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República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior Universidad Centrooccidental “Lisandro Alvarado” Decanato de Ciencias y Tecnología Barquisimeto - Edo. Lara

Control Estadístico de la Calidad

Estadística II (INP-514) Ingeniería de Producción 2014-I

Universidad Centrooccidental “Lisandro Alvarado” Decanato de Ciencias y Tecnología Ingeniería de Producción

Introducción El concepto del control estadístico representa la inspección en la recepción de materiales y de la auditoria de productos en una compañía manufacturera u otra organización sistematizada por procesos. Si bien no evita defectos de fabricación, pero su estudio e implementación evita que se envíen al mercado unidades defectuosas. El control de calidad propone y plantea evitar las causas de los problemas de calidad durante la fabricación, el cual es muy importante en el curso de fabricación debido a que las tolerancias comienzan a observarse como estándares a superar. Entre sus ventajas más importantes radican en su capacidad para mejorar procesos y prevenir la aparición de problemas. El estudio del control de calidad pone en énfasis el diseño de productos para que cumplan altos niveles de calidad a través del método estadístico en la planificación de y análisis de datos que se necesitan para la toma de decisiones en la mejora de todos los procesos involucrados en la elaboración de productos o servicios exigiéndose que no existan acciones inconstantes en el perfeccionamiento de los sistemas.

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Estadística II – (INP-514), UNIDAD IV: Control Estadístico de Calidad

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Control Estadístico de la Calidad Definición de un gráfico de control y elementos Un gráfico de control representa la evolución en el tiempo de una característica de calidad medida a partir de una muestra. En términos generales, es una representación gráfica en los ejes cartesianos, donde en el eje horizontal se indica el número de la muestra o el tiempo en que se obtiene, y en el eje vertical se indican los valores observados en las muestras. Se representan tres líneas horizontales:  

Una línea central (LC), que es la norma de calidad prescrita para el proceso. Dos líneas horizontales llamadas límite inferior de control (LIC) y límite superior de control (LSC) que se sitúan por debajo y por encima de la LC.

Estos dos límites constituyen los criterios de decisión para el funcionamiento del proceso, es decir, cuando los puntos correspondientes a las observaciones están dentro de estas líneas se dice que el proceso está bajo control, sin embargo, cuando un punto cae fuera de dichos límites se interpreta como una evidencia de que el proceso está fuera de control.

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Caso de µ y σ desconocidas Si los parámetros μ y σ son desconocidos, hay que estimarlos a partir de la información muestral. Para llegar a las estimaciones definitivas, se realizan los cambios oportunos, se eliminan los posibles puntos que estén fuera de control y se recalculan los límites, hasta conseguir que el proceso esté bajo control. Estimación de μ: El valor estimado de μ se obtiene promediando las medias muestrales disponibles, es decir mediante X. Si 1 X1,X2…Xm son las medias de las muestras, se tomacomo estimador de μ la media de las medias: ´= ^μ= X

X´ 1 + X´ 2 +…+ X´ m m

Se cumple que

E ( X´ ) =μ , por tanto X es un estimador insesgado

de μ. La línea central del gráfico de control de la media, seráel valor X. Para poder calcular el límite superior e inferior necesitamosestimar la desviación típica σ. Estimación de σ: Existen varios métodos para la estimaciónde σ, pero utilizaremos el basado en las amplitudes o rangos de lasmuestras, definidos como: R=Max Xi−Min Xi . Para tamaños de muestras pequeñas procedentes de unapoblación normal, la estimación de σque se obtiene utilizando el rangoes prácticamente similar al obtenido con el estimador tradicional S. Sin embargo, cuando el tamaño muestral es moderadamente grande (n > 10 ó 12) el método del rango para estimar σ pierde eficiencia. Por consiguiente, para muestras de pequeño tamaño, sedefine: m

R=

1 ∑R m i=1 i

Siendo R1,R2...Rm los rangos de las m muestras consideradas. Se comprueba que:

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´ E( R)=

1 ∑ E ( Ri ) =d 2 σ m i=1

Por tanto, un estimador de σviene dado por: ´ R σ^ = d2 Dicho estimador, es un estimador insesgado de σ puesto que: E ( σ^ )=E

´ R 1 ´ )= 1 d σ =σ = E(R d2 d2 d2 2

( )

A partir de los parámetros estimados se calculan los límites de control para los gráficos X y los gráficos R, tal y como se establece a continuación. a) Gráficos

X´

Los límites de control del gráfico de la media son: σ^ 3 R´ ´ X´ ±3 σ^ X´ = X´ ± = X´ ± = X ± A 2 R´ √n √ n d2 Siendo:

A 2=

3 d 2 √n

Por tanto las líneas de control del gráfico se representan: ´ LSC= X´ + A2 R

LC = X´

LIC= X´ −A 2 R´

b) Gráficos R Para construir el gráfico R, representaremos gráficamente los rangos de las sucesivas muestras, siguiendo la filosofía general deldiseño de los gráficos de control. ´ σR La media de R se estima por: ^μR = R y por: ´ R σ^ R=d3 d2

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Luego los límites de control 3-sigma son:

´ d ´ ±3 σ^ R =R´ ± d 3 R = 1± 3 3 R´ R d2 d2

(

Siendo:

D4 =1+ 3

d3 d2 ,

)

D 3=1−3

d3 d2

Cuando n ≤ 6 la constante D3 es negativa y el límite inferior de control ´ sería LIC=D3 R=0 . En estos casos el gráfico de los rangos no tiene límite inferior de control. En general, el gráfico de control consta de la línea central y los correspondientes límites inferior y superior: ´ LSC =D4 R

LC =R´

LIC=D3 R´ Gráficos X - S

El funcionamiento de estos gráficos es similar al de los gráficos X´ −R pero cambia el procedimiento para estimar la dispersión. Su utilización se aconseja cuando el tamaño de muestra sea superior a 10. Si se toman m muestras, para cada una se calcula S: X i− X´ ¿ ¿ n 1 1 2 ¿ n−1 ∑ i=1 ¿ S=¿

Un estimador insesgado de σ es:

S σ^ = C4

Siendo: m

´ 1 ∑S S= m i=1 i

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X´ , y

La media del proceso se sigue estimando mediante

siguiendo un razonamiento similar a los anteriores se obtienen las siguientes expresiones para el gráfico de control X − S: ´ Grafico X

LSC = X´ + A3 S´

LC = X´

LIC= X´ −A 3 S´

LCS=B4 ´S

LC=S´

LIC=B3 S´

Grafico S

Las constantes para límites de control en las cartas X-R son: n

A2

D3

D4

d2

2

1.880

0.000

3.267

1.128

3

1.023

0.000

2.574

1.693

4

0.729

0.000

2.282

2.059

5

0.577

0.000

2.115

2.326

6

0.483

0.000

2.004

2.534

7

0.419

0.076

1.924

2.704

8

0.373

0.136

1.864

2.847

9

0.337

0.184

1.816

2.970

10

0.308

0.223

1.777

3.078

Las constantes para límites de control en las cartas X-S son: n

c4

A

A3

B3

B4

B5

2.089 0

B6

.

5

0.9400

1.342 1.427 0

1.964

6

0.9515

1.225 1.287 0.030 1.970 0.029 1.874

7

0.9594

1.134 1.182 0.118 1.882 0.113 1.806

8

0.9650

1.061 1.099 0.185 1.815 0.179 1.751

9

0.9693

1.000 1.032 0.239 1.761 0.232 1.707

10

0.9727

0.949 0.975 0.284 1.716 0.276 1.669

11

0.9754

0.905 0.927 0.321 1.679 0.313 1.637

12

0.9776

0.866 0.886 0.354 1.646 0.346 1.610

13

0.9794

0.832 0.850 0.382 1.618 0.374 1.585

14

0.9810

0.802 0.817 0.406 1.594 0.399 1.563

15

0.9823

0.775 0.789 0.428 1.572 0.421 1.544

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0.9835

0.750 0.763 0.448 1.552 0.440 1.526

17

0.9845

0.728 0.739 0.466 1.534 0.458 1.511

18

0.9854

0.707 0.718 0.482 1.518 0.475 1.496

19

0.9862

0.688 0.698 0.497 1.503 0.490 1.483

20

0.9869

0.671 0.680 0.510 1.490 0.504 1.470

21

0.9876

0.655 0.663 0.523 1.477 0.516 1.459

22

0.9882

0.640 0.647 0.534 1.466 0.528 1.448

23

0.9887

0.626 0.633 0.545 1.455 0.539 1.438

24

0.9892

0.612 0.619 0.555 1.445 0.549 1.429

25

0.9896

0.600 0.606 0.565 1.435 0.559 1.420

Definición de los diagramas de control para el estudio de productos defectuosos Cuando no es fácil medir un producto o una parte, o cuando la calidad se puede obtener como un atributo conforme o no con unas especificaciones de calidad, se puede usar una gráfica de control de características. Estas técnicas analizan tanto las características buenas como malas, sin hacer referencia al grado. Entonces, se acepta o se rechaza contando cuántas unidades tienen o no el defecto, o comprobando el número de tales eventos que ocurren en la unidad, grupo o área, y comparando con el criterio de aceptación establecido. Se acepta o rechaza la pieza o el lote sin asociar un valor concreto. El atributo a controlar se suele elegir de forma que sea fácilmente observable y por tanto económico de controlar. Los tipos de gráficos de control por atributos que se estudian son: Gráfico p o de fracción de unidades defectuosas y Gráfico np o de número de unidades defectuosas por muestra. Grafico p Una proporción p que se estima por medio de la proporción muestral, obtenida con una muestra de tamaño n ( ^p=

num erode casos con cierta propiedad ). Tiene un valor esperado o medio tamaño de la muestra

que es precisamente p y una desviación típica σ=

√

pq n , donde q = 1-p.

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De este modo, los límites de control para una proporción serán: LSC= ^p + 3

√

^p q^ n

LC=^p

LIC= ^p−3

√

p^ q^ n

GRÁFICO np En ocasiones resulta más cómodo representar directamente la cantidad de unidades defectuosas en la muestra en vez de su proporción, en este caso el gráfico de control correspondiente se denomina np puesto que en ordenadas se representa esa magnitud. Este tipo de gráfico resulta cómodo cuando el tamaño de muestra es constante. El número de unidades defectuosas en la muestra sigue una distribución teórica binomial de parámetros n y p, cuya media es np y su varianza es npq así:

LSC=np+3 √ npq

LC =np

LIC=np−3 √ npq

Muestreo de Aceptación El muestreo de aceptación es un proceso de inspección de una muestra de unidades extraídas al azar de un lote sea de materias primas, productos semi-terminados o productos terminados, con el propósito de aceptar o rechazar todo el lote comparando los resultados con los requisitos especificados. Lo cual es parte importante en el aseguramiento de la calidad de procesos. Cuando se recibe un lote de materia prima o cualquier otro componente, hay tres opciones: aceptarlo sin inspección, hacer una Inspección al 100% o aplicar el muestreo de aceptación, cuya intención no es estimar la calidad sino juzgar los lotes. El muestreo de aceptación es útil en las siguientes situaciones:  El costo de una inspección al 100% es muy elevado.

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 No se posee de tecnología adecuada para una inspección al 100%.  Hay que inspeccionar muchos artículos y la tasa de errores de inspección es suficientemente alta para una inspección al 100%.  El proveedor tiene un excelente historial de calidad, y se desea alguna reducción en la inspección al 100%. Comparándolo con la inspección 100% el muestreo de aceptación tiene las siguientes ventajas y desventajas: Ventajas: 

Es menos costoso, pues requiere menos inspección.



Hay un menor manejo del producto y por tanto se reducen los daños.



Puede aplicarse en el caso de pruebas destructivas.



Hay menos personal implicado en las actividades de inspección.



Reduce notablemente la cantidad de errores de inspección .

Desventajas: 

Existe la posibilidad de aceptar lotes “malos” y rechazar lotes “buenos”.



Se genera menos información sobre el producto o el proceso de fabricación del producto.



Necesita planeación y documentación del procedimiento de muestreo de aceptación.

Planes de Muestreo Son planteamientos que indican el tamaño muestral que hay que utilizar y los criterios de aceptación o rechazo correspondientes para juzgar cierto lote, el cual es una cantidad definida de algún producto, material o servicio que comparte unas circunstancias que permiten agruparla de forma conjunta. Tipos

Tipos de Planes de Muestreo

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 Plan de muestreo para atributos.  Plan de muestreo para variables.

Distinción entre los diferentes planes de muestreo De acuerdo con la naturaleza de la característica inspeccionada pueden ser por atributos o por variables. En los planes de muestreo de para variables se especifican el número de artículos que hay que muestrear y el criterio para juzgar los lotes cuando se obtienen datos de las mediciones respecto a la característica de calidad que interesa. La característica es de tipo cuantitativo (por ejemplo: longitud, peso, etc.). Estos planes se basan generalmente en la media y desviación estándar muestrales de la característica de calidad. Cuando se conoce la distribución de la característica en el lote o el proceso, es posible diseñar planes de muestreo por variables que tengan riesgos especificados de aceptar y de rechazar lotes de una calidad dada. El plan de muestreo por atributos (n, c) cuya característica es de tipo cualitativo (pasa o no pasa), donde n es el tamaño de la muestra y c es el número máximo de defectuosos que se aceptan en un lote, consiste en inspeccionar muestras aleatorias de n unidades tomadas de lotes de tamaño N, y observar el número de artículos disconformes o defectuosos d en las muestras. Si el número de artículos defectuosos d es menor que o igual a c, se aceptara el lote, si el número de dichos artículos defectuosos d es mayor que c se rechazara el lote. Entre el plan de muestreo por atributos se distinguen diferentes tipos de acuerdo con el número de muestras a tomar: Tipos Plan de muestreo simple Un plan de muestreo simple es un procedimiento en el cual se toma una muestra de n unidades y se determina el destino del lote en base a la información contenida en la muestra. Plan de muestreo doble Es un procedimiento en el que, bajo determinadas circunstancias, se necesita una segunda muestra antes de poder dictaminar el lote. Se define por cuatro parámetros. n1 = tamaño de la primera muestra c1 = número de aceptación en la primera muestra 2

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n2 = tamaño de la segunda muestra c1 = número de aceptación para ambas muestras Plan de muestreo múltiple Es una extensión del muestreo doble por cuanto puede requerir más de dos muestras para dictaminar un lote. Si, al término de cualquier etapa del muestreo, el número de artículos defectuosos es menor o igual que el número de aceptación, el lote se acepta. Si durante cualquiera de las etapas, el número de artículos defectuosos es igual o excede el número de rechazo, el lote se rechaza, en caso contrario, se toma la siguiente muestra. El procedimiento continua hasta que se tome la quinta muestra, momento en el que debe tomarse la decisión en cuanto al destino del lote. Plan de muestreo secuencial Se selecciona un artículo a la vez y si el número de defectuosos es mayor que cierto límite LS se rechaza, si es menor que el límite inferior LI se acepta, y si está entre ambos límites se toma otra unidad. Gráfico Plan de Muestreo Secuencial

Tamaños para lotes de inspección El tamaño del lote se entiende por el número de elementos que forman un lote. La forma en que se forme un lote puede influir en la efectividad del plan de muestreo de aceptación. Por lo que se debe tomar en cuenta ciertas consideraciones, de las cuales: los lotes deberán ser homogéneos, los lotes grandes son preferibles a los pequeños y deberán ajustarse a los sistemas de manejo de materiales usados en las instalaciones del proveedor y del consumidor.

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Características  Las unidades del lote seleccionadas para inspección deberán elegirse al azar.  Deben ser representativas de la población.  Elimina el sesgo ¿Cómo se hace? Si es posible asignar un número a cada unidad de la población  Se asigna un número a cada artículo.  Se generan n números aleatorios, cuyo rango va desde 1 hasta el número de unidades en el lote.  Esta secuencia de números aleatorios determina que unidades del lote constituirán la muestra.

Explicación del plan de una sola muestra para atributos Un plan de muestreo simple es un procedimiento en el que se toma una muestra aleatoria de n unidades del lote para su inspección y determinación del destino del mismo en función de la información procedente de la muestra. Consiste, por tanto, en fijar de modo preciso un par de números (n, c), donde n es el tamaño de la muestra y c el número máximo de unidades defectuosas que puede tener la muestra para que el lote sea aceptado. Supondremos en nuestro caso que se recibe un lote grande de productos (N grande), teóricamente infinito, con una proporción p de artículos defectuosos. El lote se aceptará si la proporción de artículos defectuosos es menor que una proporción especificada por el vendedor, p ≤ pA (nivel de calidad aceptable, AQL). El valor p A depende de criterios económicos y técnicos y es fijado por el vendedor. Se pretende diseñar un procedimiento para la aceptación o rechazo del lote, que es lo que proporciona el mencionado plan (n, c). Así, denominando X = “número de unidades defectuosas encontradas en la muestra de tamaño n”, se aceptará el lote si X ≤ c. La proporción de artículos defectuosos en el lote (p) es desconocida, aunque estimada mediante la proporción correspondiente en la muestra. Como consecuencia de la decisión tomada en el plan de muestreo se cometerán los dos tipos de errores conocidos estadísticamente en cualquier contraste de hipótesis: 1) rechazar un lote que debería ser aceptado; 2) aceptar un lote que debería ser rechazo. Se corresponden con:

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 Riesgo del fabricante o vendedor=α= Prob(error tipo I)=P(rechazar el lote con p≤pA) Los valores usuales para el nivel de significancia son 0.001, 0.01, 0.05 y 0.10.  Riesgo del comprador= β= Prob(error tipo II) Para controlar este error el comprador especifica p R o nivel de calidad rechazable (LPTD) tal que la probabilidad de aceptar lotes con calidad igual o peor que pR (p ≥ pR) sea muy baja. β = P (aceptar el lote con p ≥ pR) Valores usuales son 0.10, 0.12 y 0.20. Para establecer un plan de muestreo (n, c) se requiere definir previamente (α, pA) y (β, pR), correspondientes a las probabilidades de los errores y a las calidades dada por el vendedor (p A) y exigida por el comprador (pR), respectivamente. Es frecuente establecer la relación:

4≤

PA ≤ 10 PR

Se obtienen al resolver las siguientes ecuaciones c

1−∝=∑ ( d =0

c

β=∑ ( d =0

n! ) p d (1− p A )n−d d ! ( n−d ) ! A

n! ) pdR (1− p R )n−d d ! ( n−d ) !

Las ecuaciones no son lineales y por tanto no tiene solución directa simple y se resuelven con un nomograma. Para caracterizar el plan de muestreo se utiliza la curva característica de operación (OC) definida por: OC(p)= Prob(aceptar un lote con una proporción p de artículos defectuosos)

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En esta curva se grafica la probabilidad de aceptar el lote contra la fracción defectuosa del lote. Indica la potencia discriminatoria del plan de muestreo, es decir, indica la probabilidad de que un lote con cierta fracción defectuosa sea aceptado o rechazado. Prof.

Especificar (α, pA) y (β, pR) equivale a fijar dos puntos de la curva característica. A medida que aumenta el tamaño de muestra, si se mantiene constante, el error disminuye. La determinación del plan de muestreo a partir de dos puntos de la curva característica es laborioso. Para simplificar esta tarea se han construido tablas que los proporcionan. Estos planes se clasifican en dos tipos: 1. Planes de aceptación y rechazo. Normas japonesas y la norma militar. 2. Planes de control rectificativo. Se diferencian de los anteriores en que los lotes rechazados se inspeccionan al 100% sustituyendo las unidades defectuosas por aceptables. Los más utilizados son los de Dodge-Romig y los dados por las propias normas militares.

Ejemplo: Plan de muestreo simple por atributos Una empresa manufacturera desea juzgar lotes de un producto A para enviarlo a un proceso de embalaje para posteriormente sacarlo a la venta, haciendo uso de un plan de muestreo con n=89 y c=2 , la probabilidad de aceptación de un lote con proporción de defectuosos p=0,01 es: 2

p A =p [ d ≤2 ] =∑ d=0

89 ! 0,01d (1−0,01)89−d =0,9397 d ! ( 89−d ) !

∝=1−0,9397=0,0603

Con este plan, la empresa rechazaría 6 lotes de 100 cuando la proporción de defectos es de un 1%.

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Conclusión Durante el desarrollo de los conceptos y los ejemplos citados se puede observar el gran potencial del uso del Control estadístico de la calidad como herramienta para obtener un mejor registro de las actividades de una empresa, sea por medio de un Gráfico de Control o por el método de Plan de muestreo de aceptación, ayudando en la toma de decisiones en cuanto a ajustes, fijación de metas y en la verificación del comportamiento de cierto sistema productivo. Se afrontó que el análisis de los gráficos de control nos brinda visualmente un panorama donde se observa el comportamiento de ciertos procesos en una empresa y su análisis se caracteriza por mantener bajo control un proceso por medio de límites de control establecidos y observar la variabilidad de los datos obtenidos en una muestra para la toma de decisiones optimas en cuanto a rendimiento. Por otro lado el muestreo de aceptación involucra tomar muestras aleatorias de tandas de materias primas o productos terminados para que el inspector la mida con sus estándares predeterminados, así, cuando se pretende enjuiciar sobre un lote se tiene la alternativa de inspeccionarlo todo (100%), no inspeccionarlo o aplicar un plan de muestreo de aceptación, el cual a veces resulta la opción más óptima por ser la más económica y por tomar en cuenta el comportamiento de los procesos. Debido al desconocimiento del comportamiento de los procesos es común efectuar prolongados y engorrosos análisis de en la búsqueda de razones que dan lugar a variaciones en costos en relación a los estándares o presupuestos planificados en un período, cometiendo el error de adoptar medidas de ajuste cuando en realidad las variaciones 2

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responden a la naturaleza misma de los procesos, por lo que los ajustes dan mayores interferencias en el futuro, siendo perjudicial para la empresa y puede terminar derrochando tiempo y dinero innecesariamente invertidos. Por lo cual es altamente factible la utilización de los métodos aquí citados, los cuales podrían evitar muchas complicaciones.

Referencias Bibliográficas Carmen Huerga Castro, Pilar Blanco Alonso, Julio Ignacio Abad González – Aplicación de los gráficos de control en el análisis de la calidad textil (Link ref. http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo? codigo=1281686) Universidad Autónoma San Francisco – Gráficos de Control de Variables (Link ref. http://www.uasf.edu.pe/includes/archivos_pre/20142/1045_390705_2014 2_0_UC19_Graficos_control_variables_DAVID.pdf) María Dolores Ruíz Medina (Universidad de Granada) – Inspección Estadística por atributos (link ref. http://www.ugr.es/~mruiz/temas/Tema_2.pdf) Xavier Armando Pillco Suárez (2012) – Muestreo de Aceptación (Link ref. http://www.monografias.com/trabajos46/muestreo-deaceptacion/muestreo-de-aceptacion2.shtml) Prof. Douglas Rivas (Universidad de los Andes - 2010) – Muestreo de Aceptación (Link ref. http://www.monografias.com/trabajos46/muestreo-deaceptacion/muestreo-de-aceptacion2.shtml) Arturo Ruíz – Falcó Rojas (Universidad Pontificia Comillas 2006) – Muestreos de Aceptación (Link ref. http://web.cortland.edu/matresearch/Aceptacion.pdf)

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