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• Maria Esther Oria

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Corrado Gini Corrado Gini (Motta di Livenza, 23 de mayo de 1884 - Roma, 13 de marzo de 1965) fue un estadístico, demógrafo y sociólogo italiano que desarrollo el coeficiente de Gini, una medida de la desigualdad en los ingresos en una sociedad. Gini fue también un influyente teórico fascista e ideólogo que escribió Las bases científicas del fascismo en 1927.

Coeficiente de Gini El coeficiente de Gini es una medida de la desigualdad ideada por el estadístico italiano Corrado Gini. Normalmente se utiliza para medir la desigualdad en los ingresos, dentro de un país, pero puede utilizarse para medir cualquier forma de distribución desigual. El coeficiente de Gini es un número entre 0 y 1, en donde 0 se corresponde con la perfecta igualdad (todos tienen los mismos ingresos) y donde el valor 1 se corresponde con la perfecta desigualdad (una persona tiene todos los ingresos y los demás ninguno). El índice de Gini es el coeficiente de Gini expresado en porcentaje y es igual al coeficiente de Gini multiplicado por 100. Aunque el coeficiente de Gini se utiliza sobre todo para medir la desigualdad en los ingresos, también puede utilizarse para medir la desigualdad en la riqueza. Este uso requiere que nadie disponga de una riqueza neta negativa.

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Definición

Diagrama que muestra el área a comprendida entre la curva de Lorenz y la bisectriz del cuadrado, dicha área es proporcional al coeficiente de Gini. El coeficiente de Gini se calcula como una proporción de las áreas en el diagrama de la curva de Lorenz. Si el área entre la línea de perfecta igualdad y la curva de Lorenz es a, y el área por debajo de la curva de Lorenz es b, entonces el coeficiente de Gini es a/(a+b). Esta proporción se expresa como porcentaje o como equivalente numérico de ese porcentaje, que es siempre un número entre 0 y 1. El coeficiente de Gini se calcula a menudo con la Fórmula de Brown, que es más práctica:

Donde:   

G: Coeficiente de Gini X: Proporción acumulada de la variable población Y: Proporción acumulada de la variable ingresos

De forma resumida, la Curva de Lorenz es una gráfica de concentración acumulada de la distribución de la riqueza superpuesta a la curva de la distribución de frecuencias de los individuos que la poseen, y su expresión en porcentajes es el índice de Gini.

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Propiedades 

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Todas las curvas de Lorenz pasan por los puntos (0,0) y (1,1). Si dos curvas de Lorenz no se cortan fuera de esos dos puntos, es posible comparar la desigualdad que representan sin necesidad de calcular el índice de Gini. En el caso general, un mayor índice de Gini significa una mayor desigualdad. Para determinar el área entre la curva de Lorenz y la línea de perfecta equidad, lo ideal es calcular una integral definida, pero a veces no se conoce la definición explícita de la curva de Lorenz, por lo que es interesante utilizar otras fórmulas con un número finito de sumandos. Las propiedades del índice de Gini son comparables con las del cuadrado del coeficiente de variación.1 Empíricamente, la renta de muchos países se aproxima a una distribución Gamma (con parámetro k < 5), lo cual lleva a los índices de Gini observados entre 0,50 y 0,25. Los países con índices superior a 0,50 tienen una distribución aún más desigual que la distribución exponencial. l ideólogo y estadístico italiano Corrado Gini (1884-1965), autor de Las bases científicas del fascismo (1927), desarrolló en 1912 un método para medir la desigualdad de una distribución en su obra Variabilità e mutabilità. En ella introdujo el valor de 0 para expresar la igualdad total y el valor de 1 para la máxima desigualdad. Este método se aplica en el estudio de la distribución de desigualdad en Ciencias de la Salud, ingeniería, ecología, química, transporte, etc. Pero quizá donde tiene su uso más característico es en el estudio de la desigualdad de los ingresos que se realiza en Economía. Sobre el Coeficiente de Gini y sus ventajas como medida de desigualdad frente a otros indicadores, hablamos hoy en los Conceptos de Economía. El Coeficiente de Gini se basa en la Curva de Lorenz, que es una representación gráfica de una función de distribución acumulada, y se define matemáticamente como la proporción acumulada de los ingresos totales (eje y), que obtienen las proporciones acumuladas de la población (eje x). La línea diagonal representa la igualdad perfecta de los ingresos: todos reciben la misma renta (el 20% de la población recibe el 20% de los ingresos; el 40% de la población el 40% de los ingresos, etc). En la situación de máxima igualdad o 3

equidad distributiva, el Coeficiente de Gini es igual a cero (el área A desaparece): a medida que aumenta la desigualdad, el Coeficiente de Gini se acerca al valor de 1. Este coeficiente puede ser considerado como la proporción entre la zona que se encuentra entre la línea de la igualdad y la curva de Lorenz (marcada con “A” en el diagrama) sobre el área total bajo la línea de igualdad. Es decir, G = A / ( A + B) . También es igual a A*2, dado que A + B = 0,5.  

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El Coeficiente de Gini se calcula como el cociente entre el área comprendida entre la diagonal de perfecta igualdad y la Curva de Lorenz (área A en el gráfico, sobre el área A+B). A medida que mejora la equidad el área A disminuye y la Curva de Lorenz (linea roja) se acerca a la diagonal de 45% (linea verde). Si la Curva de Lorenz se aleja de la diagonal, aumenta la desigualdad a la misma velocidad que aumenta el área “A”. Si la desigualdad es total, el área B desaparece y queda sólo el área A, lo que indica que una sola familia se queda con el total de los ingresos (linea azul). En el ejemplo de la gráfica el primer quintil (20% de la población) se queda con el 4% del ingreso; el 40% de la población, con el 12% (aumenta un 8% en relación al primero), el 60% con el 22% del ingreso y el 80% de la población con el 42% del ingreso acumulado. En este caso el Coeficiente de Gini es 0,48. Según el Informe de Desarrollo Humano del año 2009, el Coeficiente de Gini para Namibia es 0,707 (situación de máxima desigualdad), mientras que el de Dinamarca es de 0,247 (situación de máximo reparto igualitario. De acuerdo a este informe, el Coeficiente de Gini de Brasil es 0,571; Chile 0,557; México 0,546; Argentina 0,542; Venezuela 0,471; China 0,447, Estados Unidos 0,445; Rusia 0,391; Portugal 0,385; Italia 0,36; Francia 0,327; España 0,325; Alemania 0,283; Suecia 0,25; Japón 0,249. De acuerdo a la gráfica, las zonas que tienen colores verdes (Canadá, Europa y Australia) tienen un reparto más igualitario mientras que a medida que los colores se intensifican: azul, lila, naranja o rojo (situación de América Latina y África), la distribución se hace más desigual. El Coeficiente de Gini mide los términos distributivos globales sin separar a lo que corresponde a población urbana y población rural. Este dato es muy valioso a considerar porque no se puede comparar un país como China que tiene un 60% de la población rural, con un país como EEUU que tiene menos de 10% de población rural. En 4

este sentido cuando se hace la comparación sin tomar en cuenta la otra variable podemos confundir los resultados.

Curva de Lorenz

Curva de Lorenz. La curva de Lorenz es una representación gráfica utilizada frecuentemente para plasmar la distribución relativa de una variable en un dominio determinado. El dominio puede ser el conjunto de hogares o personas de una región o país, por ejemplo. La variable cuya distribución se estudia puede ser el ingreso de los hogares o las personas. Utilizando como 5

ejemplo estas variables, la curva se trazaría considerando en el eje horizontal el porcentaje acumulado de personas u hogares del dominio en cuestión y en el eje vertical el porcentaje acumulado del ingreso. Su autoría es de Max O. Lorenz en 1905. Cada punto de la curva se lee como porcentaje acumulativo de los hogares o las personas. La curva parte del origen (0,0) y termina en el punto (100,100). Si el ingreso estuviera distribuido de manera perfectamente equitativa, la curva coincidiría con la línea de 45 grados que pasa por el origen (por ejemplo el 30% de los hogares o de la población percibe el 30% del ingreso). Si existiera desigualdad perfecta, o sea, si un hogar o persona poseyera todo el ingreso, la curva coincidiría con el eje horizontal hasta el punto (100,0) donde saltaría el punto (100,100). En general la curva se encuentra en una situación intermedia entre estos dos extremos. Curva de Lorenz y desigualdad Si una curva de Lorenz se encuentra siempre por encima de otra (y, por lo tanto, está más cerca de la línea de 45 grados que la otra), entonces podemos decir, sin ambigüedad, que la primera exhibe menor desigualdad que la segunda. Esta comparación gráfica entre distribuciones de distintos dominios geográficos o temporales es el principal empleo de las curvas de Lorenz. El indicador gráfico de bienestar más usado es la Curva de Lorenz Generalizada (CLG), que es una derivación de la curva de Lorenz habitual. La CLG sólo se diferencia de la de Lorenz en que en la escala vertical no se representan las cantidades relativas acumuladas sino las cantidades acumuladas (no relativas) divididas por el número N de elementos de la población. La lógica pretendida es representar qué cantidad absoluta corresponde a cada porcentaje de individuos. Para clarificar este aspecto, supóngase que la curva de Lorenz normal de una población nos dice que el 50% de los menos ricos poseen el 25% de la riqueza total. Se puede comprender que es muy diferente la situación de bienestar de este 50% de la población según si la riqueza total es muy pequeña o muy grande. Es obvio que es peor poseer el 50% de una cantidad pequeña que poseer el 25% de una cantidad mucho mayor. El dividir las cantidades acumuladas por el total de elementos N es necesario para poder comparar riquezas entre poblaciones distintas que tengan un número diferente de elementos: no es lo mismo una riqueza total de 1.000.000€ en un conjunto de 10 personas que esa misma riqueza total en un conjunto formado por 1.000 personas. 6

Ecuación de la curva de Lorenz Si se conoce la distribución de la renta como densidad de probabilidad para cada valor de renta, la curva de Lorenz puede encontrarse analíticamente en función de ésta. La proporción de personas o unidades familiares con una renta inferior a un nivel de renta r viene dada por: (1) Mientras que la proporción de renta acumulada por las personas con rentas iguales o inferiores a r viene dada por:

(2) Donde es la renta media. Las ecuaciones (1) y (2) constituyen juntas las ecuaciones paramétricas de la curva en función del parámetro r. Propiedades La curva de Lorenz tiene pendiente positiva en todos sus puntos como se deduce de la siguiente relación:

(3) En el punto inicial la pendiente será nula (aun en el caso el límite anterior sigue siendo válido, pero en el resto de puntos será estrictamente positiva. Además la curva de Lorenz es convexa ya que su derivada segunda siempre es positiva:

(4) Ejemplo 1 En esta sección calculamos la curva de Lorenz y el índice de Gini para una distribución de renta exponencial. Aunque ésta no parece una distribución 7

adecuada para la renta nacional de ningún país, la sencillez de las expresiones obtenidas permite entender de modo sencillo la aplicación de las ecuaciones (1) a (4). Para un país con una renta nacional media con una distribución exponencial la densidad de probabilidad de la distribución será:

Esta expresión permite calcular la proporción de personas por debajo de una cierta renta y la renta acumulada de ese grupo de personas fácilmente:

Despejando de la primera ecuación y substituyendo el resultado en la segunda se obtiene la curva de Lorenz explícitamente:

El índice de Gini se puede calcular simplemente como:

Este es el valor exacto. Cuando para calcular este valor en lugar de una distribución continua se usa un cálculo aproximado por decilas en cambio resulta sólo .

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Ejemplo 2

Índice de Gini para diferentes curvas de Lorenz asociadas a distribuciones gamma . El valor de n corresponde a cada distribución, mientras que el factor está relacionado con la renta media y no influye en el índice de Gini. Una aproximación más verosimil para la renta nacional es usar en lugar de una simple distribución exponencial, una distribución gamma:

Donde el parámetro está relacionado con la renta media mediante . Después de una cierta cantidad de álgebra trivial pero engorrosa puede encontrarse que la proporción de personas por debajo de una cierta renta y la renta acumulada de ese grupo de personas vienen dadas por:

Donde:

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En este caso no es posible despejar explícitamente de la primera ecuación. Aunque puede calcularse el índice de Gini mediante la expresión (para entero):

En este caso el coeficiente de Gini tampoco depende de la renta media. Dado que el índice de Gini de la mayor parte de países está entre 0,50 y 0,25 la distribución gamma anterior puede usarse de manera aproximada para reproducir la distribución real de la renta. Max O. Lorenz Max Otto Lorenz ( 19 de septiembre de 1876 en Burlington (Iowa) - † 1 de julio de 1959 en Sunnyvale, CA) fue un economista estadounidense que desarrolló el concepto conocido como curva de Lorenz en 1905, para describir las desigualdades en las rentas. Publicó este concepto mientras era doctorando en la Universidad de Wisconsin-Madison. Su tesis doctoral, publicada en 1906, llamada 'Teoría económica de las tarifas ferroviarias', no hacía referencia alguna al que es, quizás, su concepto más famoso. Su carrera fue muy prolífica, tanto en publicaciones como en carrera docente, siendo consultado y empleado en diversas ocasiones por la Oficina del Censo de los Estados Unidos (equivalente a los diversos INE de España e Hispanoamérica) y otras instituciones estadounidenses de información estadística. Fue padre de tres hijos con su esposa Nellie: Fred, Roger, and Julian Lorenz. El término curva de Lorenz parece haber sido usado por primera vez en 1912 en el libro de texto The Elements of Statistical Method.

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