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• Santtiago Arias

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Le damos las definiciones básicas de consistencia, estabilidad y convergencia a un esquema de diferencias finitas.

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Nos concentramos en los problemas con valores iniciales. Cuando se incluyen las condiciones de frontera, las definiciones deben extenderse a problemas de contorno iniciales (Thomas, 1995).

Por otra parte, nos centramos en los problemas transitorios 1D, y el dominio de la solución es el eje X1 todo, es decir: − ∞ < 𝑥1 < ∞. 𝐷𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥𝑖 = 𝑖ℎ, 𝑖 = 0, ±1, ±2, … … . , 𝑦 𝑡 𝑛 = 𝑛∆𝑡, 𝑛 = 1,2,3 … …

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  

Para dos números reales ∈ 𝑦 ℎ > 0 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑚𝑜𝑠 ∈= 𝜎 ℎ Si hay una constante positiva C tal que ∈ ≤ 𝐶ℎ Un esquema de diferencias finitas 𝐿𝑛𝑖 𝑃𝑖𝑛 = 𝐺𝑖𝑛 es (punto a punto), en consonancia con la ecuación diferencial parcial 𝐿𝑝 = 𝐹 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥, 𝑦 si por alguna función suave 𝑣 = 𝑣 𝑥, 𝑡 .

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Asumimos una solución para la ecuación de error: 3,69

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Tiene un término (dejando caer el subíndice 𝑘 𝑒𝑛 𝛾𝑘𝑛 ). 3,70

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Sustituimos (3.70) por (3.69) y obtenemos la solución para el factor de amplificación.

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El criterio von Neumann para la estabilidad es que el módulo de este factor no debe ser mayor que 1 (Thomas, 1995). Usando (3.69) y (3.70), vemos que: 3,71

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Donde:

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Así el criterio von Neumann para la estabilidad es satisfecho si: 3,72

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La desigualidad (3.72) es satisfecha cuando la condición de estabilidad: 3,73

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Realizamos un análisis similar de estabilidad von Neumann para el esquema retrasado (3.65) de diferencia para (3.68). En este caso, la ecuación de error toma la forma 3,74

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Substituir (3.70) en (3.74) y realizar cálculos algebraicos simples produce la ecuación para el factor de amplificación 𝛾 .

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Donde siempre menos que o igual que1 para cualquier elección de 𝑘, ∆𝑡 𝑦 ℎ. Por lo tanto el esquema retrasado de diferencia es incondicionalmente estable.

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Los esquemas finitos de diferencia son usados porque sus soluciones aproximan las soluciones para ciertas ecuaciones diferenciales parciales.

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Lo que nosotros en realidad necesitamos es que las soluciones de esquemas de diferencia puedan aproximar las soluciones de las ecuaciones diferenciales para cualquier exactitud deseada.

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Es decir, necesitamos convergencia de las soluciones finitas para ecuaciones diferenciales.

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Específicamente, un esquema diferencia finito 𝐿𝑛𝑖 𝑃𝑖𝑛 = 𝐺𝑖𝑛 aproximando la ecuación diferencial parcial 𝐿𝑝 = 𝐹 es (punto a punto) convergente si, para cualquier 𝑥, 𝑡 , 𝑃𝑖𝑛 converge para 𝑝(𝑥, 𝑡) como ℎ, ∆𝑡 → 0 y 𝑖ℎ, 𝑛∆𝑡 → (𝑥, 𝑡 ).

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Por poner un ejemplo, consideramos el esquema delantero (3.63) de diferencia para la ecuación (3.68): 3,75

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Analizando: 3,76

Defina el error:  Sustrayendo las ecuaciones tenemos: 

3,77 

Donde 𝑍 𝑛 = 𝑠𝑢𝑝𝑖 𝑍𝑖𝑛 y la constante C es una constante uniforme usada para determinar “O”. Tomando en cuenta que 𝑖 en el lado izquierdo de la ecuación (3.77), obtenemos: 3,78