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• Diego Corrales

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• Física Aplicada e Interdisciplinaria

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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE EXTENSIÓN LATACUNGA DEPARTAMENTO DE ENERGÍA Y MECÁNICA

TEMA: CONSULTA RESISTENCIA DE LOS MATERIALES ROBBERT MONTT 10.7-10.8

CARRERA: INGENIERÍA MECATRÓNICA MATERIA: MECÁNICA DE MATERIALES II ALUMNO: ANDREE CRIOLLO ERAZO CORRALES VARGAS DIEGO PAÚL MARLON CAISAGUANO FECHA DE ENTREGA: 14-01-2019

Ecuaciones para determinar el esfuerzo en cualquier dirección. La forma más ideal representativa de los esfuerzos en un miembro, es la del elemento sometido a esfuerzo, donde se puede identificar los diferentes esfuerzos combinados que soporta el material. En la Figura 1 se observa la representación de los esfuerzos normales, que se colocan sobre el eje horizontal o vertical, donde su dirección dependerá de la compresión o tracción del elemento. Además se observa la presencia del esfuerzo cortante que coloca, desde el un eje en dirección del otro.

Figura 1. Elemento sometido a esfuerzo. Si se desea obtener el esfuerzo en una dirección a un ángulo ф, se utilizan ejes ortogonales u y v superpuestos en el elemento inicial de tal modo que el eje u forma un ángulo con respecto al eje x dado. En general, habrá un esfuerzo normal 𝜎𝑢 y un esfuerzo cortante 𝜏𝑢𝑣 actuando en la superficie inclinada AC (ver figura 2).

Figura 2. Elemento sometido a esfuerzo inicial con los ejes u y v incluidos. El siguiente desarrollo permite desarrollar ecuaciones para determinar dichos esfuerzos. En la figura 3 se observa cómo se localiza el ángulo . El lado AB es el lado izquierdo original del elemento inicial cuya altura es h. La base de la cuña, el lado BC, es sólo una parte de la base del elemento inicial, donde el ángulo determina la longitud.

Figura 3. Diagrama de cuerpo libre de una cuña que muestra las fuerzas que actúan en cada una de sus caras. 𝐵𝐶 = ℎ ∗ tan ф De esta maner también se determina el lado AC

𝐴𝐶 =

ℎ cos ф

Se considera todas las fuerzas que actuan sobre la cuña de la figura 3. Como la fuerza es el producto del esfuerzo por el área, tenemos que conocer el área en la cual actúa el esfuerzo. Por principio de cuentas, 𝜎𝑥 actúa en toda la cara izquierda de la cuña cuya área es ℎ2 . Entonces, Fuerza producida por 𝜎𝑥 = 𝜎𝑥 ℎ2 Fuerza producida por 𝜎𝑦 = 𝜎𝑦 ℎ2 tan ф Fuerza producida por 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑥𝑦 ℎ2 Fuerza producida por 𝜏𝑦𝑥 = 𝜏𝑦𝑥 ℎ2 tan ф 𝜎 ℎ2

𝑢 Fuerza producida por 𝜎𝑢 = cos ф

Fuerza producida por 𝜏𝑢𝑣 =

𝜏𝑢𝑣 ℎ 2 cos ф

Con todas las fuerzas determinadas, se aplica el principio de equilibrio, referente al eje u y v. lo primero que se realiza es la descomposición de las fuerzas en el eje u-v (ver figura 4).

Figura 4. Descomposición de las fuerzas a lo largo de las direcciones u y v ∑ 𝐹𝑢 = 0 𝜎𝑢 ℎ2 − 𝜎𝑥 ℎ2 cos ф − 𝜎𝑦 ℎ2 tan ф sen ф + 𝜏𝑥𝑦 ℎ2 sen ф + 𝜏𝑦𝑥 ℎ2 tan ф cos ф = 0 cos ф (

𝜎𝑢 − 𝜎𝑥 cos ф − 𝜎𝑦 tan ф sen ф + 𝜏𝑥𝑦 sen ф + 𝜏𝑦𝑥 tan ф cos ф)ℎ2 = 0 cos ф

Se sabe que 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 además, tan ф =

sen ф cos ф

𝜎𝑢 sen ф sen ф − 𝜎𝑥 cos ф − 𝜎𝑦 sen ф + 𝜏𝑥𝑦 sen ф + 𝜏𝑦𝑥 cos ф) cos ф = 0 ∗ cos ф cos ф cos ф cos ф

𝜎𝑢 − 𝜎𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 ф − 𝜎𝑦 𝑠𝑒𝑛2 ф +2𝜏𝑥𝑦 sen ф cos ф = 0 𝜎𝑢 = 𝜎𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 ф + 𝜎𝑦 𝑠𝑒𝑛2 ф −2𝜏𝑥𝑦 sen ф cos ф

Utilizando las siguientes identidades trigonométricas 𝑐𝑜𝑠 2 ф =

1 1 + cos 2ф 2 2

𝑠𝑒𝑛2 ф =

1 1 − cos 2ф 2 2

1 sen ф cos ф = sen 2ф 2 𝜎𝑢 = 𝜎𝑥

1 1 1 1 + 𝜎𝑥 cos 2ф + 𝜎𝑦 − 𝜎𝑦 cos 2ф −𝜏𝑥𝑦 sen 2ф 2 2 2 2

Ecuación para determinar esfuerzo normal en el eje u

𝜎𝑢 =

1 1 (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 ) + (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) cos 2ф − 𝜏𝑥𝑦 sen 2ф 2 2

Se utilizara el mismo procedimiento para la ecuación de esfuerzo cortante. ∑ 𝐹𝑣 = 0 𝜏𝑢𝑣 ℎ2 + 𝜎𝑥 ℎ2 sen ф − 𝜎𝑦 ℎ2 tan ф cos ф + 𝜏𝑥𝑦 ℎ2 cos ф − 𝜏𝑦𝑥 ℎ2 tan ф sen ф = 0 cos ф (

𝜏𝑢𝑣 + 𝜎𝑥 sen ф − 𝜎𝑦 tan ф cos ф + 𝜏𝑥𝑦 cos ф − 𝜏𝑦𝑥 tan ф sen ф)ℎ2 = 0 cos ф

Se sabe que 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 además, tan ф =

sen ф cos ф

𝜏𝑢𝑣 sen ф sen ф + 𝜎𝑥 sen ф − 𝜎𝑦 cos ф + 𝜏𝑥𝑦 cos ф − 𝜏𝑦𝑥 sen ф) cos ф = 0 ∗ cos ф cos ф cos ф cos ф

𝜏𝑢𝑣 + 𝜎𝑥 sen ф cos ф − 𝜎𝑦 sen ф cos ф +𝜏𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2 ф − 𝜏𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛2 ф = 0 𝜏𝑢𝑣 = − sen ф cos ф (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) −𝜏𝑥𝑦 (𝑐𝑜𝑠 2 ф − 𝑠𝑒𝑛2 ф) = 0

Utilizando las siguientes identidades trigonométricas 𝑐𝑜𝑠 2 ф =

1 1 + cos 2ф 2 2

𝑠𝑒𝑛2 ф =

1 1 − cos 2ф 2 2

1 sen ф cos ф = sen 2ф 2 1 1 1 1 1 𝜏𝑢𝑣 = − sen 2ф(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) −𝜏𝑥𝑦 ( + cos 2ф − + cos 2ф) = 0 2 2 2 2 2 1 𝜏𝑢𝑣 = − (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) sen 2ф −𝜏𝑥𝑦 ( cos 2ф) = 0 2

Ecuación para determinar esfuerzo cortante en dirección u-v

DEMOSTRACIÓN DE ÁNGULO PARA ESFUERZOS PRINCIPALES El valor del ángulo ф al cual ocurre el esfuerzo normal máximo o mínimo se determina diferenciando la función e igualando el resultado a cero y luego resolviendo para ф

𝜎𝑢 =

1 1 (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 ) + (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) cos 2ф − 𝜏𝑥𝑦 sen 2ф 2 2 𝑑𝜎𝑢 =0 𝑑ф

1 0 = 0 − (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )(−𝑠𝑒𝑛(2ф)(2)) − 𝜏𝑥𝑦 cos⁡(2ф)(2) 2 Dividiendo toda la expresión para 𝑐𝑜𝑠⁡(2ф) y simplificando

0=−

(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )(−𝑠𝑒𝑛(2ф)(2)) 𝜏𝑥𝑦 cos⁡(2ф)(2) − 2 ∗ cos(2ф) 𝑐𝑜𝑠⁡(2ф) 0 = −(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )tan⁡(2ф) − 2 ∗ 𝜏𝑥𝑦

Resolviendo para 2ф se obtiene tan(2ф) =

tan(2ф) =

−2 ∗ 𝜏𝑥𝑦 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) −𝜏𝑥𝑦

1 2 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) −𝜏𝑥𝑦

2ф = tan−1[

1 2 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )

]

−𝜏𝑥𝑦 1 ф = tan−1 [ ] 1 2 2 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )

Esfuerzos principales. 𝜎𝑢 =

1 1 (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 ) + (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) cos 2ф − 𝜏𝑥𝑦 sen 2ф 2 2

tan(2ф) =

−𝜏𝑥𝑦 1 2 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )

Ángulo que localiza el esfuerzo principal máximo

sin(2ф) =

cos⁡(2ф) =

−𝜏𝑥𝑦 √[1 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )]2 + (𝜏𝑥𝑦 )2 2 1 2 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) √[1 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )]2 + (𝜏𝑥𝑦 )2 2

Figura 5. Descomposición de las fuerzas a lo largo de las direcciones u y v

Reemplazamos el Esfuerzo normal en la dirección 𝑢 𝜎𝑢 =

𝜎1 = 𝜎𝑚𝑖𝑛

∗

1 1 (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 ) + (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) cos 2ф − 𝜏𝑥𝑦 sen 2ф 2 2

1 1 = (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 ) + (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) ∗ 2 2

1 2 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) √[1 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )]2 + (𝜏𝑥𝑦 )2 2

− 𝜏𝑥𝑦

−𝜏𝑥𝑦 √[1 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )]2 + (𝜏𝑥𝑦 )2 2 1 2 2 4 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) + 𝜏𝑥𝑦 √[1 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )]2 + (𝜏𝑥𝑦 )2 2

𝜎1 = 𝜎𝑚𝑖𝑛

1 = (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 ) + 2

𝜎1 = 𝜎𝑚𝑖𝑛

1 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )2 + 𝜏𝑥𝑦 2 1 4 = (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 ) + 1 1 2 ([2 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )]2 + (𝜏𝑥𝑦 )2 )2

𝜎1 = 𝜎𝑚𝑖𝑛 =

1 1 1 (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 ) + [ (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )2 + 𝜏𝑥𝑦 2 ]1−2 2 4

𝜎1 = 𝜎𝑚𝑎𝑥 =

1 1 (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 ) + √[ (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )]2 + (𝜏𝑥𝑦 )2 2 2

Como la raíz cuadrada tiene dos valores posibles, (+) y (–), también podemos determinar expresiones para el esfuerzo principal mínimo, 𝜎2

𝜎2 = 𝜎𝑚𝑖𝑛 =

1 1 (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 ) − √[ (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )]2 + (𝜏𝑥𝑦 )2 2 2

Esfuerzo Cortante Máximo. Para hallar la ecuación del esfuerzo cortante máximo, se puede emplear la misma técnica para determinar el esfuerzo cortante máximo que se realizó anteriormente. 1 𝜏𝑢𝑣 = − (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )⁡𝑠𝑒𝑛(2∅) − 𝜏𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠(2∅) 2

Diferenciando con respecto a ∅ e igualando a cero se obtiene: 𝑑𝜎𝑢 1 = − (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )(𝑐𝑜𝑠(2∅))2 − 𝜏𝑥𝑦 (−𝑠𝑒𝑛(2∅))2 = 0 𝑑∅ 2

Dividiendo entre cos(2∅) toda la ecuación, se obtiene:

1 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )(𝑐𝑜𝑠(2∅))2 𝜏𝑥𝑦 (−𝑠𝑒𝑛(2∅))2 0=2 − cos(2∅) cos(2∅)

Despejando tan⁡(2∅) 1 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) 2 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) tan(2∅) = = 2𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑦

1 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) (𝜎 − 𝜎 ) 1 𝑥 𝑦 ⁡∅ = tan−1 ( =2 ) 2 2𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑦

Obviamente, el valor de ∅ de la ecuación anterior es diferente del de la ecuación⁡∅⁡para esfuerzo normal máximo. De hecho, veremos que los dos valores siempre están a 45 grados uno de otro.

1 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) tan(2∅) = 2 𝜏𝑥𝑦 1 2 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )

𝑠𝑒𝑛(2∅) =

2

2 √(1 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )) + 𝜏𝑥𝑦 2

𝜏𝑥𝑦

𝑐𝑜𝑠(2∅) =

2

2 √(1 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )) + 𝜏𝑥𝑦 2

Al sustituir dichas expresiones en la ecuación del esfuerzo cortante en dirección uv, y realizando los mismos artificios matemáticos empleados para esfuerzo normal máximo, se obtiene: 2

𝜏𝑚𝑎𝑥

1 2 = ±√( (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )) + 𝜏𝑥𝑦 2

En este punto debemos verificar si existe un esfuerzo normal en el elemento que experimenta el esfuerzo cortante máximo. Si se sustituye el valor de 𝜑 en la ecuación del esfuerzo normal general se obtiene: 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 =

1 (𝜎 + 𝜎𝑦 ) 2 𝑥

 Tradi S.A. “Esfuerzos combinados” Obtenido de: http://ml370.qnet.com.pe/hosting/tradisa/index.php?option=com_content&view=article &id=149%3Avigas&catid=36%3Acatalogo&Itemid=58 [Última conexión: 01 de Mayo de 2018]  The Aluminium Association. Obtenido de: http://www.aluminum.org/ [Última conexión: 01 de Mayo de 2018] 

Mott, R. L. (2006). Diseño de elementos de máquinas. Pearson educación.