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CIRCUITOS RC 1. En un circuito RC en serie, la f.e.m. total es de 11 V, R = 1.42 MΩ y C = 1.8 μF. (a) Calcula la constante de tiempo. (b) ¿Cuánto tiempo le toma a la carga llegar a 15,5μC? (c) ¿Cuál es el voltaje en la resistencia en ese tiempo? 𝑎) 𝜏 = 𝑅𝐶 = 1.42𝑥106 ∙ 1.8𝑥10−6 = 2.556 𝑠𝑒𝑔 𝑡

𝑏) 𝑞(𝑡) = 𝜀𝐶 (1 − 𝑒 − 𝑅𝐶 ) 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 t 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: 𝑡 = −𝑅𝐶𝑙𝑛 (− 𝑡

(𝑞 − 𝐶𝜀) ) = 3.9031 𝑠𝑒𝑔 𝐶𝜀

3.9031

𝑐) 𝑉𝑅 = 𝜀𝑒 −𝑅𝐶 = 11 ∙ 𝑒 − 2.556 = 2.3889 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠

2. Para el siguiente circuito a) calcular la corriente por el capacitor en t = 0 y b) ¿Cuál es la carga máxima que adquiere el capacitor?

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑜𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑙𝑙𝑎 2 𝑎) 12 = 3𝑖𝑜 → 𝑖𝑜 =

12 =4𝐴 3

𝑏) 𝑞𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎 = 𝑄 = ∆𝑉𝑐 𝐶

12 = (5 + 2 + 1)𝑖 → 12 = 8i → i = 1.5𝐴 ∆𝑉𝑅 = 5 ∗ 1.5 = 7.5𝑉 ∆𝑉𝑅 = ∆𝑉𝐶 → 𝑞𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎 = 7.5𝑉 ∗ 2𝜇𝐹 = 15𝜇𝐶

3. Sea un condensador de capacidad C=1.5 μF en serie con una resistencia de R=58 kΩ cargado inicialmente con Q=45 μC. Empecemos a contar el tiempo cuando se cierra el interruptor. En el instante t=60 ms calcular la carga y la corriente. 𝑞 = 45𝑥10

−6

∙

60𝑥10−3 − −6 58000∙1.5𝑥10 𝑒

= 22.6𝑥10−6 𝐶

−3

𝑖=

60𝑥10 45𝑥10−6 − ∙ 𝑒 58000∙1.5𝑥10−6 = 2.60𝑥10−4 𝐴 −6 58000 ∙ 1.5𝑥10

4. Se conecta un condensador de 20 µF a un generador de 200 V a través de una resistencia de 0,5 MΩ. a) Hallar la carga del condensador al cabo de 0 s, 5 s, 10 s, 20 s, 40 s y 100 s después de haberlo conectado. b) Hallar la intensidad de la corriente de carga en esos mismos instantes. c) ¿Qué tiempo sería necesario para que el condensador adquiriese su carga final si la intensidad de la corriente de carga fuese en todo momento igual a la inicial? Comparar este tiempo con la corriente de tiempo del circuito.

𝑎) 𝐿𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑞𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎 = ∆𝑉𝑅 𝐶 = 20𝑥10−6 ∙ 200 = 4𝑥10−3 𝐶 𝑡

𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑞 = 𝜀𝐶 (1 − 𝑒 −𝑅𝐶 )

𝑏) 𝐿𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑖 =

𝜀 −𝑡 ∙ 𝑒 𝑅𝐶 𝑅

𝑐) 𝐿𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑞 = 4𝑥10−3 𝐶 𝑦 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑒𝑠 𝐼 𝑞 = 4𝑥10−4 𝐴. 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑡 = = 10𝑠 𝑖

5. Tomando en cuenta los parámetros del ejercicio anterior, ¿Qué tiempo será necesario para que la carga del condensador aumente de 2 a 4 mC? El problema para la resolución de este ejercicio es el despeje por logaritmos neperianos. 𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑡 𝑞 − 𝜀𝐶 4𝑥10−3 − 200 ∙ 20𝑥10−6 = −𝑅𝐶𝑙𝑛 (− ) = 20𝑥10−6 ∙ 0.5𝑥10−6 ∙ ln(− ) = 6.93 𝑠𝑒𝑔 𝜀𝐶 200 ∙ 20𝑥10−6