• Author / Uploaded
• jose ruben

Citation preview

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA E.A.P: Ingeniería Civil CURSO: Análisis Estructural I TRABAJO: Comparación del método de flexibilidad y rigidez DOCENTE: Ing. José Marchena ALUMNO: Ayala Díaz Maykel Chilón Ispilco Raúl Díaz Hurtado Eduar Julca Casas Marco Palomino Encinas Franco Perez Tucto Ronal Rodríguez Carrasco Kevin CICLO: VII JULIO DE 2017

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil RESUMEN: En esencia, hay dos formas de analizar las estructuras utilizando métodos matriciales. Para analizar las estructuras también puede emplearse un método de fuerza, llamado método de la flexibilidad. El método de la rigidez puede usarse para tanto para analizar estructuras estáticamente determinadas como indeterminadas, mientras que el método de la flexibilidad requiere un procedimiento diferente para cada uno de estos dos casos. Inclusive, del método de la rigidez se obtienen los desplazamientos y las fuerzas de forma directa, mientras que, con el método de la flexibilidad, los desplazamientos no se obtienen de esa manera. Además, por lo general es mucho más fácil formular las matrices necesarias para realizar las operaciones en computadora mediante el método de la rigidez; y una vez hecho esto, el cálculo en computadora puede realizarse de modo eficiente. 

método matricial de la rigidez:

El método matricial de la rigidez es un método de cálculo aplicable a estructuras hiperestáticas de barras que se comportan de forma elástica y lineal, aunque también se le denomina el método de los desplazamientos. Este método está diseñado para realizar análisis computarizado de cualquier estructura incluyendo a estructuras estáticamente indeterminadas. El método matricial se basa en estimar los componentes de las relaciones de rigidez para resolver las fuerzas o los desplazamientos mediante un ordenador. El método de rigidez directa es la implementación más común del método de los elementos finitos. Las propiedades de rigidez del material son compiladas en una única ecuación matricial que gobierna el comportamiento interno de la estructura idealizada. Los datos que se desconocen de la estructura son las fuerzas y los desplazamientos que pueden ser determinados resolviendo esta ecuación. El método directo de la rigidez es el más común en los programas de cálculo de estructuras.

Análisis estructural I pág. 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil

Índice I.

INTRODUCION: ..................................................................................................................... 3

II.

MARCO TEORICO:................................................................................................................ 4 2.1.

método de flexibilidades: ................................................................................. 4

2.1.1.

Método de flexibilidades en Marcos planos: ............................................ 6

2.1.2. Método de flexibilidades en armaduras externa e internamente indeterminadas: ................................................................................................................ 6 2.1.3.

Método de flexibilidades en emparrillados y entramados de vigas: .. 7

2.1.4.

Resolución de estructuras con el método de flexibilidades: ............... 8

2.1.5.

Convención de signos: ................................................................................... 8

2.2.

Método matricial de rigidez ............................................................................ 9

2.2.1.

Descripción del método: .............................................................................. 10

2.2.2.

Matrices de rigidez elementales ................................................................. 10

2.2.3.

Barra recta bidimensional de nudos rígidos: ......................................... 11

2.2.4.

Fuerzas nodales: ............................................................................................ 14

2.3.

comparación de los dos métodos: ................................................................ 14

2.3.1.

DESPLAZAMIENTO ANGULAR ѲB EN B .......................................................... 14

2.3.2.

RELACIÓN ENTRE MATRIZ DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD: ................................. 15

III.

ejemplos...................................................................................................................... 16

IV.

CONCLUCIONES Y RECOMENDACIONES: .................................................................... 42

V.

BIBLIOGRAFIA: ................................................................................................................. 42

Análisis estructural I pág. 2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil I.

INTRODUCION:

El método consiste en asignar a la estructura de barras un objeto matemático, llamado matriz de rigidez, que relaciona los desplazamientos de un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las componentes de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a desplazamientos generalizados). La matriz de rigidez relaciona las fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura, mediante la siguiente ecuación:

(1) Dónde: Fi son las fuerzas nodales equivalentes asociadas a las fuerzas exteriores aplicadas sobre la estructura; Ri son las reacciones hiperestáticas inicialmente desconocidas sobre la estructura; 𝜹𝒊 los desplazamientos nodales incógnita de la estructura y n el número de grados de libertad de la estructura. La energía de deformación elástica también puede expresarse en términos de la matriz de rigidez mediante la relación:

Del teorema de Maxwell-Betti se deduce que la matriz de rigidez debe ser simétrica y por tanto:

Análisis estructural I pág. 3

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil II. 2.1.

MARCO TEORICO: método de flexibilidades:

Frecuentemente se le conoce también como método de las fuerzas virtuales porque se utilizan fuerzas ficticias unitarias sustituyendo a las redundantes de reacción desconocidas en una estructura hiperestática y para su aplicación práctica es de gran utilidad la tabla de las integrales de Mohr. En este método el primer paso es convertir la estructura hiperestática en isostática, resolverla y comparar sus diagramas de momento flexionante contra los diagramas contenidos en cada una de las etapas, en estas etapas se resuelve la misma estructura hiperestática con una carga unitaria cada una, esta carga se sitúa en el mismo lugar y sentido, donde estarían las reacciones de los apoyos que se quitaron para convertir la estructura hiperestática en isostática. Después de hacer la comparación de los diagramas y hacer los cálculos de acuerdo a la ecuación que indique la tabla de integrales de Mohr, se resuelve la matriz de flexibilidades. El arreglo matricial obedece a las ecuaciones de compatibilidad, la complejidad de las cuales, a su vez, depende del grado de indeterminación de la estructura hiperestática. Una vez resuelta la matriz se obtienen los resultados de las reacciones en los apoyos que se quitaron para hacer la estructura isostática. En el caso de armaduras planas, el desplazamiento en un nudo dado se calcula considerando la contribución de todas las barras de la armadura mediante la expresión: ∆= ∑(Ni) (ni)(Li)/EiAi.Donde N=Fuerza axial en las barras debida al sistema real de cargas y n=fuerza axial en las barras debida a las cargas ficticias La manera en como aplica este método a armaduras depende del tipo de indeterminación de la armadura, recordemos que en las armaduras hay indeterminación interna y externa. El proceso de solución es igual que en las vigas y en los marcos, primero se convierte la armadura en isostática ya sea quitando el apoyo o barra que sobra en la armadura y se resuelve, el segundo paso es resolver otra armadura isostática igual a la del primer paso pero ahora tendrá una carga con valor de uno y se colocará en el lugar donde se quitó el apoyo o donde se anuló la barra, el sentido de esta fuerza se propone positivo, por lo cual cuando se trate de una barra se debe de suponer que existe esta barra y que trabaja a tensión con una carga de uno, o si se trata de un apoyo se

Análisis estructural I pág. 4

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil supone la carga unitaria hacia arriba ya sea en forma vertical o hacia la derecha en forma horizontal a continuación se muestran ejemplos del proceso de cálculo de ambos tipos de armaduras indeterminadas. El procedimiento puede explicarse a través de las siguientes etapas. 

Se introducen liberaciones de la estructura en ciertos puntos específicos.

Aunque teóricamente estos pueden localizarse en cualquier parte, usualmente conviene que sean las uniones o soportes. Si las uniones son capaces de experimentar desplazamientos, se requerirán restricciones temporales. 

Las introducciones de estas liberaciones ocasionan que se presenten

rotaciones en vigas y desplazamientos lineales en armaduras, por poner dos casos. Se bosqueja la estructura en su estado deformado a fin de identificar estas discontinuidades en términos de rotaciones angulares, desplazamientos lineales o desplazamientos nodales. 

Las fuerzas o momentos son ahora aplicados simultáneamente a la

estructura liberada, con una magnitud y orientación tal que se eliminen las discontinuidades y restauren la estructura a su estado de liberación. Al proceder de esa manera deberán satisfacerse las condiciones de compatibilidad de deformaciones y equilibrio de fuerzas. Estas condiciones, al expresarse en forma de ecuaciones, nos permiten determinar las fuerzas desconocidas, momentos y desplazamientos. 

El conjunto de ecuaciones simultáneas puede ponerse en formato

compacto y tabular, utilizando pará- metros de flexibilidad y notación matricial. Las ecuaciones de pendiente/deflexión permiten expresar los cambios angulares en términos de carga, claro y flexibilidad relativa. Los números tabulados proveerán los datos que alimentarán un apropiado programa de cómputo. Debe aclararse que, en el caso de armaduras, las liberaciones se aplicarán a los miembros únicamente en uno de sus extremos y en una secuencia previamente seleccionada. estas liberaciones ocasionarán que las fuerzas directas de los miembros sean reducidas a cero, en tanto que la resultante de alargamiento o acortamiento correspondiente producirá discontinuidades en las juntas que pueden ser evaluadas.

Análisis estructural I pág. 5

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil 2.1.1. Método de flexibilidades en Marcos planos: Los marcos rígidos de cualquier tamaño o forma práctica cargados también simétricamente, pueden resol- verse de manera directa usando el programa SAP. Cuando los momentos debido a la oscilación tienen que considerarse en adición a los ocasionados por las cargas aplicadas, estos ‘momentos secundarios’ también deben ser calculados. Para lograr esto se determinan los momentos ocasionados por una oscilación unitaria y se multiplican por los factores obtenidos al considerar los cortantes no balanceados en las cargas de las columnas. Un programa de computadora puede ejecutar estas operaciones. Debido a que los momentos oscilatorios relativos sólo se requieren en las etapas iniciales del análisis, los términos del vector de oscilación se expresan simplemente como las inversas de las alturas de las columnas. El diagrama de deformaciones

proporciona

la

clave

para

la

determinación

de

los

desplazamientos relativos y su signo. Los marcos con varios entrepisos sometidos a oscilaciones también pueden resolverse utilizando factores de corrección de la oscilación para cada entrepiso, tomados por separado. El programa de computadora usa la subrutina fundamental tantas veces como entrepisos tenga el marco con el fin de obtener los momentos unitarios, suma los resultados en secuencia y utiliza de nuevo la subrutina para determinar los factores, imprimiendo finalmente la suma algebraica de los valores factorizados como momentos definitivos. Los marcos con varias Grujlas se analizan de manera similar, introduciendo las ecuaciones de equilibrio apropiadas paras las condiciones iitiperantes en las caras de las columnas, utilizando de nuevo el programa de cómputo para obtener los resultados. 2.1.2. Método de flexibilidades en armaduras externa e internamente indeterminadas: Para el análisis de estructuras trianguladas o armaduras se hace uso de las ecuaciones para desplazamiento lineal. Las fuerzas en los miembros pueden obtenerse para estructuras determinadas a partir sólo de las ecuaciones de equilibrio. Los desplazamientos de las uniones pueden averiguarse con la

Análisis estructural I pág. 6

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil ayuda de ecuaciones una vez que sean conocidas las fuerzas y propiedades de los miembros. La solución de estructuras indeterminadas requerirá el uso de las ecuaciones de equilibrio y de las de desplazamiento lineal y angular. El diagrama de deformación alcanza una importancia significativa en el análisis de estructuras indeterminadas y marcos rígidos, debido a su utilidad en la identificación de las discontinuidades que surgen durante la liberación y en la elección del signo apropiado. 2.1.3. Método de flexibilidades en emparrillados y entramados de vigas: La intersección de vigas en los entramados y los emparrillados cargados en ángulos rectos a sus planos, pueden analizarse de manera muy similar a lo descrito en la sección previa. Un programa para emparrillados deberá considerar solamente cargas aplicadas en los nodos, pero el programa que analice entramados de vigas tendrá que incluir criterios para evaluar la flexión de los miembros, ya que en estos casos las cargas se pueden aplicar lejos de los puntos nodales. Cuando además se tengan que tomar en cuenta los efectos torsionales se introducirán factores adicionales dentro de la matriz de coeficientes.

Análisis estructural I pág. 7

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil 2.1.4. Resolución de estructuras con el método de flexibilidades: El proceso de cálculo que seguiremos es el siguiente: 

Obtención del grado de indeterminación estática y selección de la(s)

redundante(s). 

Descomposición de la estructura hiperestática aplicando el principio de

superposición 

Equilibrio en la estructura isostática básica, obteniendo reacciones y leyes

de esfuerzos. 

Equilibrio en los estados unidad, obteniendo reacciones y leyes de

esfuerzos. 

Planteamiento de las ecuaciones de compatibilidad en los puntos de la

estructura hiperestática correspondientes a las redundantes seleccionadas. 

Obtención de los movimientos de la estructura isostática básica



Obtención de los movimientos de cada estado unidad



Obtención de las fuerzas redundantes



Determinación estática de la estructura.

2.1.5. Convención de signos: La convención adoptada en el análisis está basada en las siguientes reglas generales: 

En las ecuaciones de equilibrio las fuerzas que se oponen a las cargas

aplicadas o a las restricciones de una junta sr consideran positivas; al resolver las fuerzas, aquéllas que actúen hacia la derecha cuando se proyecten sobre el eje XX y hacia arriba del eje YY se considerarán positivas. 

En las ecuaciones de compatibilidad lineal, las fuerzas que cierran la

discontinuidad lineal en el punto bajo estudio son consideradas positivas. 

En las ecuaciones de compatibilidad angular, los momentos que cierran

la discontinuidad angular en el punto de aplicación son considerados positivos. En conclusión, en vigas que soportan cargas que actúan hacia abajo, los momentos de liberación se aplicarán en los apoyos, en la dirección mostrada en

Análisis estructural I pág. 8

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil la figura 3.1, con el fin de contrarrestar los cambios angulares que ahí ocurren. Se considera que estos momentos son positivos, produciendo en este caso tensión en la zona superior de la viga. Los momentos de liberación que son aplicados para contrarrestar los cambios angulares debidos al asentamiento o desplazamientos nodales son considerados positivos si actúan en la misma

Figura (1)

dirección que los momentos de las 'cargas’, de lo contrario los términos sectoriales serán registrados con signo negativo.

2.2.

Método matricial de rigidez

En general, un sólido deformable real, como cualquier medio continuo es un sistema físico con un número infinito de grados de libertad. Así sucede que en general para describir la deformación de un sólido necesitándose explicitar un campo vectorial de desplazamientos sobre cada uno de sus puntos. Este campo de desplazamientos en general no es reductible a un número finito de parámetros, y por tanto un sólido deformable de forma totalmente general no tiene un número finito de grados de libertad. Sin embargo, para barras largas elásticas o prismas mecánicos de longitud grande comparada con el área de su sección transversal, el campo de desplazamientos viene dado por la llamada curva elástica cuya deformación siempre es reductible a un conjunto finito de parámetros. En concreto, fijados los desplazamientos y giros de las secciones extremas de una barra elástica, queda completamente determinada su forma. Así, para una estructura formada por barras largas elásticas, fijados los desplazamientos de los nudos, queda completamente determinada la forma deformada de dicha estructura. Esto hace que las estructuras de barras largas puedan ser tratadas muy aproximadamente mediante un número finito de grados de libertad y que puedan ser calculadas resolviendo un número finito de ecuaciones algebraicas. El método matricial proporciona esas ecuaciones en forma de sistema matricial que relaciona los

Análisis estructural I pág. 9

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil desplazamientos de los extremos de la barra con variables dependientes de las fuerzas exteriores. Esto contrasta con la situación general de los sólidos elásticos, donde el cálculo de sus tensiones internas y deformaciones involucra la resolución de complejos sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. 2.2.1. Descripción del método: El método matricial requiere asignar a cada barra elástica de la estructura una matriz de rigidez, llamada matriz de rigidez elemental que dependerá de sus condiciones de enlace extremo (articulación, nudo rígido,), la forma de la barra (recta, curvada, ...) y las constantes elásticas del material de la barra (módulo de elasticidad longitudinal y módulo de elasticidad transversal). A partir del conjunto de matrices elementales mediante un algoritmo conocido como acoplamiento que tiene en cuenta la conectividad de unas barras con otras se obtiene una matriz de rigidez global, que relaciona los desplazamientos de los nudos con las fuerzas equivalentes sobre los mismos. Igualmente, a partir de las fuerzas aplicadas sobre cada barra se construye el llamado vector de fuerzas nodales equivalentes que dependen de las acciones exteriores sobre la estructura. Junto con estas fuerzas anteriores deben considerarse las posibles reacciones sobre la estructura en sus apoyos o enlaces exteriores (cuyos valores son incógnitas). Finalmente se construye un sistema lineal de ecuaciones, para los desplazamientos y las incógnitas. El número de reacciones incógnita y desplazamientos incógnita depende del número de nodos: es igual a 3N para problemas bidimensionales, e igual a 6N para un problema tridimensional. Este sistema siempre puede ser dividido en dos subsistemas de ecuaciones desacoplados que cumplen: 

Subsistema 1. Que agrupa todas las ecuaciones lineales del sistema original que sólo contienen desplazamientos incógnita.  Subsistema 2. Que agrupa al resto de ecuaciones, y que una vez resuelto el subsistema 1 y substituido sus valores en el subsistema 2 permite encontrar los valores de las reacciones incógnita. Una vez resuelto el subsistema 1 que da los desplazamientos, se substituye el valor de estos en el subsistema 2 que es trivial de resolver. Finalmente a partir de las reacciones, fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos se encuentran los esfuerzos en los nudos o uniones de las barras a partir de los cuales pueden conocerse los esfuerzos en cualquier punto de la estructura y por tanto sus tensiones máximas, que permiten dimensionar adecuadamente todas las secciones de la estructura. 2.2.2. Matrices de rigidez elementales Para construir la matriz de rigidez de la estructura es necesario asignar previamente a cada barra individual (elemento) una matriz de rigidez elemental. Esta matriz depende exclusivamente de:

Análisis estructural I pág. 10

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil 1. Las condiciones de enlace en sus dos extremos (barra bi-empotrada, barra empotrada-articulada, barra biarticulada). 2. Las características de la sección transversal de la barra: área, momentos de área (momentos de inercia de la sección) y las características geométricas generales como la longitud de la barra, curvatura, etc. 3. El número de grados de libertad por nodo, que depende de si se trata de problemas bidimensionales (planos) o tridimensionales. La matriz elemental relaciona las fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas aplicadas sobre la barra con los desplazamientos y giros sufridos por los extremos de la barra (lo cual a su vez determina la deformada de la barra).

2.2.3. Barra recta bidimensional de nudos rígidos: Un nudo donde se unen dos barras se llama rígido o empotrado si el ángulo formado por las dos barras después de la deformación no cambia respecto al ángulo que formaban antes de la deformación. Aun estando imposibilitado para cambiar el ángulo entre barras las dos barras en conjunto, pueden girar respecto al nodo, pero manteniendo el ángulo que forman en su extremo. En la realidad las uniones rígidas soldadas o atornilladas rígidamente se pueden tratar como nudos rígidos. Para barra unida rígidamente en sus dos extremos la matriz de rigidez elemental que representa adecuadamente su comportamiento viene dada por:

Dónde: - L, A, I, son las magnitudes geométricas (longitud, área y momento de inercia). -E la constante de elasticidad longitudinal (módulo de Young). Alternativamente la matriz de rigidez de una barra empotrada recta puede escribirse más abreviadamente, introduciendo la esbeltez mecánica característica:

Análisis estructural I pág. 11

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil

Dónde:

es la esbeltez mecánica característica.

En este caso cuando se imponen giros en el nudo articulado no se transmiten esfuerzos hacia el nudo no articulado. En ese caso la matriz de rigidez, usando la misma notación que en la sección anterior, viene dada por:

Donde se ha supuesto que el nudo articulado es el segundo. Si fuera el primero, habría que permutar los elementos de la matriz anterior para obtener:

Puesto que una barra recta de nudos articulados sólo puede transmitir esfuerzos a lo largo de su eje, la correspondiente matriz de rigidez de esa barra sólo tiene componentes diferentes para los grados de libertad longitudinales. En ese caso la matriz de rigidez, usando la misma notación que en la sección anterior, viene dada por:

Análisis estructural I pág. 12

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil

Una barra recta tridimensional tiene 6 grados de libertad por nudo (3 de traslación y 3 de orientación), como la barra tiene dos nudos la matriz de rigidez es una matriz de 12 x 12. Además, una barra tridimensional puede transmitir torsiones, y también flexión y esfuerzo cortante en dos direcciones diferentes, esa mayor complejidad de comportamiento estructural es lo que hace que una barra tridimensional requiera más grados de libertad y un matriz de rigidez más compleja para describir su comportamiento, esta matriz está compuesta de 3 submatrices:

Donde las submatrices son:

Y las magnitudes geométricas y mecánicas asociadas a la barra son: L, A; 𝑰𝒚 , 𝑰𝒛 , J son las magnitudes geométricas: longitud de la barra y su área transversal, momentos de área en las direcciones y y z y módulo de torsión, respectivamente.

Análisis estructural I pág. 13

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil E, G el módulo de elasticidad longitudinal y el módulo de elasticidad transversal.

son signos relativos. 2.2.4. Fuerzas nodales: Para cada barra se define un vector elemental de fuerzas nodales generalizadas, que sea estáticamente equivalente, a las fuerzas aplicadas sobre la barra. El tamaño del vector de fuerzas nodales depende de la dimensional de la barra:

Las componentes de este vector conforman un sistema de fuerzas y momentos de fuerza, tal que la fuerza resultante y el momento resultante de las mismas coinciden con la fuerza y momento del sistema de fuerzas original sobre la barra.

2.3.

comparación de los dos métodos:

Cuadro n°1: descripción del método de rigidez y flexibilidad Incógnitas

Ecuaciones usadas en su solución Método de las Fuerzas De compatibilidad y de flexibilidades desplazamientos de fuerzas Método de Desplazamientos De equilibrio y de rigideces desplazamiento de fuerzas

Coeficientes de las incógnitas Coeficientes de flexibilidad Coeficientes de rigidez

2.3.1. DESPLAZAMIENTO ANGULAR ѲB EN B Finalmente si el extremo B de la viga gira a su posición final ѲB mientras el extremo A se mantiene empotrado, Figura 6. Podemos relacionar el momento aplicado MBA con el desplazamiento angular ѲB y el momento reactivo en MAB en el empotramiento. El análisis es igual al visto anteriormente. Los resultados son: MAB = MBA =

2𝐸𝐼 𝐿 4𝐸𝐼 𝐿

ѲA ѲA

Aquí algunos métodos basados en la rigidez: -

Principio del trabajo virtual complementario y principio del potencial

Análisis estructural I pág. 14

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil complementario. Segundo teorema de Castigliano y teorema de Crotti-Engesser. Método general de flexibilidad basado en el segundo teorema de Engesser. Método de la compatibilidad de deformaciones en las vigas Fórmulas de los tres momentos para vigas Principio de Muller-Breslao para cargas móviles

2.3.2. RELACIÓN ENTRE MATRIZ DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD: Del método de las fuerzas: [δ] = [C][F]

………………………………………… (1)

Del método de los desplazamientos: [F] = [K][δ]

. …………………………………………….(2)

De (1): [F] = [C]-1[δ]

…………………………………………….(3)

Comparando (2) con (3): [C]-1 = [K]

y, por consiguiente: [K]-1 = [C]

O sea que la matriz de rigidez es el inverso de la matriz de flexibilidad y viceversa Otra propiedad importante surge al considerar el teorema reciproco, ya que al igualar el trabajo producido en una estructura elástica lineal por una fuerza Fi al recorrer el desplazamiento producido por otra fuerza Fj con el producido con esta última al recorrer el desplazamiento causado por la primera, se obtiene: Fi (cij Fj) = Fj (cji Fi) Y al simplificar queda: cij = cji De donde se concluye que la matriz de flexibilidad [C] es simétrica y como la matriz de rigidez [K] es su inverso se deduce que esta también es simétrica.

Análisis estructural I pág. 15

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil III.

ejemplos.

EJEMPLO N°1 Se tiene la siguiente armadura determinar los esfuerzos de cada barra con el método de flexibilidad y de rigidez.

Solución 1.1

MÉTODO DE FLEXIBILIDAD:

A.

Determinación del grado de indeterminación.

Por ser un pórtico se determina de la siguiente manera. B=2∗N−3 Donde: B: número de barras N: número de nodos

Análisis estructural I pág. 16

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil Reemplazando B = 2 ∗ 4 − 3 = 5, pero sabemos del ejercicio que la armadura tiene 6 barras por lo que se trata de una estructura indeterminada de grado 1. B.

Estructura Primaria:

Al existir una barra redundante aplicaremos el principio de superposición para obtener la estructura primaria, es decir una barra será eliminada.

Cálculo de reacciones en los apoyos. ∑ Fx = 0 → 2 + Ax = Bx … . . (1) ∑ Fy = 0 → Ay = 4 TN ∑ MA = 0 → Bx ∗ 10 = 4 ∗ 10 → Bx = 4 TN … . (2) De (1) y (2): Ax= 2 TN

Análisis estructural I pág. 17

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil C.

Hallamos la matriz constitutiva de flexibilidad

Para cada barra aplicamos la siguiente expresión: f=

L AE

Donde L: longitud de cada barra, A: área de cada sección y E es la inercia. Para este ejercicio A=E=1. 10 0 0 10 0 0 f= 0 0 0 0 (0 0 D.

0 0 10 0 0 0

0 0 0 10 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 10√2 0 0 10√2)

Matriz de reacciones en cada barra.

4 0 0 So = 2 −4√2 ( 0 )

Análisis estructural I pág. 18

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil E.

Matriz de redundante

bR =

√2/2 √2/2 √2/2 √2/2 −1 ( −1 )

Calculo de R: [R] = (bRT ∗ f ∗ bR)−1 ∗ (bRT ∗ f ∗ So) [R] = 48.444−1 ∗ (−122.632) [R] = −2.53 F.

Matriz de Esfuerzo de cada barra. [S] = [So] + [bo] ∗ [R]

2.210 −1.789 −1.789 S= 0.211 −3.127 ( 2.53 )

Análisis estructural I pág. 19

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil 1.2

METODO MATRICIAL DE RIGIDEZ

A.

Cálculo de matriz de rigidez de cada miembro Miembro

XN

YN

XF

XF

Longitud

1

0

10

0

0

10

2

0

10

10

0

14.14

3

0

10

10

10

10

4

0

0

10

0

10

5

0

0

10

10

14.14

6

10

0

10

10

10

Análisis estructural I pág. 20

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil Matriz local reducida. γX 2 AE γX γY K= L −γX 2 [−γX γY

−γX 2 −γX γY γX 2 γX γY

γX γY γY 2 −γX γY −γY 2

−γX γY −γY 2 γX γY γY ]

Donde: γX = Cos ∅x =

XF − XN XF − XN = L √(XF − XN)2 + (YF − YN)2

γY = Cos ∅Y =

YF − YN YF − YN = L √(XF − XN)2 + (YF − YN)2

Miembro 1: γX = 0, γY = −1.00 y L = 10.00 0 0 0 0.1 K=[ 0 0 0 −0.1

0 0 0 0

0 −0.1 ] 0 0.1

Miembro 2: γX = 0.7071, γY = −0.7071 y L = 14.14 0.0354 −0.0354 K=[ −0.0354 0.0354

−0.0354 0.0354 0.0354 −0.0354

−0.0354 0.0354 0.0354 −0.0354

0.0354 −0.0354 ] −0.0354 0.0354

Miembro 3: γX = 1, γY = 0 y L = 10 0.1 0 K=[ −0.1 0

0 −0.1 0 0 0 0 ] 0 0.1 0 0 0 0

0.1 0 K=[ −0.1 0

0 −0.1 0 0 0 0 ] 0 0.1 0 0 0 0

Miembro 4: γX = 1, γY = 0 y L = 10

Análisis estructural I pág. 21

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil Miembro 5: γX = 0.7071, γY = 0.7071 y L = 14.14 0.0354 0.0354 K=[ −0.0354 0.0354

0.0354 0.0354 −0.0354 −0.0354

−0.0354 −0.0354 0.0354 −0.0354

−0.0354 −0.0354 ] 0.0354 0.0354

Miembro 6: γX = 0, γY = 1 y L = 10 0 0 0 0.1 K=[ 0 0 0 −0.1

0 0 0 0

0 −0.1 ] 0 0.1

Matriz local extendida. Miembro 1: 0 0 0 0 K= 0 0 0 [0

0 0.1 0 −0.1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 −0.1 0 0 0 0 0 0 0 0.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0]

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0.0354 0 −0.0354 0 0 0 0 0 0.0354 0 −0.0354 0 0 0 0

−0.0354 0.0354 0 0 −0.0354 0.0354 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

Miembro 2: 0.0354 −0.0354 0 0 K= 0.0354 −0.0354 0 [ 0

0.0354 0.0354 0 0 −0.0354 0.0354 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0]

Miembro 3: 0.1 0 0 0 K= 0 0 −0.1 [ 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 −0.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1 0 0 0 0]

Análisis estructural I pág. 22

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil Miembro 4: 0 0 0 0 K= 0 0 0 [0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −0.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 −0.1 0 0 0.1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0]

Miembro 5: 0 0 0 0 K= 0 0 0 [0

0 0 0 0 0 0.0354 0 0.0354 0 0 0 0 0 −0.0354 0 −0.0354

0 0 0.0354 0.0354 0 0 −0.0354 −0.0354

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 −0.0354 0 −0.0354 0 0 0 0 0 0.0354 0 0.0354

0 0 −0.0354 −0.0354 0 0 0.0354 0.0354 ]

Miembro 6: 0 0 0 0 K= 0 0 0 [0 B.

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0.1 0 0 −0.1

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 −0.1 0 0 0 0 0 0.1 ]

Matriz de rigidez Global.

0.135 −0.035 −0.035 0.135 0 0 0 −0.100 K= 0.035 −0.035 −0.035 0.035 −0.100 0 [ 0 0

C.

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0.135 0.035 0 −0.100 −0.035 −0.035

0 0.035 −0.100 −0.035 0.035 0.000 0.135 0.000 0 0.135 0 −0.035 −0.035 0.000 −0.035 0.000

−0.100 0 −0.035 −0.035 0 0 0.135 0.035

−0.100 0 0 0 −0.035 −0.035 −0.035 −0.035 0 −0.100 0 0 0.135 0.035 0.035 0.135 ]

Aplicación del método de la rigidez. [

QK K ] = [ 11 QU K 21

K12 DU ][ ] K 22 DK

Análisis estructural I pág. 23

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil 2 −4 0 0 0 Q6 Q7 [ Q8] 0.135 −0.035 −0.035 0.135 0 0 0 −0.100 = 0.035 −0.035 −0.035 0.035 −0.100 0 [ 0 0

0 0 0.135 0.035 0 −0.100 −0.035 −0.035

0 0.035 −0.100 −0.035 0.035 0.000 0.135 0.000 0 0.135 0 −0.035 −0.035 0.000 −0.035 0.000

−0.100 0 −0.035 −0.035 0 0 0.135 0.035

−0.100 0 d1 0 0 d2 −0.035 −0.035 d3 −0.035 −0.035 d4 0 −0.100 d5 0 0 0 0.135 0.035 0 ] [ 0.035 0.135 0]

C.1 Cálculo de desplazamiento en los nudos. 𝐃𝐮 = [K11 ]−𝟏 QK 8.964 4.998 d1 4.998 24.133 d2 d3 = −1.036 −5.002 3.962 19.131 d4 [d5] [−1.036 4.998

−1.036 −5.002 8.964 −6.038 −1.036

3.962 −1.036 2 −2.06 19.131 4.998 −4 −86.54 1 −6.038 −1.036 0 = 17.59 𝐴𝐸 23.094 3.962 0 −68.60 [−22.06] 3.962 8.964 ] [ 0 ]

C.2 Cálculo de Reacciones. 𝐐𝐮 = [K 21 ]𝐃𝐮 Q6 −0.0354 [Q7] = 𝐴𝐸 [ −0.10 Q8 0.0354

0.0354 0 0

−0.10 −0.0354 −0.0354

0 −0.0354 −0.0354

−2.06 −4 −0.03 1 −86.54 17.59 = [ 2 ] 0 ] 𝐴𝐸 −68.60 4 −0.10 [−22.06]

C.3 Esfuerzos en los miembros. 𝐀𝐄 [−γX 𝐪= 𝐋

−γY

γX

DNX γY ] [DNY ] DFX DFY

Análisis estructural I pág. 24

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil Barra 1: AE [0 𝐪= 10

−2.06 1 −86.54 [ ] 1 0 −1] 𝐴𝐸 17.59 −68.60 𝐪 = 𝟏. 𝟕𝟗

Barra 2: AE [−0.7071 𝐪= 14

0.7071

0.7071

−2.06 1 −86.54 [ ] −0.7071] 0 𝐴𝐸 −22.07

𝐪 = −𝟑. 𝟏𝟐 Barra 3: AE [−1 0 𝐪= 10

−2.06 1 −86.54 [ ] 1 0] 0 𝐴𝐸 0

𝐪 = 𝟎. 𝟐𝟏 Barra 4: AE [−1 0 𝐪= 10

17.94 1 −68.60 [ ] 1 0] 𝐴𝐸 0.00 −22.06

𝐪 = −𝟏. 𝟕𝟗 Barra 5: AE [−0.7071 𝐪= 14

−0.7071

0.7071

17.94 1 −68.60 [ ] 0.7071] 𝐴𝐸 0.00 0

𝐪 = 𝟐. 𝟓𝟑

Análisis estructural I pág. 25

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil Barra 6: AE [0 𝐪= 10

0 1 −22.06 [ ] −1 0 1] 0 𝐴𝐸 0 𝐪 = 𝟐. 𝟐𝟏

Entonces: 𝟏. 𝟕𝟗 −𝟑. 𝟏𝟐 𝟎. 𝟐𝟏 𝐪= −𝟏. 𝟕𝟗 𝟐. 𝟓𝟑 [ 𝟐. 𝟐𝟏 ] Al comparar los resultados obtenidos en cada método los esfuerzos son iguales.

EJEMPLO N°2 Aplicar el método matricial de rigidez al pórtico propuesto cuyas columnas y vigas tienen una sección transversal de 40 cm * 40 cm y un E = 2E7 kN/m

Análisis estructural I pág. 26

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil solución 1. Numeración de cada elemento, nudo y sentido de los elementos.

2. enumeración de los grados de libertad, color rojo son los restringidos.

Análisis estructural I pág. 27

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil 3. Cálculo de matrices elementales. Ki : elemento 1

elemento 2.

Análisis estructural I pág. 28

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil

elemento 3.

elemento 4:

Análisis estructural I pág. 29

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil

4. Calculo de la matriz total de la estructura. K.

4.

Calculo de los vectores de cargas y desplazamientos.

VECTOR DE CARGAS NODALES

VECTOR DE CARGAS EN LAS luces

Análisis estructural I pág. 30

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil

Para el cálculo del vector de cargas en las luces se debe aplicar los momentos de empotramiento y reacciones de acuerdo al tipo de carga que se tenga en laestructura así:

Análisis estructural I pág. 31

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil

Calculo de cada elemento con su respectiva carga distribuida.

Análisis estructural I pág. 32

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil VECTOR {P} = [F]-{R} VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS

6. Planteamiento general del sistema de ecuaciones. {P} = [k] *{U}

Ecuacion.1 : Cálculo de los desplazamientos. {P0} = [K0]*{U0} + [K1]*{U1} Como U1 es cero por lo tanto.

{P0}= [K0]*{U0}

{P0}*[K0INV] = {U0}

ecuacion 2 Calculo de las reacciones. {P1} = [K2]*{U0} *[K3]*{U1}

Análisis estructural I pág. 33

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil Como U0 es cero por lo tanto : {P1} = [K2]*{U0}

7. Dibujo de las reacciones

:

Análisis estructural I pág. 34

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil EJEMPLO N°3 Determinar las reacciones en los apoyos de la viga que se muestra a continuación. 𝐸𝐼 es constante.

solución 1.La viga tiene dos elementos y tres nodos, que se identifican en la siguiente figura. Los números de código del 1 al 6 se indican que los números de forma más bajos 1-4 identifican los grados de libertad no restringidos. Las matrices de la carga 𝑸𝒌 y el desplazamiento 𝑫𝒌 conocidos son:

0 1 −5 𝑸𝒌 = [ ] 2 0 3 0 4

𝟎 𝟓 𝑫𝒌= [ ] 𝟎 𝟔

Análisis estructural I pág. 35

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil 2.Matrices de rigidez de elementos Cada una de las dos matrices de rigidez de los elementos se determina a partir de la ecuación siguiente:

𝑁𝑦 ′ 𝑁𝑥′ 𝐹𝑦′ 𝐹𝑥′ 𝟏𝟐𝑬𝑰 𝟔𝑬𝑰 𝟏𝟐𝑬𝑰 𝟔𝑬𝑰 − 𝑳³ 𝑳³ 𝑳² 𝑳² 𝟔𝑬𝑰 𝟒𝑬𝑰 𝟔𝑬𝑰 𝟐𝑬𝑰 𝒅𝑵𝒚′ 𝒒𝑵𝒚′ − 𝒒 𝒅𝑵𝒛′ 𝑳 𝑳² 𝑳² 𝑳 [ 𝒒𝑵𝒛′ ] = 𝟏𝟐𝑬𝑰 𝟔𝑬𝑰 𝟏𝟐𝑬𝑰 𝟔𝑬𝑰 𝒅𝑭𝒚′ 𝑭𝒚′ − − − 𝒒𝑭𝒛′ 𝑳³ 𝑳² 𝑳³ 𝑳² [ 𝒅𝑭𝒛′ ] 𝟔𝑬𝑰 𝟐𝑬𝑰 𝟔𝑬𝑰 𝟒𝑬𝑰 − [ 𝑳² 𝑳 𝑳 ] 𝑳²

Estas ecuaciones también pueden escribirse de manera abreviada como: 𝒒 = 𝑲𝒅 Y se establecen los números de código para cada columna y fila.

6 4 5 3 𝟏. 𝟓 𝟏. 𝟓 −𝟏. 𝟓 𝟏. 𝟓 𝟔 𝒌𝟏 = 𝑬𝑰 [ 𝟏. 𝟓 𝟐 −𝟏. 𝟓 𝟏 ] 𝟒 −𝟏. 𝟓−𝟏. 𝟓 𝟏. 𝟓 −𝟏. 𝟓 𝟓 𝟏. 𝟓 𝟏 −𝟏. 𝟓 𝟐 𝟑

5 3 2 1 𝟏. 𝟓 𝟏. 𝟓 −𝟏. 𝟓 𝟏. 𝟓 𝟓 𝒌𝟐 = 𝑬𝑰 [ 𝟏. 𝟓 𝟐 −𝟏. 𝟓 𝟏 ] 𝟑 −𝟏. 𝟓 −𝟏. 𝟓 𝟏. 𝟓 −𝟏. 𝟓 𝟐 𝟏. 𝟓 𝟏 −𝟏. 𝟓 𝟐 𝟏 3.Desplazamientos y cargas Ahora es posible ensamblar estos elementos en la matriz de rigidez de la estructura. Por ejemplo, el elemento 𝒌𝟏𝟏 = 𝟎 + 𝟐 = 𝟐, 𝒌𝟓𝟓 = 𝟏. 𝟓 + 𝟏. 𝟓 = 𝟑, 𝒆𝒕𝒄𝒆𝒕𝒆𝒓𝒂. Por lo tanto, 𝑸 = 𝑲𝑫

Análisis estructural I pág. 36

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil 1 2 3 4 5 𝑫 𝟎 𝟏 𝟐 −𝟏. 𝟓 𝟏 𝟎 𝟏. 𝟓 𝟎 𝑫 −𝟓 𝟐 −𝟏. 𝟓 𝟏. 𝟓 −𝟏. 𝟓 𝟎 −𝟏. 𝟓 𝟎 𝟎 𝑫𝟑 𝟏. 𝟓 𝟏 𝟏 𝟒 𝟎 −𝟏. 𝟓 𝟎 = 𝟎 𝟐 −𝟏. 𝟓 𝟏. 𝟓 𝑫𝟒 𝟏 𝟎 𝑸𝟓 𝟏. 𝟓 −𝟏. 𝟓 𝟎 −𝟏. 𝟓 𝟑 −𝟏. 𝟓 𝟎 [ 𝑸𝟔 ] [ 𝟎 𝟎 𝟏. 𝟓 𝟏. 𝟓 −𝟏. 𝟓 𝟏. 𝟓 ] [ 𝟎 ]

6

Las matrices se parten de la manera que se muestra. Si se realiza la multiplicación para las primeras cuatro filas, se tiene. 0 = 2𝑫𝟏 − 𝟏. 𝟓𝑫𝟐 + 𝑫𝟑 + 𝟎 −

𝟓 = −𝟏. 𝟓𝑫𝟏 + 𝟏. 𝟓𝑫𝟐 − 𝟏. 𝟓𝑫𝟑 + 𝟎 𝑬𝑰 𝟎 = 𝑫𝟏 − 𝟏. 𝟓𝑫𝟐 + 𝟒𝑫𝟑 + 𝑫𝟒 𝟎 = 𝟎 + 𝟎 + 𝑫𝟑 + 𝟐𝑫𝟒

Resolviendo, 𝟏𝟔. 𝟔𝟕 𝑬𝑰 𝟐𝟔. 𝟔𝟕 𝑫𝟐 = − 𝑬𝑰 𝟔. 𝟔𝟕 𝑫𝟑 = − 𝑬𝑰 𝟑. 𝟑𝟑 𝑫𝟒 = 𝑬𝑰 𝑫𝟏 = −

Con base en estos resultados y al multiplicar las dos últimas filas, resulta 𝑸𝟓 = 1.5𝐸𝐼 (−

𝟏𝟔. 𝟔𝟕 𝟐𝟔. 𝟔𝟕 𝟑. 𝟑𝟑 ) − 𝟏. 𝟓𝑬𝑰 (− ) + 𝟎 − 𝟏. 𝟓𝑬𝑰 ( ) = 𝟏𝟎𝒌𝑵 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝑬𝑰

𝑸𝟔 = 0 + 0 + 𝟏. 𝟓𝑬𝑰 (−

𝟔. 𝟔𝟕 𝟑. 𝟑𝟑 ) + 𝟏. 𝟓𝑬𝑰 ( ) = −𝟓𝒌𝑵 𝑬𝑰 𝑬𝑰

Análisis estructural I pág. 37

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil EJEMPLO N°4 Determinar las reacciones en los soportes y la fuerza en el elemento 2 de la armadura que se muestra en la figura AE es constante:

solución 1.se enumera las juntas y los elementos numerados y se establece el origen de los ejes x, y en 1 además las flechas se usan para hacer referencia a los puntos cercanos y lejanos de cada elemento. Si se emplean los números de código donde los números más bajos indican los grados de libertad n o restringidos en figura:

0 1 0 6 0 2 𝐷𝑘 = [0] 7 𝑄𝑘 = 2 3 −4 4 0 8 [ 0 ]5 Análisis estructural I pág. 38

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil 2.La estructura de la matriz de rigidez esta matriz se determinó ejemplo con la misma notación que en la figura 14-10b Aunque la armadura es estáticamente indeterminada de primer grado, esto no representa ninguna dificultad para la obtención de la matriz de la estructura. Cada junta y cada elemento se identifican numéricamente en forma arbitraria y los extremos cercanos y lejano se indican mediante flechas a lo largo de los elementos. como se muestra en la figura los desplazamientos no restringidos se modifica teóricamente: Elemento 1 Aquí l=10pies de modo que: 𝓀𝑥 =

10 − 0 0−0 = 1𝓀𝑦 = =0 10 10

0.1 𝑘1 = 𝐴𝐸 [ 0 −0.1 0

0 −0.1 0 0 0 0] 0 0.1 0 0 0 0

Elemento 2 Aquí l=10√2pies de modo que: 𝓀𝑥 =

10 − 0 10√2

= 0.707𝓀𝑦 =

10 − 0 10√2

= 0.707

2 0.035 −0.035 0.035 −0.035 𝑘2 = 𝐴𝐸 [ 0.035 −0.035 −0.035 0.035 −0.035 −0.035 0.035

−0.035 −0.035] 0.035 0.035

Elemento 3 Aquí l=10pies de modo que: 𝓀𝑥 =

0−0 10 − 0 = 0𝓀𝑦 = =1 10 10

1 0 0 0.1 𝑘3 = 𝐴𝐸 [ 0 0 0 −0.1

0 0 0 0

0 −0.1] 0 0.1

Elemento 4 Aquí l=10pies de modo que: 𝓀𝑥 =

10 − 0 10 − 10 = 1𝓀𝑦 = =0 10 10

0.1 𝑘4 = 𝐴𝐸 [ 0 −0.1 0

0 −0.1 0 0 0 0] 0 0.1 0 0 0 0

Análisis estructural I pág. 39

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil Elemento 5 Aquí l=10√2pies de modo que: 𝓀𝑥 =

10 − 0 10√2

= 0.707𝓀𝑦 =

0 − 10 10√2

= −0.707

0.035 −0.035 −0.035 −0.035 0.035 0.035 𝑘5 = 𝐴𝐸 [ −0.035 0.035 0.035 0.035 −0.035 −0.035

0.035 −0.035] −0.035 0.035

Elemento 6 Aquí l=10pies de modo que: 𝓀𝑥 =

10 − 10 10 − 0 = 0𝓀𝑦 = =1 10 10

0 0 𝑘6 = 𝐴𝐸 [0 0.1 0 0 0 −0.1

0 0 0 0

0 −0.1] 0 0.1

matriz de rigidez de estructura. Ahora las seis matrices anteriores pueden ensamblarse en la matriz de 8x8 al sumar algebraicamente sus elementos. por ejemplo, puesto que (𝑘11 )1 = 𝐴𝐸(0.1). (𝑘11 )2= 𝐴𝐸(0.035). (𝑘11 )3 = (𝑘11 )4 = (𝑘11 )5 = (𝑘11 )6 = 0, entonces , 𝐾1 = 𝐴𝐸(0.1 + 0.035) = 𝐴𝐸(0.135) ,y así sucesivamente .por lo tanto , resultado final es:

0.135 0.135 0 0 𝑘 = 𝐴𝐸 0 −0.1 −0.035 [−0.035

0.035 0.135 0 −0.1 0 0 −0.035 −0.035

0 0 0.135 −0.035 0.035 −0.035 −0.1 0

0 −0.1 −0.035 0.135 −0.035 0.035 0 0

0 −0.1 −0.035 0 0 −0.035 0.035 −0.035 −0.1 −0.035 0.035 0 0.135 −0.035 0 0 −0.035 0.135 0.135 0 0 0.035 −0.1 0

−0.035 −0.135 0 0 −0.1 0 0.035 0.135 ]

Desplazamientos y cargas: para este problema:𝑄 = 𝐾𝐷 es: 0 0.135 0 0.135 2 0 −4 0 0 = 𝐴𝐸 0 𝑄6 −0.1 𝑄7 −0.035 [−0.035 [ 𝑄8 ]

0.035 0.135 0 −0.1 0 0 −0.035 −0.035

0 0 0.135 −0.035 0.035 −0.035 −0.1 0

0 −0.1 −0.035 0.135 −0.035 0.035 0 0

0 −0.1 −0.035 0 0 −0.035 0.035 −0.035 −0.1 −0.035 0.035 0 0.135 −0.035 0 0 −0.035 0.135 0.135 0 0 0.035 −0.1 0

−0.035 −0.135 0 0 −0.1 0 0.035 0.135 ]

Si se multiplica de modo que pueda formularse en la ecuación del desplazamiento desconocido, se obtiene:

Análisis estructural I pág. 40

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil 𝐷1 0 0 0 0 0.135 0.035 0 𝐷 0 0 2 0 0 0.035 0.135 0 2 = 𝐴𝐸 0 0 0.135 0.135 0.035 𝐷3 + 0 −4 0 0 −0.1 −0.035 −0.035 −0.035 𝐷4 [0] [ [ 0 ] 0] 0 0.035 0.035 0.135 [𝐷5 ] Al expandir estas ecuaciones y despejar los desplazamientos resulta: 𝐷1 17.94 𝐷2 −69.20 1 𝐷3 = −2.06 𝐴𝐸 𝐷4 −87.14 [−22.06] [𝐷5 ] si se desarrolla ecuación a partir de la ecuación (1) empleado los resultados calculados se tiene: 𝑄6 −0.1 [𝑄7 ] = 𝐴𝐸 [−0.035 𝑄8 −0.035

0 −0.035 −0.035

17.94 0 −0.035 0.035 −0.035 1 −69.20 −20.06 + [0] −0.1 0 0 ] 𝐴𝐸 −87.14 0 0 0 −0.1 [−22.06]

Al expandir y calcular las reacciones de los soportes se obtiene: 𝑄6 = −4.0𝐾 𝑄7 = 2.0𝐾 𝑄8 = 4.0𝐾 el signo indica 𝑄6 indica que la reacción en el soporte . la fuerce en el elemento 2 se encuentra a partir de la ecuación: 𝒽𝑥 = 0.707 𝒽𝑦 = 0.707 𝐿 = 2√2 𝐴𝐸

Entonces:𝑞2 = 10√2 [−0.707

−0.707

0.707

17.94 −69.20 0.707] 𝐴𝐸 [ 0 ] 0 1

𝑞2 = 2.56

Análisis estructural I pág. 41

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil IV.

CONCLUCIONES Y RECOMENDACIONES: Se determinó que con ambos métodos se hace más fácil calcular las estructuras hiperestáticas.  El método de la rigidez como incógnita a las fuerzas redundantes.  Por su parte el método de las fuerzas tiene como incógnitas a los desplazamientos.  La matriz de rigidez es el inverso de la matriz de flexibilidad y viceversa.  Ambos métodos van usar el principio de superposición y el uso de coordenadas globales y locales.  Se recomienda tener mucho cuidado en los cálculos para lograr un exacto cálculo de las reacciones u otra cuestión en resolver. 

V.

BIBLIOGRAFIA:

   

HIBBILER.ANALISIS ESTRUCTURAL-8TA.EDICION GENNER VILLAREAL-ANALSIS ESTRUCTURAL GONZALES CUEVAS-ANALISIS ESTRUCTURAL 1 WWW.CIVILGEEKS.COM

Análisis estructural I pág. 42

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil VI.

ANEXOS:

Análisis estructural I pág. 43

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil

Análisis estructural I pág. 44

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil

Análisis estructural I pág. 45