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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES

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CIRCUITO RLC EN SERIE Laboratorio de Electricidad y Magnetismo Alexander Erazo Ruiz, Mar´ıa Fernanda Bol´ıvar, Carlos Manuel Montoya y Mario Alejandro Chicaiza. Resumen—Un circuito RLC es un circuito lineal que contiene una resistencia el´ectrica, una bobina (inductancia) y un condensador (capacitancia). Existen dos tipos de circuitos RLC, en serie o en paralelo, seg´un la interconexi´on de los tres tipos de componentes. El circuito serie RLC es un ejemplo de circuito de segundo orden; por esta raz´on su comportamiento transitorio no responde al comportamiento exponencial t´ıpico de los circuitos RC o RL. En el siguiente informe se realizan mediciones y observaciones para conocer y analizar el comportamiento de un circuito RLC en serie. Palabras Clave—Capacitor, inductor, campo magnetico, Leyes de kirchoff, Resonancia, Inductancia, Capacitancia.

F

1

´ I NTRODUCCI ON

E

los circuitos el´ectricos o electr´onicos que tengan presentes capacitores, inductores y resistencias se les denomina circuitos RLC. Una caracter´ıstica muy importante de estos circuitos es que tiene un a´ ngulo de desfasaje entre las tensiones y corrientes. Dependiendo de cu´al de las reactancias sea mayor podremos afirmar si se trata de un circuito con caracter´ısticas capacitivas o inductivas y por lo tanto si la tensi´on adelanta a la corriente o si la corriente adelanta a la tensi´on. N

2

O BJETIVO GENERAL

Experimentar con el circuito RLC serie.

3

O BJETIVOS ESPEC ´I FICOS 1) Formar una capacidad de an´alisis critica, para interpretar de una manera o´ ptima los resultados obtenidos, de una forma l´ogica como anal´ıtica. 2) Determinar las caracter´ısticas de un circuito RL y encontrar su comportamiento. 3) Estudiar los efectos sobre la corriente alterna en un circuito serie RLC. 4) Manejo adecuado de circuitos que poseen resistencias bobinas y condensadores,

Un circuito RLC se representa en forma de esquema en la figura 1.

4

P ROCEDIMIENTO 1) Conecte el aparato que se muestra en la figura 1 con una tensi´on de l´ınea de 120 voltios AC de 60 Hz.. 2) En cualquier posici´on del n´ucleo de la bobina mida los voltajes a trav´es de cada uno de los elementos y la corriente en el amper´ımetro. Registre los datos en la tabla 1.

Fig. 1. Circuito RLC en serie.

• Alexander Erazo Ruiz, Estudiante de Ingenier´ıa El´ectrica Mar´ıa Fernanda Bol´ıvar, Carlos Manuel Montoya G y Mario Alejandro Chicaiza. Estudiantes de Ingenier´ıa Electr´onica, Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales, Caldas, Colombia. Web: ver http://www.manizales.unal.edu.co/ Informe Recibido Mayo 10, 2016.

Tabla 1 Datos tomados del circuito RLC

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3) Para cada variaci´on de inductancia (esto se consigue variando la posici´on del n´ucleo desde 0 hasta 40 a intervalos de 4 unidades en la escala del n´ucleo), registre los valores en la tabla 2.

Tabla 3 Datos tomados del circuito RLC Tabla 2 Datos tomados del circuito RLC r

4) Cortocircuite los terminales del condensador para obtener un circuito RL en serie y repita el numeral 3 del procedimiento. Consigne los valores en la tabla 3.

5

´ C ALCULOS Y R ESULTADOS 1) Con los datos de la tabla 1, muestre que se cumple la ley de mallas de Kirchhoff. Como la alimentaci´on es corriente alterna y el circuito contiene dos acumuladores (inductor y capacitor), y considerando el an´alisis de fasores la relaci´on de voltajes en la malla es: −V + ZR I + ZL I + Zc I = 0

(1)

−V + I(ZR + ZL + Zc ) = 0

(2)

−V + 0.2 (

64.5 2 128.5 66.7 2 ) +( − ) ) = 0 (6) 0.2 0.2 0.2 −V + 89.32799 = 0

(7)

V = +89.32799V

(8)

Error =

|100 − 89.32799| ∗ 100% 100 Error = 10.6%

(3)

−V + I (R2 + (XL − XC )2 ) = 0

(4) R=

s

−V + I (

VR 2 VL VC 2 +( − ) =0 I I I

(5)

(11)

VR I

(12)

64.5V 0.2A

(13)

R= q

(10)

2) Con los datos de la tabla 1 halle los valores de la resistencia, inductancia y capacidad del circuito. ¿Cu´al de estos valores permanece constante durante la pr´actica? Explique: Resistencia: VR = IR

−V + IZ = 0

(9)

R = 322.5Ω

(14)

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3

Inductancia 2πf L =

VL XL = I

(15)

128.5V 0.2A por lo tanto la reactancia inductiva es: XL = 642.5Ω

(16)

(17)

XL 2πf

(18)

642.5Ω L= 2π60Hz y su inductancia es:

(19)

L = 1.704H

(20)

Capacitancia: XC =

VC I

(21)

66.7V 0.2A Por lo tanto la reactancia capacitiva es: XC =

(22)

XC = 333.5Ω

(23)

1 2πf XC

(24)

1 2π(60Hz)(333.5Ω)

(25)

C= C=

(29)

Entonces,

XL =

L=

1 2πf C

C = 7.9537x10−6

F

(26)

L=

L=

1 4π 2 f 2 C

1 4π 2 602 ∗ 7.9537x10−6 L = 0.8846H

(30)

(31) (32)

La resonancia ocurre cuando la corriente se encuentra en fase con la tensi´on; y para que esto ocurra es necesario que la reactancia capacitiva sea igual a la reactancia inductiva, y como los voltajes del inductor y capacitor est´an en oposici´on de fase, y adem´as la corriente es la misma en todos los elementos puesto que est´an en serie; los voltajes del capacitor y el inductor se anula mutuamente, de manera que la ca´ıda de tensi´on en la resistencia se hace igual al voltaje de alimentaci´on. 4) Con los datos de la tabla 2, haga una gr´afica de I contra L y por medio de e´ sta determine el valor de L para la cual ocurre la resonancia. Compare este valor con el hallado matem´aticamente. A partir de los valores de VL se puede calcular la Inductancia en cada caso: V L = i ∗ XL asi que XL = V L/i pero XL = 2πf L. Por lo tanto igualando ecuaciones se obtiene. VL = 2πf L i

(33)

Despejando L obtenemos: NOTA: Dentro del laboratorio lo u´ nico que se vario fue la inductancia, mientras que la resistencia y el capacitor manten´ıa constante. 3) Utilizando la expresi´on 2 determine matem´aticamente el valor de L para la cual ocurre la resonancia. I=q

V R2 + (2πf L −

2 1 2πf C )

(27)

De donde XL = 2πf L

y

Xc =

La resonancia ocurre cuando:

1 2πf C

(28)

L=

VL 2πf i

(34)

Con los datos de la tabla 2 y reemplazando en (34) cada valor de VL en cada caso obtenemos los valores de inductancia en cada variaci´on del n´ucleo, se comparo estos con los valores de corriente. se Gr´afico I vs L tenemos que: como muestra la ecuaci´on (27) Se ve que la corriente es m´axima cuando ocurre la resonancia, debido a que 2πf L − (

1 ) 2πf C

el resultado es cero y por lo tanto

(35)

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Error Absoluto ∆Li = |L − Li |

(38)

∆L3 = |L − L3 |

(39)

∆L3 = |0.83 − 0.88|

(40)

∆L3 = 0.05H

(41)

∆L4 = |L − L4 |

(42)

∆L4 = |0.83 − 0.79|

(43)

∆L3 = 0.04H

(44)

Tabla 4 Datos tomados del circuito RLC

Error Absoluto Medio ∆L3 + ∆L4 0.05 + 0.04 ∆L = = = 0.045 2 2

(45)

Error Relativo Medio %Error = ±

0.045 ∆L = ∗ 100 = 5.42% (46) L 0.83

5) Con los datos de la tabla 2 haga una gr´afica del factor de potencia contra L y por medio de e´ sta determine el m´aximo valor del factor de potencia y la magnitud de L para la cual ocurre dicho m´aximo. Compare este valor con los hallados en los numerales anteriores.

Fig. 2. Circuito RLC en serie.

A partir de la formula V i= R

(36)

los casos en los que no haya resonancia, el denominador ser´a mayor y la corriente menor. Si se observa la gr´afica de la Figura 2 vemos que la corriente es m´axima en el punto (0.79,0.27), por lo que la inductancia de resonancia es aproximadamente 0.79 H,valor muy aproximado al obtenido en el numeral anterior de 0.884 H Calculo de Error Media Aritm´etica L=

L3

+ 2

L4

=

0.88 + 0.79 = 0.83H 2 (37)

cos ϕ = q

R R2 + (XL − XC )2

(47)

Se debe calcular XL y XC , en cada caso, adem´as es necesario encontrar una resistencia promedio. VC VL VR XL = R= (48) I I I Aplicando las f´ormulas a cada caso de variaci´on del n´ucleo tenemos la siguiente tabla 5. Como la resistencia deber´ıa ser constante a lo largo del experimento, encontramos el promedio de esta. XC =

R promedio = 357.35 Ω

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Tabla 5 Datos tomados del circuito RLC

Con estos datos se encontr´o el factor de potencia para cada variaci´on del n´ucleo con la ecuaci´on (47). En la siguiente tabla, tabla 6 se plante´o la relaci´on entre la inductancia y el factor de potencia y procedemos a analizar la gr´afica Si se observa la gr´afica, el m´aximo valor del factor de potencia es 1, para el cual la inductancia es 0.8498. Analizando la f´ormula (47) se ve que el m´aximo valor del factor de potencia ocurre cuando las reactancias capacitiva e inductiva son iguales, es decir el circuito esta en resonancia; por lo que el valor de la inductancia en el valor m´aximo del factor de potencia debe ser similar a los de los numerales 3 y 4.

Fig. 3. Gr´afica de la relaci´on de factor de potencia y inductancia. Calculo de Error

Tabla 6 Datos tomados del circuito RLC

Media Aritm´etica L3 + L4 + L5 0.88 + 0.79 + 0.84 L= = = 0.83H 2 3 (49) Error Absoluto ∆Li = |L − Li |

(50)

∆L3 = |L − L3 |

(51)

∆L3 = |0.83 − 0.88|

(52)

∆L3 = 0.05H

(53)

∆L4 = |L − L4 |

(54)

∆L4 = |0.83 − 0.79|

(55)

∆L3 = 0.04H

(56)

∆L5 = |L − L5 |

(57)

∆L5 = |0.83 − 0.84|

(58)

∆L5 = 0.01H

(59)

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Error Absoluto Medio ∆L =

0.05 + 0.09 + 0.01 ∆L3 + ∆L4 + ∆L5 = 3 3 (60)

∆L = 0.05

Error Relativo Medio

%Error = ±

∆L 0.05 = ∗ 100 = 6.02% (61) L 0.83

6) Con los datos de la tabla 3 haga una gr´afica de I contra L ¿Qu´e concluye?

Fig. 4. Gr´afico de la relaci´on I vs L en el circuito RL

Con los datos de la tabla 3 y reemplazando en (34) Con cada valor de VL en cada caso se obtiene los valores de inductancia en cada variaci´on del n´ucleo, comparamos estos con los valores de corriente.

VL = IX L

Donde,

XL = 2πf L

(62)

Sustituyendo y despejando I, tenemos: I=

VL 2πf L

(63)

Se observa en esta ecuaci´on como la I es inversamente proporcional a L.

6

C UESTIONARIO 1) ¿Cu´ales son las caracter´ısticas de un circuito RLC en serie cuando se presenta la resonancia?

Tabla 7 Datos tomados del circuito RL

Se observa que la relaci´on entre I y L en un circuito RL es inversamente proporcional, donde a medida que aumenta la inductancia la corriente en el circuito disminuye . Considerando la siguiente f´ormula.

La resonancia en los circuitos AC se produce a una frecuencia especial determinada por los valores de la resistencia, la capacidad, y la inductancia. La condici´on de resonancia en los circuitos series es muy sencilla y se caracteriza porque la impedancia es m´ınima y el a´ ngulo de fase es cero. La resonancia de un circuito RLC serie, ocurre cuando las reactancias inductiva y capacitiva son iguales en magnitud, pero se cancelan entre ellas porque est´an desfasadas 180 grados. Esta reducci´on al m´ınimo que se produce en el valor de la impedancia, es u´ til en aplicaciones de sintonizaci´on. La nitidez del m´ınimo de impedancia, depende del valor de R y se caracteriza mediante el valor ”Q” del circuito. En resumen las caracter´ısticas principales son: • La impedancia a trav´ es del circuito es m´ınima e igual a la resistencia serie. • La corriente es m´ axima y limitada por la resistencia serie. • La tensi´ on aplicada cae en la resistencia. • La ca´ıda de tensi´ on en la bobina o el condensador es igual al valor de su reactancia

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multiplicado por la intensidad que circula. Estas tensiones se encuentran 180o desfasadas entre s´ı y puede ser mayor que la tensi´on aplicada. • Por debajo de la frecuencia de resonancia, XC es mayor que XL y la impedancia es una suma vectorial. La impedancia aumenta y la corriente disminuye. El circuito se comporta como capacitivo y la corriente adelanta a la tensi´on. • Por encima de la frecuencia de resonancia, XL ¿ XC. La impedancia aumenta y la corriente disminuye. El circuito se comporta como inductivo y la intensidad retrasa respecto de la tensi´on. 2) ¿Cu´ales son las caracter´ısticas de un circuito RLC en paralelo cuando se presenta la resonancia? Cuando se conecta un circuito en paralelo, alimentado por una se˜nal alterna, hay un efecto de e´ sta en cada uno de los componentes. En el condensador o capacitor aparecer´a una reactancia capacitiva, y en la bobina o inductor una reactancia inductiva, dadas por las siguientes f´ormulas: XL = 2πf L

(64)

1 2πf C

(65)

XC =

D´onde: π = 3.14159 f = frecuencia en Herz L = Valor de la bobina en henrios C = Valor del condensador en faradios

1 2π LC 2

3) ¿C´omo es el comportamiento del factor de potencia cuando se presenta la resonancia de un circuito RLC en serie? Un circuito RLC serie se dice que est´a en resonancia cuando la reactancia inductiva es igual a la capacitiva, XL = XC. Al estar los componentes en serie la corriente que circula por el circuito es la misma por todos ellos. Como R = XL = XC, las tensiones ca´ıdas en cada componente son iguales, es decir VR = VL = VC. Sin embargo, esto es cierto solamente en cuanto a la magnitud o m´odulo de la tensi´on. La fase de la tensi´on es diferente en cada caso. La tensi´on a trav´es de R est´a en fase con la corriente del circuito; la tensi´on en la bobina L est´a adelantada 90o con respecto a la intensidad y la tensi´on en el condensador C retrasa 90o en relaci´on a la intensidad. A la frecuencia de resonancia, las tensiones del condensador y de la bobina son de igual m´odulo pero desfasadas 180o entre s´ı. En consecuencia la suma vectorial de estas dos magnitudes es 0. Puesto que la combinaci´on de L y C no produce ca´ıda de tensi´on, su reactancia total o impedancia reactiva debe ser 0. Es decir que el generador ve una combinaci´on LC como un conductor perfecto que no tiene impedancia. As´ı la u´ nica oposici´on al flujo de la corriente del circuito es la resistencia de R. Esto se prueba aplicando la f´ormula de la impedancia: Z 2 = R2 + (XL − XC )2

Como se puede ver los valores de estas reactancias depende de la frecuencia de la fuente. A mayor frecuencia XL es mayor, pero XC es menor y viceversa. Hay una frecuencia para la cual el valor de la XC y XL son iguales. Esta frecuencia se llama: frecuencia de resonancia y se obtiene de la siguiente f´ormula: FR =

de la resistencia. Los efectos de la reactancia capacitiva y la inductiva son opuestos, es por eso que se cancelan y causan la oscilaci´on (resonancia).

(66)

En resonancia como los valores de XC y XL son iguales, se cancelan y en un circuito RLC en paralelo la impedancia que ve la fuente es el valor

(67)

como XL = XC entonces Z = R. En un circuito resonante serie, la impedancia total es igual a R. Esto supone que la corriente y la tensi´on est´an en fase y por lo tanto el factor de potencia es igual a 1. Y la corriente que circula es m´axima e igual a V/R. 4) ¿C´omo es el comportamiento del factor de potencia cuando se presenta la resonancia en un circuito en RLC en paralelo? En la resonancia, el voltaje y la corriente est´an en fase y, por consiguiente, el a´ ngulo de fase es cero

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y el factor de potencia es unitario.

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C ONCLUSIONES

Analizando los circuitos RLC se puede notar la importancia del estudio de los fasores el´ectricos para el desarrollo de cualquier aplicaci´on que conlleve se˜nales sinusoidales. Se comprendi´o las condiciones en las que se produce la resonancia en un circuito RLC. Ademas se encontr´o el valor de la inductancia para calcular el m´aximo valor del factor de potencia. Al observa el cambio de inductancia en el sistemas se puede comprender el funcionamiento de un circuito RLC en serie, y c´omo funciona la corriente alterna (de manera oscilatoria), variando constantemente la tensi´on generada por el sistema. Se comprob´o las condiciones para que se produzca la resonancia en un circuito adem´as de identificar c´omo act´ua el circuito con estas condiciones as´ı como los valores de la inductancia (hallados matem´aticamente y mediante gr´afica) para los cuales el circuito act´ua en resonancia.

R EFERENCIAS [1] Barco,Hector;Rojas, Edilberto. Gu´ıas de laboratorio de f´ısica II electricidad y Magnetismo. [2] Serway jr. F´ısica tomo II cuarta edici´on. [3] Eisberg;Lerner. Fisica Fundamentos y Aplicaciones Volumen II.

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