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• Diana Elizabeth Llovera Villanueva

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PROBLEMAS RESUELTOS

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME 1.

Un automóvil posee una velocidad de 72 Km/h , y avanza contra una pared tal como se indica en la figura.. ¿Después de cuántos segundos se encontrará a 40 m de dicha pared?. Solución

v t

t

d v

t

160 m 20 m s

B 40 m 200 m

A

C

 2.

8s

v

72 Km

H

20 m

s

Dos ómnibus que viajan en sentidos contrarios y hacia el encuentro, lo hacen con velocidades de 11 Km/h y 33 Km/h . Cuando están separados 88 Km , del más lento sale volando un pájaro hacia el otro ómnibus a una velocidad de 88 Km/h respecto a tierra, cuando llega al otro tren , el pájaro emprende el retorno , y así hasta que éstos se encuentran. ¿Qué espacio recorrió dicho pájaro durante todo este tiempo?. Solución v2 33 Km vP 88 Km h h T

v1

11 Km

h

e

vP . t T

A

d

88 Km

B

Donde .- t = tiempo “común” que el pájaro estuvo volando, el que a su vez coincide con el tiempo que emplearán los ómnibus en encontrarse.

t

d v1

v2

...

88 Km 11 Km 33 Km h h Km e 88 x2h h

t

Tiempo de encuentro de los ómnibus (1) y (2). 

t



e 176 Km

2h

3.

Un bañista se encuentra sobre la playa, percatándose que mar adentro se produjo una explosión . Reconoce que la diferencia de los tiempos de llegada de los sonidos por el agua y el aire es de 11 s. ¿A qué distancia del bañista se produjo la explosión, sabiendo que las velocidades del sonido en el aire y en el agua son de 340 m/s y 1440 m/s respectivamente?. Solución

Dato del problema:

t SA t SM

v SA

x vSA

d

A

4.

88 Km

x vSN

11

x

vSM

11 s

11 s



1 1 340 1440

x = 4896 m

B

Un móvil que se desplaza con movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado recorre 35 m en t segundos de su movimiento, y en los siguientes t segundos 25 m .Si todo el movimiento dura 4t segundos , ¿qué espacio recorrió en los últimos t segundos antes de detenerse?. Solución t t t t

a

5 (7 )

35 m

5 (5)

25 5 (3)

15 5 (1)

x

5

5 m

Analizando los valores numéricos de los espacios recorridos, éstos deberán satisfacer la proporcionalidad de los números de Galileo , y en este caso, por tratarse de dos intervalos iguales “t” consecutivos, dichos valores numéricos serán dos números impares consecutivos. 5.

o

o

Un automóvil parte del reposo acelerando uniformemente entre el 8 y 9 2 25.5 m. Calcular su aceleración, en m/s . Solución v8 a ¿? v9

d

v8

25.5 m

v9

v8 .t

a 2 .t 2

;

v92

v82

2.a.d

;

v9

8.a

17.a 4



2

8.a



0 a. . n

a 2 2

2.a.d

;

segundo recorriendo

v8

v9

289 256 .a2 4

8.a

17.a 2 2.a.d

33 a 2 x4 6.

a

;

d

8 (25.5) 33



a = 6.18 m/s

2

Un ómnibus ve por la carretera a razón de 16 m/s. Un hombre se encuentra a 60 m de la carretera, y en cierto instante a 400 m del ómnibus . ¿En qué dirección indicada por debe recorrer el hombre a razón de 4 m/s para llegar a encontrarse justamente con el ómnibus , o antes que éste pase frente a él?. Solución

16t

v 16 m / s

E t

B

E

B

4t

60 m

vH

400 m

60

400 CE Sen

AE Sen

A

A

16 t Sen

4t Sen



Sen

60 400



Sen

= 4 Sen

Sen

1

3 5

= 4 (60/400) = 3/5

37º

El hombre llega a la carretera siempre antes que el ómnibus : 37º < 7.

Un tren demora 8 s en pasar frente a un alumno , y luego recorre integramente un túnel de 160 m de longitud en 48 s con velocidad constante . ¿Cuál es la longitud del tren?. Solución

dL

160 m

dL

Long. del Tren dL 160 d L (48) 8 8.

< 143º

v (8)



160 + dL = v ( 48 )



dL = 32 m

Un automóvil se acerca hacia una tapia a una velocidad constante de 10 m/s. Si en un determinado instante el chofer del automóvil hace sonar la bocina, y al cabo de 10 s escucha el eco, calcular a qué distancia se encontraba el móvil cuando el chofer hizo sonar la bocina. Considerar que la velocidad del sonido es 340 m/s. Solución Eco

v A 10 m

A

t 10 s

s

d

B

x

dS

x (x d )

2x d vS .t ( 340 m ) (10 s ) s

dS



dS = 2 x – d

…

(1)



dS = 3400 m

...

(2)

De (1) y (2) :

2x d d

(3)

3400

v A .t (10 m ) (10 s ) s



d = 100 m

...

(4)

De (4) en (3) :

2x

,

3400 d 

2x = 3400 + 100

x = 3500/2 = 1750 m.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO 9.

Un ciclista hace un recorrido de ida a razón de 20 Km/h ; pero de regreso, por el tránsito, lo hace a razón de 5 Km/h. Si en los dos casos es el mismo tramo recorrido, calcular la velocidad media en todo el trayecto de ida y vuelta. Solución v2 5 Km h v1 20 Km h

d1 d 2 t1 t 2

vm

2d d v1

d v2

2 1 v1

1 v2

B

A 

vm

2 . v1 . v 2 v1 v 2

2 . 20 . 5 5 20

8 Km

h

10. Un móvil recorre los lados de un triángulo equilátero, si el primer tramo lo hace a 10 m/s, el segundo a 20 m/s, y el tercero a 30 m/s. Calcular la velocidad media del movimiento. Solución

30 m / s

vm L

L

1 v1

3 1 v2

1 v3

1 30

3 1 20

1 10

16.3 m

s

20 m / s

10 m / s 11.

El gráfico representa el movimiento en una línea recta. Hallar el desplazamiento, y el espacio recorrido por el móvil entre t = 0s y t = 10 s. Solución

A1

4 x5 2

10 m

A3

2 x5 2

5m

v(m/s)

5

O

-5

4

8

10 t(s)

;

A2

4x5 20 m

Desplazamiento (o módulo del desplazamiento) :  12.

dT

A1

A2

A3

;

dT = 10 + 20 - 5

dT = 25 m Espacio recorrido : eT = 10 + 20 + 5 = 35 m

¿Cuál es la aceleración para cada segmento de cada gráfica siguientes?. Describa el movimiento del objeto durante el intervalo total del tiempo. Solución

v (m/s)

aA

8 0 3 1

aB

8 ( 12) 3 8

4 m s2

8.0 6.0 4.0

t (s) 0 -4.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0



aB

4 m s2



aC

4 ( 12) 9 8 8 m s2



aD

0

9.0 10.0 11.0 12.0

-6.0

aC

-8.0 -10.0 -12.0

Tiempo

13.

Se muestra el gráfico x – t de un automóvil que se desplaza en línea recta. Hallar la velocidad instantánea para t = 3. Solución

a 2 (1 ) 2 a 2 v o (4) (4 ) 2

4

vo (1)

40 8

2.v o

a

10

vo

2a

vf 14.



vo a . t

;

8

2.v o

a

(1)

;

10

.vo

2.a

(2)

vo = 2 m/s ;

y

a = 4 m/s 

vf = 2 + 4 (3)

2

vf = 14 m/s

Se muestra el gráfico x – t de una partícula que se mueve en línea recta. Hallar la velocidad para t = 8s. Solución

x2

(t 6) 2

v

dx dt

64

;

1 (64 (t 6) 2 ) 2

Ec. de la Circunferencia 1/ 2



[64 (t 6) 2 ]

v

1/ 2

(t 6)

Para t = 8 s :

[64 (8 6) 2 ]

v

1/ 2



(8 6)

2

v

m/s

15 15.

En el gráfico “v – t“, hallar la posición del móvil para t – 10, si para t = 2 su posición era x0 = 5. El móvil se desplaza en el eje x. Solución

x

v. (2)

A1

v . (4)

A2

v.

xT 16.

4 2

A1



5=v/2

5 . (4) 10 m 2 5 . ( 2) 5 m 2

A2

A3

v = 5/2

;

;

2 x5 2.

A3

y



xT = 10 + 5 - 5;

5m

xT = 10 m

Se muestra el gráfico “v – t” de un móvil que se desplaza en el eje x. Hallar su aceleración media durante los 10 primeros segundos. Solución

a

15 0 2 8

vf

a 17.

;

vf

vo t

5 m 2 2 s

vo a.t

5 2 10

vf

;

15



vf = - 5 m/s



a = - 0.7 m/s

5 . (8) 2

2

Dados los gráficos x – t de dos automóviles A y B determinar a que distancia del origen de coordenadas se encuentran. Solución

mA

40 0 0 8 40 x 5 0 t

mB 15

x ( 60) t 0

5 m

0 ( 60) 4 0

s x + 5.t = 40

;

15 m

;

s 15. t = x + 60

…

De (A) y (B) se deduce :

x 5t 40 15t x 60

20.t = 100 15 (5) – x = 60

… (A)



t=5s



x = 15 m

(B)

18.

Un automóvil de la figura se desplaza a razón de 108 Km/h y hacia un precipicio. El conductor aplica los frenos a partir del punto A de tal modo que experimenta un movimiento retardatriz con aceleración “a” , ¿cuál debe ser el mínimo valor de “a” para que el automóvil no caiga por el precipicio?. Solución

v

vf = 0

d

19.

30 m

108 Km

vf

0 ; el auto se detiene.

02

30 2

2.a.(100)

a

4.5 m

2.a.d

s2

s

Dos automóviles se acercan el uno hacia el otro a 40 m/s y 30 m/s respectivamente. Cuando se encuentran separados 280 m , los dos conductores se dan cuenta de la situación y aplican los frenos llegando al reposo al mismo tiempo precisamente antes de chocar. Si la desaceleración es constante para los dos automóviles , hallar la distancia recorrida por cada uno durante la frenada?. Solución

v1

vf1

0

t : Tiempo común vf 2 0

d1

Automóvil (1)

280 m :

Automóvil (2) d = d1 + d2

v1 .t 2

v1

d1

: , d

v2

d2 d

20.

vo2

100 m

v0

h

v 2f

2 v2

d2 v2 .t 2

vf1 vf 2 2

,

t

.t

.t

2 .d v1 v2

30 m x 8 s s 120 m 2 m v2 . t 40 s x 8 s 160 m 2 2  t 2 . (280 ) m 8 s 30 40 m s

v1 .t 2

Un automóvil viaja a razón de 72 Km/h. De pronto el conductor ve delante de él la luz roja de un 2 semáforo, y aplica los frenos, retardando uniformemente su movimiento a razón de 5 m/s , deteniéndose justo al lado del semáforo. ¿A qué distancia del semáforo se encontraba el automóvil cuando se encendió la luz roja?. Nota .- El tiempo de reacción media para un conductor es 7/10 s. Solución

v bf

v

0

v0b

a

A

d1

,

t

7 10

B

s

C

d2

x

Datos : v = 72 Km/h = 20 m/s

Se enciende la luz roja cuando el auto se encuentra a una distancia x. La luz roja viaja casi inmediatamente hasta los ojos del conductor, encontrándose a x metros del semáforo. El conductor emplea 7/10 s para reaccionar, lo que continúa avanzando con velocidad constante durante dicho tiempo, o sea : 7 Tramo AB : d1 20 m x s 14 m s 10 2 2 2 2 Tramo BC : vbf , 0 20 2.( 5)d2  d2 = 40 m v0b 2.a.d 2  21.

x = d1 + d2 = 14 m + 40 m = 54 m

Un pasajero se encuentra a 20 m de un ómnibus detenido. Cuando el pasajero corre hacia el 2 ómnibus a razón de 6 m/s , aquel parte alejándose con aceleración constante de 1 m/s . ¿En cuánto tiempo el pasajero logra alcanzar al ómnibus?. Si no lo alcanza , ¿hasta qué distancia como mínimo logró acelerarse al ómnibus?. Solución

vh

6

m

s

v0

0 t : común

a

A

Hombre (M.R.U.) : d Ómnibus (M.R.U.V.) De (2) y (1)

: 6t 

vh . t ,

20 + x = 6 . t

:

t

1 2 at 2

x

1 20 .t 2 : 2

t 2 12 t

12

x

B

20 m

16

1m

s2

C

(1)

1 m 2 (1 s ) t 2

(2)

40 0

, es un número complejo.

2

Luego, como el tiempo sólo acepta valores reales, nuestra suposición planteada es errada, esto significa que el ómnibus nunca alcanza al ómnibus.

2 , 6 = 0 + (1 m/s ) t  t=6s v0 a.t Hasta este tiempo ( t = 6 s) el hombre y el ómnibus se habrán desplazado 36 m y 18 m.

Ómnibus

: vf

Hombre

:

dh = v.t = 6 x 6 = 36 m

Ómnibus

:

dOm n

1 2 at 2

1 m (1 s ) (6) 2  2

dOmn = 18 m 

36 + dmón = 10 + 18 22.

dmín = 2 m

Un auto está esperando que cambie la luz de un semáforo. Cuando la luz cambia a verde, el auto 2 acelera uniformemente durante 6 s a razón de 2 m/s , después de lo cual se mueve con velocidad constante. En el instante en que el auto comienza a moverse, un camión se mueve en la misma dirección con velocidad constante de 10 m/s y lo pasa. ¿En qué tiempo y a qué distancia se encontrarán nuevamente el auto y el camión?. Solución

t1 A

aa

6s

2 m

12 m

v

t2

s

s2

36 m

B

x

C

, vf = 0 + 2 x 6  vf = 12 m/s v f v0 a.t Además en este tiempo logra recorrer una distancia de : 1 2 1 m  dAB = 36 m d AB at (2 s 2 ) (6) 2 2 2 y dcamión = 10 x 6  dcamión = 60 m

23.

Automóvil :

x = 12t

,

Camión : 

36 + x = 10 ( 6 + t2 ) tTotal = 6 + 12 = 18 s

t2 = 12 s

, x = 144 m dTotal = 36 + 144 = 180 m

,

Dado el gráfico x vs t , determinar : a) la ecuación que define la trayectoria espacio-tiempo, b) la posición del móvil en t = 10 s. Solución x (m)

v 20

Línea Re cta v

x 6

0

10

x0

v.t

t (s )

1)

t = 0 s ; x = - 30 m : -30 = x0 + v (0)

 x0 = -30 m

2)

t=6s ; x=0

 v = 5 m/s

v 20

a) b)

Luego : x = - 30 + 5 t x = - 30 + 5 (10) = 20 m



: 0 = -30 + v (6)

x = 20 m

Velocidad (constante) = pendiente = Tg



Tg

30 m 6s

5m

s

24.

Una partícula móvil se desplaza a lo largo del eje x , y su posición para todo instante t viene dado 2 por la siguiente ley : x = 45 – 6 t – 3 t , donde x está en metros y t en segundos. Se pide determinar : a) Su gráfica espacio-tiempo , b) La pendiente de la curva en t = 0 y en t = 5 s , c) el instante en el cual el móvil pasa por el origen de coordenadas. Solución x (m)

a) Tabular :

45

3t 2

x 45 6t 36

2

0

4

5

x 45.00 41.25 36.00 29.25 21.00 11.25 0.00 -12.75 -27.00

t (s )

27

T 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

60

1 2 , Ecuación general. a.t 2 2 Por comparación deducimos : x = 45 – 6t – 3 t  x0 = 45 m , v0 = - 6 m/s Para un M.R.U.V. : x

b)

x0

v0 . t

La pendiente de la cuerva viene dada por : , Tg vo a.t  Para :

c) 25.

t=0s

,

Tg Tg

,

Tg

a = - 6 m/s

2

= vf

=-6–6t

= - 6 m/s

y

t=5s

,

Tg

= - 36 m/s

El móvil pasa por el origen de abscisas en t = 3 s. Dada la gráfica posición versus tiempo de un móvil , se pide determinar : a) la aceleración del móvil, b) la pendiente de la curva en t = 8 s , si en t = 0 s y Tg = - 8 m/s , c) el significado de que la curva toque el eje del tiempo en t = 4 s. Solución x (m)

Parábola

M .R.U . A. :

x v0

16

M .R.U .D.

0

0

2

x

4

6

1 2 a.t 2

Según datos del problemas :

M .R.U . A.

v

v

x0 v0 . t

8

t (s )

16 8 t

1 2 a.t 2

Para : t = 0 s

, Tg = - 8 m/s , 2 1 x = 16 m ( x 16 8(0) 2 a (0) )

a) Para : t = 4 s

y

x = 0 .-

1 2

0 16 8(4)



x

1 2

16 8 t

v0 = - 8 m/s

a (4)2 :

a = 2 m/s

2

a t2

b) En estos gráficos la pendiente de la curva es la velocidad : Tg = v0 + a.t = - 8 + 2 t  t=8s y

Tg

Observación .- Si

:

Tg

= 8 m/s :

= Tg

+

= 180º

c) Si la curva toca el eje del tiempo sólo en t = 4 s , significa que el móvil llega al origen de abscisas en dicho instante, por lo tanto, v = 0. 26.

Si el gráfico v versus t corresponde al movimiento unidimensional de una partícula , se pide determinar : a) el desplazamiento y espacio recorrido entre t = 0 s y t = 10 s , b) la ley del movimiento x = f(t) , si además se sabe que el móvil se encontraba inicialmente en x o = - 12 m. Solución v (m / s)

Por semejanza de triángulos :

m 16

16

A1 A1

A2

t (s )

2

0

4

6

8

10

a) d neto

A2

6 4

m

1 (12 x16) 2 1 (6 x18) 2 A1

A2

18

96 m 54 m

96 ( 54)

30 m

Desplazamiento neto, entre t = 0 y t = 10 s

xT

A1

A2

24

54

78 m

Espacio Total vf

27.

m

b)

12 12 t

3 2 t 2

Un tren se mueve con aceleración constante. En un momento dado lleva una velocidad de 36 Km/h y después de recorrer cierta distancia alcanza una velocidad de 72 Km/h. Calcular esta 2 distancia recorrida, si la aceleración del tren es de 2 m/s . Solución

v 2f (72 28.

x

Km

h

)2

vo2 2 . a . d

(36 Km h ) 2 (2 m s 2 ) . d



d = 149.88 m

Dos automóviles parten de un mismo punto en direcciones perpendiculares entre sí, con 2 aceleraciones de 6 y 8 m/s . Calcular el número de segundos que pasará para que estén separados 1600 m. Solución t

x d

1600

y 6 m / s2

v0 8 m / s2

1 a1 .t 2 2 1 a2 .t 2 2

d2

x2

y2

1 a1 .t 2 2

x

1600 2

1 (8) t 2 4 t 2 2

(4t ) 2

,

(3t ) 2

y



t

4

1 (6) t 2 3t 2 2

16002 (16 9)

t4

,

1 a2 .t 2 2

16002 s 25

MOVIMIENTO VERTICAL 29. Un astronauta en la Luna, arrojó un objeto verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 8 m/s. El objeto tardó 5 s para alcanzar el punto más alto de su trayectoria. Con estos datos, determinar el valor de “g” en la Luna. Solución

vf

v0

g .t

;

v0 v f

t

g

30. A un águila suspendida en el aire se le suelta de su pico su presa desde una altura de 500 m , después de 3 segundos imprime una velocidad inicial y baja a recuperar su presa, cogiéndola justamente antes de chocar con el suelo. Determinar la velocidad inicial con que debe de salir el águila para alcanzar su presa. Solución

y

1 g .t 2 2

y

voy . t

g 2 t 2 

v0 y

2y g

;

t

;

500

37.05

m

2(500) 9.81

10.1 s

9.81 2 (7 ) 2

v0 y . (7)

s

31. Una piedra cae sin velocidad inicial desde el borde del techo de un edificio y requiere 1/4 s para recorre la distancia de la parte superior a la inferior de una ventana de 6 pies de altura.¿Cuánto valdrá la distancia (en pies) del borde del techo a la parte superior de la ventana?. Solución 2

v0 d

6

1 vA . 4

v2

v02

¿?

1 3 2

1 4

vA

20 pies / s

A 1

4 B

h

6 pies

s

2 gd

202

02 2 (32) d

d

6.25 pies