñado en Solidworks

A.2.- Parametrización del Modelo: Orientación del eje y del efector final respecto al inicial: En la figura 2 se muestran los ejes de movimientos de los eslabones lo que definirá los ejes Zi y luego se definirán los ejes ligados por cada eslabón para su posterior análisis por el algoritmo Denavit-Hartenverg. Orientación del eje z del efector final respecto al inicial:

Posición del origen del efector final respecto al inicial:

Figura 4. Marcos coordenados

De la figura 4 obtenemos los datos para su parametrización mostrada en la Tabla 1:

1 2 3 4

a d 𝛼 𝜽 0 0.5 q1 0 0 0.35 q2 0 0 0 0 q3 0 0 q4 -0.41143 Tabla 1. Parametrización DH

Figura 5. Gráfica de la cinemática directa (q= [pi/3 -pi/4 -0.4 0])

A.4.- Cinemática Inversa: Para la facilidad en el cálculo la cinemática inversa se hallara por el método geométrico.

Se resolvió usando el método de Lagrange, para mayor detalle revisar [4]. ̈

̇

A.5.- Singularidares [

]

Donde k es un entero cualquiera, esto es coherente dado que en las posiciones en que q2=kπ el manipulador está totalmente extendido o está totalmente retraído, en ambos casos con los eslabones 2 y 3 alineados.

Por ley de cosenos:

III. CONTROLADORES A. Esquemas y resultados: 1.

Control proporcional con realimentación velocidad en el espacio articular:

de

Es el control en lazo cerrado para manipuladores robóticos más simple que existe. Mayor información sobre él puede ser hallada en [1]. Ley de control: ̃ ̇ Esquema: A.4.- Dinámica: Las masas a utilizar se muestran en la tabla 2. Eslabón 0 (Base) 1 2 3 4

Masa (Kg) 20 9 9 1.5 0.4 Tabla 2

Figura 6. Distancia hacia lo centroides de los eslabones

Parámetros sintonizados: KP=10*eye(4) KV=30*eye(4) Resultados:

3.

Control PD con compensación de gravedad en el espacio articular:

Una descripción puede ser hallada en [2]. Ley de control:

̃

̃̇

Esquema:

2.

Control PD en el espacio articular: Es una extensión directa del controlador usado en el ítem anterior, información sobre este controlador puede ser hallada en [1]. Ley de control: ̃ ̃̇ Esquema:

Parámetros sintonizados: KP=10*eye(4) Resultados:

Parámetros sintonizados: KP=10*eye(4) KV=30*eye(4) Resultados:

KV=30*eye(4)

4.

Control PID en el espacio articular:

5.

Es el tipo de control más usado actualmente en la industria según [3]. Ley de control:

̃

̃̇

Control PID en coordenadas absolutas:

Esquema:

∫ ̃

Esquema:

Resultados:

Parámetros sintonizados: KP=diag([50,80,300,10]) KV=diag([50,40,50,0.5]) KI= diag([0.1,0.1,1000,100]) Resultados:

Experimentamos para diferentes trayectorias: Para la trayectoria 1:

6.

Control de Par Calculado

Para el control de una trayectoria definimos los estados deseados ̇ . Consideramos entonces la siguiente fórmula para el cálculo de par computado (referencia): ̂ ̂ ̂ ̇ Al igualar con la formula de la dinámica inversa, tenemos: ̈ Realizamos control PD para nuestra señal: ̃

̃̇

Figura 9: Trayectoria 1 Deseada

Usamos las ganancias del control PD previo.

Figura 10: Posiciones 1 Deseadas Figura 7: Control por par computado Para la programación se utilizo el algoritmo LuhWalker (referencia) para el cálculo de la dinámica inversa.

Figura 8: Robot controlador por programación

Figura 11: Torques de Control

Figura 12: Trayectoria desplazada

Figura 13: Posiciones medidas

Figura 15: Posiciones 2 Deseadas

Figura 16: Torques de Control

Para la trayectoria 2:

Figura 17: Trayectoria desplazada

Figura 14: Trayectoria 2 Deseada

Figura 18: Posiciones medidas

Para la trayectoria 3:

Figura 19: Trayectoria desplazada

Figura 19: Trayectoria 3 Deseada

Figura 23: Posiciones medidas

7.

Control óptimo con realimentación de estados. Esta técnica de control es válida para modelos multivariables lineales, por ello es que se debe considerar el modelo linealizado del robot. Sin embargo, dado que el robot se mueve en una trayectoria no existe un punto de operación fijo. En consecuencia creamos una función que linealice el modelo para cada punto (qp). El modelo linealizado puede ser representado como:

Figura 20: Posiciones 3 Deseadas

̃̈

̃̇

̃

….. (1)

Más información sobre esto se puede hallar en [4] Las matrices A, B y C están definidas por: ̇

Siendo la dinámica la que mostramos abajo: ̈

Figura 21: Torques de Control

̇

…….. (2)

Ahora procedemos a expresar el sistema en su forma espacio estados, con las variables de estado ̃, ̃̇ . ( ̇

̇

)

[

Equivalentemente:

](

)

(

) ……(3) …….. (4)

Con ello, ya podemos hallar nuestro LQR, solo hace falta seleccionar las matrices Q y R, que serán elegidos como la identidad para nuestra prueba. Ley de control: Esquema:

Resultados:

8.

Control PID + LQR Esta técnica es equivalente a PID+PD, pero en lugar de usar un PD simple se emplea una matriz K que reduce al máximo nuestro funcional de costo. La intención de mezclar estas técnicas de control radica en las siguientes causas: -El control LQR requiere algún tipo de control integral para eliminar el offset en el tercer grado de libertad. -Si solo añadimos control integral al LQR el sistema elimina el offset pero sigue siendo acoplado; en cambio si añadimos un controlador PID, el diseño de sus 3 matrices de ganancia nos permiten desacoplar el sistema y de paso aprovechar la acción integral para eliminar el offset de q3.

Ley de control: ̃

̃̇

∫ ̃

Esquema:

dada y calcular una matriz K para cada punto, de este modo logramos controlar las variables articulares; sin embargo, aun se presenta un offset en q3. Para solucionar aquello en un principio se pensó incluir acción integral, pero basándonos en lo hecho en [4] concluimos que era más conveniente agregar un PID que además de eliminar los offset nos permite desacoplar el sistema. Finalmente llegamos a la conclusión de que el mejor controlador es el LQR+PID dado el buen comportamiento de la señal de estados y a la robustez del mismo. No obstante, tiene alto costo computacional por la cantidad de matrices con que se trabaja. APENDICE

Resultados: (q vs tiempo)

B. Discusión: El controlador 1 y el 2 muestran resultados similares, ambos presentan un tiempo de establecimiento y sobreimpulso aceptables para q1, q2 y q4. Sin embargo, ambos tienen un offset en la articulación prismática q3, esto se debe a que es la única afectada por la gravedad. Los torques son aceptables. El controlador 3 busca compensar la gravedad para eliminar el offset de la articulación 3; sin embargo, esto no se consigue, solo se logra reducir el offset. Esto se debe a que el término de gravedad que compensamos es obtenido a partir del modelo teórico que es solo una aproximación del real. El torque máximo aumentó en 5 Nm en comparación al caso de los controladores 1 y 2. El controlador 4 busca eliminar el offset mediante un integrador. Ello se consiguió satisfactoriamente, tal y como se muestra en las gráficas, pero la sintonización fue más estricta y compleja para poder garantizar un buen comportamiento del sistema. Mayor información sobre al aproximación inicial para la sintonización PID puede ser encontrada en [1] y [2]. Los torques crecieron bastante con respecto al caso anterior pero aun así son aceptables para actuadores industriales comerciales. A continuación llevamos lo obtenido en el controlador 4 -para el espacio articular- al espacio absoluto y obtuvimos resultados satisfactorios, aunque en la orientación se presenta un sobreimpulso aparentemente grande, ello no afecta a la operación normal del sistema. Luego procedemos a usar control optimo con realimentación de estados, para ello implementamos un algoritmo que nos permite linealizar a alrededor de cada punto de la trayectoria

Planos del espacio de trabajo proveídos por el fabricante:

Figura 7. Espacio de trabajo del robot. IV. REFERENCIAS [1] [2] [3] [4]

R. Kelly, V. Santibáñez and A. Loría, Control of robot manipulators in joint space, Springer-Verlag London Limited 2005, ch. 6. R. Kelly, V. Santibáñez and A. Loría, Control of robot manipulators in joint space, Springer-Verlag London Limited 2005, ch. 7. R. Kelly, V. Santibáñez and A. Loría, Control of robot manipulators in joint space, Springer-Verlag London Limited 2005, ch. 9. Tarokh, M. and Seraji, H.(1988) A control scheme for trajectory tracking of robot manipulators. IEEE Robotics and Automation, Volume(88), 1192-1197.