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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE PARRAL

Método de composición y convulsión Simulación M.C. Jorge Tomas Gutiérrez Villegas 02/Marzo/2018 • • • •

Integrantes: Baca González Jesús Omar García Galván Jesús Erik García Márquez Iván Rivera Guerrero José Alberto Ing. Industrial Enero-Junio 2018

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Índice.

SIMULACIÓN

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE PARRAL Introducción. Método de convolución En algunas distribuciones de probabilidad la variable aleatoria a simular, puede generarse mediante la suma de otras variables aleatorias X de manera más rápida que a través de otros métodos. Entonces, el método de convolución se puede expresar como: 𝑌 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝐾 Las variables aleatorias de cuatro de las distribuciones más conocidas de Erlang, normal, binomial y de Poisson) pueden ser generadas a través de este método, en este caso nos centraremos en la distribución normal como se verá a continuación.

Distribución normal La variable aleatoria normal con media µ y desviación estándar σ puede generarse usando el teorema de límite central: 𝑌 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝐾 − 𝑁(𝐾𝜇𝐾 , 𝐾𝜎 2𝑋 ) Al sustituir 𝑋𝑖 por números pseudoaleatorios 𝑟𝑖 , se obtiene: 𝑌 = 𝑟1 + 𝑟2 + ⋯ + 𝑟12 − 𝑁 (𝐾

𝑌 = 𝑟1 + 𝑟2 + ⋯ + 𝑟12 − 𝑁 (

1 1 ,𝐾 ) 12 12

12 12 , ) − 𝑁(6 − 1) 2 12

𝑌 = 𝑍 = (𝑟1 + 𝑟2 + ⋯ + 𝑟12 ) − 6~𝑁(0,1) 12

𝑍 = ∑( 𝑟𝑖 ) − 6 = 𝑖=1

𝑥−𝜇 ~𝑁(0,1) 𝜎

Despejando tenemos que: 12

𝑥 = [∑( 𝑟𝑖 ) − 6] 𝜎 + 𝜇 𝑖=1

SIMULACIÓN

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Desarrollo.

Ejemplo: El volumen de un liquido de un refresco sigue una distribución normal con media de 12 onzas y desviación estándar de 0.4 onzas. Generar 5 variables aleatorias con esta distribución para simular el proceso de llenado. 12

𝑁𝑖 = [∑( 𝑟𝑖 ) − 6] 𝜎 + 𝜇 𝑖=1

12

𝑁𝑖 = [∑( 𝑟𝑖 ) − 6] (0.4) + 12 𝑖=1

Tabla: Simulación del volumen de llenado de refrescos

SIMULACIÓN

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Conclusión.

SIMULACIÓN

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El método de composición Conocido también como método mixto permite generar variables aleatorias x cuando éstas provienen de una función de densidad fx que puede expresarse como la combinación convexa de m distribuciones de probabilidad fi(x).Entonces, la combinación convexa de m se puede expresar como:

Algunas de las distribuciones más conocidas que pueden expresarse como una convexa son: triangular, de Laplace y trapezoidal. El procedimiento general de generación es el siguiente: 1. Calcular la probabilidad de cada una de las distribuciones 𝑓𝑖 (x). 2. Asegurar que cada función 𝑓𝑖 (x) sea función de densidad. 3. Obtener, mediante el método de la transformada inversa, las expresiones para generar variables aleatorias de cada una de las distribuciones 𝑓𝑖 (x). 4. Generar un número pseudoaleatorio r, que permita definir el valor 𝐼𝐴 (x). 5. Seleccionar la función generadora correspondiente a la función 𝑓𝑖 (x). 6. Generar un segundo número pseudoaleatorio ri y sustituirlo en la función dora anterior para obtener Y.

SIMULACIÓN

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Distribución triangular

A partir de la función de densidad triangular

Calcular la probabilidad de cada uno de los segmentos de la función

Ya que los segmentos por separado no son funciones de densidad, se ajustan dividiendo por su correspondiente p(x)

SIMULACIÓN

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE PARRAL Expresando la función como una combinación convexa se obtiene:

Primero integramos para aplicar el método de la transformada inversa a cada segmento de la función:

Luego despejando x y sustituyendo 𝑟𝑖 en F(x) obtenemos:

Por último, al expresar la ecuación anterior incluyendo la función indicadora 𝐼𝐴 (x) tenemos que:

SIMULACIÓN

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Ejemplo Generar una muestra de 5 variables aleatorias con distribución triangular a partir de los parámetros: valor mínimo 5, moda 10 y valor máximo 20.

Sustituyendo a=5, c=10, y b=20 obtenemos:

Al generar una secuencia de números pseudoaleatorios se obtiene la secuencia de variables triangulares que se lista en la siguiente tabla: Tabla

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