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• joham morales

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COEFICIENTES INDETERMINADOS En la secci´on anterior consideramos el problema de un resorte donde s´olo se consideraron la fuerza restauradora y amortiguadora. Ahora, si act´ ua sobre la masa una fuerza exterior f(t), se obtiene la ecuaci´on diferencial no homog´enea 2

m ddt2x =

kx

dx dt

+ f (t)

, Ejemplo Se estira un resorte 6 pul (15.24 cent´ımetros) cuando se sujeta a ´el un peso de 6 lb, en t = 0 se libera una masa desde un punto que est´a 6 pul (15.24 cent´ımetros) abajo de la posici´on de equilibrio. Adem´as sobre el peso act´ ua una fuerza amortiguadora num´ericamente igual a 1,5 veces la velocidad instant´anea y una fuerza externa peri´odica dada por la funci´on E(t) = 48 cos 8t. A.Determine la posici´on del peso en cualquier instante de tiempo t. B.Indique las soluciones transitoria y de estado estacionario. • Variables t (Tiempo) variable independiente. X(t) (Posici´on del peso en el instante t) variable dependiente. • Ecuaci´on Diferencial d2 X dt2

+ 8 dX + 64X = 256 cos 8t dt

• Condiciones iniciales Inicialmente el peso se hala 6 pul (equivalente a 1/2 pie) por debajo de la posici´on de equilibrio, es decir x(0) = 1/2, y x0 (0) = 0. • Soporte te´orico Para resolver una ecuaci´on diferencial de segundo orden no homog´enea de la forma ay 00 + by 0 + cy = f (t) , trabajaremos dos m´etodos ; coeficientes indeterminados y transformada de Laplace, este u ´ltimo se trabajar´a en la siguiente secci´on. Pasos para resolver una ecuaci´on diferencial por el m´etodo de coeficientes indeterminados: 1

2

i Determinar la soluci´on de la Ecuaci´on Diferencial homog´enea asociada yh . ii Encontrar la forma general de la soluci´on particular yp . (Rem´ıtase a ver la forma de la funci´on f (t) que se encuentra en la siguiente tabla) iii La soluci´on general de la Ecuaci´on Diferencial es y = yh + yp . Soluci´ on para el ejemplo mediante el m´ etodo de coeficientes indeterminados a.

i xh = e

4t

p p (c1 cos 4 3t + c2 sin 4 3t)

ii xp = A cos 8t + B sin 8t, dedondeA = 0yB = 4 iii Por lo tanto, la soluci´on general es : p p x = e 4t (c1 cos 4 3t + c2 sin 4 3t) + 4 sin 8t

p Reemplazando las condiciones iniciales se tiene que c1 = 1/2 y c2 = ( 5 3)/2. Por lo tanto la ecuaci´on de movimiento queda dada por la funci´on p p 4t x = e 2 (cos 4 3t 5 sin 4 3t) + 4 sin 8t

Soluciones transitoria y de estado estable

0.1.

Ejercicios

1. Un resorte cuya constante de elasticidad es de 6 lb/ft sujeta una masa de 1/2 slug (7.3 kilogramos) que se le aplica una fuerza externa dada por f(t) = 20 sin 2t, t 0. Sup´ongase que act´ ua una fuerza amortiguadora num´ericamente igual a dos veces la velocidad instant´anea. Si inicialmente el cuerpo est´a en reposo en su posici´on de equilibrio. Encuentre la funci´on que determina la posici´on del cuerpo en cualquier tiempo t > 0.

0.1. EJERCICIOS

3

2. Una masa de 1slug (14.6 kilogramos) est´a sujeta a un resorte de constante de elasticidad igual a 4 lb/ft y el sistema est´a sumido en un medio que opone una fuerza de resistencia num´ericamente igual a 5 veces la velocidad instant´anea. Si la masa se suelta 6 pulgadas ( 2.54 cent´ımetros) arriba de la posici´on de equilibrio con una velocidad que se dirige hacia abajo de 4 ft/s. Encuentre: A. La ecuaci´on del movimiento, si act´ ua una fuerza externa sobre la masa dada por f (t) = 20 cos 2t + 10 sin 2t B.Las gr´aficas de la soluci´on transitoria y de la soluci´on estacionaria en el mismo plano cartesiano. C. La gr´afica de la ecuaci´on del movimiento. 3. Un peso de 32 Ib que se sujeta a un resorte cuya constante de elasticidad es igual a 5 lb/ft se sumerge en un medio que ofrece una resistencia num´ericamente igual a 6 veces la velocidad instant´anea. Si inicialmente el cuerpo se encuentra 4 pulgadas (10.16 cent´ımetros) abajo de la posici´on de equilibrio. Encuentre: A.La ecuaci´on del movimiento si sobre el peso se aplica una fuerza externa igual a f (t) = e t . B.La gr´afica de la ecuaci´on del movimiento. a) La ecuaci´on del movimiento si sobre el peso se aplica una fuerza externa igual a f (t) = e t . b) La gr´afica de la ecuaci´on del movimiento. 4. Un peso de 3.2 lb estira un resorte 6.4 ft (1950.72 cent´ımetros). Si el peso se suelta 3 pulgadas abajo de la posici´on de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de 6 ft/s. El peso y el resorte se sumergen en un medio que ofrece una resistencia num´ericamente igual a 1/5 de la velocidad instant´anea, determine la ecuaci´on del movimiento si adem´as se aplica al peso una fuerza externa dada por f (t) = e t cos 2t. Grafique la soluci´on obtenida. a) La ecuaci´on del movimiento si sobre el peso se aplica una fuerza externa igual a f (t) = e t . b) La gr´afica de la ecuaci´on del movimiento. Otra aplicaci´on de las ecuaciones diferenciales que hemos estudiando se tiene en los circuitos LRC en serie. di como L dt + Ri + 1c q = E(t),y, i =

dq di , dt dt

=

d2 q dt2

, Por lo tanto se obtiene la ecuaci´on diferencial de segundo orden, donde L,R,C,q y E son como se definieron antes.

4 2

L ddt2q + R dq + C1 q = E(t) dt , De acuerdo a esto responda los ejercicios 5 y 6. 5. Un circuito en serie consta de un inductor, una resistencia y un capacitor de 0.5 H, ,6⌦ y 0.02 F respectivamente y una fuente de voltaje alterno dado por 48 sin 10t. Determine la carga y la corriente en cualquier tiempo t, si la carga en el condensador y la corriente en el circuito son cero inicialmente. 6. Un circuito en serie consta de un inductor, una resistencia y un capacitor de 1 H, 2⌦ y 0.2 F respectivamente y un generador con una fuerza electromotriz dada por E(t) = 50 Volts se conectan en serie. Si la corriente inicial es cero y la carga inicial en el condensador es de 1 Coulomb, determine la carga y la corriente para todo tiempo t > 0.