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Mónica Lidia Jacob De la lógica a la topología en psicoanálisis : un recorrido posible Clase 6

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Seminario: De la lógica a la topología en psicoanálisis: un recorrido posible www.edupsi.com/logotopo [email protected]

A cargo de Mónica Lidia Jacob

CLASE 6  CONJUNTO DE PARTES DE UN CONJUNTO Hasta aquí hemos estado estudiando algunas operaciones que se podían realizar con los conjuntos . A partir de dos conjuntos A y B ,habíamos obtenido nuevos conjuntos : A  B , unión entre A y B , A  B , intersección entre A y B y la diferencia A - B . Vamos a presentar ahora al conjunto de partes de A , que se escribe (A) . Este nuevo conjunto , obtenido a partir de A , va a tener como elementos , a todos los subconjuntos posibles de A , o sea , a todos aquellos conjuntos incluidos en A . Primer ejemplo :Consideremos este caso , dos números)

un conjunto A formado por dos elementos ( en A= {1,2}

Intuitivamente podemos pensar que este conjunto es una “ bolsa “ que contiene dos números :1 y 2 . ¿Cuáles son todos los subconjuntos que se pueden formar con A? . En primer lugar , la vez pasada demostramos que el vacío es un subconjunto de cualquier conjunto ; en particular , el conjunto  es entonces un subconjunto de A.  A

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Por otro lado , podemos considerar los elementos de A , " envolviéndolos" de a uno , es decir formar los subconjuntos que tienen un solo elemento :{1} y {2} . {1} A {2} A También es subconjunto ( en sentido amplio ) , el propio conjunto A . Tenemos entonces que hay cuatro subconjuntos de A ( conjuntos incluidos en A ) :  A {1}  A {2}  A {1,2 }  A Estos cuatro subconjuntos , son los elementos que integran el conjunto de partes de este conjunto A. Esto se escribe así (A) = {

 , {1}, {2} , {1,2}

}

Es decir que el conjunto de partes es un nuevo tipo de conjunto , cuyos elementos ya no son los elementos del conjunto de partida sino conjuntos provistos de elementos . Estamos ante un conjunto formado por conjuntos Con el símbolo  ( un igual doblemente tachado) se indica el cardinal de un conjunto , es decir el número de elementos de A , “cuantos “ elementos hay (no cuales ). La fórmula que permite calcular el cardinal del conjunto de partes de un conjunto dice que hay que efectuar una potencia cuya base es 2 y cuyo exponente es el cardinal de A . #(A)= 2 #A El cardinal de (A) es igual a la potencia que se obtiene cuando el número 2 se eleva al cardinal de A . En este caso tenemos que A tiene dos elementos , o sea que #A =2 con lo cual #(A)=2 2 = 4 Efectivamente (A) tiene 4 elementos que son los cuatro subconjuntos de A : el vacío , el conjunto cuyo único elemento es el número 1, el conjunto cuyo único elemento es el número 2 y el conjunto A . Los elementos del conjunto de partes son conjuntos ¿cuáles? subconjuntos que se pueden formar a partir del conjunto dado .

todos los

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Reitero entonces que el cardinal del conjunto de partes (indicado por # P(A) ) ,es decir , el número de subconjuntos posibles de A , se obtiene mediante el cálculo siguiente : 2 elevado al cardinal del conjunto : 2 #A . Vamos a considerar ahora un segundo ejemplo 3 elementos ( también números )

en el cual el conjunto A tenga

A = { 1,2,3} O sea , que en el caso que nos convoca , A tiene 3 elementos y por lo tanto #A = 3 ; el cardinal del conjunto de partes de A se obtendrá entonces efectuando la potencia 2 al cubo que da como resultado 8 : # P(A) = 2 #A = 2 3 = 8 ¿Cuáles son esos 8 subconjuntos posibles? Siempre hay dos subconjuntos llamados triviales : el conjunto vacío  ( el “menor” de los subconjuntos posibles ) y el “mayor” de los subconjuntos que es el conjunto A . A es un conjunto cuyos elementos en este caso son números ( consideré números ); P(A) es un conjunto cuyos elementos son conjuntos ¿qué característica tienen esos conjuntos? Son todos los subconjuntos posibles de A . Un subconjunto trivial es el vacío ( el que no tiene elementos). Luego hay subconjuntos que tienen un solo elemento : aquellos formados sólo por el 1 : {1}, sólo por el 2 , {2} y sólo por el 3 {3} . Son tres subconjuntos con un sólo elemento cada uno . Hay también 3 subconjuntos que contienen dos elementos cada uno : {1,2} {1,3} y {2,3}. Y luego hay uno trivial que es el conjunto completo , es decir A . Hay entonces , 8 subconjuntos . A ={ 1,2,3 } P(A)= { ,

{1} , {2} , {3} , subconjuntos con un solo elemento de A

subconjunto con 0 elementos de A

{1,2} , {1,3} ,{2,3} , subconjuntos con 2 elementos de A

A }

subconjunto con 3 elementos de A

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 CONJUNTO DE PARTES DEL CONJUNTO VACÍO Veamos algo interesante . Partes de A es un conjunto; por ser un conjunto , y por lo que habíamos demostrado anteriormente , el conjunto vacío está incluido en él .Esto se escribe así :   (A) Pero OJO!! que el vacío para el cual esto se cumple, no es el vacío que está escrito en la expresión de (A) . (A) = {

 , {1}, {2} , {1,2}

}

Para este "otro" vacío , se escribe que   (A) El símbolo pertenece (  ) es el que indica que vacío es un elemento de partes de A ; los elementos son los que están escritos explícitamente en un conjunto ; el vacío no es un elemento de A , sino de partes de A ; pero sí está incluido en ambos (en partes de A y en A ) porque el vacío está incluido en cualquier conjunto . El vacío está incluido en cualquier conjunto ,pero no pertenece a cualquier conjunto . Es más , justamente por estar incluido en A ( por ser un subconjunto) pasa a ser un elemento de partes de A . Tenemos entonces :  A  A

 (A)   (A)

Es decir que el vacío tiene dos modos de inscripción .En un caso acredita una pertenencia y en el otro , una inclusión . El cardinal de A que además de escribirse como #A , se puede denotar como Card A , dijimos que es el número de elementos que tiene el conjunto; es decir que se obtiene contando la cantidad de elementos del conjunto ( cuantos elementos hay dentro de la llave (dentro de la “bolsa”) ) = {

}



Card  = 0

El número 0 es el cardinal del vacío , es el correspondencia con el conjunto vacío .

número que está en

Vamos a ver ahora que sucede con la correspondencia entre los conjuntos de partes construidos a partir del conjunto vacío , y los números naturales .

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Anticipo que al conjunto vacío le corresponde el número 0 que sería su cardinal; al conjunto de partes del vacío le corresponde el número 1; y a partes del conjunto cuyo único elemento es el vacío , le corresponde el número 2 . 

0

P(  ) ={  }

1

P ( {} ) = {  , { } }

2

Armemos entonces el conjunto de partes del conjunto vacío . Dijimos que el conjunto de partes de A tiene una cantidad de elementos (subconjuntos de A) que se obtiene por medio de la potencia 2 elevado al cardinal del conjunto A ; si queremos el cardinal de partes del vacío , habrá que efectuar 2 elevado a la 0 ( que por definición es 1 ) ; quiere decir que el conjunto de partes del vacío va tener un solo elemento ,que es el único subconjunto que tiene :  .Como el vacío no tiene elementos , no se pueden tomar sus elementos de a uno ni de a dos, etc. ; entonces sólo forman partes de  , el vacío (por estar incluido en cualquier conjunto, inclusive en sí mismo ) y el conjunto vacío mismo ; por ser iguales se colocan una sola vez ; es decir que no son dos subconjuntos sino uno sólo :  Para indicar , partes del vacío () , pongo una llave , dentro de la cual coloco el único elemento que tiene que es el conjunto vacío ( el conjunto que está incluido en todo conjunto) . El vacío es un subconjunto de cualquier conjunto, en particular de sí mismo ; ese conjunto vacío lo indico con su símbolo  o bien con una llave sin elementos en su interior. Esto es : (  )= {  } = { { } }

card () = 1

Tengan cuidado con estas escrituras ,porque no es lo mismo escribir  que {} , pues  es la escritura correspondiente al vacío como conjunto ; si escribimos {  } nos referimos al conjunto cuyo único elemento es el conjunto vacío ; es decir que allí el conjunto vacío opera como elemento de otro conjunto (del conjunto de partes del vacío ) Si seguimos jugando y operando con el vacío , ahora podríamos formar el conjunto de partes del conjunto de partes del vacío . A partir del conjunto  que no tenía elementos ,hemos construido un nuevo conjunto (  ) , cuyo único elemento es  . De este conjunto así obtenido podemos calcular su conjunto de partes . Si partes del vacío (  ) tiene un solo elemento , el conjunto partes de partes del vacío ( (  ) ) va 1 tener 2 elementos . Estos dos elementos son : el vacío (el que es

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Mónica Lidia Jacob De la lógica a la topología en psicoanálisis : un recorrido posible Clase 6 subconjunto de cualquier conjunto) vacío. Es decir , a partir del conjunto

y el conjunto cuyo único elemento sea el :

(  )= { } = { { } } para formar  ( (  ) ) buscamos todos sus subconjuntos . En este caso son dos , uno de ellos es el vacío (el incluido en cualquier conjunto y él conjunto mismo {{ }}. El vacío y el conjunto total están siempre ; en el caso anterior , de partes del vacío ,como el vacío y el conjunto total coinciden , no son dos sino uno . En este caso, entonces tenemos :  ( (  ) )= {  , {  }

} = { { } , {{ }} }

Card (())=2

En Ou Pire , en la clase del 14 de junio del 72 dice :”No se puede , dice Peirce , oponer el vacío , el cero , a algo ,porque sabemos que el cero es algo, el vacío representa algo y Peirce dice que forma parte de sus conceptos secundantes , conceptos importantes en él ,sobre los que luego volveré . No es una mónada como vacío inscripto sino relativo .En efecto, si se plantea ese vacío ,se lo inscribe. En este caso, la inscripción del conjunto vacío puede dar esto: {  }” Lacan , dice que {  } es la inscripción del conjunto vacío . O sea que  es un conjunto y él llama inscripción al hecho que pase a ser un elemento del conjunto {  } . “Esto se reconoce porque el conjunto vacío está considerado como un elemento del conjunto de las partes del conjunto vacío Luego aquí el vacío se constituye como UNO (lo pone con mayúscula ), y si quisiéramos repetir un poco la operación y hacer el conjunto de las partes del conjunto de las partes del vacío tendríamos inmediatamente algo así : {  . {  } .} lo cual es más o menos : { {  } } y esto se reconoce por poder muy bien representar al 2. También puede representar al 1". Para mí no es riguroso decir que el conjunto { , {  } } es más o menos { {  } }. Para decirlo con precisión , habría que decir que el conjunto cuyo único elemento es {} , está incluido en el conjunto de partes del conjunto de partes del vacío { {

 } }  { .

{  } }

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Bueno eso quería corregir de esa clase de Ou Pire .Además fíjense que dice : el vacío, el cero, es decir que los hace sinónimos, cuando en realidad al conjunto vacío le corresponde el número cero (al menos en esta presentación que hacemos aquí ) . Ahora

vamos a

leer

las

páginas 132

y 133

de El saber

del

psicoanalista : “ Es muy fácil si parten de esto, por tomar el número cardinal ; tienen un conjunto compuesto por ejemplo por 5 elementos. Si llaman subconjunto la reunión en un conjunto de cada uno de estos cinco elementos, luego de los grupos que forman dos de estos elementos, sobre cinco, les resultará fácil calcular cuantos subconjuntos dará . Hay muy exactamente diez. Luego ,los toman de a tres: habrá también diez :luego los toman de a cuatro : habrá cinco. Y llegarán al final al conjunto en tanto no hay más que uno, ahí presente que comprenda cinco elementos . A lo que conviene agregar el conjunto vacío que , en todo caso , sin ser elemento del conjunto , es manifestable como una de sus partes ya que sus partes no son el elemento .Lo que de esto se ordena se escribe así: 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 ¿qué es lo que resulta definido por nosotros como parte del conjunto?” Antes de seguir leyendo vamos a ubicar lo que está diciendo hasta acá. En realidad está tomando dos conjuntos diferentes ; está un poco confusa la redacción del texto. Consideremos dos conjuntos : uno que llamamos B que consta de cuatro elementos , en este caso , las letras griegas , ,  ,  y un conjunto C que Lacan propone integrado por las cinco primeras letras del alfabeto griego , , , ,  . Fíjense que el ejemplo que había dado antes era el de un conjunto A cuyos elementos eran números ; en realidad un conjunto puede tener elementos de otra clase : en este caso, letras , pero también podrían ser matrices, funciones , etc. , toda clase de objetos matemáticos . Si B tiene cardinal 4 (tiene 4 letras) P(B) tendrá cardinal 2 4 , es decir 16 elementos ; vale decir que 16 es el número de subconjuntos posibles construidos con los elementos de B . Si C tiene cardinal 5 , partes de C tendrá 2 a la quinta elementos es decir 32 subconjuntos de C .

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Ya dijimos que como "primer elemento" del conjunto de partes de un conjunto cualquiera ( B ó C ) ubicamos el vacío y como "último elemento", al conjunto mismo. En las dos columnas de números escritas en el texto, los dos 1 que se ubican en la primera fila indican que hay en ambos casos un único conjunto que contiene cero elementos : el vacío .   1 1 Consideremos ahora todos los subconjuntos compuestos de un solo elemento ; esas serán las mónadas . B C {}, {}, {}, {} 4 mónadas

{}, {}, {}, {}, {} 5 mónadas

¿Cuántos subconjuntos de un elementos hemos obtenido? : en un caso 4 y en otro caso 5 . Es decir que los números que aparecen en esas dos columnas corresponden a la cantidad de subconjuntos que se pueden obtener . Por ejemplo , consideremos ahora las díadas , es decir los subconjuntos que contienen dos elementos cada uno .Por una cuestión práctica , para no olvidarse ninguno de los posibles, les conviene fijar el primer elemento de los dos y variar el segundo .Por ejemplo tomemos alfa con todos los demás ; luego fijamos beta con todos y así siguiendo . {} , {,} , {,}, {,} ,{,} , {,} ,{,} {,} , {,} , { ,} ,{,} , {,}, {,} {, } , {,} {,} 6 díadas 10 díadas Se observa que hay 6 díadas en el primer caso y 10 en el segundo y estos números son los que ustedes verán en la tercer fila . Ahora veamos los subconjuntos de tres elementos . Para eso conviene fijar las dos primeras letras y variar la tercera . Como estamos considerando conjuntos , el orden de las letras no importa , con lo cual { ,  } es el mismo conjunto que {, } ; por eso basta revisar la secuencia de letras ,,, ó ,,,, hacia la derecha ( sin retroceder ) , , , ,  Una cuestión es saber quienes son los subconjuntos y otra cosa es calcular cuantos hay (la cantidad ) . La cantidad de formas distintas en que se pueden seleccionar 2 elementos a partir de un conjunto con 5 elementos, se calcula por medio de un número llamado número combinatorio , que en este caso da 10 . Nosotros hemos puesto los subconjuntos y los contamos ,pero si quisiéramos solamente saber la cantidad , hubiéramos podido realizar el número combinatorio de 5 en 2 que se expresa así :

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5! 5.4.3.2.1   10 2!.3! 2.1.3.2.1

Se lee número combinatorio de 5 en 2 ; se usa en el cálculo de probabilidades . De esto habla Lacan en Ou Pire ( seminario 19 ) que es simultáneo a El saber del psicoanalista . Hay tablas que muestran los números combinatorios , pero de todas formas para números muy grandes conviene usar fórmulas para calcularlos. En el caso de B , de entre 4 elementos tengo que seleccionar 2 y la cantidad de formas en que puedo realizar esa selección , será el combinatorio de 4 en 2 que también se escribe como C 4,2 y se calcula : 4! 4.3.2.1  6 2!.2! 2.1.2.1

Veamos la fórmula general que Lacan usa en Ou Pire .El número combinatorio de n en k se define como : el factorial de n ( mas adelante voy a definir el factorial de un número n ) dividido por , el producto entre el factorial de k y el de n-k. Cn, k 

n! k!.( n  k )!

Es decir que es el factorial del mayor n! ,dividido el producto del factorial del menor k! y el factorial de la resta (n-k)!. La definición de número combinatorio , también se expresa por medio de un paréntesis y dos números : uno arriba y otro abajo (como si fuera una fracción pero sin la barra de división ) n k El número de arriba (n) es mayor que el de abajo (k) ; el factorial se indica con un signo de exclamación e indica el producto de todos los naturales desde el número hasta 1 ; es decir que el factorial de 5 (5! ) es la notación abreviada de la multiplicación 5.4.3.2.1 . No hemos terminado el conjunto de partes . Tomemos ahora los subconjuntos de 3 elementos .Para eso fijemos   y variemos la tercera letra; luego fijemos  , luego   y así siguiendo . (,,) (,,) (,,) (,,)

(,,) (,,)(,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,)

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4 tríadas

10 tríadas

Vean que el número de tríadas en el primer caso es 4 y corresponde a haber tomado el combinatorio de 4 en 3 ; en el caso de C , el combinatorio de 5 en 3 cuyo resultado es 10 . Consideremos ahora los subconjuntos con 4 elementos : (,,,)

(,,,) (,,,)(,,,)(,,,) (,,,) 1 5 Con el conjunto B no hay más subconjuntos posibles mientras que para C tenemos el subconjunto que tiene los 5 elementos, o sea C mismo . Obtuvimos así las dos columnas que corresponden a los subconjuntos de B y de C . Sumando los números en cada columna se obtiene el número total de partes de cada conjunto : 16 y 32 respectivamente . 2 5 7 5 2 16 = # P (B)

1 5 10 10 5 1 32= #P(C)

Los subconjuntos de 1 elemento son las mónadas ; ¿cuantas mónadas hay? , se calcula por medio del número combinatorio de n en 1 que siempre da como resultado n . En el caso C , la columna 1, 5,10,10,5,1 corresponde a la siguiente secuencia : el 1 indica que hay un solo subconjunto sin elementos (el vacío) ; el primer 5 es la cantidad de mónadas que hay , el primer 10 es la cantidad de díadas , el segundo10 , la cantidad de tríadas , el otro 5 cuantas tétradas y el 1 final indica que hay un solo conjunto con todos los elementos (el conjunto C ). Les voy a mostrar ahora cómo se arma el triángulo de Pascal que es una forma práctica de hacer aparecer estos números combinatorios . Consideremos una primer fila formada por números 1 . Por ejemplo seis veces 1. La segunda fila comienza por un 1 en el segundo lugar : 1 1 1 1 1 1 1 A continuación de este 1 se coloca la suma de los elementos de la columna anterior , en la ubicación del número a colocar ; en este caso 1+1 = 2

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1 1 1 1 1 1 2 En el tercer lugar se colocará la suma del 1 y el 2 ubicados en la segunda columna. 1 1 1 1 1 1 1 2 3 Repitiendo esta operación , quedan las dos primeras filas : 1

1 1

1 2

1 3

1 4

1 5

En la próxima fila se comienza con un 1 en la tercer columna , y a continuación se ubica el 3 que proviene de la suma 1+2 : 1

1 1 2 3 1 3 Luego 3+3 es 6, y así siguiendo : # A= n 0 1 2 3 1

#P(A)

1

1 1

1 4

1 5

4

5 1 5 10 10 5 1 32

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

2

4

8

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mónadas díadas tríadas tétradas

Vean la sorpresa : a cada columna le voy a asignar un número n que indica el número de elementos del conjunto . Así en la primera fila vamos a tener la cantidad de subconjuntos que contienen 0 elementos , que es siempre 1 (el único subconjunto con 0 elementos es el conjunto vacío) . La segunda fila nos da la cantidad de mónadas: así, si el conjunto tiene 5 elementos (n=5) habrá 5 mónadas . Si hay 4 elementos , hay 4 mónadas. La tercer fila corresponde a la cantidad de díadas :si la cantidad de elementos es n = 4 , la cantidad de díadas que corresponde es 6. Si n es 5 hay 10 Por supuesto que este triángulo de Pascal es útil para números pequeños ,pero si hay 7 elementos ( o más ) y queremos saber cuantos subconjuntos de 3 elementos quizá sea conveniente calcular el combinatorio de 7 en 3 en lugar de extender esta tabla con dos columnas más. Si sumamos los números de cada columna obtenemos el cardinal del conjunto de partes de un conjunto de n elementos . En cada columna el 1 superior corresponde al vacío, y el 1 inferior el conjunto total.

Mónica Lidia Jacob

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De la lógica a la topología en psicoanálisis : un recorrido posible Clase 6 Vamos a efectuar ahora la representación de un tetraedro .Tomemos una cara triangular cuyos 3 vértices se unen en un punto que sale del plano del triángulo (que está hacia abajo por ejemplo ). Eso es un tetraedro . A los vértices los llamaremos con las letras de conjunto B :,,, Ese sería el conjunto de puntos . Volvamos a leer la cita de Lacan , para ver si se entiende mejor “ Es muy fácil si parten de esto, por tomar el número cardinal ; tienen un conjunto compuesto por ejemplo por 5 elementos. Ese es el que llamé B y que está compuesto por ,,,,. Si llaman subconjunto la reunión en un conjunto de cada uno de estos cinco elementos, Ahí, se está refiriendo a las mónadas que son los subconjuntos formados con uno solo de los elementos del conjunto B ; es decir {},{},{},{},{}.Creo además que la palabra reunión no está tomada en sentido estricto como operación de conjuntos sino simplemente juntar esas mónadas , luego de los grupos que forman dos de estos elementos, sobre cinco, Los subconjuntos de dos elementos de entre los 5 son las díadas les resultará fácil calcular cuantos subconjuntos dará . Hay muy exactamente diez. Claro , hay 10 díadas Luego ,los toman de a tres: habrá también diez Vimos también que hay 10 tríadas luego los toman de a cuatro : habrá cinco. Y llegarán al final al conjunto en tanto no hay más que uno, ahí presente que comprenda cinco elementos . Está claro que hay 5 tétradas y un solo conjunto con todos los elementos que es el conjunto de partida . A lo que conviene agregar el conjunto vacío (que nosotros poníamos al principio) que , en todo caso , sin ser elemento del conjunto Atención : el vacío no es elemento del conjunto original ,pero sí es elemento del conjunto de partes , es manifestable como una de sus partes sí es elemento del conjunto de partes ya que sus partes no son el elemento . Las partes son conjuntos formados con los elementos ,pero no son los elementos mismos . Lo que de esto se ordena se escribe así: 3 6 8 6 3

1 5 10 10 5 1 La primer columna es para un conjunto de 4 elementos ,pero hasta el momento en este párrafo de ese conjunto de 4 no habla . ¿qué es lo que resulta definido por nosotros como parte del conjunto?”

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Sigamos con otro párrafo que no habíamos leído : “el conjunto vacío está ahí (es una de las partes y el lo ubica “dentro “ del tetraedro ).Los cinco elementos ,,,, por ejemplo están ahí . En realidad está escribiendo como letras sueltas a las mónadas .O sea que le faltan los paréntesis. {},{},{},{},{} Lo que tenemos después es  , ,  , . Pueden hacer otro tanto a partir de  ,luego a partir de  , etc . Verán que hay 10 . Efectivamente son las 10 díadas que habíamos visto : {,} ,{,} , {,} ,{,} { ,} ,{,} , {,}, {, } , {,} {,} Después tienen acá  ,donde falta  .Y ustedes pueden, haciendo faltar cada una de estas letras, obtener el número necesario de cinco para el agrupamiento como partes de los elementos . Este enunciado oscuro dice simplemente que hay 5 subconjuntos formados por 4 elementos, es decir que cinco es el número de tétradas, a saber : (,,,) (,,,)(,,,)(,,,) (,,,) Mediante lo cual encuentran lo que es seguro- alcanzaría con que complete este enunciado de un conjunto de cardinal 5 con la serie que podríamos ubicar al lado, que es la que se refiere a un conjunto de 4 elementos . Ahí está la serie de 4 que constituye la columna de izquierda , la que contiene 1 4 4 1. Dicho de otro modo , imagínenlo a partir de un tetraedro : verán que tienen una tétrada (el tetraedro como conjunto completo de 4 elementos ) P:¿ un tetraedro lo toma como la serie de 4 elementos? MJ: el tetraedro es una figura geométrica que tiene 4 vértices. P:¿ que relación establece entre la serie de 4 elementos y el tetraedro? MJ: ahora va ubicar que es cada cosa en el tetraedro. Dice que hay una tétrada que sería el tetraedro en su totalidad como conjunto de 4 puntos que tienen seis aristas, que tienen 4 vértices, que tienen 4 caras y que también tienen el conjunto vacío (columna izquierda ). Cada vértice es un solo punto ,con lo cual la cantidad de vértices es la cantidad de mónadas ; las aristas por dos , así que la cantidad de aristas es la cantidad de díadas y la cantidad de caras es la cantidad de tríadas dado que una cara está caracterizada por 3 puntos.

 1 4

vacío vértices

6 4 1

aristas caras tetraedro





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 Las aristas son los segmentos que unen dos puntos (dos vértices), hay 6 aristas . Las caras son los triángulos que unen 3 vértices (tríadas). y hay 4 caras (una no se ve en el dibujo plano) . El tetraedro es la tétrada o conjunto total . Y el vacío está contenido en el tetraedro . Después dice : “La observación que hago tiene esto que resulta de ella . Hice alusión al otro caso, para mostrar que en los dos casos la suma de las partes es igual a 2 a la potencia n , siendo n precisamente el número cardinal de los elementos del conjunto” . Esto lo vimos al principio . Si el conjunto tiene 5 elementos, su conjunto de partes está formado por 2 5 , es decir , 32 elementos . Es la fórmula que escribí al principio diciendo que el cardinal de partes de A es igual a 2 elevado al cardinal de A : # P(A) = 2 #A En la página 138 está construido el triángulo de Pascal . En esa página dibuja un triángulo ; es decir quiere representar en el triángulo el conjunto de partes de un conjunto de 3 elementos . O sea que si tomamos tres números : a,b,c y armamos el conjunto de partes, tendremos de acuerdo al triángulo de Pascal : un conjunto vacío , tres mónadas (los vértices ) , tres díadas (las aristas ) y una tríada ( el triángulo ) a  b c Los vértices serán 3 : a,b,c que corresponde a las mónadas {a},{b} y {c} Las aristas son ab, ac, bc , que corresponde a las díadas {a,b} {a, c} {b, c}. Todos estos temas están también en Ou Pire. Hasta acá vimos algunas operaciones con conjuntos : unión, intersección , complemento , inclusión y el conjunto de partes. En la próxima clase vamos a ver una nueva operación llamada producto cartesiano entre dos conjuntos , que da lugar a la creación de los pares ordenados . Si A y B eran conjuntos de números ,la unión estaba formada por números ,la intersección también . Si los conjuntos estaban formados por letras , la unión e intersección también estaba formada por letras . Pero un elemento del producto cartesiano , ya no será ni un número ni una letra sino un par ordenado , un objeto de otro orden .

Mónica Lidia Jacob

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De la lógica a la topología en psicoanálisis : un recorrido posible Clase 6 Definiremos una relación como un subconjunto cualquiera del producto cartesiano. Es decir que una relación es un subconjunto del producto cartesiano y una función es un caso particular de relación . Toda función es relación ,pero no toda relación es función . En lo que sigue veremos entonces producto cartesiano, relaciones de equivalencia , noción de función y argumento ( no en Frege ), para luego llegar a los conjuntos cocientes donde presentaremos las superficies topológicas como conjuntos cociente . Hasta la próxima.