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• Dieguito Gordillo Rob

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA CIVIL

CURSO CIMENTACIONES

TEMA CIMENTACIONES SUPERFICIALES

IMPARTIDO POR: M. en C. FERNANDO MARCIAL MARTÍNEZ

DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES Característica Su función es lograr que las fuerzas que se presentan en la base de la estructura se transmitan adecuadamente al suelo en que se apoyan. Para que esto se cumpla deberá haber una seguridad adecuada contra la ocurrencia de fallas en la estructura o en el suelo en que se apoya. El diseño de cimentaciones es una actividad en que se traslapan las especialidades de Mecánica de Suelos y Estructuras. Una parte esencial en el diseño consiste en definir, cuáles son los estratos de suelo más adecuados para aceptar las cargas transmitidas por la estructura, cuál es la forma de la subestructura que mejor se preste a realizar dicha transmisión y cuál es el procedimiento de construcción más apropiado, los cuales deberán ser compatibles con los costos. Clasificación de las cimentaciones:

Superficiales

Cimentaciones

Zapatas aisladas Zapatas combinadas Losas de Cimentación

Semi-profundas {Cajones de cimentación

Profundas {Cimentaciones piloteadas Cimentaciones superficiales, son aquellas que se apoyan en estratos poco profundos que tienen suficiente capacidad para resistir las cargas de la estructura. En este grupo se encuentran las zapatas que son ensanchamientos de la sección de la columna o muros con los que se distribuye la carga de éstos a un área mayor de suelo. Las zapatas pueden ser aisladas, bajo una sola columna, combinadas bajo dos o más columnas, corridas bajo un muro o una contratrabe. Otro tipo de cimentación superficial está constituido por las losas de cimentación en las que el apoyo se realiza sobre toda el área de la construcción. Estas losas pueden ser planas (sin vigas) o con retículas de vigas (llamadas contratrabes).

2

Cimentaciones Semi-profundas, en estas se encuentran las losas que forman un cajón de cimentación junto con los muros de colindancia, que pueden llegar a profundidades relevantes y permiten aprovechar el peso del suelo excavado para compensar parcial o totalmente el peso de la construcción y aliviar así la presión neta en la superficie de contacto con el suelo. Cimentaciones profundas, están constituidas esencialmente por pilotes que transmiten su carga por punta o por ficción y que se denominan pilas cuando su sección transversal es de gran tamaño. Los pilotes pueden colocarse bajo zapatas o bajo losas de cimentación y pueden combinarse con éstas de manera que la carga se resista en parte por apoyo somero y en parte por apoyo profundo. ZAPATAS AISLADAS Distribución lineal de presiones del suelo sobre una cimentación rígida.

b

a Planta P

Esfuerzos

f= P/A Elevación

Figura 1. Carga axial aplicada sobre una zapata simétrica

3

El esfuerzo en el suelo se determina por: f= P/A

(1)

A= a.b (2) Donde: f = Esfuerzo en el suelo (kg/m2) P = Carga aplicada (kg) A = Área de contacto de la zapata con el suelo (m2) a = Ancho de la zapata b= Largo de la zapata Carga axial y momento flexionante Distribución lineal de presiones de presiones del suelo sobre una cimentación rígida.

b

a Planta P M

f2 f1 Elevación Figura 2. Carga axial P y momento flexionante M aplicada sobre una zapata simétrica

4

Los esfuerzos f1 y f2 se determinan mediante la fórmula de Navier, también conocida como fórmula de la escuadría, y está dada por: f = P/A ± M y / I (3) Donde: f = Esfuerzo en el suelo (kg/m2) P = Carga aplicada (kg) A = Área de contacto de la zapata con el suelo (m2) M = Momento flexionante (kg-m) a = Ancho de la zapata b = Largo de la zapata y=Distancia del eje centroidal a la fibra donde se quiera determinar el esfuerzo (m) I = Momento centroidal de inercia (m4) f1 = P/A + M y / I

(4)

f2 = P/A - M y / I

(5)

Y

el momento flexionante M puede escribirse como: M = Pe

(6)

Donde “e” es la excentricidad de la carga P, sustituyendo la ecuación (6) en (3) tendremos: f = P/A ± Pe y / I

(7)

Sí el área de contacto de nuestra cimentación es cuadrada es decir que: A=axa Y = a/2 I = a4/12 La ecuación 7, la podremos escribir como: f = P/a2 ± Pe (a/2) / (a4/12)

y

f1 = P/a2 (1 + 6e/a) f2 = P/a2 (1 - 6e/a)

(8) (9)

5

La distribución de esfuerzos pueden ser los siguientes:

P M

a

f2 = 0 f1 = P/a2 (1 + 6e/a) Para e= a/6 Figura 3. Distribución de esfuerzos en el suelo con e= a/6

P M

a f2 = P/a2 (1 - 6e/a) f1 =

P/a2

(1 + 6e/a)

Para e > a/6 Figura 4. Distribución de esfuerzos en el suelo con e > a/6

6

DISEÑO DE ZAPATAS AISLADAS El procedimiento de diseño se hará de acuerdo al Reglamento de Construcciones del Distrito Federal (RCDF), 2004. Para el cálculo del peralte por flexión, el momento flexionante se tomará a partir del paño de la columna.

P Columna

Elevación

a

x

c

X = (a-c)/2

x

a Planta Figura 5. Zona para revisión por flexión

7

Falla por tensión diagonal como viga ancha

P Tendencia de falla a cortante

Plano vertical 45°

d

Elevación

a c

d a Planta Figura 6. Zona para revisión por fuerza cortante

8

Falla por penetración o punzonamiento

P

60°

d

𝑑

𝑑

2

2

Elevación

perímetro crítico

d+c

a

d+c a Planta Figura 6. Zona para revisión por punzonamiento

Ejemplo 1. Diseñar la zapata aislada que se indica. El esfuerzo admisible del suelo es de 8.0 t/m2, con un esfuerzo de trabajo a la compresión del concreto de f’c = 200 kg/cm2, y esfuerzo a la fluencia del acero fy = 4200 kg/cm 2, peso volumétrico del suelo 𝛾𝑆 =1.6 t/m3.

9

P=18.00 Ton Sección transversal de la columna 30 x 30 cm Dado de 40 x 40 cm

Hf = 0.80 m

Cálculo del área de contacto f = PT /A

(10)

donde: f = esfuerzo admisible al corte del suelo PT = carga total aplicada a la cimentación A = área de contacto de la cimentación Tomaremos como peso de la cimentación 10% de P Entonces

PT = 18.0t + 0.10 x 18.0t = 19.80 ton

De la ecuación (10) Como de donde

A = PT / f = 19.80T / 8.0 t/m2,= 2.48 m2 A= a2 , __ _______ a = √A = √ 2.48 m2 = 1.56 m

Se propone una sección de 1.60m x 1.60m

10

P

Hf = 0.80 m

0.20m 0.60m

0.40m

0.60m

1.60m

f = 7.19 t/m2

Peso de la cimentación: Losa.- 1.60m x 1.60m x 0.20m x (2.4t/m3 – 1.6t/m3) = 0.41 ton Dado.- 0.40m x 0.40m x 0.60m x 0.8t/m3 = 0.08 ton P = 18.00 ton PT = 18.49 ton Esfuerzo neto ejercido sobre el suelo f = 18.49ton / 2.56m2 = 7.22 t/m2 < 8.0 t/m2 se acepta la sección propuesta Momento flexionante con respecto al paño de la columna M = 7.22t/m2 (0.60m)2 /2 = 1.30 t-m Calculo del peralte Primero calcularemos las constantes de diseño 𝑓𝑐∗ = 0.8𝑓𝑐′ = 0.8 ×

200𝑘𝑔 𝑘𝑔 = 160 𝑐𝑚2 𝑐𝑚2 11

𝑓𝑐" = 0.85𝑓𝑐∗ = 0.85 × 160 𝑘𝑔

Como: 𝑓𝑐∗ < 280 𝑐𝑚2

𝑘𝑔 𝑘𝑔 = 136 𝑐𝑚2 𝑐𝑚2

𝛽1 = 0.85

Entonces

la cuantía de refuerzo p será: 𝑓𝑐" 6000𝛽1 136 6000 × 0.85 𝑝= = = 0.0162 𝑓𝑦 𝑓𝑦 + 6000 4200 4200 + 6000 La cuantía máxima para diseño por carga vertical es 𝑝𝑚á𝑥 = 0.9𝑝 = 0.9 × 0.0162 = 0.0146 Y el índice de refuerzo 𝑞𝑚á𝑥 =

𝑓𝑦 4200 𝑝 = 0.0146 = 0.45 𝑚á𝑥 136 𝑓𝑐"

La cuantía de refuerzo mínimo por cambios volumétricos debido a la temperatura es, para secciones que estén en contacto con el terreno 𝑝𝑚í𝑛 = 0.003 Aplicando la ecuación para el cálculo del peralte, tendremos:

𝑑=√ Donde:

𝑀𝑢 − 0.5𝑞)

𝐹𝑅 𝑓𝑐" 𝑏𝑞(1

Mu = Fc M = 1.4 x 1.30 t-m = 1.82 t-m =1.82 x 105 kg-cm

Considerando

b = 100 cm

Sustituyendo en la ecuación anterior

𝑑=√

1.82 𝑥 105 = 6.53 𝑐𝑚 0.9𝑥136𝑥100𝑥0.45(1 − 0.5𝑥0.45)

Se propone un peralte efectivo d = 15 cm Recubrimiento r = 5.0 cm Peralte total h = 20 cm

12

Calculo del refuerzo para el peralte propuesto, iniciaremos calculando el índice de refuerzo, de acuerdo a la siguiente expresión: 𝑞 = 1 − √1 − 𝑄𝑀𝑢

(a)

Donde

𝑄=

2 𝐹𝑅 𝑓𝑐"

𝑏𝑑 2

(b)

Sustituyendo valores en la ecuación (b) 𝑄=

2 = 7.26𝑥10−7 0.9 × 136 × 100 × 152

Sustituyendo en (a) 𝑞 = 1 − √1 − 7.26𝑥10−7 × 1.82 × 105 = 0.07 Y la cuantía de refuerzo 𝑝= Tomaremos

𝑓𝑐" 136 𝑞= 0.07 = 0.0022 < 𝑝𝑚í𝑛 𝑓𝑦 4200

𝑝𝑚í𝑛 = 0.003

Calculo del área de acero 𝐴𝑠 = 𝑝𝑚í𝑛 𝑏𝑑 = 0.003 × 100 × 15 = 4.5 𝑐𝑚2 Revisión por tensión diagonal como viga ancha: 𝑘𝑔 𝑉𝑢 = (0.60𝑚 − 0.15𝑚)7.22 2 × 1.4 = 4.55 𝑡𝑜𝑛 𝑚 Fuerza cortante que toma el concreto Para, p < 0.015 𝑉𝐶𝑅 = 𝐹𝑅 𝑏𝑑(0.2 + 20𝑝)√𝑓𝑐∗ Sustituyendo valores 𝑉𝐶𝑅 = 0.8 × 100 × 15(0.2 + 20 × 0.003)√160 = 3 946 𝑘𝑔 < 𝑉𝑢 Debido a que el esfuerzo admisible 𝑉𝐶𝑅 es menor que el cortante aplicado Vu, es necesario incrementar el peralte de la zapata, se propone un peralte efectivo d = 20 cm, recubrimiento r = 5 cm, y un peralte total de h = 25 cm Por lo que es necesario reiniciar el cálculo:

13

Peso de la cimentación: Losa.- 1.60m x 1.60m x 0.25m x (2.4t/m3 – 1.6t/m3) = 0.51 ton Dado.- 0.40m x 0.40m x 0.55m x 0.8t/m3 = 0.07 ton P = 18.00 ton PT = 18.58 ton Esfuerzo neto ejercido sobre el suelo f = 18.58ton / 2.56m2 = 7.26 t/m2 < 8.0 t/m2 se acepta la sección propuesta Momento flexionante con respecto al paño de la columna M = 7.26t/m2 (0.60m)2 /2 = 1.30 t-m Cálculo del área de acero 𝑄=

2 = 4.08 × 10−7 0.9 × 136 × 100 × 202

𝑞 = 1 − √1 − 4.08 × 10−7 × 1.30 × 105 = 0.027 Y la cuantía de refuerzo 𝑓𝑐" 136 𝑝= 𝑞= 0.027 = 0.00087 < 𝑝𝑚í𝑛 𝑓𝑦 4200 Como el refuerzo resulto menor que el acero mínimo, se colocará este, es decir 𝐴𝑠 = 𝑝𝑚í𝑛 𝑏𝑑 = 0.003 × 100 × 20 = 6.0 𝑐𝑚2 Separación entre varillas “S” 𝑆=

𝐴𝑣 100 𝑐𝑚 𝐴𝑠

Donde: Av = área transversal de una varilla As = área de acero requerida Si para nuestro armado utilizamos varillas del #4 ( 𝜑 ½") cuya área transversal Av = 1.27 cm2 La separación de las varillas será 𝑆=

1.27𝑐𝑚2 100 𝑐𝑚 = 21 𝑐𝑚 6.0 𝑐𝑚2

14

Armado calculado es para el lecho inferior, sin embargo el reglamento indica que cuando el peralte total de la zapata es mayor a 15 cm, también deberá de colocarse un armado en el lecho superior, debido a los cambios volumétricos por temperatura Revisión por tensión diagonal como viga ancha: 𝑘𝑔 𝑉𝑢 = (0.60𝑚 − 0.20𝑚)7.26 2 × 1.4 = 4.07 𝑡𝑜𝑛 𝑚 Fuerza cortante que toma el concreto Para, p < 0.015 𝑉𝐶𝑅 = 𝐹𝑅 𝑏𝑑(0.2 + 20𝑝)√𝑓𝑐∗ Sustituyendo valores 𝑉𝐶𝑅 = 0.8 × 100 × 20(0.2 + 20 × 0.003)√160 = 5262.03 𝑘𝑔 > 𝑉𝑢 Se acepta la sección propuesta Revisión a la penetración

d+c= 60cm

a= 160cm

d+c= 60cm a= 160cm Planta Fuerza cortante por punzonamiento V= PT – Área de la sección critica x esfuerzo del suelo V=18.49t- 0.6m x 0.6m x 7.22 t/m2 = 15.89 ton =15 890 kg Vu =Fc V = 1.4 x 15 890kg = 22 246 kg El esfuerzo cortante aplicado está determinado por

15

𝑣𝑢 =

𝑉𝑢 22246 𝑘𝑔 𝑘𝑔 = = 4.63 2 𝑏0 𝑑 240𝑐𝑚 × 20𝑐𝑚 𝑐𝑚

Perímetro de la sección crítica, b0 = 4 x 60cm = 240 cm

El esfuerzo cortante admisible por punzonamiento es 𝑣𝐶𝑅 = 𝐹𝑅 √𝑓𝑐∗ = 0.8 × √160 = 10.12 Por lo tanto no se tiene problemas por punzonamiento

𝑘𝑔 > 𝑣𝑢 𝑐𝑚2

Por último daremos el armado

16

 DIBUJAR LA ZAPATA

TAREA. Ejercicio 1. Determine la ecuación de esfuerzos (8 y 9) para una sección rectangular.

Ejercicio 2. Diseñe la zapata aislada que se indica. El esfuerzo admisible del suelo es de 5.0 t/m2, con un esfuerzo de trabajo a la compresión del concreto de f’c = 200 kg/cm2, y esfuerzo a la fluencia del acero fy = 4200 kg/cm 2, peso volumétrico del suelo 𝛾𝑆 =1.6 t/m3.

17

P=25.00 Ton Sección transversal de la columna 40 x 40 cm

Ejercicio 3. Diseñe la zapata aislada que se indica. El esfuerzo admisible del suelo es de 6.0 t/m2, con un esfuerzo de trabajo a la compresión del concreto de f’c = 250 kg/cm2, y esfuerzo a la fluencia del acero fy = 4200 kg/cm 2, peso volumétrico del suelo 𝛾𝑆 =1.6 t/m3. P = 30.0 ton Sección transversal de la columna 35 x 35 cm Ejercicio 4. Diseñe la zapata aislada que se indica. El esfuerzo admisible del suelo es de 10.0 t/m2, con un esfuerzo de trabajo a la compresión del concreto de f’c = 200 kg/cm2, y esfuerzo a la fluencia del acero fy = 4200 kg/cm 2, peso volumétrico del suelo 𝛾𝑆 =1.6 t/m3. P = 40.0 ton Sección transversal de la columna 40 x 40 cm

Ejemplo 2. Diseñar la siguiente zapata aislada que está sujeta a una fuerza vertical y a un momento sísmico. El esfuerzo admisible del suelo es de 6.0 t/m2, con un esfuerzo de trabajo a la compresión del concreto de f’c = 200 kg/cm2, y esfuerzo a la fluencia del acero fy = 4200 kg/cm 2, peso volumétrico del suelo 𝛾𝑆 =1.6 t/m3.

P = 11.0 ton MS = 5.0 t-m Columna de 35 x 35 cm

18

Calculo del área de contacto PT = 11.0t + 0.10 x 11.00 = 12.10 ton 𝐴=

𝑃𝑇 12.10 𝑡 2 = 𝑡 = 2.02 𝑚 𝑓 6.0 2 𝑚 𝑎 = √2.02 = 1.42 𝑚

Se propone una sección de 1.70m x 1.70m (por efecto del momento sísmico aplicado)

1.25m 1.50m

0.250m 0.625m

0.45m

0.625m

1.70m

Revisión de la cimentación al volteo Peso de la cimentación 𝐿𝑜𝑠𝑎. −1.70𝑚 × 1.70𝑚 × 0.25𝑚 × 2.4 𝑡𝑜𝑛/𝑚3 = 1.73 𝑡𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑛 𝐷𝑎𝑑𝑜. −0.45𝑚 × 0.45𝑚 × 1.25𝑚 × 2.4 3 = 0.61 𝑡𝑜𝑛 𝑚 1.6𝑡 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎. −(2.89𝑚2 − 0.20𝑚2 )1.25𝑚 × 3 = 5.38 𝑡𝑜𝑛 𝑚 𝑃 = 11.00 𝑡𝑜𝑛 𝑃𝑇 = 18.72 𝑡𝑜𝑛 Calculo de esfuerzos ejercidos sobre el suelo, de la expresión 𝑓 =

𝑃𝑇 6𝑒 (1 ± ) 2 𝑎 𝑎 19

𝑒=

𝑓1 =

𝑀𝑆 5.0 𝑡 − 𝑚 = = 0.27 𝑚 𝑃𝑇 18.72𝑡

𝑃𝑇 6𝑒 18.72 6 × 0.27 𝑡 (1 + ) = (1 + ) = 12.65 𝑎2 𝑎 1.702 1.70 𝑚2

𝑓2 =

𝑃𝑇 6𝑒 18.72 6 × 0.27 𝑡 (1 − ) = (1 − ) = 0.30 𝑎2 𝑎 1.702 1.70 𝑚2

La sección propuesta no se tiene problemas de volteamiento en la sección Calculo de los esfuerzos netos en el suelo Peso de la cimentación 𝑡𝑜𝑛

𝑡𝑜𝑛

𝐿𝑜𝑠𝑎. −1.70𝑚 × 1.70𝑚 × 0.25𝑚 × (2.4 𝑚3 − 1.6 𝑚3 ) = 𝑡𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑛 𝐷𝑎𝑑𝑜. −0.45𝑚 × 0.45𝑚 × 1.25𝑚 × (2.4 3 − 1.6 3 ) = 𝑚 𝑚 𝑃= 𝑃𝑇 =

0.58 𝑡𝑜𝑛 0.61 𝑡𝑜𝑛 11.00 𝑡𝑜𝑛 12.19 𝑡𝑜𝑛

Calculo de esfuerzos ejercidos sobre el suelo, de la expresión 𝑓 =

𝑃𝑇 6𝑒 (1 ± ) 2 𝑎 𝑎

La excentricidad aplicada 𝑒=

𝑓1 =

𝑀𝑆 5.0 𝑡 − 𝑚 = = 0.40 𝑚 𝑃𝑇 12.59𝑡

𝑃𝑇 6𝑒 12.59 6 × 0.40 𝑡 𝑡 (1 + ) = (1 + ) = 10.51 > 𝑓 = 6.0 𝑎𝑑𝑚 𝑎2 𝑎 1.702 1.70 𝑚2 𝑚2

No se acepta la sección porque es mayor que el esfuerzo admisible del suelo 𝑓2 =

𝑃𝑇 6𝑒 12.59 6 × 0.40 𝑡 (1 − ) = (1 − ) = −1.79 𝑎2 𝑎 1.702 1.70 𝑚2

Además se presentan esfuerzos negativos, que en realidad lo que nos indica es que la zapata ante la acción sísmica, cierta sección de ella trata de despegarse del suelo. Aumentaremos el área de la cimentación, se propone una sección de 2.50 m x 2.50 m, 20

Peso de la cimentación

𝑡𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑛 − 1.6 3 ) = 1.25 𝑡𝑜𝑛 3 𝑚 𝑚 𝑡𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑛 𝐷𝑎𝑑𝑜. −0.45𝑚 × 0.45𝑚 × 1.25𝑚 × (2.4 3 − 1.6 3 ) = 0.61 𝑡𝑜𝑛 𝑚 𝑚 𝑃 = 11.00 𝑡𝑜𝑛 𝑃𝑇 = 12.86 𝑡𝑜𝑛 Como la sección propuesta anteriormente (1.70mx1.70m), no tuvo problemas de volteo, al aumentar el área tampoco se tendrá problemas de volteamiento, por lo que procederemos a determinar los esfuerzos netos, utilizaremos el principio del tercio medio, para garantizar que no se presentaran valores negativos en los esfuerzos. Calculo de la excentricidad aplicada 𝐿𝑜𝑠𝑎. −2.50𝑚 × 2.50𝑚 × 0.25𝑚 × (2.4

𝑀𝑆 5.0 𝑡 − 𝑚 = = 0.39 𝑚 𝑃𝑇 12.86 𝑡 2.50𝑚 𝑇𝑒𝑟𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = = 0.42𝑚 > 0.39𝑚 6 𝑒=

𝑓1 =

𝑃𝑇 6𝑒 12.86 6 × 0.39 𝑡 𝑡 (1 + ) = (1 + ) = 3.98 2 < 𝑓𝑎𝑑𝑚 = 6.0 2 2 2 𝑎 𝑎 2.50 2.50 𝑚 𝑚

𝑓2 =

𝑃𝑇 6𝑒 12.86 6 × 0.39 𝑡 𝑡 (1 − ) = (1 − ) = 0.13 < 6.0 𝑎2 𝑎 2.502 2.50 𝑚2 𝑚2

La sección propuesta es aceptable

1.25m 1.50m

0.25m 1.025m

0.45m

1.025m

2.50m 𝑡

𝑓1 = 3.98

𝑡 𝑚2

𝑓2 = 0.13 𝑚2

Figura 7. Esfuerzos inducidos en el suelo, menores al esfuerzo admisible del suelo 21

Calculo de un esfuerzo promedio, Determinación del esfuerzo al paño de la columna, por relación de triángulos

2.50 m 1.475 m 𝑡

𝑓1 = 3.85 𝑚2

fy

𝑓𝑦 1.475𝑚 = 𝑓1 2.50𝑚 De donde 𝑓𝑦 =

1.475𝑚 𝑡 𝑡 3.85 2 = 2.27 2 2.50𝑚 𝑚 𝑚

El esfuerzo promedio será: 3.98 𝑓𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =

𝑡 𝑡 𝑡 + (2.27 2 + 0.13 2 ) 𝑚2 𝑚 𝑚 = 3.19 𝑡 2 𝑚2

Momento flexionante (por metro) con respecto al paño de la columna 3.19 𝑀=

𝑡 × (1.025𝑚)2 𝑚2 = 1.68 𝑡 − 𝑚 2

Calculo del peralte Primero calcularemos las constantes de diseño 𝑓𝑐∗ = 0.8𝑓𝑐′ = 0.8 ×

200𝑘𝑔 𝑘𝑔 = 160 2 𝑐𝑚 𝑐𝑚2

𝑓𝑐" = 0.85𝑓𝑐∗ = 0.85 × 160 𝑘𝑔

Como: 𝑓𝑐∗ < 280 𝑐𝑚2

Entonces

𝑘𝑔 𝑘𝑔 = 136 𝑐𝑚2 𝑐𝑚2

𝛽1 = 0.85

la cuantía de refuerzo p será: 22

𝑝=

𝑓𝑐" 6000𝛽1 136 6000 × 0.85 = = 0.016 𝑓𝑦 𝑓𝑦 + 6000 4200 4200 + 6000

La cuantía máxima para diseño por sismo es: 𝑝𝑚á𝑥 = 0.75𝑝 = 0.75 × 0.0162 = 0.012 Y el índice de refuerzo 𝑞𝑚á𝑥 =

𝑓𝑦 4200 𝑝 = 0.012 = 0.37 𝑚á𝑥 136 𝑓𝑐"

La cuantía de refuerzo mínimo por cambios volumétricos debido a la temperatura es, para secciones que estén en contacto con el terreno 𝑝𝑚í𝑛 = 0.003 Aplicando la ecuación para el cálculo del peralte, tendremos:

𝑑=√

Donde:

𝑀𝑢 𝐹𝑅 𝑓𝑐" 𝑏𝑞(1 − 0.5𝑞)

𝑀𝑢 = 𝐹𝑐 𝑀 = 1.1 × 1.68𝑡 − 𝑚 = 1.84 𝑡 − 𝑚

Tomaremos a b = 100 cm Sustituyendo en la ecuación anterior

𝑑=√

1.84 × 105 = 7.06 𝑐𝑚 0.9𝑥136𝑥100𝑥0.37(1 − 0.5𝑥0.37)

El peralte calculado de d = 7.06 cm, es menor al recomendado por las especificaciones, y además falta la revisión por cortante por lo tanto propondremos un peralte efectivo d = 20 cm, r = 5.0 cm, h = 25 cm Calculo del refuerzo para el peralte propuesto, iniciaremos calculando el índice de refuerzo, de acuerdo a la siguiente expresión: 𝑞 = 1 − √1 − 𝑄𝑀𝑢

(a)

2 𝐹𝑅 𝑓𝑐" 𝑏𝑑 2

(𝑏)

Donde: 𝑄=

23

Sustituyendo valores en la ecuación (b) 𝑄=

2 = 4.08 × 10−7 0.9 × 136 × 100 × 202

Sustituyendo en (a) 𝑞 = 1 − √1 − 4.08 × 10−7 × 1.84 × 105 = 0.038 Y la cuantía de refuerzo 𝑝= Tomaremos

𝑓𝑐" 136 𝑞= 0.038 = 0.00124 < 𝑝𝑚í𝑛 𝑓𝑦 4200

𝑝𝑚í𝑛 = 0.003

Calculo del área de acero 𝐴𝑠 = 𝑝𝑚í𝑛 𝑏𝑑 = 0.003 × 100 × 20 = 6.0 𝑐𝑚2 Acero que debe de colocarse en el lecho inferior y superior, por tener un peralte mayor a 15 cm. Cálculo de la separación entre varillas “S” 𝐴𝑣 𝑆= 100 𝑐𝑚 𝐴𝑠 Donde: Av = área transversal de una varilla As = área de acero requerida Si para nuestro armado utilizamos varillas del #4 (𝜑 ½") cuya área transversal Av = 1.27 cm2 La separación de las varillas será 1.27 𝑐𝑚2 𝑆= 100 𝑐𝑚 = 21 𝑐𝑚 6.0 𝑐𝑚2 Colocaremos varillas del #4 @ 21 en ambos lechos Revisión por tensión diagonal como viga ancha: 𝑡𝑜𝑛 𝑉𝑢 = (1.025𝑚 − 0.20𝑚)3.19 2 × 1.1 = 2.89 𝑡𝑜𝑛 𝑚 Fuerza cortante que toma el concreto Para, p < 0.015

24

𝑉𝐶𝑅 = 𝐹𝑅 𝑏𝑑(0.2 + 20𝑝)√𝑓𝑐∗ Sustituyendo valores 𝑉𝐶𝑅 = 0.8 × 100 × 20(0.2 + 20 × 0.003)√160 = 5262 𝑘𝑔 > 𝑉𝑢 Se acepta la sección propuesta Revisión a la penetración

d+c= 65cm

a= 250 cm

d+c= 65cm a= 250 cm Planta Fuerza cortante por punzonamiento 𝑉 = 𝑃𝑇 − Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 × 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑒𝑙𝑜 𝑡

𝑉 = 12.86𝑡 − 0.65𝑚 × 0.65𝑚 × 3.11 𝑚2 = 11.14 𝑡𝑜𝑛 = 11 140 𝑘𝑔 𝑉𝑢 = 𝐹𝑐 𝑉 = 1.1 × 11 140 𝑘𝑔 = 12 254 𝑘𝑔 El esfuerzo cortante aplicado está determinado por 𝑣𝑢 =

𝑉𝑢 12 254 𝑘𝑔 𝑘𝑔 = = 2.36 2 𝑏0 𝑑 260𝑐𝑚 × 20𝑐𝑚 𝑐𝑚

Perímetro de la sección crítica, b0 = 4 x 65cm = 260 cm El esfuerzo cortante admisible por punzonamiento es 𝑘𝑔 > 𝑣𝑢 𝑐𝑚2 Por lo tanto, no se tiene problemas por punzonamiento 𝑣𝐶𝑅 = 𝐹𝑅 √𝑓𝑐∗ = 0.8 × √160 = 10.12

25

Adicionalmente deben considerarse los esfuerzos cortantes producidos en una cara de la sección crítica por el momento flexionante aplicado en la base de la columna. Según las normas, la fracción del momento que produce esfuerzos cortantes está dado por 𝛼 =1−

1 1 + 0.67√(𝐶1 + 𝑑)/(𝐶2 + 𝑑)

Sustituyendo valores 𝐶1 + 𝑑 = 45 + 20 = 65 𝑐𝑚 𝐶2 + 𝑑 = 45 + 20 = 65 𝑐𝑚 𝛼 = 1−

1 65 1 + 0.67√ 65

= 0.40

El esfuerzo cortante máximo que se produce por el momento flexionante, sísmico vale 𝛼𝑀𝑢 = 0.40 × 1.84𝑡 − 𝑚 = 0.74 𝑡 − 𝑚 𝑣𝑢 =

𝑉𝑢 𝛼𝑀𝑢 𝐶𝐴𝐵 + 𝐴𝑐 𝐽𝑐

𝐴𝐶 = 2(65 + 65) × 20 = 5200 𝑐𝑚2

𝐽𝑐 =

𝐽𝑐 =

𝑑(𝐶1 + 𝑑)3 (𝐶1 + 𝑑)𝑑 3 𝑑(𝐶2 + 𝑑)(𝐶1 + 𝑑)2 + + 6 6 2

20 × 653 65 × 203 20 × 65 × 652 + + = 37.48 × 105 𝑐𝑚4 6 6 2

Sustituyendo 𝑣𝑢 =

12 661 𝑘𝑔 0.74 × 105 𝑘𝑔 − 𝑐𝑚 × 32.5𝑐𝑚 𝑘𝑔 𝑘𝑔 + = 3.08 2 < 𝑣𝐶𝑅 = 10.12 2 2 5 4 5200 𝑐𝑚 37.48 × 10 𝑐𝑚 𝑐𝑚 𝑐𝑚 Se acepta ℎ = 25 𝑐𝑚

26

ARMADO DE LA ZAPATA

Ejercicio 5. Diseñar la siguiente zapata aislada que está sujeta a una fuerza vertical P= 15.00 ton y a un momento sísmico Ms= 7.0 t-m. El esfuerzo admisible del suelo es de 8.0 t/m2, con un esfuerzo de trabajo a la compresión del concreto de f’c = 250 kg/cm2, y esfuerzo a la fluencia del acero fy = 4200 kg/cm 2, peso volumétrico del suelo 𝛾𝑆 =1.6 t/m3. Sección transversal de la columna 30x30cm Ejercicio 6. Diseñar la siguiente zapata aislada que está sujeta a una fuerza vertical P= 20.00 ton y a un momento sísmico Ms= 3.50 t-m. El esfuerzo admisible del suelo es de 6.0.0 t/m2, con un esfuerzo de trabajo a la compresión del concreto de f’c = 200 kg/cm2, y esfuerzo a la fluencia del acero fy = 4200 kg/cm2, peso volumétrico del suelo 𝛾𝑆 =1.6 t/m3. Sección transversal de la columna 30x30cm Ejercicio 7. Diseñar la siguiente zapata aislada que está sujeta a una fuerza vertical P= 30.00 ton y a un momento sísmico Ms= 7.45 t-m. El esfuerzo admisible del suelo es de 10.0 t/m2, con un esfuerzo de trabajo a la compresión del concreto de f’c = 250 kg/cm2, y esfuerzo a la fluencia del acero fy = 4200 kg/cm 2, peso volumétrico del suelo 𝛾𝑆 =1.6 t/m3. Sección transversal de la columna 35x35cm Ejercicio 8. Diseñar la siguiente zapata aislada que está sujeta a una fuerza vertical P= 40.00 ton y a un momento sísmico Ms= 9.4 t-m. El esfuerzo admisible del suelo es de 11.0 t/m2, con un esfuerzo de trabajo a la compresión del concreto 27

de f’c = 250 kg/cm2, y esfuerzo a la fluencia del acero fy = 4200 kg/cm 2, peso volumétrico del suelo 𝛾𝑆 =1.6 t/m3. Sección transversal de la columna 35x35cm ZAPATAS CORRIDAS PARA APOYOS AISLADOS Ejemplo 3.- Diseñar una zapata que recibe la descarga de dos columnas de 15.0 ton debido a cargas gravitacionales, el esfuerzo admisible del suelo es 4.0 ton/m 2 el peso volumétrico del suelo es 1.6 ton/m3. B Losa de cimentación Columna

Columna A’

A 0.30 m Contratrabe 0.30 m

3.40 m 4.00 m

0.30 m B’

PLANTA DE LA CIMENTACIÓN

P=15 ton

P=15 ton Columnas 30x30 cm Contratrabe NTN. 1.00 m

0.15 m

3.70 m Corte A-A’

0.15 m Losa de cimentación

28

P=15.0 ton

d X

0.30 m

X

Corte B-B’ Cálculo del área de contacto Tomaremos como peso de la cimentación, el 10% del peso de la descarga 𝑃𝑇 = 2 × 15.0𝑡 + 0.10 × 30.0𝑡 = 33.0 𝑡𝑜𝑛 Sabemos que 𝑓𝑎𝑑𝑚 =

𝑃𝑇 33.0𝑡 ∴ 𝐴= = 8.25𝑚2 𝐴 4.0𝑡/𝑚2

como 𝐴=𝑎×𝑏 ∴ 𝑎 =

𝐴 8.25𝑚2 = = 2.06𝑚 𝑏 4.0𝑚

Se propone una losa de 2.30 m x 4.0 m, contratrabe de b=30 cm, h=60 cm

1.00m

0.20 m 1.0 m

0.30 m

1.0 m

2.30 m

29

Peso de la cimentación 𝑡𝑜𝑛 = 𝑚3 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑡𝑟𝑎𝑏𝑒. −0.30𝑚 × 0.60 × 3.40𝑚 × 0.8 = 𝑃= 𝑃𝑇 = 𝐿𝑜𝑠𝑎. −0.20𝑚 × 2.30𝑚 × 4.0𝑚 × 0.8

𝑓𝑛 =

1.47 𝑡𝑜𝑛 0.49 𝑡𝑜𝑛 30.00 𝑡𝑜𝑛 31.96 𝑡𝑜𝑛

𝑃𝑇 31.96 𝑡𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑛 = = 3.47 2 < 𝑓𝑎𝑑𝑚 2 𝐴 9.2 𝑚 𝑚 𝐴 = 2.30 𝑚 × 4.0 𝑚 = 9.2 𝑚2

Cálculo del momento flexionante (por metro)

3.47 𝑀=

𝑡𝑜𝑛 × (1.0𝑚)2 𝑚2 = 1.74 𝑡 − 𝑚 2

𝑀𝑢 = 1.4 × 1.74 𝑡 − 𝑚 = 2.44 𝑡 − 𝑚 = 2.44 × 105 𝑘𝑔 − 𝑐𝑚

Calculo de las constantes de diseño, para un concreto de 𝑓𝑐′ = 250 𝑓𝑐∗ = 0.8𝑓𝑐′ = 0.8 ×

250𝑘𝑔 𝑘𝑔 = 200 𝑐𝑚2 𝑐𝑚2

𝑓𝑐" = 0.85𝑓𝑐∗ = 0.85 × 200 𝑘𝑔

Como: 𝑓𝑐∗ < 280 𝑐𝑚2

Entonces

𝑘𝑔 𝑐𝑚2

𝑘𝑔 𝑘𝑔 = 170 𝑐𝑚2 𝑐𝑚2

𝛽1 = 0.85

la cuantía de refuerzo p será: 𝑝=

𝑓𝑐" 6000𝛽1 170 6000 × 0.85 = = 0.0202 𝑓𝑦 𝑓𝑦 + 6000 4200 4200 + 6000

La cuantía máxima para diseño por carga vertical es 𝑝𝑚á𝑥 = 0.9𝑝 = 0.9 × 0.0202 = 0.018 Y el índice de refuerzo 30

𝑞𝑚á𝑥 =

𝑓𝑦 4200 𝑝𝑚á𝑥 = 0.018 = 0.44 " 170 𝑓𝑐

La cuantía de refuerzo mínimo por cambios volumétricos debido a la temperatura es, para secciones que estén en contacto con el terreno 𝑝𝑚í𝑛 = 0.003 Aplicando la ecuación para el cálculo del peralte, tendremos:

𝑑=√

𝑀𝑢 − 0.5𝑞)

𝐹𝑅 𝑓𝑐" 𝑏𝑞(1

Tomaremos a b = 100 cm Sustituyendo en la ecuación anterior

𝑑=√

2.44 × 105 = 6.82 𝑐𝑚 0.9 × 170 × 100 × 0.44(1 − 0.5𝑥0.44)

El peralte calculado de d = 6.82 cm, es menor al recomendado por las especificaciones, y además falta la revisión por cortante propondremos un peralte efectivo d = 15 cm, r = 5.0 cm, h = 20 cm Calculo del refuerzo para el peralte propuesto, iniciaremos calculando el índice de refuerzo, de acuerdo a la siguiente expresión: 𝑞 = 1 − √1 − 𝑄𝑀𝑢

(a)

2 𝐹𝑅 𝑓𝑐" 𝑏𝑑 2

(𝑏)

Donde: 𝑄=

Sustituyendo valores en la ecuación (b) 𝑄=

2 = 5.80 × 10−7 0.9 × 170 × 100 × 152

Sustituyendo en (a) 𝑞 = 1 − √1 − 5.80 × 10−7 × 2.44 × 105 = 0.073 Y la cuantía de refuerzo 31

𝑝= Tomaremos

𝑓𝑐" 170 𝑞= 0.073 = 0.0029 < 𝑝𝑚í𝑛 𝑓𝑦 4200

𝑝𝑚í𝑛 = 0.003

Calculo del área de acero 𝐴𝑠 = 𝑝𝑚í𝑛 𝑏𝑑 = 0.003 × 100 × 15 = 4.5 𝑐𝑚2 Acero que debe de colocarse en el lecho inferior y superior, por tener un peralte total mayor a 15 cm. Cálculo de la separación entre varillas “S” 𝐴𝑣 𝑆= 100 𝑐𝑚 𝐴𝑠 Donde: Av = área transversal de una varilla As = área de acero requerida Si para nuestro armado utilizamos varillas del #4 (𝜑 ½") cuya área transversal Av = 1.27 cm2 La separación de las varillas será 1.27 𝑐𝑚2 𝑆= 100 𝑐𝑚 = 28 𝑐𝑚 4.5 𝑐𝑚2 Colocaremos varillas del #4 @ 28 en ambos lechos Revisión por tensión diagonal como viga ancha: 𝑡𝑜𝑛 𝑉𝑢 = (1.0𝑚 − 0.15𝑚)3.47 2 × 1.4 = 4.13 𝑡𝑜𝑛 𝑚 Fuerza cortante que toma el concreto Para, p < 0.015 𝑉𝐶𝑅 = 𝐹𝑅 𝑏𝑑(0.2 + 20𝑝)√𝑓𝑐∗ Sustituyendo valores 𝑉𝐶𝑅 = 0.8 × 100 × 15(0.2 + 20 × 0.003)√200 = 4412 𝑘𝑔 > 𝑉𝑢 Se acepta la sección propuesta

32

Cálculo de la contratrabe 𝑃=

𝑃𝑇 31.96 𝑡𝑜𝑛 = = 15.98 𝑡𝑜𝑛 2 2

P=15.98 ton

P=15.98 ton Columnas 30x30 cm Contratrabe NTN. 1.00 m

0.60 m 0.15 m

3.70 m

0.15 m

4.0 m Corte de cimentación propuesta w = 7.98 ton/m Esfuerzos producidos en el suelo 1.85 m

Fuerzas cortantes (ton) 14.78

Vd

1.20

1.20 14.78 0.55 m

1.30 m

0.09

0.09 Momentos flexionantes (ton-m) 13.68

33

Carga que esta actuando sobre la contratrabe, w 𝑤 = 3.47

𝑡𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑛 × 2.30𝑚 = 7.98 2 𝑚 𝑚

Cortante en el apoyo debido al volado 𝑉𝑣 = 7.98

𝑡𝑜𝑛 × 0.15𝑚 = 1.20 𝑡𝑜𝑛 𝑚

Por equilibrio de fuerzas verticales en el apoyo 𝑉 = 15.98 𝑡𝑜𝑛 − 1.20 𝑡𝑜𝑛 = 14.78 𝑡𝑜𝑛 Cortante a una distancia d del apoyo, por relación de triángulos 𝑉𝑑 14.78 𝑡𝑜𝑛 14.78 𝑡𝑜𝑛 = ∴ 𝑉𝑑 = × 1.30 𝑚 = 10.39 𝑡𝑜𝑛 1.30 𝑚 1.85 𝑚 1.85 𝑚 Momento flexionante en el volado 𝑡𝑜𝑛 7.98 𝑚 × (0.15 𝑚)2 𝑀𝑉 = = 0.09 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚 2 Momento máximo al centro del claro, por el teorema de las áreas 𝑀𝑀á𝑥 =

14.78 𝑡𝑜𝑛 × 1.85 𝑚 = 13.68 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚 2

𝑀𝑢 = 1.4 × 13.68 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚 = 19.15 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚 = 19.15 × 105 𝑘𝑔 − 𝑐𝑚 Cálculo de la contratrabe 19.15 × 105 𝑑=√ = 34.87 𝑐𝑚 0.9 × 170 × 30 × 0.44(1 − 0.5 × 0.44) Tomaremos d= 55 cm, r= 5 cm, b= 30 cm Cálculo del refuerzo

34

𝑄=

2 = 1.44 × 10−7 0.9 × 170 × 30 × 552

Sustituyendo en (a) 𝑞 = 1 − √1 − 1.44 × 10−7 × 19.15 × 105 = 0.15 Y la cuantía de refuerzo 𝑓𝑐" 170 𝑝= 𝑞= 0.15 = 0.00607 𝑓𝑦 4200 Calculo del área de acero 𝐴𝑠 = 𝑝𝑏𝑑 = 0.00607 × 30 × 55 = 10.02 𝑐𝑚2 𝑁𝑜. 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 =

10.02 𝑐𝑚2 = 1.98 𝑐𝑚2 5.07𝑐𝑚2

Colocaremos 2 Varillas del No. 8 Armado mínimo 𝑝 𝑚í𝑛

0.7√𝑓𝑐′ 0.7√250 = = = 0.0026 𝑓𝑦 4200

𝐴𝑠 𝑚í𝑛 = 𝑝 𝑚í𝑛 𝑏𝑑 = 0.0026 × 30 × 55 = 4.29 𝑐𝑚2 Colocaremos 2 Varillas del No. 5 Revisión por cortante, como 𝑝 < 0.015 𝑉𝐶𝑅 = 𝐹𝑅 𝑏𝑑(0.2 + 20𝑝)√𝑓𝑐∗ Sustituyendo valores 𝑉𝐶𝑅 = 0.8 × 30 × 55(0.2 + 20 × 0.00607)√200 = 6000 𝑘𝑔 Cortante aplicado a una distancia d del apoyo 𝑉𝑢 = 1.4 × 10390 𝑘𝑔 = 14 596 𝑘𝑔 > 𝑉𝐶𝑅 Se requiere estribos Cálculo de la separación entre estribos 𝑆=

𝐹𝑅 𝐴𝑣𝑓𝑦 𝑑 0.8 × 1.42 × 4200 × 55 = = 30 𝑐𝑚 𝑉𝑢 − 𝑉𝐶𝑅 14596 − 6000

Revisión de las diferentes alternativas de cortantes, para determinar la separación de los estribos 35

𝑉𝐶𝑅1 = 0.5𝐹𝑅 𝑏𝑑√𝑓𝑐∗ = 0.5 × 0.8 × 30 × 55√200 = 9334 𝑘𝑔 Sin que sea mayor a 𝑉𝐶𝑅2 = 1.5𝐹𝑅 𝑏𝑑√𝑓𝑐∗ = 1.5 × 0.8 × 30 × 55√200 = 28001 𝑘𝑔 Como 𝑉𝑢 > 𝑉𝐶𝑅1 La separación máxima entre estribos según indica el RCDF debe ser 𝑑 55 𝑐𝑚 = = 14 𝑐𝑚 4 4 Colocaremos varillas del No. 3@14

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