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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DE EDUCACIÓN SUPERIOR INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “Dr. Federico Rivero Palacio”

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN ADMINISTRACIÓN

MATEMÁTICA PARA LA ADMINISTRACIÓN

Primer Trayecto – Primer y Segundo Trimestre

Trabajo Acompañado Trabajo Independiente Horas por semana

horas 3 3 6

Material elaborado por: Márquez Zambrano, Luisa

Índice pp.

Objetivos y contenidos de la unidad curricular

iii

Introducción

vi

Instrucciones Generales

vii

Conceptos básicos

viii

UNIDAD 1. INTERÉS SIMPLE. INTERÉS COMPUESTO

▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪

▪ 10 ▪ 11 ▪ 18 ▪ 30 ▪ 32

Descuento simple y compuesto. Rentas constantes. Rentas variables en progresión aritmética y geométrica. Amortizaciones.

UNIDAD 2. CRITERIOS DECISORIOS

▪ 34 ▪ 34 ▪ 36 ▪ 37 ▪ 38 ▪ 40 ▪ 43

33

Períodos de Recuperación (PERE). Tasa promedio de Retorno (TPR). Tasa de interés de oportunidad (TIO) Valor Presente Neto (VPN). Tasa interna de Retorno (TIR). Costo anual equivalente (CAUE) Evaluación económica y comparación

UNIDAD 3. EVALUACIÓN ECONÓMICA Y COMPARACIÓN DE ALTERNATIVAS QUE PRODUCEN DIFERENTES SERVICIOS

▪ ▪

1

Definición de interés simple. 2 Formas de calcular el interés simple. 3 Definición de Interés compuesto. 5 Formas de calcular el interés compuesto. Tasa de interés nominal, efectiva, efectiva anual, equivalentes. 7 Ecuaciones Valor. 7 Anualidad.

Clasificación de proyectos Valores Netos

46 47 48

▪ Evaluación de inversiones con igual vida económica y mutuamente excluyentes ▪ Evaluación de Inversiones con diferente vida económica y mutuamente excluyentes ▪ Evaluación de Inversiones independientes. ▪ Evaluación de Inversiones complementarias. ▪ Evaluaciones especiales. UNIDAD 4. FUNCIONES ALGEBRÁICAS

▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪

Funciones Tipos de funciones Representación gráfica de las funciones Oferta y demanda lineales. Curvas de oferta y de demanda no lineales Equilibrio de mercado Curva de transformación del producto

UNIDAD 5. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪

Funciones exponenciales Características y gráficas de las funciones exponenciales. Funciones logarítmicas. Características de las funciones logarítmicas. Gráficas de las funciones logarítmicas Aplicación de las funciones exponenciales al cálculo de interés. Derivadas de las funciones logarítmicas y exponenciales

UNIDAD 6. APLICACIONES DE LA DERIVADA

▪ ▪ ▪ ▪

Reglas para la derivación de funciones exponenciales Reglas para la derivación de funciones exponenciales Optimización de funciones Costos de producción

UNIDAD 7. APLICACIONES DE LA INTEGRAL

▪ ▪

La integral indefinida La integral definida

CONTENIDOS DE REPASO

49 50 50 51 51 54 57 60 60 65 67 70 71 74 75 75 79 79 80 78 81 83 84 84 84 88 88 89 92 95

Ejercicios Bibliografía

100

Objetivos y Contenidos de la Unidad Curricular Matemática para la Administración El presente curso se estructura en siete unidades, las cuales permitirán el logro de cuatro objetivos cuyo eje central es la aplicación de las matemáticas a la resolución de problemas administrativos, para ello, cada una de las unidades programáticas de este material contempla la presentación teórica de los contenidos. A continuación se presentan los objetivos de la asignatura y los contenidos de cada unidad de trabajo. Objetivos: 1. Aplicación del proceso y sistemas administrativos, en las áreas de finanzas, producción, recursos humanos y mercadeo, bajo las premisas de las nuevas tendencias administrativas.

2. Aplicar los conceptos de tasa promedio de variación así como el concepto de tasa instantánea de variación, en la resolución de problemas.

3. Aplicar los conceptos y técnicas de derivación en la resolución de problemas en el campo de la Administración y Gestión.

4. Aplicar los conocimientos necesarios para el estudio y resolución de los problemas que plantean las operaciones financieras que realizan las personas físicas y jurídicas en los mercados financieros con los activos e instrumentos financieros. Estas técnicas y métodos se explican desde una óptica eminentemente simplificada y práctica, prescindiendo de planteamientos matemáticos generales y teóricos que revisten mayor complejidad.

Contenidos: UNIDAD 1. INTERÉS SIMPLE. INTERÉS COMPUESTO

▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪

Definición de interés simple. Formas de calcular el interés simple. Definición de Interés Compuesto. Procesos de Capitalización. Formas de calcular el interés compuesto. Tasa de interés nominal, efectiva, efectiva anual, equivalentes. Ecuaciones Valor. Descuento simple y compuesto. Rentas Constantes. Rentas variables en progresión aritmética y geométrica. Amortizaciones.

UNIDAD 2. CRITERIOS DECISORIOS.

▪

Períodos de Recuperación (PERE).

▪ ▪ ▪ ▪

▪

Tasa promedio de Retorno (TPR). Valor Presente Neto (VPN). Tasa interna de Retorno (TIR). Evaluación económica y comparación: Alternativas que producen el mismo servicio y tienen igual vida económica (criterios del Costo Presente, Equivalente (CPE), Costo Anual Equivalente (CAE), Costo Futuro). Equivalente (CFE), Tasa Interna de Retorno Incremental (TIRI): Alternativas que producen el mismo servicio y tienen diferente vida económica (modelo de reemplazo en idénticas condiciones, modelo de reducción de la vida económica de las alternativas más extensas, modelo de extensión de la vida económica de las alternativas mas cortas, modelo de reemplazo en condiciones reales).

UNIDAD 3. EVALUACIÓN ECONÓMICA Y COMPARACIÓN DE ALTERNATIVAS QUE PRODUCEN DIFERENTES SERVICIOS.

▪

▪ ▪ ▪ ▪

Evaluación de Inversiones con igual vida económica y mutuamente excluyentes (análisis de factibilidad: VPN, Valor Anual Neto VAN, Valor Futuro Neto VFN, TIR, Valor Futuro de Flujos de Caja, Tasa Promedio de Crecimiento del Patrimonio TPCP, Análisis de Oportunidad: VPN, VAN, VFN, TIRI, VFFC, TPCPI). Evaluación de Inversiones con diferente vida económica y mutuamente excluyentes (análisis de factibilidad: VPN, VAN, VFN, TIR, VFFC, TPCP. Análisis incremental: VPN, VFFC, TPCPI). Evaluación de Inversiones independientes. Evaluación de Inversiones complementarias. Evaluaciones especiales: Reemplazo de equipos, ciclo óptimo de operación, Comprar vs Arrendar vs Mantener. Leasing o Arrendamiento Financiero.

UNIDAD 4. FUNCIONES ALGEBRAICAS. APLICACIONES

▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪

Funciones Tipos de funciones Representación gráfica de las funciones Oferta y demanda lineales. Curvas de oferta y de demanda no lineales Equilibrio de mercado Curva de transformación del producto

UNIDAD 5. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪

Funciones exponenciales Características y gráficas de las funciones exponenciales. Funciones logarítmicas. Características de las funciones logarítmicas. Gráficas de las funciones logarítmicas Aplicación de las funciones exponenciales al cálculo de interés. Derivadas de las funciones logarítmicas y exponenciales UNIDAD 6. APLICACIONES DE LA DERIVADA

▪

Reglas para la derivación de funciones exponenciales

▪ ▪ 

Reglas para la derivación de funciones exponenciales Optimización de funciones Costos de producción

UNIDAD 7. APLICACIONES DE LA INTEGRAL

▪ ▪

La integral indefinida La integral definida

Instrucciones Generales En este material encontrarás una presentación resumida de los contenidos de la unidad curricular Matemática Aplicada a la Administración. Las unidades de aprendizaje están conformadas por dos bloques temáticos, las unidades 1,2 y 3 contentivas de las matemáticas financieras; y las unidades 4,5,6,y 7 de las matemáticas aplicadas a la administración, este material te acompañará en tu proceso de formación. Sin embargo, no puedes pasar por alto la realización de investigaciones y arqueo bibliográfico, para ello cuentas con una bibliografía recomendada en el programa de esta unidad curricular.

A lo largo del material te encontrarás con Pedro

y Lucia

dos chicos con amplios conocimientos en matemática que te brindarán algunos datos relevantes relacionados con los contenidos de cada unidad. Las nomenclaturas matemáticas utilizadas en este material son: + Suma - Resta * Multiplicación / División = igual ≠ Diferente

Introducción

El vocablo “Administración” puede ser definido de diversas formas, sin embargo, se puede afirmar que generalmente lo asociamos al proceso mediante el cual se organiza y coordina el trabajo de una empresa con el propósito de cumplir objetivos de manera eficiente. Es decir, hacer lo correcto correctamente. Y una forma de hacer bien las labores necesarias para una empresa es a través de la toma de decisiones, un proceso que se inicia cuando se detecta un problema o necesidad organizacional y se determina que es ineludible resolverlo ¿Cómo? Generando diversas alternativas de solución y evaluándolas para seleccionar la más acertada. Como consecuencia de esto surge la aplicación de las matemáticas a la administración, no es nuevo que los números guardan una estrecha relación con el proceso de gerencia de una empresa, ello se debe a la necesidad de saber si las operaciones que se realizarán dejarán beneficios; una forma efectiva de predecir si las acciones a tomar serán productivas es a través de los cálculos matemáticos, estos permiten estimar ganancias, gastos, inversiones, etc. En la actualidad la aplicación de procedimientos matemáticos para la resolución de conflictos organizacionales se denomina Investigación de Operaciones, que como su nombre lo indica, consiste en hacer investigación sobre las actividades de una organización por medio de la formulación de un modelo matemático. Aunada a la Investigación de Operaciones se haya la Evaluación de Proyectos de Inversión la cual amerita la aplicación de diversos propuestos matemáticos con el propósito de determinar el mejor camino a seguir por una empresa. Por ello la importancia de esta unidad curricular que permitirá el logro de competencias de cálculo para la resolución de problemas administrativos.

Conceptos Básicos Capitalización: Es aquella entidad financiera mediante la cual los intereses devengados en un período, se transforman en capital el período siguiente. Capital inicial o principal: Es la cantidad que se presta durante un tiempo determinado para producir un interés. Contraprestación: Prestación o servicio que debe una parte contratante como compensación por lo que ha recibido o debe recibir. Egresos: Las inversiones de la organización. Ingresos: Beneficios económicos que recibe una organización. Inversión: Es la asignación de recursos a los diferentes escenarios de una organización, cuyos efectos son duraderos en el tiempo y muchas veces con resultados irreversibles. Operación financiera: es la sustitución de uno o más capitales por otro u otros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicación de una ley financiera. En definitiva, cualquier operación financiera se reduce a un conjunto de flujos de caja (cobros y pagos) de signo opuesto y distintas cuantías que se suceden en el tiempo. Período (n): Es la frecuencia con la cual se aplica la tasa de interés y se indica normalmente con una unidad de tiempo: Mes, año, día, etc. Prestación: Acción y efecto de prestar, ya sea un servicio en las obligaciones de hacer, o dinero en las obligaciones económicas. Proyecto: Es todo programa de desarrollo, compuesto por una serie de actividades, con objetivos claros. Por lo tanto, proyecto es toda actividad encaminada a lograr objetivos y metas de forma eficaz y eficiente. Renta: Es el nombre que se le da al pago periódico que se hace. Valor anual (A): Trata de establecer la cantidad de dinero que se debe recibir, pagar o sobrar al final de todos y cada uno de los “n” períodos del proyecto para que la alternativa o proyecto satisfaga la condición de factibilidad. Valor presente o actual (P): Busca determinar la cantidad de dinero que se debe recibir, pagar o sobrar en la posición “0” para que la alternativa o proyecto cumpla la condición de factible. Valor futuro (F): Busca precisar la cantidad de dinero que se debe recibir, pagar o sobrar en la posición “n” para que la alternativa o proyecto cumpla la condición de factible. Tasa: Es el valor del interés, expresado en porcentaje.

Tiempo: Es el número de períodos (años, meses, días, etc.), que permanece prestado o invertido el capital

UNIDAD I INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO

Aquí encontrarás Definición de interés simple. Formas de calcular el interés simple. Definición de Interés Compuesto. Procesos de Capitalización. Formas de calcular el interés compuesto. Tasa de interés nominal, efectiva, efectiva anual, equivalentes. Ecuaciones Valor. Descuento simple y compuesto. Rentas Constantes. Rentas variables en progresión aritmética y geométrica. Amortizaciones.

UNIDAD I. I INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO El interés es la renta que se paga o se recibe por el uso del dinero durante un tiempo determinado; ¿qué se quiere decir con esto? que el uso del dinero no es gratis, como tampoco lo es el uso de cualquier otro activo o servicio. Si utilizamos la energía eléctrica debemos pagar por ella, por lo tanto, si empleamos el capital de otra persona o si otra persona utiliza el nuestro, ese uso genera una renta que también podemos llamar interés. Esto se aprecia con facilidad en las cuentas bancarias, en las que la mayoría de las veces se deposita el dinero para que devengue un interés. ¿Cómo? El banco utiliza el dinero depositado por los ahorristas para otorgar créditos a terceros, realizar inversiones, etc. y por ese uso paga a cada uno de sus cuentas habientes un porcentaje sobre el monto de dinero que le han confiado, a ese porcentaje se le conoce como tasa de interés. El interés varía de acuerdo al tiempo que dure la utilización del dinero. La unidad de tiempo para el cálculo de los intereses es el año. Por eso es común escuchar frases como “tienes dos años para pagar” o “el préstamo se cancela en cuatro años”. Sin embargo, el pago de los intereses se realiza por períodos, que es el intervalo de tiempo en que se liquida la tasa de interés. Los períodos más utilizados son: Año, semestre, trimestre, bimestre, mes, quincena y día. Para comprender mejor los conceptos de tiempo o período se presenta el siguiente ejemplo: José abrió una cuenta de ahorros el 1 de noviembre con Bs. 180.000, la tasa de interés que ofrece el banco es del 12% anual (Tiempo), pero los dividendos o intereses serán pagados mensualmente (Período). José desea saber cuánto dinero tendrá en su cuenta para final de mes. 180.000 * 12%(Tasa de interés)= 180.000 * 0,12=21.600Bs Bs. 21.600 /3601 días (Tiempo=año=360 días)=Bs. 60 Bs. 60 * 30 días (período, en este caso es un mes, treinta días)= BS. 1.800,00 José el 30 de noviembre tendrá Bs 180.000 (capital)+1.800 (intereses)= Bs.181.800,00 Existen varias clases de interés, los más comunes son el interés simple y el interés compuesto, la diferencia entre ellos es la renta que generan, la cual puede ser mayor o menor de acuerdo al caso.

1

*Nota: A pesar de que los años duran 365 días, las operaciones bancarias se calculan sobre la base de 360 días

Interés Simple Definición Se denomina interés simple aquel en el cual los intereses devengados no ganan intereses en el período siguiente, ya que no son agregados al capital para el nuevo cálculo de la siguiente renta. Una consecuencia importante del interés simple es que los intereses generados en cada uno de los períodos son iguales, ya que indiferentemente del tiempo que dure la operación los intereses siempre se calculan sobre el capital inicial. Forma de Calcular el Interés Simple El interés simple se utiliza para operaciones con vencimientos cercanos o de “corto plazo”. Repasemos sus elementos fundamentales: Co = Capital inicial n = número de períodos que dura la operación. i = Tipo de interés anual, el rendimiento que se obtiene por el dinero invertido en un período, generalmente un año. I = Interés total, la suma de los intereses de cada año o de cada período. Cn = Capital final. La suma del capital inicial más los intereses. I = I1 + I2 + I3 + … + In En régimen de Capitalización Simple, el Interés total es la suma de los intereses de cada período y estos se calculan de la siguiente manera: I1 = Co * i para el primer período I2 = Co * i para el segundo período I3 = Co * i para el tercer período In = Co * i para el n período Por lo tanto I = Co * i + Co * i + Co * i + … + Co * i Siendo n los sumandos o períodos tenemos que I = Co * i * n y Cn = Co ( 1 + (i *n) ) Ejemplo: Se invierten hoy Bs. 3.000.000,00 a una tasa de interés simple del 2% mensual dentro de ocho meses tendremos un total acumulado de I= 3.000.000 x 2% x 8 = 3.000.000 x 0,02 x 8= 480.000 Cn= 3.000.000 (1+ (0,02 * 8))= 3.000.000 x 1,16= 3.480.000 Existe una gran variedad de problemas relacionados con el interés simple, en los cuales se puede requerir el cálculo del período o del tipo o tasa de interés, a continuación se presentan las formulas para su cálculo: Tipo o tasa de interés: i = I / Co * n Período: n = I / Co * i Utilizando los datos del ejemplo anterior, reemplacemos los valores en las fórmulas

Tipo de interés: i= I/Co*n= 480.000 / 3.000.000*8= 480.000/ 24.000.000= 0,02 Por lo tanto la tasa de interés es 0,02 lo que es igual a decir el 2% Período: n = I / Co * i = 480.000/ 3.000.000*2= 480.000/6.000.000= 0,08*100= 8 El tiempo de la operación es de 8 meses. Ecuaciones de Valor: En oportunidades es necesario comparar un conjunto de pagos con otro, o bien, cambiar un conjunto de obligaciones de diversos montos pagaderos en diferentes fechas, por otro conjunto de obligaciones con vencimientos distintos. Una ecuación de valor, es una igualdad entre dos conjuntos de obligaciones, valuadas todas a una misma fecha llamada fecha focal o fecha de evaluación. Veamos el siguiente ejemplo: El señor Pérez firmó dos documentos: Uno por Bs. 500.000 a pagar en un año, y otro por Bs. 1.000.000 a pagar en tres años. En un nuevo arreglo, convino en pagar Bs. 750.000 ahora y el resto dentro de cuatro años. Si se considera como fecha focal el año cuatro, ¿Qué cantidad tendrá que pagar al final del cuarto año suponiendo un rendimiento del 5% anual? El valor acumulado del Sr. Pérez, al final del cuarto año asciende a: 500.000[1+(0.05)3] + 1.000.000 [1+(0.05)1] (1) 500.000[1+(0.15)] + 1.000.000 [1+(0.05)] El valor acumulado de los pagos del Sr. Pérez, al final del cuarto año asciende a: 750(1+(0,05)4) + x (2) Es decir: 750 (1+0,20) + x Debido a que existe igualdad entre dos pagos (2) y las deudas (1), es posible obtener la siguiente ecuación, llamada ecuación de valor: 750(1,20) + x = 500.000(1+0,15) + 1.000.000 (1 + 0.05) Despejando la incógnita obtendremos: x = 500.000(1,15) + 1.000.000(1,05) – 750(1,20) x = 575.000 + 1.050.000 – 900.000 x = 725.000 Por lo tanto el Sr. Pérez deberá pagar Bs. 725.000,00 al final del cuarto año.

Interés Compuesto Definición El interés compuesto es aquel que capitaliza los intereses devengados en el período inmediatamente anterior, y así sucesivamente en cada uno de los períodos siguientes. En el interés compuesto o capitalización compuesta los intereses se acumulan al capital para producir conjuntamente nuevos intereses al final de cada período de tiempo; esto es lo que hemos escuchado con los créditos indexados por la compra de

vivienda y es el tipo de capitalización que nos beneficia en las cuentas de ahorros cada mes los intereses que nos pagan son sumados al capital. Cálculo del Interés Compuesto Para calcular el interés compuesto debemos tener presente que los intereses son acumulativos por lo tanto varían en cada período, observemos el siguiente ejemplo: Si hoy se depositan Bs. 50.000,00 en una cuenta de ahorros que paga un interés trimestral del 6% en un año ¿cuál será el capital final?: TRIMESTRE INTERESES TOTAL EN BS 1 50.000 X 6%=3.000 53.000 2 53.000 X 6%= 3.180 56.180 3 56.180 X 6%= 3.370,80 59.550,80 4 59.550,80 X 6%= 63.123,84 3.573,04 Al culminar el año en la cuenta de ahorros habrán Bs. 63.123,84, en este ejemplo se aprecia que los intereses en cada trimestre se calculan según el capital acumulado hasta el momento y esos intereses se suman al capital para formar parte del capital base del período siguiente. Revisemos ahora los elementos fundamentales para el cálculo de la capitalización compuesta: Co = Capital inicial n = número de períodos (años generalmente) que dura la operación. i = Tipo de interés anual I = Interés total, suma de los intereses de cada año o de cada período. Cn = Capital final. La suma del capital inicial más los intereses. En los problemas administrativos sobre capitalización compuesta podemos requerir cualquiera de estos elementos, para ello se presentan las fórmulas para su cálculo: Capital final Cn = Co ( 1 + i )n Intereses totales I = Co [ ( 1 + i )n - 1 ] Tipo de interés Ejemplos: 1. Averiguar en qué se convierte un capital de 1 200 000 bolívares al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %. Aplicando la fórmula Cn = C (1 + i )n ? = C( 1 + i )n C5 = 1 200 000 (1 + 0,08)5 = 1 200 000 · 1,4693280 = 1 763 193,6 El capital final es de 1 763 194 bolívares. 2. El capital inicial fue de 800 000 bolívares. Calcular la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de 1 500 000 bolívares para que al cabo de 4 años se haya convertido en 2 360 279 bolívares: Cn = 2 360 279; C = 1 500 000; n = 4

2 360 279 = 1 500 000 (1 + i )4 Despejamos la fórmula de capital final y nos queda

1 + i = 1,1199999 i = 1,1199999 - 1 = +0,1199999 0,12 La tasa de interés ha sido del 12 %. Diagrama de Flujos de Caja En todas las operaciones intervienen dos clases de valores a lo largo del tiempo, los ingresos y los egresos relacionados con dicha operación, se llama flujo de caja a la secuencia que representa esos valores, en otras palabras, el flujo de caja son las secuencias de entrada y salida de capitales durante el tiempo que dura la operación financiera. Con el propósito de visualizar esta operación suelen representarse tales valores sobre un segmento de recta que tenga como longitud el tiempo que dure la operación medido en períodos. En esta representación gráfica se le conoce como diagrama de flujo de caja o diagrama de tiempo-valor. En estos diagramas se representa con una flecha hacia arriba los ingresos y con una flecha hacia abajo los egresos. Ejemplo: Si hacemos una inversión (egreso) hoy por valor de Bs. 10.000 y recibimos unos ingresos de Bs. 4.000 dentro de 4 meses y de Bs. 8.000 dentro de 10 meses, el diagrama de flujo será: 1

10.000

2

3

4.000 4

.

.

.

Ingresos

8.000 10 meses

Estos diagramas de flujo de caja los podrás realizar para visualizar el desplazamiento del capital de cualquier operación financiera, ello te permitirá en muchos casos tener una mejor apreciación de lo que ocurre u ocurrirá con el dinero de una inversión, egreso, etc. Ecuaciones de Valor Una ecuación de valor, como ya se había mencionado, es una igualdad que establece que la suma de los valores de un conjunto de obligaciones a determinada fecha, es igual a la suma de los valores a esa misma fecha de otro conjunto de obligaciones. En el caso de las ecuaciones de valor para problemas en los que intervenga el interés compuesto, se puede escoger cualquier fecha focal o de evaluación para todas las obligaciones, ya que no influye en los resultados. Ejemplo: El señor Sánchez debe 2.500.000 pagaderos en 5 años, y 2.800.000 pagaderos en 3 años. Si abona 2.600.000 al final del primer año, ¿Cuánto deberá al final de 3 años si el dinero trabaja a una tasa de interés efectiva del 10% anual?

2.600.000 (1+0,10)2 + x = 2.800.000 + 2.500.000 (1+0,10)-2 2.600.000 (1,210000) + x = 2.800.000 + 2.500.000 (0,8264463) 3.146.000 + x = 2.800.000 + 2.066.120 x = 2.800.000 + 2.066.120 – 3.146.000 x = 1.720.120 Por lo tanto, al final de los tres años, el Sr. Sánchez deberá pagar Bs. 1.720.120 Tasa Efectiva: La tasa efectiva es aquella tasa que se calcula para un período determinado y que puede cubrir períodos intermedios. La tasa de interés efectiva se identifica porque solamente aparece la parte numérica seguida del período de capitalización, por ejemplo, se dice: Una tasa de interés del 4% mensual, del 9% trimestral, etc. La interpretación que podemos dar es que si invertimos un millón de bolívares a una tasa del 5% mensual en el primer mes tendremos: 1.000.000(1+5%)= 1.000.000(1+0,05)= 1.000.000*1,05= 1.050.000 En el segundo mes: 1.000.000(1,05)2 = 1.000.000*1,10= 1.100.000. Es decir la tasa del 5% se aplica cada mes al capital existente al final del mes anterior y así obtendremos los intereses reales o efectivos en ese mes. Tasa Nominal: La tasa nominal es aquella que se da para un año, esta debe ser convertida en efectiva, para que se pueda aplicar en la fórmula del interés, es decir, es la tasa de interés que es expresada anualmente y capitaliza varias veces al año, por esta razón, la tasa nominal no expresa exactamente los intereses devengados al año, a diferencia de la tasa efectiva que sí nos indica el verdadero interés devengado por un capital al final de un período. La mayor parte de las operaciones financieras se realizan con tasa nominal para expresar el interés que debe pagarse o cobrarse, esto significa que para realizar los cálculos de la operación financiera, lo primero que debe hacerse es convertir esta tasa nominal a la tasa efectiva de cada período de capitalización. Para hacernos referencia a la tasa nominal empleamos expresiones como: 38% nominal capitalizable trimestralmente, 38% nominal trimestral, 38% capitalizable trimestralmente, entre otros. La relación que existe entre una tasa nominal j% capitalizable m veces al año y la tasa i% efectiva en cada uno de los m períodos es la siguiente: i=j/m Supongamos que invertimos Bs. 1.000.000 en una entidad que paga el 48% por trimestre vencido. Si el tiempo es de un año, al final del año obtendremos: i=

j i=48%/4= 12% m

Ahora aplicamos la formula para la tasa de interés efectiva para saber el total acumulado al transcurrir los cuatro trimestres del año:

1.000.000*(1+0,12)4= 1.000.000*1,124=1.000.000*1,57=1.570.000

Tasas de Interés Equivalentes: Capitalización Simple: Se consideran equivalentes aquellos tipos de interés que referidos a distinta unidad de tiempo, pero aplicados a un mismo capital durante un mismo período producen el mismo capital final. Hasta el momento nos hemos estado refiriendo a un interés anual. Los períodos de capitalización que hemos tomado también han sido anuales. Sin embargo todos sabemos que las operaciones comerciales no tienen porque hacer referencia a un número exacto de años. Es más, en muchas operaciones la duración es inferior al año. Por ello el tipo de interés tampoco tiene por que ser anual. La transformación del tipo de interés para adaptarlo al período de capitalización se hace mediante el Cálculo del interés Equivalente. Revisemos los elementos del interés equivalente i = Tipo de interés anual im = Tipo de interés anual de un período fraccionario. m = Número de veces que está incluido im en el i (es decir, el número de períodos en que dividimos el año). Tendremos que: i = m x im

im = i / m

Por lo tanto im es un interés proporcional al i anual, es decir que los tipos de interés equivalentes son proporcionales. Ejemplo ¿Cuál es el Tipo de interés anual equivalente al 2% trimestral? I= m x im, si es el número de veces que esta el período, que en este caso es un trimestre, en un año, decimos que: i = 4 x 2% (En un año hay 4 trimestres) de este modo I = 8% Capitalización Compuesta: Ya vimos para la capitalización simple que tipos equivalentes son aquellos que aplicados a un capital inicial determinado producen el mismo capital final durante el mismo intervalo de tiempo, aunque se refieran a diferentes períodos de capitalización. También vimos que para la capitalización simple los tipos proporcionales son equivalentes, pues bien, en el caso del interés compuesto no es así. Si llamamos m a la frecuencia de capitalización, es decir, el número de veces que durante un período de tiempo se capitalizan los intereses producidos tendremos que para un año: m = 2 Cuando se capitalicen los intereses semestralmente m = 3 Cuando se capitalicen los intereses cuatrimestralmente m = 4 Cuando se capitalicen los intereses trimestralmente Hagámonos el siguiente razonamiento:

Un bolívar invertido durante un año al tipo de interés i nos dará como resultado un capital final de (1 + i). Ese mismo bolívar invertido durante el mismo período pero con una frecuencia de capitalización m al tipo im, nos dará un capital final de (1+im) m. Para que el tipo i sea equivalente a i m, los capitales finales por definición han de ser iguales, por lo que: ( 1 + i ) = (1 + i m)m Podemos por tanto conocer: - El tipo de interés anual en función del fraccionado i = (1 + i m)m - 1 El tipo de interés efectivo para un período fraccionado en función del anual. im=(1+i)-1 Como resumen: J m = m * i m ( 1 + i ) = ( 1 + i m )m

Anualidad Se denomina anualidad a los pagos iguales y periódicos, estos pagos pueden ser ingresos o egresos de una empresa; el nombre anualidad indica la periodicidad, sin embargo, no necesariamente tiene que ser anual, los períodos pueden ser días, semanas, quincenas, meses, etc. Revisemos los elementos que participan el cálculo de las anualidades: P = valor presente F = valor futuro A = valor de cada período n = número de pagos periódicos i = tasa de interés Para una anualidad puede suceder que el período de capitalización de la tasa de interés coincida o no con el período de pago, cuando no coincidan los períodos de pago se establece una conversión de equivalencia. A pesar de la diversidad de anualidades ahondaremos en las principales o más utilizadas: Anualidad Vencida Se denomina anualidad vencida aquella en la que el pago se hace al final del período, como por ejemplo el salario mensual de un empleado. En este tipo de anualidades podemos determinar tanto el valor presente como el valor futuro, para ello se utilizan las siguientes ecuaciones: Valor Futuro (1+i)t - 1 F= A -----------i

Valor Presente 1 - (1 +i)n P= A ------------i

Valor Futuro: En una anualidad vencida de n pagos de valor A cada uno, con una tasa de interés i% por período se trata de hallar una expresión que mida el valor futuro de una serie uniforme. Valor Presente: El valor presente calcula sobre la base del valor futuro los pagos que de deben realizar al momento. Hay que afirmar que los valores futuros y presentes son equivalentes, con la diferencia de que el futuro representa el último pago y el presente, como su nombre lo indica los presentes o de cada período. Anualidad Anticipada Se llama anualidad anticipada aquella en que los pagos se realizan al principio del período, por ejemplo las cuotas fijas periódicas del pago de un seguro, o el pago de los servicios que se realizan los primeros días de cada mes Anualidad Diferida La anualidad diferida es en la que el primer pago se realiza algunos períodos después de iniciada la operación financiera, el ejemplo más reciente son los créditos otorgados por el Estado a las cooperativas, las cuales tienen varios meses de gracia antes de comenzar a cancelar la primera cuota. Este tipo de casos puede plantearse de la siguiente manera: Una anualidad de n pagos iguales de valor A cada uno, debiendo efectuar el primer pago dentro de k períodos con una tasa de interés i% por período, corresponderá una anualidad diferida de k períodos. Observemos el siguiente diagrama para comprender mejor esta operación. K P k1

k

k+1

…

A

-------------------------------Para el cálculo del valor presente y futuro de cualquier tipo de anualidades no se requieren diversas formulas, sino adecuar las formulas de valor presente y futuro mostradas en las anualidades vencidas a la situación que se esté analizando, considerando los elementos que intervengan en la operación que se quiera calcular, por ejemplo sustituir n por k cuando los períodos son diferidos. Anualidad con Tasa Anticipada Otro de los casos utilizados para la amortización de una deuda es aquel en que se pacta una tasa anticipada, pero el deudor paga el total cada período, excepto en el punto inicial, cantidades iguales que existan del abono a capital más los intereses anticipados por el saldo pendiente en ese momento. Este punto será ampliado en el siguiente apartado denominado “Descuento”.

Descuento Es una operación de crédito que se lleva a cabo principalmente en instituciones bancarias y consiste en que estas adquieren letras de cambio o pagares, de cuyo valor nominal descuentan una suma equivalente a los intereses que devengaría el

documento entre la fecha en que se recibe y la fecha de vencimiento. Con esto se anticipa el valor actual del documento. La fórmula para el cálculo del descuento es

D =Mdt donde:

M = Monto d = tasa de descuento t = tiempo La tasa de descuento es la razón del pago por el uso del dinero devuelto al liquidar la operación, por lo tanto, el descuento es el proceso de deducir la tasa de interés a un capital determinado para encontrar el valor presente de ese capital cuando el mismo es pagable a futuro. Del mismo modo, aplicamos la palabra descuento a la cantidad sustraída del valor nominal de la letra de cambio u otra promesa de pago, cuando cobramos la misma antes de su vencimiento. Descuento Simple La aplastante lógica de la imaginación nace de la libertad de las partes implicadas en una operación financiera para establecer variaciones en los elementos que necesariamente la conforman. Una de sus más claras manifestaciones es la existencia de la posibilidad de cobrar los intereses “por adelantado”, en el momento de inicio del período de Capitalización. Matemáticamente, se trata de la operación inversa a la capitalización simple. Entendemos por interés anticipado (o de descuento), aquella operación financiera consistente en la sustitución de un Capital futuro por otro con vencimiento presente. Debemos insistir en que el tipo de interés (en la capitalización) y el tipo de interés anticipado (en el descuento) no son iguales. Responden al mismo principio financiero (valoración de capitales en el tiempo) pero difieren en cuanto al momento del tiempo en que se hacen líquidos. (Para dejarlo más claro: uno al final y otro al principio del período). Con un Tipo de Interés del 10% no es lo mismo recibir 0.1 bolívar por cada bolívar invertido al principio que al final del período de que se trate. Sea ia el tipo de interés unitario anticipado para un capital prestado de 10 bolívares; la cantidad recibida por el prestatario será 10 - ia, y devolverá el valor del capital prestado al final de un año de 10 bolívares. 0

1 año 10-ia bolívares 10 bolívares Anticipación de Intereses Denominemos de forma genérica Cn al capital prestado, que es nominal del préstamo ya que es la cuantía que se devuelve al final del período de tiempo pactado n, y Co a la cantidad recibida por el prestatario en el momento de concertar la operación, es decir, el efectivo del préstamo que se recibe. Sean Cn = nominal (N) de la operación cuyo cobro se desea anticipar Co = efectivo (E) que cobramos anticipadamente. D = descuento total, D = Cn - Co i = interés

n = Período de tiempo entre el cobro y el vencimiento de la operación que se descuente. ia = Interés de descuento o anticipado Co = Cn - Cn * ia * n Co = Cn ( 1 - ia * n ) 0 1 año Co = Cn ( 1 - ia * n ) Cn Para obtener la relación entre el Tipo de interés i (pospagable, rentabilidad), y el Tipo de interés de descuento o anticipado ia sustituimos el valor de Co en la fórmula de Capitalización simple. Cn = Co ( 1 + i * n) operando Cn = Cn ( 1 + ia * n) ( 1 + i * n ) Despejando i i = ia / (1 - ia * n ) i Despejando ia queda, ia = 1+ i ∗ n En el punto anterior hemos visto que, matemáticamente, el descuento simple es la operación inversa a la de capitalización simple. Esto es, aquella operación financiera consistente en la sustitución de un capital futuro por otro con vencimiento presente. En la práctica habitual estas operaciones se deben a la necesidad de los acreedores de anticipar los cobros pendientes antes del vencimiento de los mismos acudiendo a los intermediarios financieros. Los intermediarios financieros cobran una cantidad en concepto de intereses que se descuentan sobre el capital a vencimiento de la operación de que se trate.

Cálculo del Valor Actual Dado que Cn = Co (1 + i * n) despejando Co del capital final tenemos que: Co = Cn / (1 + i * n) El descuento es por tanto reversible. Si descontamos un capital Cn durante un tiempo n a un Tipo i de interés obtendremos un valor actual Co. Y si este capital descontado Co lo invertimos durante ese mismo período n y al mismo Tipo de interés i nos producirá el mismo capital final Cn. Cálculo del Descuento. I = Co * i *n como ya hemos visto anteriormente. De la misma manera los intereses del efectivo durante el período n de tiempo que resta hasta su vencimiento será lo que denominemos como el descuento D, donde Di = Co * i * n Evidentemente desconocemos Co (ya que, recordemos, estamos descontando Cn el Capital final o nominal). Por ello pondremos el valor del descuento Di en función de Cn y para ello no hay más que sustituir el valor Co en el Descuento. De este modo: Co = Cn / (1 + i * n) y nos queda de esta manera: Di = Cn * i * n / (1 + i * n)

Ejemplo: Si quisiéramos calcular el Descuento que se aplicará sobre un pagaré de 100.000 bolívares nominal con vencimiento a 90 días, si el que recibe del título pide un 5% anual deberíamos hacer lo siguiente: Di = ( 100.000 x ( 5% x ( 90/365 ))) / ( 1 + ( 5% x ( 90/365 ) ) ) = 1.218 bolívares Descuento Compuesto Para sustituir un capital futuro por otro con vencimiento presente utilizaremos el descuento compuesto, que no es sino la operación inversa a la capitalización compuesta. Los elementos que debemos considerar para estas operaciones son los siguientes: Cn = Flujo Nominal o cantidad al vencimiento. Co = Efectivo o cantidad presente. D = Descuento total, la diferencia entre el nominal y el efectivo. Los intereses I. n = El período de tiempo transcurrido entre el momento de efectivo y el vencimiento. d = Tipo de descuento, es el tipo de interés anual que se aplica sobre el valor nominal, en función del plazo de la operación, para obtener el efectivo de la compra. i = Tipo de interés anual. Si quisiéramos por ejemplo, cobrar anticipadamente un capital cuyo vencimiento se da dentro de un número determinado de años, la cantidad que recibiríamos sería el valor actual o valor presente del mismo, ya se obtenga éste por aplicación del tipo de interés i o ya por el descuento d. En el caso de que aplicáramos el tipo de interés i el descuento total obtenido lo llamaremos Descuento Matemático Real o Racional y si aplicáramos el tanto de descuento del descuento total obtenido lo llamaremos Descuento Comercial. Descuento Comercial Llamamos descuento comercial a los intereses que genera el capital nominal desde el momento de liquidación de efectivo hasta su propio vencimiento. Por tanto, el cálculo de los intereses se hace sobre el nominal. Descuento Racional. Llamamos así a los intereses que genera el efectivo desde su pago hasta el vencimiento del nominal. Por lo tanto el cálculo de los intereses se hará en este caso sobre el efectivo. A modo de repaso hagamos las siguientes consideraciones: Los Intereses son los rendimientos que produce un capital invertido durante un período de tiempo. Estos son equitativos al volumen del capital, a la duración o vencimiento de la inversión y al tipo de interés. La característica fundamental que define la capitalización simple es que los intereses que se generan a lo largo de un período de tiempo no se agregan al capital para el cálculo de los intereses del siguiente período. Como consecuencia de esto los intereses generados en cada uno de los períodos iguales son iguales. Es decir, que la Ley de capitalización simple no es Acumulativa. Además se utiliza para operaciones de “corto plazo” o con vencimientos cercanos, casi siempre menor a un año.

Cálculo del Descuento. En este caso se trata de intereses calculados sobre el efectivo teniendo en cuenta el tiempo que falta hasta su vencimiento. El descuento total es la diferencia entre el nominal y el efectivo D = Cn – Co. Dado que ya conocemos el valor de Cn = Co ( 1 + i )n si sustituimos nos queda: D = Co ( 1 + i )n – Co D = Co [ ( 1 + i )n - 1 ] El valor del descuento total es igual al del valor del interés total. Si lo que queremos es calcular el descuento total en función del valor nominal Cn teniendo en cuenta que Co = Cn / (1 + i ) n sustituimos el valor en la fórmula anterior y tenemos que:  Cn   (1 + i ) n − 1 D =  n   (1 + i )  D = Cn [ 1- ( 1 + i )-n ]

[

]

Cálculo del valor actual. Tenemos un capital nominal Cn al que se le aplica un tipo de descuento d. El valor actual Co será por lo tanto: 0 ------ 1 ------ 2 ------------------------ n-2 ------ n-1 ------ n