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TRABAJO COLABORATIVO

CÁLCULO II Áreas y longitudes mediante el cálculo integral

Integrantes: YEISON ANDRES GONZALES PEREZ 1310014284 JOSE ALFREDO ALDANA HERNANDEZ 1911983275 WILMAR JAVIER TELLEZ NUÑEZ 1511981308 FERNANDO ENRIQUE AHUMADA ROBAYO 1520010905 CINDY RODRIGUEZ MENDOZA 1821025198

TUTOR Akiyama Figueroa Minoru Enrique

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

1. INTRODUCCIÓN

La integración es una herramienta matemática fundamental del cálculo, esta permite resolver muchas de las cuestiones en diferentes ciencias del saber humano como la física, la economía, las ciencias sociales entre otras, por eso es necesario conocer los métodos de integración, en el presente documento se presentan diferentes métodos de integración , como lo es el método desusti tución e integración por partes, entre otros como el método de fracciones, parciales y sustitución trigonométrica; como lo es en todo la practica hace almaestro y para poder dar solución a situaciones problema de las ciencias mencionadas es necesario conocer el método de solución matemático que estas situaciones requieren

2. OBJETIVOS DE APRENDIZAJE 1. Interpreta analítica y geométricamente el concepto de integral definida. 2. Propone diferentes procedimientos en la solución del cálculo de áreas 3. Calcula la longitud de arco de una curva aplicando la integral definida

3. INDICACIONES GENERALES Antes de iniciar el desarrollo del trabajo, es importante leer y tener en cuenta las siguientes indicaciones: ➢ Lea atentamente cada enunciado e identifiqué cuál es la instrucción y su propósito. ➢ Al registrar sus aportes no olvide escribir detalladamente todas las explicaciones y procesos realizados para dar respuesta a cada uno de los puntos; recuerde que sus aportes serán leídos por sus compañeros de trabajo y será un insumo para el desarrollo del trabajo grupal. Tenga en cuenta las pautas generales de participación y entrega en el foro.

Ejercicio A continuación, se presenta un plano del primer piso de una casa en dos dimensiones: la medida del lado de cada cuadrado es de un metro, se omiten paredes internas, puertas y ventanas para facilitar los cálculos.

Responder:

a.

Se quiere enbaldosinar toda la casa, por esto calcula el área de la casa utilizando como unidad el cuadrado de la cuadrícula.

Teniendo en cuenta que cada cuadrado de la cuadricula equivale a 1m, se procede hallar el área (A) de la región seleccionada en color MORADA.

Que contando de manera aproximan hay 52 cuadros los cuales nos dice que el área de la región de manera aproximada corresponde a 52

6

A1 =  cos( x) + 4 23, 7m 2 0 =

bxh 2 1x 2 A2 : T1 = = 1,5m 2 2 bxh A3 : T2 = 2 4 x2 A3 : T2 = = 3m 2 2 bxh A4 : T3 = 2 1,1x3 A4 : T3 = = 1,65m 2 2 A5 : R1 = bxh A2 : T1 =

A5 : R1 = 2 x3 = 6m 2 5

A6 =  (0, 44 x (2) + 2, 4b − 64) ( −5)

72 xb − 82 3 72 x(2, 4) − 82 = = 30.26m2 3 =

b.

Ahora, use rectangulos de igual base (cuya base este sobre el eje x) para cálcular el área de la casa, para esto realice el cálculo variando el número de rectángulos (cambie el número de rectángulos tres veces), por favor registre los datos obtenidos en la siguiente tabla

NO. DE RECTANGULOS

20

10

BASE DE CADA RECTANGULO

AREAS DE CADA RECTANGULO

SUMA DE LAS AREAS

0,5 metros

R1= 0.5X 3.5 = 1.75 R2= 0.5X 3.8 = 1.9 R3= 0.5X 4.7 = 2.35 R4= 0.5X 7.4 = 3.7 R5= 0.5X = 6.9 = 3.45 R6= 0.5X = 6.9 = 3.45 R7= 0.5X = 6.4 = 3.2 R8= 0.5X 4.8 = 2.4 R9= 0.5X 3.4 =1.7 R10= 0.5X 3.2 = 1.6 R11= 0.5 X 3.3 = 1.65 R12= 0.5 X 4 = 2 R13= 0.5 X 7.5 = 3.75 R14= 0.5 X 7.8 = 3.9 R15= 0.5 X 8.7 = 4.35 R16= 0.5 X 9 = 4.5 R17= 0.5 X 9 = 4.5 R18= 0.5 X 7.5 = 3.75 R19= 0.5 X 5.8 = 2.9 R20= 0.5 X 3.8 = 1.9

58,7 METROS CUADRADOS

1 METRO

R1= 1 X 4.9 = 4.9 R2= 1 X 6.5 = 6.5 R3= 1 X 7 = 7 R4= 1 X 6.5 = 6.5 R5= 1 X 3.5 = 3.5 R6=1 X 4 = 4 R7=1 X 7.9 = 7.9 R8=1 X 9 =9 R9=1 X 9 =9 R10=1 X 7 =7

65,3 METROS CUADRADOS

5

R1=6,5X2=13 R2=7X2=14 R3=4X2=8 R4=8X2=16 R5=8X2=16

2 METROS

67 METROS CUADRADOS

a. Use la integral definida para calcular el área de la casa. Se calcula por medio de integrales definidas las áreas de cada curva −1

∫ 3 𝑑𝑥 = 3 (−1 + 2) = 3 −2

0

∫ 2𝑥 + 5 𝑑𝑥 = (𝑥 2 + 5𝑥) −1

0 =4 −1

2𝜋

∫

𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4 𝑑𝑥 = (𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4𝑥)

0

2𝜋 = 8𝜋 0

8

5𝑥 20 5𝑥 2 20𝑥 8 − 𝑑𝑥 = ( − ) = 5(4 − 𝜋) (𝜋 − 4) 4(𝜋 − 4) (𝜋 − 4) 2𝜋 2𝜋 2(𝜋 − 4) = 4.30

∫

1

∫ ( −2

−2 4 −1 4 1 𝑥 − )𝑑𝑥 = ( 𝑥 2 − 𝑥) =3 3 3 3 3 −2 2

2 ∫ (2x − 4)dx = (x 2 − 4x) = 1 1 1 Se debe terminar la función de la parábola, haciendo uso de los puntos que se ven en la grafica

Que son (4,0)(6, −4)(8,0) La ecuación cuadrática de una parábola es 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Que si determinamos con los valores que se tienen se debe resolver el sistema

0 = 16𝑎 + 4𝑏 + 𝑐 ; −4 = 36𝑎 + 6𝑏 + 𝑐 ; 0 = 64𝑎 + 8𝑏 + 𝑐 Que solucionando con wólfram se determina los valores

𝑎 = 1, 𝑏 = −12 𝑦 𝑐 = 32 Donde la función es: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 12𝑥 + 32

8

1 8 32 ∫ (x 2 − 12x + 32)dx = ( x 3 − 6x 2 + 32x) = 4 2 3 4 Sumando todas las áreas nos da como resultado: 51.1 a. Teniendo en cuenta el ítem b y c ¿Cuál es la mejor aproximación del área de la casa? ¿Por qué? Justifique su respuesta. Lo que se realizo en el primer apartado corresponde a una aproximación, realmente el método de la integral definida es que arroja el área con precisión.

b. Por seguridad el propietario quiere colocarle cerca eléctrica a la casa, para esto debe conocer ¿Cuántos metros lineales de cerca necesita? Use técnicas de integración y en el caso que la integral no tenga primitiva, puede usar un software con su respectiva referencia.

Los segmentos recto su longitud se determina contando las cuadriculas y los que tienen pendiente se determina con el teorema de Pitágoras

𝑙1 = 3 𝑙2 = √12 + 22 = √5 𝑙3 = √32 + 22 = √13 𝑙4 = 2 𝑙5 = 1 𝑙6 = √12 + 22 = √5 𝑙7 = √(8 − 2𝜋)2 + 52 = 5.28

Para las superficies curvas se determina con la formula de longitud de arco que corresponde a 𝒃

∫ √𝟏 + (𝒇′(𝒙))𝟐 𝒅𝒙 𝒂

Para la función cosenoidal y parabólica se hace de la siguiente manera 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4 Derivando 𝑓 ′ (𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 La longitud de arco es 2𝜋

∫ √1 + (−senx)2 dx = 7.64 0

Se hace en symbolab

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 12𝑥 + 32 Derivando 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 − 12 La longitud de arco es 8

∫ √1 + (2x − 12)2 dx = 9.29 4

Calculando con symbolab

Donde la longitud de la cerca es 36.3 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎