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• Luislayer Aranguiz

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IACC NIVELACIÓN MATEMÁTICA Control 4 1.-En una fiesta se sabe que la cantidad de hombres y mujeres están en la razón de 3:2, ¿Cuántos hombres existen si el total de personas es 60? Respuesta: Supongamos que: x = cantidad de hombres y = cantidad de mujeres 𝑥 3 : 𝑦 2 Lo que es igual a decir que: 2𝑥 = 3𝑦

(1)

Además sabemos que el total de personas eran 60, es decir: 𝑥 + 𝑦 = 60

(2)

Despejamos “x” en (2) y reemplazamos en (1) 𝑥 = 60 − 𝑦 Por lo tanto, reemplazando x en (1) 2 ∗ (60 − 𝑦) = 3𝑦 120 − 2𝑦 = 3𝑦 120 = 5𝑦 𝑦=

120 = 24 5

Es decir, había 24 mujeres y la cantidad de hombres (reemplazando el valor de y en (1) o (2)) era de 36.

IACC 2.-Tres máquinas mueven una cantidad de tierra en 45 minutos ¿En cuánto tiempo 8 máquinas mueven la misma cantidad de tierra? Respuesta: Primeramente, debemos notar que la relación entre el tiempo y la cantidad de máquinas es inversamente proporcional, es decir, a mayor número de máquinas menor cantidad de tiempo. Entonces podemos decir que, si X es la cantidad de máquinas y T el tiempo para mover determinada cantidad de tierra, X es inversamente proporcional a T, por lo que tendremos que: 𝑋∗𝑇 =𝐾 Donde K es la constante de proporcionalidad, reemplazando los valores dados: 3 ∗ 45 = 𝐾 = 135 Esta constante debe mantenerse, esto porque estamos suponiendo que en ambos casos se moverá la misma cantidad de tierra, por lo tanto Supongamos que x es el tiempo en que 8 máquinas mueven la misma cantidad de tierra que las 3, entonces podemos decir que: 3 ∗ 45 = 𝐾 = 135 = 8 ∗ 𝑥 8𝑥 = 135 𝑥=

135 = 16,87 8

Por lo tanto, 8 máquinas demoran 16,87 minutos en mover la misma cantidad de tierra que movieron 3 máquinas en 45 minutos

3.-Si 20 obreros realizan un trabajo en 31 días, trabajando 8 horas diarias, ¿cuántos días tardan en hacer el mismo trabajo 15 obreros trabajando 12 horas cada día? Respuesta: Primero tenemos que visualizar que se trata de una proporcionalidad compuesta, donde intervienen tres variables, la cantidad de obreros, la cantidad de días y las horas de trabajo diarias.

IACC Presentamos las tres variables en la siguiente tabla,

Sean N: número de obreros D: cantidad de días H: cantidad de horas diarias de trabajo N

D

H

20 31 8 15 x

12

Ahora analizamos, si se aumenta la cantidad de días para realizar el mismo trabajo se necesitan menos obreros (no se piensa en las horas). Estas variables están en proporción inversa. Si se aumenta la cantidad de días para realizar el mismo trabajo se requieren menos horas (no se piensa en los obreros). Estas variables están en proporción inversa. A continuación, se iguala la razón correspondiente a la incógnita, con el producto de las razones inversas que corresponden a las otras variables, es decir, 31 12 15 = ∗ 𝑥 8 20 Luego calculamos X 31 180 = 𝑥 160 Multiplicamos cruzado, 31 ∗ 160 = 180 ∗ 𝑥 4960 = 180𝑥 𝑥=

4960 = 27,55 (𝑑í𝑎𝑠) 180

Entonces, podemos decir que 15 obreros trabajando 12 horas diarias tardarán 27,55 días en hacer el mismo trabajo.

IACC 4.- Sí “a” varía inversamente proporcional al cuadrado de b y adicionalmente se sabe que el valor de “a” es 100 y el de “b” es 5. Determine la constante de proporcionalidad Respuesta: Primero tenemos que: a = 100 b=5 Además sabemos que a es inversamente proporcional al cuadrado de b, es decir: 𝑎 ∗ 𝑏2 = 𝑘 Por lo tanto, reemplazando los valores dados, tendremos que: 100 ∗ 52 = 𝑘 𝑘 = 100 ∗ 25 = 2500

5.-Si 4 compañeros de universidad que van de viaje cotizaron para alojar en un hostal por 8 días y el costo total (costo por todos los amigos y por los 8 días) era de $256.000. ¿Cuánto deberán pagar en total si viajaran 2 compañeros más y decidieran alargar la estadía 3 días más? Respuesta: Primero tenemos que visualizar que se trata de una proporcionalidad compuesta, donde intervienen tres variables, la cantidad de compañeros, la cantidad de días y el costo total. Presentamos las tres variables en la siguiente tabla,

Sean N: número de compañeros D: cantidad de días P: precio total N D

P

4

8

256.000

6

11 X

IACC Ahora analizamos, Si se aumenta la cantidad de días de la estadía se necesita más dinero (no se piensa en los compañeros). Estas variables están en proporción directa. Si se aumenta la cantidad de compañeros se requiere más dinero (no se piensa en los días). Estas variables están en proporción directa. A continuación, se iguala la razón correspondiente a la incógnita, con el producto de las razones directas que corresponden a las otras variables, es decir, 256000 8 4 = ∗ 𝑥 11 6 Luego calculamos X 256000 32 = 𝑥 66 Multiplicamos cruzado 256000 ∗ 66 = 32 ∗ 𝑥 16896000 = 32𝑥 𝑥=

16896000 = 528.000 32

Entonces, les costará $ 528.000, la estadía para 6 compañeros por 11 días.

6.- La fuerza de un cuerpo se calcula de la siguiente manera: F  m  a, donde “m” es la masa del cuerpo y “a” 𝑚

es su aceleración. Si la masa de una pelota en movimiento es de 7 kg y su aceleración actual es de 3 (𝑠𝑒𝑔2 ). Calcule a cuánto debe aumentar su aceleración para obtener una fuerza de un 20% más que la actual. Respuesta: Tenemos que la fuerza actual de la pelota es: 𝐹 =𝑚∗𝑎 𝑚 𝑚 𝐹 = 7(𝑘𝑔) ∗ 3 ( ) = 21(𝑘𝑔 ∗ ) 𝑠𝑒𝑔2 𝑠𝑒𝑔2

IACC Un 20% más de Fuerza significa: 𝐹 ′ = 𝐹 + 𝐹 ∗ 0,2 𝐹 ′ = 21 + 21 ∗ 0,2 𝐹 ′ = 21 + 4,2 = 25,2 Entonces, como sabemos que 𝐹 =𝑚∗𝑎 Tendremos que 𝐹′ = 𝑚 ∗ 𝑎′ 25,2 = 7 ∗ 𝑎′ 𝑎′ =

25,2 𝑚 = 3,6( ) 7 𝑠𝑒𝑔2

Entonces, la aceleración de la pelota debe aumentar a 3,6 (m/seg2) para que la fuerza aumente un 20%