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• Leidy Johanna Londoño M

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COMBINACIÒN LINEAL  Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares. Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección. Sean V1, V2, V3 .............Vn Elementos de un espacio vectorial V, y a1+a2 +a3…… an igual a números reales.  Con esto podemos decir que la siguiente expresión a1V1 + a2V2+ a3V3 +..........anVn es una combinación lineal de los elementos V1, V2, V3 .............Vn que se encuentran en el espacio vectorial. Ejemplo   

3(1,0) + 5(2,6) es una combinación lineal de (1,0) , (2,6) 2(2,0,0)+3(7,6,5) es una combinación lineal de (2,0,0) , (7,6,5) 5bx + 5b-x +3b2x es una combinación lineal de bx ,b-x ,b2x  

ESPACIO GENERADO Un sistema generador de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que tienen la propiedad de que cualquier vector del espacio vectorial es combinación lineal de los vectores del sistema generador. Sean V1, V2, V3 .............Vn Elementos de W Entonces decimos que el conjunto de S=⦃ V1, V2, V3 ...........Vn⦄ genera al espacio de W, si para cualquier elemento de W lo podemos escribir como combinación lineal de W; w= a1V1 + a2V2+ a3V3 +..........anVn,  en caso contrario V1, V2, V3 .............Vn no generan W Ejemplo 

⦃2⦄ genera a R

Entonces  X= a*2 5= a*2 a=5/2 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente, cualquier subconjunto suyo también lo es.

Sea V un espacio vectorial y V1, V2, V3 ...........Vn elementos de V entonces el conjunto S=⦃ V1, V2, V3 .........Vn⦄ se dice que es linealmente dependiente si existen escalares no todos nulos a1 + a2+ a3 ........anVn tales que a1V1 + a2V2+ a3V3 +..........anVn=0 y en caso contrario es linealmente independiente. Ejemplo 

S=⦃ (1,2,3) ⦄ es linealmente independiente

x(1,2,3) = (x,2x,3x)=(0,0,0) 

S=⦃ (0,0,0) ⦄ es linealmente dependiente

x(0,0,0)=(0,0,0) 

S=⦃ (1,1,1) ,(2,2,2)⦄ es linealmente dependiente

X(1,1,1) +y(2,2,2)=(0,0,0)  (x,x,x)+(2y,2y,2y)=(0,0,0) (x+2y, x+2y, x+2y) =(0,0,0) X+2y=0 X=-2y Ç