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• Pedro Sebastian

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¿QUÉ ES LA COMBINATORIA? La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número. Principio fundamental de conteo: Si tenemos dos conjuntos de k y n elementos, respectivamente, y queremos escoger dos elementos de modo que uno sea del primero y el otro del segundo, esto lo podemos hacer de k.n maneras (Principio de multiplicación). 1) En un restaurante ofrecen un menú del día formado por cinco entradas, cuatro platos principales y cuatro postres. ¿Cuántos menús diferentes podrá servir el restaurante? R = 80 2) Las placas de los coches de Argentina están formadas por dos letras, seguidas de tres números, a su vez, seguidas de otras dos letras. Considere 26 letras ¿Cuántas placas diferentes se podrán hacer? 3) Un salón tiene seis puertas. ¿De cuántas formas son posibles entrar en ella por una puerta y salir por otra diferente? R = 30 2) R = 262.103.262 = 456.976.000 4) Una persona que desea comer en un restaurante tiene para elegir 4 entradas, 3 platos principales y 5 postres diferentes. ¿Cuántos menús diferentes puedes elegir? R = 60 5) En una tienda hay cinco modelos de camisa y tres de pantalón ¿Cuántos conjuntos distintos de pantalón y camisa podemos comprar? R = 15 6) Un árbol tiene 30 ramas. Si de cada una de ellas salen 12 brotes y de cada brote crecen 5 hojas, ¿Cuál es el número total de hojas del árbol? 7) En la tienda del problema 5 hay también cuatro modelos distintos de zapatos ¿De cuántas maneras podemos escoger un conjunto de camisa, pantalón y zapatos? R = 60 8) Las ciudades A, B, y C están conectadas según se muestra: hay seis caminos de A a B y cuatro de B a C ¿De cuántas maneras podemos ir de A a C? R = 24

9) Una costurera tiene tres botones, cinco agujas y ocho tipos de hilo ¿De cuántas maneras puede escoger un objeto de cada tipo? R = 120 10) Dos viajeros llegan a una ciudad en la que hay 3 hoteles ¿De cuántas maneras pueden hospedarse si cada uno debe estar en un hotel diferente? R = 6 11) Hay 10 aviones que vuelan entre las ciudades de Buenos Aires y Rosario ¿De cuántas maneras puede ir una persona de Buenos Aires a Rosario y regresar en un avión diferente? R = 90 12) Si se lanza un dado legal 4 veces ¿Cuántos resultados puede haber? R = 6 4 = 1296 13) Víctor desea viajar de Buenos Aires a Bahía Blanca y tiene a su disposición 3 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuantas maneras diferentes puede realizar el viaje? R = 15 14) Existen 3 caminos para ir de las ciudad X a la ciudad Y, y 2 caminos para ir de la ciudad Y a la ciudad Z. ¿Cuántas rutas distintas puede realizar una persona para ir desde X a Z? R= 6 rutas Principio de Suma. Si una situación puede ocurrir de k maneras distintas y una segunda situación excluyente de la primera puede ocurrir de n maneras, entonces existen k + n maneras en las cuales puede ocurrir la primera o la segunda situación. 1) Si además de las ciudades A, B y C del problema 7 tenemos una cuarta ciudad D conectada con las anteriores de la manera se indica ¿De cuántas maneras podemos ahora viajar de A a C? R = 30

2) Una persona visita dos tiendas con intención de comprar un pantalón. En la primera tienda hay seis modelos diferentes y para cada uno hay tres colores. En la segunda hay diez modelos y cuatro colores para cada modelo ¿Entre cuantos pantalones tiene que escoger la persona? R = 58 3) En una tienda hay cinco modelos de pantalón, ocho de camisa y cuatro de zapatos ¿Cuántas maneras hay de comprar dos objetos con nombres distintos? (Pantalón-camisa, camisa-zapatos y p-zapatos) R = 92 4) ¿Cuántos números de a lo sumo tres cifras se pueden formar con los dígitos 3, 4, 7 y 8? R = 84 Conteo: Permutaciones-Variaciones-Combinaciones

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Permutaciones: Las permutaciones o, también llamadas, ordenaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que: • Influye el orden en que se colocan. • Tomamos todos los elementos de que se disponen. • Serán Permutaciones SIN repetición cuando todos los elementos de que disponemos son distintos. • Serán Permutaciones CON repetición si disponemos de elementos repetidos. (Ese es el nº de veces que se repite elemento en cuestión). Permutaciones SIN repetición: Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos. El número de estas permutaciones será:

Pn=n !

1) ¿De cuántas maneras podemos colocar cuatro esferas de distintos colores en fila? R = 24 2) ¿Cuántas palabras, con o sin sentido, pueden obtenerse usando todas las letras de la palabra PRENSA? R = 720 3) Con las letras de la palabra LATÍN, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por A? R = 24 4) Con los dígitos pares, ¿cuántos números de cuatro cifras se pueden formar sin que se repita ninguno? 5) a) Con las letras de la palabra PERMUTACIÓN, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer? b) ¿Cuántas empiezan por P? R = 3.628.800 a) 39.916.800 c) ¿Cuántas empiezan por PER? R = 40.320 6) En el banquete de una boda se sientan en la mesa principal 10 personas, incluidos los novios. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar con la condición de que los novios no se separen? R = 2. 9! 7) Los 11 jugadores de un equipo de fútbol se alinean para las fotografías. a) ¿De cuántas formas diferentes podrán alinearse? R = 11! b) ¿De cuántas formas diferentes podrán alinearse si el capitán siempre ha de ocupar la primera posición por la izquierda? R = 10! = 3.628.800 c) ¿De cuántas formas diferentes podrán alinearse si el capitán y el portero siempre han de ocupar la primera y la segunda posición, respectivamente? R = 9! = 362.880 8) a) Con las cifras 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, ¿cuántos números de siete cifras distintas se pueden hacer? b) ¿Cuántos serán múltiplos de 2? R = 4!x 2 = 48 a) R = 7! = 5.040 9) De 18 vestidos que hay en una tienda se eligen 6. ¿De cuántas maneras distintas pueden ser elegidos? Permutaciones CON repetición: Llamamos a las permutaciones con repetición de n elementos tomados de a en a, de b en b, de c en c, etc., cuando en los n elementos existen elementos repetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces, otro c veces, etc.) verificándose que a + b + c +... = n. El número de estas permutaciones será:

PR an ,b , c =

n! a!b!c!

1) Con las letras de la palabra SOLIDARIDAD, ¿cuántas ordenaciones diferentes se pueden formar? 2) En una jaula hay siete conejos grises y cinco blancos, siendo indistinguibles entre sí los de cada color. Si salen de la jaula de uno en uno, ¿de cuántas formas diferentes lo podrán hacer? R = 792 3) ¿Cuántos números de nueve cifras se pueden escribir con las cifras 1, 2, 4 y 6, sabiendo que el 2 se repite tres veces y el 6 se repite 4 veces? R = 2.520 números. a) R = 1.663.200 4) Doce montañeros deciden acampar, para lo cual disponen de tres tiendas de campaña de diferentes capacidades. En una pueden dormir siete personas; en otra, tres personas, y en otra, dos. ¿De cuántas formas diferentes se pueden organizar para dormir en las tres tiendas? Evidentemente habrá repetición y el orden importa. R = 7920 formas diferentes.

5) Los 11 interruptores de un cuadro eléctrico pueden estar en dos posiciones: ON y OFF. ¿De cuántas formas diferentes podrán estar los interruptores sabiendo que exactamente cuatro de ellos están en la posición OFF? Hay que distribuir dos elementos, ON y OFF, en 11 lugares, teniendo en cuenta que OFF debe aparecer 4 veces, y ON, 7 R = 330 formas diferentes. 6) ¿Cuántos números mayores que un millón existen que contengan exactamente los dígitos 0, 2, 2, 3, 3, 3, 4? Primero calculamos cuántos números diferentes contienen las cifras del enunciado. R = 420 números diferentes. Los números que comienzan por la cifra 0 son menores que un millón; por tanto, no se deben considerar. Los números que comienzan por 0 son: 420: 7 = 60. Por tanto, hay 420 – 60 = 360 números diferentes

Conteo: Permutaciones-Variaciones-Combinaciones

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7) ¿Cuántos números de siete cifras pueden formarse con los dígitos del número 7710222? R = 420 números diferentes. Hay que restar los números que empiezan por 0, ya que no se consideran de siete cifras. Por tanto, se pueden formar: 420 – 60 = 360 números diferentes de siete cifras.

8) Variaciones: Las variaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que: • Influye el orden en que se colocan. • Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.

Variaciones SIN repetición: Las variaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden. Se puede calcular mediante la fórmula: p

V n=

n! ( n−p ) !

1) En una liga de fútbol participan 18 equipos. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ocupar los tres primeros puestos de la clasificación? V18, 3 = 4896 2) a) A la final de un concurso de poesía han llegado 10 alumnos. ¿De cuántas formas diferentes se pueden asignar el primero y el segundo premios? 90 b) ¿Y si hubiera un tercer premio? 720 3) Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7: a) ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar? 210 b) ¿Cuántos de estos números son múltiplos de 2? 90 c) ¿Cuántos son mayores que 400? 120 4) Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9: a) ¿Cuántos números diferentes de dos cifras, repetidas o no, se pueden formar? 81 b) ¿Y de tres cifras? 729 5) ¿De cuántas formas pueden combinarse los siete colores del arco iris agrupándolos de tres en tres? Influye el orden, no intervienen todos. 210 6) ¿Cuántas banderas diferentes, de tres franjas horizontales de igual ancho y de colores distintos, pueden confeccionarse a partir de siete colores diferentes? R = 210 7) ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal? R = 504 8) ¿Cuántos números de dos cifras distintas se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4 y 5? R = 25 Variaciones CON repetición: Las variaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden. El número de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:

VR np=n p 1) ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con los dígitos 1 y 2? R = 8 2) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal? Al tratarse de números el orden importa y además no dice nada sobre "cifras distintas" R= 729 3) ¿Cuántas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando sólo las letras a, b? R: 1024 4) Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9: a) ¿Cuántos números diferentes de dos cifras, repetidas o no, se pueden formar? R = 81 b) ¿Y de tres cifras? R = 729 5) Con las letras a, b, c, d y e: a) ¿Cuántas palabras distintas de 3 letras, tengan sentido o no, se pueden formar? Puede haber letras repetidas. R = 53 = 125 b) ¿Cuántas de ellas empiezan por vocal? R = 2. 52 = 50 6) Con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9: a) ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar? R = 10 4 – 1. 103 = 9.000 números b) ¿Cuántos números serán múltiplo de 5? Los múltiplos de 5 son de la forma abc5 y abc0. En los dos casos se trata de: VR103 = 103 = 1000, Pero habrá que restar los números de la forma 0ab0 y 0ab5, ya que no se consideran números de 4 cifras. En ambos casos se trata de VR102 = 102 = 100, R = 2.(1000 – 900) = 1800

Conteo: Permutaciones-Variaciones-Combinaciones

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c) ¿Cuántos números serán múltiplo de 10? Los múltiplos de 10 son de la forma abc0. Teniendo en cuenta que hay que restar los de la forma 0bc0, R = VR103 – VR102 = 1000 – 100 = 900 7) a) ¿Cuántos números capicúas hay de cinco cifras? Los números capicúas de cinco cifras son de la forma abcba Como las cifras cuarta y quinta vienen en función de la primera y segunda, el número de capicúas de cinco cifras coincide con el de números de tres cifras. Con las 10 cifras significativas se pueden formar VR 103 = 1000 Pero hay que restar los que empiezan por 0, ya que no son números de 3 cifras. Estos son: VR102 = 100 Por lo tanto la respuesta es: R = 1000 – 100 = 900 b) ¿Y de seis cifras? R = 900

Combinaciones: Son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que: • NO influye el orden en que se colocan. • Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación. Combinaciones SIN repetición: Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos). Se calcula mediante:

n! Cnp = n = p ( n−p ) ! p !

()

1) Un alumno decide rendir tres de los cinco exámenes finales ¿De cuántas maneras distintas puede elegir esas tres pruebas? R = 10 2) De un grupo de veinte estudiantes queremos escoger dos para participar en una competencia ¿De cuántas maneras podemos hacerlo? R = 190 maneras 3) De un grupo de veinticinco libros queremos escoger tres para leer durante las vacaciones ¿De cuántas maneras podemos hacer esto? R = 2.300 4) En una clase de 30 alumnos se quiere elegir una comisión formada por cinco personas. ¿De cuántas formas distintas se podrá hacer? R = 142.506 formas diferentes. 5) Cuatro amigos deciden organizar un torneo de tenis. En la primera fase se han de enfrentar de todas las formas posibles. ¿Cuántos partidos se deberían organizar? R = 6 partidos 6) Una marca de helados ofrece a sus clientes 20 sabores distintos. Si un cliente quiere que le preparen una copa con tres sabores diferentes ¿cuántas copas de helado distintas le pueden ofrecer? R = 1.140 7) En un casting para elegir cuatro cantantes se presentan 18 personas. ¿De cuántas formas se podrá efectuar la elección de los cantantes? R = 3.060 formas diferentes. 8) Para ganar el LOTO hay que acertar seis números del 0 al 41 ¿De cuántas formas diferentes una persona puede jugar al loto? R = 5.245.786 9) Un estudiante tiene que contestar ocho de diez preguntas de un examen:

R= 7 =21 5

()

a) ¿Cuántas formas diferentes tiene de contestar? R = 45 b)

b) ¿Cuántas formas diferentes tiene de contestar si las tres primeras preguntas son obligatorias? c) ¿Cuántas formas diferentes tiene de contestar si de las cinco primeras preguntas ha de contestar a cuatro?

R= 5 5 + 5 5 =1 x 10+5 x 5=10+25=35 5 3 4 4

( )( ) ( )( )

10) ¿Cuántas combinaciones de 6 aciertos existen en el QUINI donde se pueden elegir 46 números? 11) Al unir siete vértices de un octógono obtenemos un heptágono. ¿Cuántos heptágonos distintos podemos obtener? R = 8 heptágonos diferentes. 12) A la hora de hacer la maleta, María tiene que escoger cuatro camisetas de entre nueve y tres pantalones de entre seis. ¿Cuántas composiciones diferentes podrá efectuar?

R= 9 6 =2.520 4 3

( )( )

13) De un total de cinco franceses y siete ingleses se forma un comité con dos franceses y tres ingleses. ¿De cuántas formas se pueden agrupar en los siguientes casos? a) Puede pertenecer al comité cualquier francés o inglés.

R= 5 7 =10 x 35=350 2 3

( )( )

Conteo: Permutaciones-Variaciones-Combinaciones

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b) Un inglés determinado debe pertenecer al comité.

R= 5 6 =10 x 15=150 2 2

( )( )

c) Dos franceses determinados no pueden estar en el comité.

R= 3 7 =3 x 35=105 2 3

( )( )

14) ¿De cuántas maneras pueden ubicarse 9 estudiantes en 3 habitaciones donde caben 3 estudiantes en cada una?

R= 9 6 3 =1680 3 3 3

( )( )( )

15) ¿Cuántas palabras que contengan 3 consonantes y 2 vocales pueden formarse con 6 consonantes y 4

R= 6 5 4 4 3 =14.400 3 3 3 2 2

( )( )( )( )( )

vocales?

16) Un estudiante tiene 6 libros y otro tiene 9 ¿De cuántas maneras pueden intercambiar 3 libros? R = 1.120 17) En una reunión hay 16 estudiantes y 4 profesores a) ¿Cuántas comisiones de 5 personas cada una pueden formarse si en cada una de ellas deben

R= 16 4 =3.360 3 2

( )( )

participar 2 profesores?

b) ¿Cuántas comisiones de 5 personas cada una pueden formarse si en cada una de ellas participan a lo

R= 16 4 + 16 4 =7280+ 3.360=10.640 4 1 3 2

( )( ) ( )( )

más 2 profesores?

18) De los 22 jugadores convocados por el seleccionador nacional de fútbol, 3 son porteros, 7 son defensas, 6 son centrocampistas y 6 son delanteros. ¿Cuántas alineaciones diferentes puede hacer si quiere que haya 4 defensas, 4 centrocampistas y 2 delanteros?

R= 3 7 6 6 =3.35 .15 .15=23.625 1 4 4 2

( )( )( )( )

19) ¿De cuántas maneras pueden ubicarse 9 estudiantes en 3 habitaciones donde entran 3 estudiantes en cada una? R = 1.680 Combinaciones CON repetición: Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos). La fórmula de cálculo es:

( n+ p−1 ) ! p CR n = n+ p−1 = p ( n−1 ) ! p !

(

)

1) En un restaurante de comida rápida se puede elegir entre hamburguesa con queso, sándwich vegetal, sándwich mixto y panchos. ¿Cuántos pedidos diferentes pueden hacer un grupo de 6 amigos? El orden no influye. Si se piden en primer lugar 4 sándwiches vegetales y después 2 panchos es igual que si se han pedido en primer lugar 2 panchos y en segundo lugar 4 sándwiches. Hay repetición, ya que el pedido puede estar formado solo por un producto. Se trata de combinaciones con repetición de 4 elementos tomados de 6 en 6

CR64= 4+6−1 = 9 =84 6 6

(

)()

pedidos diferentes

2) Si 4 amigos quieren ir al cine y al teatro, ¿de cuántas formas se pueden distribuir 6 entradas de cine y 7 de teatro, de tal modo que cada uno reciba al menos una entrada de teatro? Cada amigo recibe una entrada de teatro. El resto se reparte entre los cuatro amigos, pudiendo recibir uno las tres entradas; por tanto, las entradas de teatro se pueden distribuir de:

3 CR 4= 4+3−1 = 6 =20 3 3

Conteo: Permutaciones-Variaciones-Combinaciones

(

) ()

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Las entradas de cine se pueden distribuir de:

CR 64= 4+6−1 = 9 =84 6 6

(

)()

Los seis amigos pueden repartirse las entradas de 20 x 84 = 1680 formas diferentes.

3) Una frutería hace centros de frutas compuestos por peras, mangos y plátanos. Si en cada centro se ponen 12 piezas de fruta, ¿cuántos centros diferentes pueden hacerse? En cada centro tiene que haber las tres clases de fruta; por tanto, una pera, un mango y un plátano tienen que ser fijos. Nos quedan por distribuir nueve piezas, que tenemos que elegir entre las tres que tenemos sin influir el orden; por tanto, se pueden hacer:

CR93= 3+9−1 = 11 =55 9 9

(

)( )

4) En una pizzería ofrecen cinco ingredientes diferentes para añadir a la base de mozzarella. Si la oferta del momento es elegir dos ingredientes, ¿cuántas pizzas diferentes se pueden elaborar? 2 CR5= 6 =15 2

()

5) ¿De cuántas formas pueden distribuirse 7 bolas blancas en 5 urnas idénticas? ¿Y 5 bolas blancas en 7 urnas idénticas?

CR 75= 11 =330 distribuciones 7

( )

CR 57= 11 =462 distribuciones 5

( )

6) ¿De cuántas maneras se pueden distribuir 10 sacos de arroz y 8 de lentejas entre seis campamentos de refugiados de tal manera que cada uno reciba al menos un saco de arroz y otro de lentejas? Formas de distribuir los sacos de arroz: Como cada campamento debe recibir al menos un saco de arroz, hay que distribuir los 4 restantes entre los 6 campamentos; por tanto, el arroz puede distribuirse de:

CR 46= 9 =126 4

()

Formas de distribuir los sacos de lentejas: Como cada campamento debe recibir al menos un saco de lentejas, hay que distribuir los 2 restantes entre los 6 campamentos; por tanto, las lentejas pueden distribuirse de: 2 CR 6= 7 =21 2

()

Aplicando el principio de multiplicación, hay 126 x 21 = 2646 formas de distribuir los alimentos.

7) En una bodega hay 12 botellas de ron, 12 de ginebra y 12 de anís. Un cliente compró 8 botellas en total. ¿Cuántas posibilidades hay?

3 CR 8= 10 =120 3

( )

8) En una confitería hay cinco tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro pasteles?

CR 45= 8 =70 4

()

9) Permutaciones sin repetición: 1) Una madre tiene 3 hijos ¿de cuántas maneras distintas, nombrándolos uno por uno, puede llamarlos a cenar? 2) Calcular las maneras posibles de colocar las letras a, b, c. 3) Con las letras de la palabra DISCO ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar? Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. 4) Tres chicas y cuatro chicos asisten a un concierto de rock y tienen siete entradas alineadas. a) ¿De cuántas formas distintas podrán sentarse? R = 7! = 5040 formas distintas b) ¿De cuántas formas distintas podrán sentarse con la condición de que no haya dos del mismo sexo juntos? R = P3 P4 = 3! 4! = 144 formas distintas. 5) Una persona ha escrito 12 cartas dirigidas a 12 personas distintas y sus correspondientes sobres. A la hora de meter las cartas en los sobres le llaman por teléfono y, sin fijarse, va introduciendo al azar las cartas en los sobres. a) ¿De cuántas formas distintas podrá rellenar los sobres? P 12 = 479.001.600 b) ¿En cuántas de las formas anteriores ocurriría que la carta dirigida a una persona concreta esté en su sobre correspondiente? P11 = 39.916.800 Conteo: Permutaciones-Variaciones-Combinaciones

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c) ¿En cuántas habría cuatro cartas dirigidas a las personas adecuadas? P 8 = 40.320 6) ¿Cuántas palabras (con o sin sentido) pueden formarse usando todas las letras de la palabra “REMAR”? 60 8) Los 13 alumnos de un grupo de 2º de Bachillerato desean que les hagan una foto a todos juntos, en fila, como recuerdo de su paso por el instituto. En dicha foto no deben aparecer ni dos chicas ni dos chicos juntos. Sabiendo que hay 7 chicas, ¿de cuántas formas distintas pueden colocarse? P7 P6 = 5.040 x 720 = 3.628.800 cada fila debe empezar por chica y terminar por chica

9) Halla el número de capicúas de seis cifras. El número será de la forma abccba. Luego basta ver cuántas ordenaciones hay con la forma abc. El orden influye y los dígitos del 0 al 9 se pueden repetir: VR 103 = 103 = 1.000 Ahora bien, la décima parte de estos números empezarán por 0; luego no tendríamos un número de seis cifras sino de cinco cifras. Como (1/10) x 1000= 100, el número de capicúas de seis cifras es 1 000 – 100 = 900. Permutaciones con repetición 1) ¿De cuántas formas se pueden distribuir 4 bolas blancas, 3 verdes y 2 rojas en 9 urnas etiquetadas de la A a la I, de tal forma que cada urna contenga una bola? R = 1.260 formas diferentes. 2) ¿Cuántos números de siete cifras pueden formarse con los dígitos del número 4 433 555, de tal manera que sean menores que él? ¿Y cuántos serán mayores? Los números menores que 4433555 serán de la forma: 43_ _ _ _ _ (1) P51,1,3 = 20 3_ _ _ _ _ _ (2) P62,1,3 = 60 El total de números menores que 4433555 que se pueden formar es: 20 + 60 = 80. Los números mayores que 4433555 serán de la forma: 4435_ _ _ (1) P30,1,2 = 3 445_ _ _ _ (2) P40,2,2 = 6 5_ _ _ _ _ _ (3) P62,2,2 = 90 En todos los casos se trata de permutaciones con repetición. El total de números mayores que 4433555 que se pueden formar es: 3 + 6 + 90 = 99. 3) Calcular las permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos se repite en 2 ocasiones y otro se repite en 3 ocasiones. R = 302.400 4) ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 1, 1, 2, 2 y 3? R = 60 5) ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules? El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están repetidas) y además n = k, es decir colocamos 9 bolas en línea y tenemos 9 bolas para colocar R = 1260 6) ¿Cuántas señales diferentes pueden formarse con 6 banderas colocadas en línea, si se tienen 2 rojas, 3 blancas y 1 azul? R = 60 señales diferentes. 7) En el código Morse, cada símbolo es una sucesión de puntos (·) y rayas (-). a) ¿Cuántos símbolos diferentes se pueden formar con 3 rayas y 5 puntos? b) ¿Cuántos símbolos se pueden representar con sucesiones de puntos y rayas de longitud como mucho 4? c) ¿Hasta qué longitud de sucesiones de puntos y rayas hay que llegar si se quieren representar las 27 letras del alfabeto castellano y las 10 cifras significativas? a) Influye el orden y hay que formar agrupaciones con ocho elementos, en los que uno se repite 3 veces, y otro 5; por tanto, se pueden formar P83,5= 56 símbolos diferentes. b) Hay que calcular el número de sucesiones con 1, 2, 3 y 4 símbolos. Símbolos de 1 elemento: 2 Símbolos de 2 elementos: VR22 = 22 = 4 Símbolos de 3 elementos: VR23 = 23 = 8 Símbolos de 4 elementos: VR24 = 24 = 16 Total de símbolos: 2 + 4 + 8 + 16 = 30 8) ¿Cuántas palabras de (con o sin sentido) pueden formarse usando todas las letras de la palabra: SABANA? 120 9) ¿Cuántas palabras (con o sin sentido) pueden formarse usando todas las letras de la palabra INTENCION? 30.240

10) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal? Variaciones sin repetición 1) Entre los once jugadores de un equipo de fútbol hay que escoger un capitán y su suplente ¿Cuántas maneras hay de hacer esto? R = 110 2) Se colocan veinte tarjetas numeradas de 1 a 20 en una bolsa para rifar tres premios ¿De cuántas maneras se pueden repartir los premios? R = 6840 Conteo: Permutaciones-Variaciones-Combinaciones

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3) En una carrera de fórmula 1 participan 26 corredores. Los cinco primeros ganan puntos según la posición que ocupen (9 puntos al primero, 6 al segundo, etc.) ¿De cuántas maneras pueden repartirse los puntos? R = 7.893.600 4) a) ¿Cuántos números de 4 dígitos sin repetición, pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4? R= 24 b) ¿Cuántos de tales números son menores que 3.000? R=12 5) ¿Cuántas señales puede mostrar un barco que dispone de 7 banderas, si cada señal consiste de 5 banderas colocadas verticalmente en un asta? R = 2.520 señales. Combinaciones 1) ¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar con 12 puntos en el plano, sabiendo que no existen tres puntos alineados? Hay que formar grupos de tres elementos, en los que no influye el orden R = 220 2) ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 15 lados? Una diagonal queda determinada por dos vértices no consecutivos. Se trata de seleccionar dos puntos entre 15. R = 105 diagonales.

3) Hay dos niñas y siete niños en un grupo de nadadores. Se quiere escoger un equipo de cuatro de modo que al menos uno de los nadadores sea niña ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? Tenemos dos posibilidades: puede haber una o dos niñas en el equipo. En este último caso los dos varones pueden escogerse de

(72)

. Si hay sólo una niña, la podemos escoger de dos maneras, mientras que a los tres niños

restantes los podemos escoger de

(73)

. En total tenemos

(72)

+2

(73 )

= 91 equipos posibles.

4) ¿Cuántas palabras que contengan 3 consonantes y 2 vocales pueden formarse con 6 consonantes y 4 vocales? R = 14.400 5) Un estudiante debe contestar 7 de las 10 preguntas de un examen ¿de cuantas maneras puede elegir? a) Las 7 preguntas b) Si las dos primeras son obligatorias. c) Si debe contestar 3 de las 6 primeras. R = 120, 56 y 20 6)

Conteo: Permutaciones-Variaciones-Combinaciones

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