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• Alejandro Valderrama

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Una introducción al Control Fuzzy Alexánder Martínez Álvarez

Algo de historia n

En el año 1965 aparece el trabajo del sovietico Lotfi Zadeh sobre conjuntos “Fuzzy” (difusos, borrosos) revolucionando la matemática al proponer la lógica fuzzy: n

Una puerta no tiene porqué estar necesariamente abierta (1) o cerrada (0), sino que puede estar medio abierta (0.5), muy abierta (0.9) o casi cerrada (0.1)

Algo de historia n

“El mundo es fuzzy” (Zadeh)

n

“Cualquiera de nosotros es capaz de estacionar su vehículo en unos pocos segundos, porque no hace falta encajarlo exactamente en un espacio perfectísimamente delimitado. Si pretendieramos hacerlo así, tardariamos tres años” (Berkeley)

Lógica fuzzy n

Surge como un intento de formalización del razonamiento con incertidumbre.

n

Intenta abordar problemas definidos en términos lingüísticos (imprecisos), donde los datos están expresados en términos cualitativos

Lógica fuzzy n

Ejemplo:

n

Hace frío cuando la temperatura es menor que 10º. (Si T = 8º “hace frio” es cierto 100%)

n

Hace calor cuando la temperatura es mayor que 30º. (Si T = 32º “hace calor” es cierto 100%)

n

Si T = 12º ?

Conjuntos Fuzzy n

En teoría clásica un elemento cualquiera pertenece o no pertenece a un conjunto dado.

n

En la teoría de conjuntos fuzzy un elemento tiene cierto grado de pertenencia a un conjunto dado.

Conjuntos Fuzzy n

El grado de pertenencia no tiene un sentido probabilístico. Mas bien representa un alto grado de compatibilidad con determinado predicado o un grado de posibilidad de que este sea cierto.

Conjuntos Fuzzy Agradable

Frio

10

20

Calor

30

Representación de conjuntos fuzzy

Conjuntos Fuzzy n

Función de pertenencia al conjunto “Frio”: ! !

! !

n

# 1 si x ' 10º % µ(x) = $1 " 0.1(x "10) si 10º ' x ' 20º % 0 si x ( 20º &

A = B "serián #x $las X funciones µA (x) = µde Cuales pertenencia a B (x) los conjuntos “Caliente” y “Agradable”? A % B " #x $ X

µA (x) & µB (x)

Conjuntos Fuzzy # 1 si x ' 10º % ! !

n

µ(x) = $1 " 0.1(x "10) si 10º ' x ' 20º % Operaciones básicas: 0 si x ( 20º & ! !

!

A = B " #x $ X

µA (x) = µB (x)

A % B " #x $ X

µA (x) & µB (x)

µA 'B (x) = max( µA (x), µB (x)) #x $ X µA (B (x) = min( µA (x), µB (x)) #x $ X __

A = B " #x $ X

µA (x) = 1 ) µB (x)

!

Semántica Fuzzy n

Universo de discurso: Conjunto de posibles valores que pueden tomar las variables de interés ( X= [0º 40º] )

n

Etiquetas lingüísticas: Valores semánticos correspondientes a un predicado ( Frio, Agradable, Calor ) (Se recomiendan entre 5 y 9)

n

Funciones de pertenencia: Definen el grado de compatibilidad de una variable con el correspondiente conjunto fuzzy ( “15º es agradable” es 50% cierto).

Control Fuzzy n

n

Generalmente la generación de la señal de control se basa en la señal de error (E) y su derivada o “cambio en el error” (CE). Etapas de un controlador fuzzy: n

“Fuzzyfication” (borrosificación? emborronamiento? difusión?)

n

Planteamiento de reglas

n

Selección de reglas

n

Aplicación de reglas

n

“Defuzzyfication”

Fuzzyfication n

A partir de los valores deterministas de E y CE se obtienen sus equivalentes valores fuzzy.

n

Es preciso tener definidos: El universo de discurso, las etiquetas lingüísticas y la función de pertenencia asociada a cada una de ellas. Agradable

Frio

10

20

Calor

30

Fuzzyfication n

Las funciones de pertenencia pueden ser: n

Trapezoidales

n

Rectangulares (conjuntos clásicos)

n

Triangulares (su discontinuidad afecta la señal de control U)

n

Exponenciales (lentitud de cálculo)

n

Polinómicas (mayor velocidad de cálculo que las exp)

Planteamiento de reglas n

Después de “traducir” los valores deterministas a valores fuzzy, se plantean las reglas que definen el comportamiento de la señal de control.

n

Las reglas son de la forma:

n

n

Si E es CERO y CE es CERO, entonces U es CERO

n

Si E es PG y CE es PP, entonces U es PG

Se construye una tabla de reglas (puede ser necesaria una selección de dichas reglas)

Aplicación de reglas n

Al aplicar las reglas establecidas, se genera un conjunto de conjuntos fuzzy con la información necesaria para obtener la conclusión final del controlador.

Defuzzyfication n

Finalmente, a partir de la conclusión obtenida en la etapa anterior se procede al cálculo del valor numérico de dicha conclusión.

n

Existen varios métodos: n

Tomar como conclusión el máximo de la curva suma de todas las anteriores.

n

Calcular el centro de gravedad del área bajo la curva suma.

Defuzzyfication

Al construir la tabla de reglas n

Completitud: Se deben cubrir todas las combinaciones posibles de entradas al controlador.

n

Consistencia: Las reglas han de ser consistentes, no pueden coexistir dos acciones de control para la misma situación.

n

Robustez del controlador: basada principalmente en la reacción ante perturbaciones