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Laboratorio número 3 Tópicos avanzados de control

Laboratorio 3 Control en tiempo discreto Jan Frank Serrano, 1802467, Daniel Felipe Rios, 1802456, Universidad Militar Nueva Granada

Abstract— The discrete controllers allow to give a desired response to an entry using a data acquisition system and a computer or microprocessor. It allows getting a better, cheapest and easiest controller and faster responses for the controlled system. 2. Resumen— Los controladores discretos permiten dar una respuesta deseada a una entrada usando un sistema de adquisición de datos y un ordenador o microprocesador. Permite obtener un mejor controlador, más barato, más fácil y respuestas más rápidas para el sistema controlado. I. INTRODUCTION Los sistemas de control, permiten controlar variables críticas en un sistema, los cuales pueden ser llevadas a un punto de referencia [9]. Lo que permite que los sistemas controlados puedan tener el comportamiento que se desee en cuanto a tiempo de respuesta y la respuesta que este pueda tener ante diferentes entradas. II. MARCO TEORICO: 1.

CONTROLADOR POR LGR

Este tipo de controlador realiza una compensación de la planta para que se comporte con los parámetros de diseño que se desean, al ser este controlador un compensador no reacciona de manera muy adecuada ante perturbaciones lo cual lo convierte en un controlador poco robusto, además de ser un compensador el cual se basa en la planta, que si en algún momento la planta llegase a variar alguno de sus parámetros el controlador dejaría de funcionar ya que su base de cálculo (la planta) cambio, lo que generaría un comportamiento no deseado del sistema. Los parámetros de diseño deseados se determinan observando el comportamiento de la planta en lazo abierto. [2] La ecuación en diferencias de un compensador por LGR se calcula de la siguiente manera: Si el polo se en cuenta entre 0.9 y 1:

CONTROLADOR PID DISCRETIZADO Y EN TIEMPO DISCRETO

El controlador PID esta formado por acciones proporcional, integral y derivativa. La accion propocional es la que se modifica para varial la velocidad con la que el sistema alcanza la referencia ademas de dar la magnitud del error. La accion derivativa es la que determina la velocidad con la cual se compensa el error de la señal y la accion integral es la que nos permite tener un error igual a cero en estado estacionario, ademas de tener un comportamiento proporcional entre la magnitud de esta accion y las oscilasiones. El PID en tiempo discreto funciona de la misma manera que un PID en continuo solo que su periodo de muestreo no puede ser tan pequeño[1]

Si el polo es menor a 0.9:

El calculo de la ecucacion en diferencias de un controlador PID con filtro es el siguiente: 3.

CONTROLADOR PLANTA

POR

ANULACION

DE

El objetivo de este tipo de controladores es la anulación total de la planta, por lo cual el comportamiento total del sistema dependería exclusivamente del controlador. Entre mayor sea

Laboratorio número 3 Tópicos avanzados de control el orden de la planta a anular igualmente mayor debe ser el orden del controlador, y debe ser la inversa de la planta para poderla anular. [3]

reducción del número de sensores que se necesitan para conocer el valor de los demás variables de estado, ya que estos observadores ayudan a estimar estos estados. [6]

El tiempo de muestreo de este tipo de controladores es un décimo del tiempo deseado.

Para el cálculo del observador de estado es necesario conocer las matrices A, B, C, D del sistema ya sea que se encuentren en su forma canónica controlable u observable.

4.

CONTROLADOR MUERTAS

POR

OSCILACIONES La representación en diagramas de bloque del servosistema es el siguiente:

El controlador por oscilaciones muertas lo que hace es anular de manera parcial la planta. Las condiciones que necesita este tipo de compensadores son dos: la primera es que la planta controlada no debe ser derivador y la segunda es que ninguno de los ceros de la función de transferencia en el dominio de Z de la planta se puede cancelar con alguno de los ceros del controlador. [4] El tiempo de muestreo de este tipo de controladores es el resultado de dividir el tiempo de establecimiento deseado entre el orden del sistema. 5.

CONTROLADOR POR COMPENSADOR EN FRECUENCIA

Existen diferentes tipos de compensación. Las redes de atraso y las redes de adelanto. Un compensador en atraso, tiene un comportamiento parecido al de un controlador PI y su cálculo se realiza de manera similar, el compensador en atraso aporta un polo y un cero en frecuencia con una separación la cual se determina a partir de un parámetro de diseño, el polo del compensador generalmente se ubica a una frecuencia menor a la del cero, produce una mejora notable en el estado estacionario pero tiene un tiempo mayor en el transitorio de la respuesta. [5] El compensador en adelanto, tiene un aumento en el margen de fase mediante el traslapo de la curva de fase del diagrama de bode. Tiene una respuesta transitoria más rápida y una variación pequeña de la precisión del sistema en su estado estacionario. Para el diseño del compensador hay que saber cuáles son los parámetros de diseño para así saber cuántas y cuales redes deben ser utilizadas para cumplir con los requerimientos. El tiempo de muestreo de este tipo de controladores es un treintavo del tiempo de establecimiento deseado. 6.

CONTROLADOR POR SERVOSISTEMA

Es el controlador más robusto de todos, ya que su señal de control es bastante fuerte lo que hace que la planta se comporte de la manera que se desea teniendo en cuenta los parámetros de diseño establecidos. Es un control que responde rápido y se auto compensa para obtener un comportamiento deseado óptimo. Además, el servosistema está compuesto por observadores de estado, lo cual ayuda a la eliminación y

III. PROCEDIMIENTO Después de hallar la función de trasnferencia de la planta, la funcion de la planta es:

Luego de haber identificado la planta, se porcede a realizar los diferentes controladores en discreto:

1. CONTROLADOR PID DISCRETIZADO: Para este controlador, lo primero que se hizo fue hallar un controlador PID en continuo. Con un tiempo de establecimiento de 5 seg y un cita 0.7 de se halla un polinomio deseado y se hallan las constantes proporcional, integral y derivativa del controlador.

Laboratorio número 3 Tópicos avanzados de control 𝑝𝑑 = (𝑧 − 𝑟𝑒 + 𝑗𝑖𝑚)(𝑧 + 𝑟𝑒 − 𝑗𝑖𝑚) Donde: La magnitud del número imaginario es: |𝑧| = 𝑒 −𝑇𝜁𝑊𝑛 Y el ángulo es: 𝑎𝑛𝑔(𝑧) = 𝑇𝑊𝑑 Con la magnitud y el ángulo, se puede hallar la parte real y la parte imaginaria del número, una vez hallado el polinomio deseado, se realiza el cálculo del PID al igual del que se realiza en continuo, teniendo en cuenta que el controlador se expresa de la forma:

Luego de hallar las constantes del controlador estas se dircretizan por el metodo de Tustin y se hallan las constantes q0, q1, y q2:

𝑞0 = 𝑘𝑝 +

𝑘𝑖 ∗ 𝑇𝑚 𝑘𝑑 + 2 𝑇𝑚 Se hallan las constantes q0, q1 y q2 donde el controlador queda de la forma:

𝑘𝑖 ∗ 𝑇𝑚 2 ∗ 𝑘𝑑 𝑞1 = − 𝑘𝑝 − 2 𝑇𝑚

𝐶(𝑧) =

𝑘𝑑 𝑞2 = 𝑇𝑚 Donde Tm es el tiempo de muestreo que se toma 30 veces mayor al tiempo de establecimiento deseado.

El controlador hallado fue: 𝐶(𝑧) =

2.

5.608𝑒6 + 9.904𝑒11 𝑧 −1 + 2.863𝑒6𝑧 −2 1 − 𝑧 −1

CONTROLADOR PID DISEÑO EN DISCRETO: Para el PID en discreto, lo primero que se debe hacer es la discretización de la planta, luego se halla un polinomio deseado en discreto teniendo en cuenta el cita (0.7) y el tiempo de establecimiento (5 seg). Con estos se hallan Wn y Wd y el tiempo de muestreo del sistema que se toma 10 veces el tiempo de establecimiento del sistema. Luego se toma:

3.

2.25𝑒5 − 3.4𝑒5 𝑧 −1 + 1.3646𝑒5𝑧 −2 1 − 0.3712 𝑧 −1 0.6288𝑧 −2

CONTROLADOR POR LGR: Para el controlador por LGR, se discretiza la planta y se toma un cita (0.7) y un tiempo de establecimiento deseado (8 seg), el tiempo de muestreo se toma 10 veces mayor al tiempo de establecimiento deseado. Se hallan los polos y ceros de la planta:

Laboratorio número 3 Tópicos avanzados de control

Para que el sistema tenga error en estado estable igual a cero, se pone un integrador, luego se pone un adelanto para que el sistema pueda cumplir con el tiempo de establecimiento y el cita deseados, durante el diseño, se pudo ver que el adelanto no era suficiente para cumplir con los requerimientos, por lo que se pone un atraso y se logra el comportamiento que se deseaba. El controlador obtenido fue:

Luego se halla el punto de prueba con la parte real e imaginaria con el cita y el tiempo de establecimiento, y se halla su respectivo ángulo. Para anular el denominador de la planta en el numerador del controlador se pone el mismo denominador de la planta y solamente se tiene en cuenta el ángulo del cero de la planta, del integrador puro y el del punto de prueba. Se halla el ángulo beta y luego se halla beta: 𝛽 = 0.3656 Finalmente se evalúa el punto de prueba en la planta para hallar la constante K:

Luego se discretiza el controlador por Tustin:

𝐾 = 0.6112 El controlador finalmente queda de la forma: 𝐶(𝑧) =

0.611 − 0.7747 𝑧 −1 + 0.2454𝑧 −2 1 − 1.35 𝑧 −1 0.3565𝑧 −2 5.

4.

COMPENSADOR EN FRECUENCIA: Para el compensador en frecuencia, se toma un cita de 0.7, un tiempo de establecimiento de 6 seg y un tiempo de muestreo de 30 veces el tiempo de establecimiento. Luego se discretiza la planta:

CONTROLADOR POR ANULACION DE PLANTA: Se toman los parámetros de control cita (0.7) y un tiempo de establecimiento (4 seg), el tiempo de muestreo se toma 10 veces el tiempo de establecimiento del sistema, la planta discretizada del sistema es:

Luego la función se pasa a continuo por Tustin obteniendo: Se diseña el controlador teniendo en cuenta lo siguiente: 1

Esta planta se monta en sisotool y se diseña el compensador.

1 𝑒 −2 𝐶(𝑧) = ∗ 𝐺𝑝(𝑧) 𝑧 − 1

Laboratorio número 3 Tópicos avanzados de control Donde Gp(z) es la planta del sistema discretizada. La función del controlador queda de la forma: 𝐶(𝑧) = 6.

6.8716 − 9.5408 𝑧 −1 + 3.3117𝑧 −2 1 − 0.2161 𝑧 −1 − 0.7839𝑧 −2

CONTROLADOR POR OSCILACIONES MUERTAS: Se toman los parámetros de control cita (0.7) y un tiempo de establecimiento (4 seg), el tiempo de muestreo se toma como el tiempo de establecimiento deseado sobre el orden del sistema, como la planta es de segundo orden, el tiempo de muestreo es de 2 veces el tiempo de establecimiento deseado, la función de la planta discretizada queda:

Luego se discretiza la planta tomando un tiempo de muestreo de 10 veces el tiempo de estabilización diseñado (3 seg):

El controlador por oscilaciones muertas es de la forma: 𝐶(𝑧) =

1 𝑀(𝑧) ∗ 𝐺𝑝(𝑧) 1 − 𝑀(𝑧)

Donde: 𝑀(𝑧) = (𝑧 + 0.292)𝑀1 ∗ 𝑧 −1 1 − 𝑀(𝑧) = (1 − 𝑧 −1 )(1 + 𝑎1 ∗ 𝑧 −1 ) Se hallan las constantes M1 y a1:

Luego de discretizar la planta, se hallan las constantes del servosistema y las constantes del observador:

Se reemplazan en la ecuación y el controlador queda de la forma: 𝐶(𝑧) 0.774 − 0.0236 𝑧 −1 − 0.0528𝑧 −2 + 0.0059𝑧 −3 = 0.5949 − 0.2867 𝑧 −1 − 0.2689𝑧 −2 − 0.0393𝑧 −3

7.

SERVOSISTEMA EN TIEMPO DISCRETO: Para el servosistema en tiempo discreto, lo primero que se hace es obtener la representación de la planta en espacio de estados:

IV. SIMULACIONES: 1.

CONTROLADOR PID DISCRETIZADO

DIAGRAMA DE BLOQUES

Laboratorio número 3 Tópicos avanzados de control

RESPUESTA DEL SISTEMA

SEÑAL DE CONTROL

SEÑAL DE CONTROL

3.

CONTROLADOR POR LGR

DIAGRAMA DE BLOQUES

2.

CONTROLADOR PID EN DISCRETO RESPUESTA DEL SISTEMA

DIAGRAMA DE BLOQUES

RESPUESTA DEL SISTEMA

Laboratorio número 3 Tópicos avanzados de control SEÑAL DE CONTROL

5.

CONTROLADOR PLANTA

POR

ANULACION

DE

DIAGRAMA DE BLOQUES

RESPUESTA DEL SISTEMA

4.

COMPENSADOR EN FRECUENCIA

DIAGRAMA DE BLOQUES

RESPUESTA DEL SISTEMA

SEÑAL DE CONTROL

6. SEÑAL DE CONTROL

CONTROLADOR MUERTAS

DIAGRAMA DE BLOQUES

RESPUESTA DEL SISTEMA

OSCILACIONES

Laboratorio número 3 Tópicos avanzados de control

SEÑAL DE CONTROL

V. ANÁLISIS DE RESULTADOS: Para los dos primeros controladores (PID discretizado y PID diseño en discreto), se pudo ver que las constantes de control obtenidas, eran muy grande y tanto en la simulación como en la planta real, era muy necesario un saturador para evitar que la señal de control volviera el sistema inestable. Estas señales hacían oscilar la planta física ya que la señal de control presentaba cambios muy bruscos.

7.

CONTROLADOR POR SERVOSISTEMA

DIAGRAMA DE BLOQUES

RESPUESTA DEL SISTEMA

En el controlador por LGR, las constantes de control obtenidas fueron más pequeñas, y se pudo ver que en la simulación la señal de control no necesitaba saturador, pero en la planta física era necesario. Como el tiempo de establecimiento que se había diseñado era muy lento, las señal de control algunas veces variaba a pesar de que el error en la planta no fuera muy grande, lo que generaba pequeñas oscilaciones en la planta. En el compensador de frecuencia, se realizaron dos controladores, uno con un tiempo de establecimiento de 3 seg y uno de 6 seg, donde se observó que el controlador con tiempo de 3 seg, la planta respondía rápidamente ante la referencia dada pero al llegar a la referencia, esta comenzaba a oscilar. Cuando se tomó el tiempo de 6 seg, las constantes dieron un poco más pequeñas y a pesar de que la planta física respondía más lento, esta no presentaba oscilaciones. En anulación de planta y oscilaciones muertas las constantes de control fueron pequeñas así como la señal de control obtenida en la simulación, además en la planta física no se presentaron problemas de oscilaciones y el error en la planta no fue muy grande. En el servosistema, las constantes de control dieron un poco más grandes que las obtenidas en LGR, anulación de planta y oscilaciones muertas, pero en la simulación, la señal de control no era significativamente grande. En la planta física, no se presentaron problemas de oscilaciones y el error no fue muy grande.

SEÑAL DE CONTROL

Laboratorio número 3 Tópicos avanzados de control VI. CONCLUSIONES Los controladores en discreto, permiten controlar un sistema e interactuar con este a partir de diferentes interfaces gráficas, una conexión entre lo físico y lo digital, con los diferentes tipo de controladores que existen en discreto podemos lograr variaciones en la respuesta transitoria de nuestro sistema ya sea aumentar o disminuir nuestra respuesta transitoria tener una mayor o menor cantidad de oscilaciones así como su magnitud, entre todos los tipos de control en discreto el mas robusto de todos es el servosistema , es el que cumple de manera más rápida y precisa, además que anula por completo las oscilaciones, además que gracias a los observadores de estado con los que se diseñan podemos estimar los demás estados de nuestro sistema ayudándonos a reducir el número de sensores que se necesitan para conocer estas variables.

VII. REFERENCIAS: [1] K. Benjamin C, Sistemas de Control Automatico, Cap 10, pag 665: Prentice Hall, Septima Edición. [2] K. Ogata, Ingeniería de Control Moderna, Cap 6: Pearson, Prentice Hall, Tercera Edición. [3] K. Ogata, Solving Control Engineering Problems wuth Matlab, Prentice--Hall, 1994. [4] K. Ogata, Modern （Ogata，2010） Control Engineerig, Prentice Hall, 2010. [5] B. Kuo, Automatic Wiley, 2009.

（kuo，2009）Control System,

[6] Franco Mejía Edison, Controlador self-tuning orientado a sistemas dinámicos, （Franco，2004） . [7] Universidad nacional, método del espacio de estado, bioingeniería, 2008. （nacional，2008）

[8] Universitas Miguel Hernández, 2008.networks [en línea] disponible en: http://repositorio.innovacionumh.es/Proyectos/P_19/Tema_5 /UMH_05.htmLinealidad

[9] Steeve Erasmo Toledo Chojolán, DISEÑO DE CONTROLADORES PID EN TIEMPO DISCRETO, Y ANÁLISIS DE RESPUESTA UTILIZANDO HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES, 2007

[10] unicauca, 2010.networks [en línea] disponible en: ftp://ftp.unicauca.edu.co/Facultades/FIET/DEIC/Materias/Si stemas%20Dinamicos/An%E1lisis%20de%20sistemas%20d in%E1micos.pdf [11] Observadores de estados, 2003, Ricardo Julian Mantz .networks [en línea] disponible en http://catedra.ing.unlp.edu.ar/electrotecnia/controlm/electron ica/archivos/apuntes/observadores.pdf

[12] Servomecanismos o servosistemas 2012,Jorge Luis Orue, networks [en línea] disponible en https://es.scribd.com/doc/83287229/Servomecanismos-oservosistemas