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CONCEPTION DES PONTS Chapitre 3 LIGNES D'INFLUENCE

BRUNO MASSICOTTE Hiver 2015

CHAPITRE 3 LIGNES D'INFLUENCE

CONTENU MISE EN GARDE

II

3.1 

1

GÉNÉRALITÉS

3.2  EFFETS DES CHARGES MOBILES 1  3.2.1 Effets d'une charge concentrée ................................................................................................................... 1  3.2.2 Effets d'une charge uniforme ...................................................................................................................... 2  3.2.3 Effets d'un groupe de charges concentrées ................................................................................................. 4  Exemple 3-1: ............................................................................................................................................. 6 3.3  LIGNES D'INFLUENCE POUR POUTRES ET TREILLIS ISOSTATIQUES 8  3.3.1 Définition .................................................................................................................................................... 8  3.3.2 Poutre simplement appuyée ........................................................................................................................ 9  3.3.3 Treillis articulé isostatique ........................................................................................................................ 10  3.3.4 Utilisation des lignes d'influence .............................................................................................................. 12  Exemple 3-2: ............................................................................................................................................ 13 3.4  LIGNES D'INFLUENCE POUR LES POUTRES 13  3.4.1 Concept et applications ............................................................................................................................. 13  3.4.2 Le principe de Müller-Breslau .................................................................................................................. 15  3.4.3 Méthode de calcul d'une ligne d'influence ................................................................................................ 20  3.4.4 Application de la méthode de Müller-Breslau .......................................................................................... 20  Exemple 3.3: ............................................................................................................................................ 20  Exemple 3.4 ............................................................................................................................................. 22  Exemple 3.5 ............................................................................................................................................. 24 3.5 

LIGNES D'INFLUENCE POUR LES GRILLAGES

25

3.6 

UTILISATION DE LOGICIELS SPÉCIALISÉS

25

RÉFÉRENCES

26 

ii

Conception des ponts

MISE EN GARDE

Ce document, basé sur le code CAN/CSA-S6-14, a pour objectif de faciliter aux ingénieurs l'analyse, la conception et l'évaluation des ponts. Toutefois ce document ne couvre pas l'ensemble des cas pouvant se présenter, chaque pont étant un cas unique, que ce soit par sa géométrie ou les fondations qui le supportent. Les utilisateurs sont priés de référer au code CAN/CSA-S6-14 et à son Commentaire pour juger de la justesse et de la pertinence des indications, exemples et explications inclus dans le présent document. Bien qu'un grand soin ait été apporté à la préparation de ce document, il n'est pas exclut qu'il puisse comporter des erreurs. L'auteur et l'École Polytechnique déclinent toute responsabilité quant au contenu de ce document et des erreurs ou omissions qui pourraient résulter de l'utilisation des informations qu'il contient. Comme ce document a été rédigé pour être utilisé dans le cadre d'un cours régulier ou de formation continue présenté par le professeur Bruno Massicotte, seules les personnes dûment inscrites et ayant assisté à de tels cours sont aptes à utiliser le document compte tenu des nombreux commentaires et nuances mentionnés durant le cours. Dans ce document la référence au code indique implicitement le code CAN/CSA-S6-14. Toutes suggestions visant à améliorer le contenu de ce document dans les éditions futures peuvent être envoyées à Bruno Massicotte. Les personnes ayant suivi le cours et désirant être mises au courant des corrections importantes qui pourraient être apportées au document doivent le mentionner explicitement à Bruno Massicotte afin d'être mises sur la liste d'envoi électronique.

 Bruno Massicotte Usage restreint à l'enseignement du cours CIV4530

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Lignes d'influence

3.1

3.1

GÉNÉRALITÉS

À l'époque où le calcul des structures et des ponts se faisait manuellement, l'utilisation des lignes d'influence était essentielle pour déterminer les efforts dans les structures dus aux charges mobiles ou aux charges transitoires. Cette méthode, comme beaucoup d'autres, permet de visualiser et de calculer l'effet d'une charge mobile sur une structure au moyen de représentations graphiques. Depuis l'avènement de l'ordinateur, et plus particulièrement des ordinateurs personnels, le recours à des méthodes manuelles faisant appel à des concepts graphiques pour déterminer les efforts dans les structures a peu à peu disparu du quotidien des ingénieurs, voire de leur formation académique. Cependant, la connaissance et l'utilisation de méthodes graphiques, surtout au niveau qualitatif, permet d'améliorer la compréhension du comportement des structures et favorise le développement d'un sens intuitif et le jugement, utiles à l'ingénieur en structures. Ce chapitre porte principalement sur le concept de lignes d'influence tout en servant de révision de certains principes fondamentaux de l'analyse structurale. L'étude de l'effet de charges mobiles sur les structures est traitée d'abord pour les poutres et les treillis isostatiques pour être par la suite étendue aux poutres continues, aux cadres rigides et aux grillages. Les méthodes manuelles utilisées pour le calcul des lignes d'influence sont présentées en détail. On traite, vers la fin du chapitre, de l'utilisation de tables de lignes d'influence pour ensuite terminer par l'utilisation de l'ordinateur et des programmes de calcul adaptés aux charges mobiles. Le texte présenté dans ce chapitre ne couvre pas l'ensemble des concepts ou applications des lignes d'influence. Les références [3.1 à 3.4], plus complètes, dont certaines exclusivement consacrées à la question, peuvent être consultées au besoin.

3.2

EFFETS DES CHARGES MOBILES

Lors de la conception de structures, il est nécessaire de connaître les efforts internes engendrés par les charges permanentes et les charges transitoires. Ces charges sont généralement appelées charge morte et charge vive respectivement. Des exemples de charges vives sont l'occupation dans un édifice, la charge de neige au toit ou les charges routières sur un pont. Dans les analyses structurales courantes, les charges vives sont habituellement représentées par des charges uniformes ou des charges concentrées. Lors de la conception, on est intéressé de connaître les valeurs extrêmes des efforts engendrés par les charges à différents endroits dans la structure. Ainsi, la position des charges transitoires doit être sélectionnée judicieusement de sorte qu'elles causent les effets maximaux. Bien que dans certains cas la position optimale des charges soit évidente, il y a d'autres cas où le choix des positions critiques des charges est moins évident. Dans cette dernière situation, il faut faire appel aux lignes d'influence pour déterminer la position des charges qui produira les effets les plus défavorables dans la structure. Avant de discuter des lignes d'influence proprement dit, il convient de s'attarder quelque peu sur l'effet des charges mobiles sur une poutre simple.

3.2.1 Effets d'une charge concentrée On peut considérer l'effet d'une charge concentrée unique se déplaçant sur une poutre simplement appuyée tel que montré à la figure 3.1a. Pour une section quelconque n, le moment fléchissant est maximal lorsque la charge P se situe à la section n (Fig. 3.1b). L'effort tranchant quant à lui est maximal positif lorsque P est juste à la droite de n alors qu'il est maximal négatif lorsque P est juste à la gauche de n (Fig. 3.1c). Le moment fléchissant maximal et l'effort tranchant maximal s'expriment comme suit pour une charge concentrée se déplaçant sur une poutre simplement appuyée:

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3.2

Conception des ponts

Figure 3.1: Efforts dus à une charge concentrée

M n max   P

Vn max   P

x  L  x

(3.1a)

L

 L  x L

ou Vn max    P

x L

(3.1b)

L'expression valeur négative maximale est fréquemment utilisée en analyse des structures et est utilisée ici pour désigner la valeur minimale au sens mathématique. Si la position de la charge P est modifiée, on peut tracer d'autres diagrammes similaires à ceux de la figure 3.1 et construire par la suite l'enveloppe des valeurs maximales tel que montré à la figure 3.2 pour une poutre simplement appuyée. L'enveloppe pour le moment maximal positif forme une parabole du second degré donné par l'équation 3.1a alors que l'enveloppe des efforts tranchants maximaux positif et négatif est formée de droites définies à l'équation 3.1b. Les valeurs données par ces enveloppes sont appelées diagrammes des moments maximaux et des efforts tranchants maximaux.

3.2.2 Effets d'une charge uniforme La figure 3.3 montre les courbes définissant les moments fléchissants et les efforts tranchants maximaux pour une charge uniforme q. La charge uniforme peut être placée sur toute la longueur de la poutre ou sur une portion seulement afin de produire les effets maximaux. Pour une section n quelconque, le moment fléchissant maximal se produit lorsque la charge uniforme couvre la longueur totale de la poutre. Les efforts tranchants maximaux, positif ou négatif, se produisent lorsque q occupe uniquement la partie droite ou la partie gauche de la poutre respectivement. Les courbes enveloppes des efforts maximaux sont illustrées à la figure 3.4. Les valeurs maximales pour M et N sont des équations du second degré:

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Lignes d'influence

3.3

Figure 3.2: Enveloppe des efforts pour une charge mobile

Figure 3.3: Efforts dus à une charge uniforme

M n max   q

Vn max   q

x  L  x

(3.2a)

2

 L  x 2 2L

ou Vn max    q

x2 2L

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(3.2b)

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3.4

Conception des ponts

Figure 3.4: Enveloppe des efforts pour une charge uniforme mobile

3.2.3 Effets d'un groupe de charges concentrées Le moment fléchissant maximal à une section n, causé par un groupe de charges concentrées se déplaçant sur une poutre simplement appuyée, se produit lorsque l'une des charges se situe à la section n. En procédant par tâtonnement, il est possible de déterminer la position des charges mobiles produisant M n max  . L'effort tranchant positif maximal à la section n se produit lorsque P1 est située juste à la droite de n alors que l'effort tranchant négatif maximal se produit lorsque la dernière charge Pm est localisée juste à la gauche de n. Il est possible, lorsque la première ou la dernière charge est petite comparativement aux autres charges, que l'effort tranchant maximal (positif ou négatif) se produise lorsqu'une autre charge se situe juste à la droite ou à la gauche de n selon le cas. Ici également, en procédant par tâtonnement, il est possible de déterminer la position des charges mobiles produisant Vn max  ou Vn max  à la section considérée. Lors du dimensionnement, on est souvent intéressé à calculer les valeurs maximales absolues sur la poutre ainsi que la position correspondante des charges. Pour un groupe de charges concentrées (Fig. 3.5), le moment fléchissant absolu se produit sous l'une des charges, identifiée habituellement par tâtonnement. Cette charge est généralement celle située le plus près de la résultante des charges (ou centre de gravité des charges). Si on assume que le moment maximal à la section n se produit sous la charge j (Fig. 3.5d), on obtient alors: M n  RA x j 

et RA 

i  j 1

L  xj  c L



i 1



Pi x j  xi



P

(3.3)

(3.4)

où c est la distance entre la résultante des charges et la position de la charge j. Le signe ± est dû à la position relative de la charge j et de la résultante. Ainsi le signe est positif (+) lorsque la résultante est à gauche de la  Bruno Massicotte Usage restreint à l'enseignement du cours CIV4530

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Lignes d'influence

3.5

charge j et négatif (-) dans le cas contraire. Le moment maximum se produit lorsque dM n / dx  0 , ce qui donne en introduisant 3.4 dans 3.3: dM n   P  L  2x  c  0 dx

donc x

L c  2 2

(3.5)

Ainsi, le moment maximal causé par un groupe de charges mobiles sur une poutre simplement appuyée se produit sous l'une des charges lorsque la résultante des charges et la charge Pj se trouvent équidistantes des extrémités. Cette règle est basée sur l'hypothèse où toutes les charges se retrouvent sur la poutre. Il est possible, lorsque la longueur de la poutre et la distance entre la première et la dernière charges sont comparables, que la valeur maximale du moment se produise seulement lorsqu'une certaine partie des charges se trouve sur la poutre. Dans ce cas, seulement ces charges doivent être considérées dans les calculs. Le calcul du moment maximum absolu est illustré au moyen d'un exemple

Figure 3.5: Effets d'un groupe de charges mobiles

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3.6

Conception des ponts

EXEMPLE 3-1: Pour la poutre montrée à la figure 3.6a sur laquelle circule le chargement QS-660, il s'agit de déterminer la section où se produit le moment maximum absolu et la valeur de ce moment. Solution a) Positon de la résultante La position de la résultante du chargement QS-660 par rapport à l'axe de l'essieu avant est (Fig. 3.8b): xr 

60  0  240  4  200  10  160  16  8.364 m 660

Comme le troisième essieu (P = 200 kN) est situé le plus près de la résultante, on assume que le moment maximum se produit sous cette charge, ce qui donne:

M n max  donc c L c  0.818m et x200    10.818 m 2 2 2 b) Calcul du moment maximum La réaction d'appui en A est égale à (Éq. 3.4): RA 

20  10.818  1.636  660  357kN 20

ce qui donne un moment sous la charge de 200 kN (Fig. 3.6c):

L  M max  RA   0.818   60  10  240  6  1822kN  m 2  À la figure 3.6c, on donne la valeur des moments sous les autres charges du QS-660 pour la position donnant le moment maximal dans la poutre. c) Vérification On peut vérifier que le choix du troisième essieu était approprié. En effet, en choisissant le deuxième essieu comme étant celui donnant les efforts les plus critiques, on obtient les valeurs suivantes: c  4.364 m;

c  2.182 m; R A  258.0kN; M max  1777 kN  m 2

Ainsi on constate que la valeur maximale du moment sous la charge de 240 kN est inférieure à celle sous la charge de 200 kN. Ceci nous amène à conclure que le moment maximal ne se produit pas nécessairement sous la plus grande des charges mais généralement sous celle située le plus près du centre de gravité des charges.

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Lignes d'influence

3.7

Figure 3.6: Exemple 3.1

Il est courant lors du calcul des efforts qu'il faille considérer l'interaction entre des efforts de nature différente (M-V; N-M; N-V), que ce soit pour les poutres ou poteaux en acier ou en béton. Dans de tels cas, il faut user de discernement pour les combinaisons d'efforts considérées. Ainsi, pour un diagramme d'interaction de résistance symétrique, comme on en retrouve généralement en charpentes d'acier3.5, l'utilisation de la combinaison formée des efforts maximaux est sécuritaire mais parfois trop conservatrice. En effet, la figure 3.7a montre un diagramme d'interaction P-M symétrique où les cas de chargement 1, 2 et 3 sont illustrés. Une conception sécuritaire requiert l'utilisation du diagramme de résistance B. Toutefois, en utilisant la combinaison Pmax-Mmax, où Pmax = P1 et Mmax = M3, le diagramme C, plus sécuritaire, sera requis. Pour un diagramme d'interaction non symétrique, comme on en retrouve généralement en charpentes de béton armé3.6, l'utilisation de la combinaison des valeurs maximales n'est pas garante de sécurité. La figure 3.7b montre que le diagramme B, satisfaisant pour la combinaison Pmax-Mmax, où Pmax = P1 et Mmax = M3, ne rencontre pas les critères de résistance requis pour la condition 2. Le diagramme C est donc requis. Dans les deux cas illustrés à la figure 3.7, on constate que l'utilisation des conditions obtenues de la valeur maximale de chacun des effets, associés à la valeur correspondante de l'autre effort (Pmax = P1 avec M1 ou P3 avec Mmax = M3), est satisfaite par le diagramme d'interaction A mais n'est pas nécessairement sécuritaire pour tous les cas de chargement.

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3.8

Conception des ponts

La considération des cas intermédiaires, où P  Pmax et M  Mmax, n'est pas simple et doit être faite avec attention. Toutefois, en pratique, l'utilisation de l'ordinateur facilite grandement la tâche du concepteur dans la détermination de ces valeurs car tant les valeurs maximales que les différents rapports entre les efforts peuvent être obtenus. Toutefois, la visualisation des cas de charge critique avec le diagramme d'interaction permet de constater si des conditions critiques sont probables ou non.

Figure 3.7: Diagrammes d'interaction

3.3

LIGNES D'INFLUENCE POUR POUTRES ET TREILLIS ISOSTATIQUES

Dans cette section le concept de lignes d'influence est introduit pour le moment fléchissant et l'effort tranchant dans les poutres simplement appuyées et pour les efforts axiaux dans les treillis isostatiques. Ce concept sera généralisé aux sections 3.4 et 3.5.

3.3.1 Définition La ligne d'influence d'un effet donné dans une structure (M, V, N, , etc.) est une représentation graphique de la valeur de cet effet à une section donnée causée par une charge unitaire se déplaçant sur la structure et dessinée le long de cette structure aux différents points d'application de la charge. On peut donc tracer une ligne d'influence pour tous les types d'effets à différentes sections le long d'une poutre.

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Lignes d'influence

3.9

3.3.2 Poutre simplement appuyée L'application la plus simple des lignes d'influence concerne les poutres simplement appuyées. Considérons la poutre montrée à la figure 3.8 où les lignes d'influence du moment fléchissant et de l'effort tranchant à la section n sont montrées. L'ordonnée  de la ligne d'influence à n'importe quelle section de coordonnée x donne la valeur du moment fléchissant Mn ou l'effort tranchant Vn à la section n lorsque la charge unitaire se trouve à la position x. Les valeurs positives sont tracées du côté inférieur de l'axe. On peut également obtenir la ligne d'influence des réactions d'appuis en A et B (Fig. 3.8d). L'ordonnée  de la ligne d'influence prend donc les valeurs suivantes pour les différents types d'efforts à la section n lorsque la charge se trouve à la coordonnée x: 

pour les réactions d'appuis on trouve:

 RA   RB  

 L  x

(3.6a)

L

 x

(3.6b)

L

pour 0  x  b:

 b c  x   x 

M n        c   RB c  L  b   L   b  x 

x

Vn              RB  L  b  L 

(3.6c)

(3.6d)

pour b  x  L:

 b c  L  x   L  x     b   RA b  L  c   L 

M n  

 c  L  x 

 Lx

Vn         RA  L  c   L 

(3.6e)

(3.6f)

Il est intéressant de noter que les lignes d'influence du moment fléchissant et de l'effort tranchant peuvent être construites directement à partir des lignes d'influence des réactions d'appuis situées du côté opposé de la position de la charge unitaire par rapport à la section n.

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Conception des ponts

3.10

Figure 3.8: Lignes d'influence d'une poutre simplement appuyée

3.3.3 Treillis articulé isostatique Pour les membrures d'un treillis isostatique à membrures articulées, il est également possible de tracer des lignes d'influence. Considérons, à titre d'exemple, le treillis montré à la figure 3.9 sur lequel circule une charge unitaire au niveau de la corde inférieure. Les lignes d'influence des efforts sont construites à partir des lignes d'influence des réactions d'appui d'une poutre simplement appuyée données aux équations 3.9. On peut ainsi écrire : 

lorsque P est entre A et C, en faisant l'équilibre de la partie droite:

 N1   RB  3b h 

 N 2   RB   sin  

(3.7a) 1

 N3   RB  2b h 

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(3.7b) (3.7c)

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Lignes d'influence

3.11

Figure 3.9: Lignes d'influence d'un treillis isostatique



lorsque P est entre D et B, en faisant l'équilibre de la partie gauche:

 N1   RA  b h   N 2   RA   sin  

(3.7d) 1

 N3   RA  2b h 

(3.7e) (3.7f)

Lorsque la charge se situe entre C et D, la ligne d'influence est une ligne droite joignant la valeur à C et celle à D comme montré aux figures 3.9c, 3.9d et 3.9e.

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3.12

Conception des ponts

3.3.4 Utilisation des lignes d'influence Les lignes d'influence servent à déterminer les efforts se produisant à une section n pour une ou des charges positionnées le long de la poutre ou de la structure. Ainsi, pour la poutre montrée à la figure 3.10 et sur laquelle circule un groupe de trois charges concentrées, on peut calculer les efforts maximaux M et V à la section n en utilisant la ligne d'influence de chacun de ces efforts. Pour chaque type d'effort, on multiplie la valeur réelle de P avec l'ordonnée de la ligne d'influence correspondant à sa position. La somme de ces produits pour toutes les charges présentes sur la poutre donne la valeur de l'effet considéré à la section n dû au groupe de charges:

Effort   Pi i

(3.8)

En procédant par tâtonnement, par inspection ou en se fondant sur l'expérience, on détermine quelle position des charges donne l'effort maximal. Dans le cas où les charges ont des valeurs différentes, il est nécessaire de faire circuler les charges dans les deux directions afin d'obtenir les efforts maximaux (Fig. 3.10c).

Figure 3.10: Utilisation des lignes d'influence

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Lignes d'influence

3.13

EXEMPLE 3-2: Il s'agit, pour la poutre montrée à la figure 3.11, de déterminer le moment fléchissant et l'effort tranchant causés par un groupe de trois charges mobiles ayant les valeurs et les espacements suivants: P1 = 60 kN; P2 = 240 kN; P3 = 200 kN; s1 = 4 m; s2 = 6m. La poutre a une portée de 20 m et la section n se trouve à 8 m de l'appui A. Les calculs sont résumés au tableau 3.1. On peut remarquer que le moment maximal et l'effort tranchant maximal se produisent pour le même cas de chargement ce qui n'est pas toujours le cas.

Figure 3.11: Exemple 3.2

3.4

LIGNES D'INFLUENCE POUR LES POUTRES

À la section précédente, l'analyse d'une poutre a permis de voir que les efforts maximaux à certains endroits de la structure se produisent lorsque seulement une portion de la poutre est chargée. La présente section permet de généraliser ce qui a été vu auparavant. L'approche, qui est générale, sera appliquée dans cette section aux poutres isostatiques, aux treillis isostatiques ainsi qu'aux poutres continues.

3.4.1 Concept et applications Une charge transversale concentrée appliquée à une position quelconque sur une poutre cause différents effets: moments fléchissant, effort tranchant, effort axial, réaction d'appui, déplacement. Ces effets varient en intensité selon la position de la charge. Si la valeur d'un effet Q à une section donnée dans la structure, causé par une charge transversale unitaire, est dessinée en ordonnée pour toutes les positions possible de cette charge transversale, on obtient la ligne d'influence de cet effet à la section considérée en fonction la position de la charge. On utilise dans ce chapitre la variable  pour désigner la valeur que prend la ligne d'influence. Cette variable pourrait également être appelée le coefficient d'influence. Dans ce texte, on se limitera au concept de ligne d'influence causée par une charge unitaire mobile agissant sur la structure, perpendiculairement aux pièces et membrures. La convention de signe adoptée veut la ligne d'influence soit positive dans la même direction que la charge unitaire. Pour une poutre, la direction positive pour une charge étant vers le bas, la ligne d'influence positive se situe donc du côté inférieur de l'axe.  Bruno Massicotte Usage restreint à l'enseignement du cours CIV4530

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Conception des ponts

3.14

Tableau 3.1: Efforts selon le cas de chargement Moment fléchissant M2 2

Cas

x1

1

M1

x2

1 2 3 4 5 6

8 4 -2 8 12 18

4.8 2.8 0 4.8 3.2 0.8

288 144 0 288 192 48

Cas

x1

1

V1

12 3.2 768 8 4.8 1152 2 1.2 288 4 2.4 576 8 4.8 1152 14 2.4 576 Effort tranchant positif x2 V2 2

1 2 3 4 5 6

8 4 -2 8 12 18

0,6 0 0 0.6 0.4 0.1

36 0 0 36 24 6

Cas

x1

1

1 2 3 4 5 6

8 4 -2 8 12 18

-0.4 -0.2 0 -0.4 0 0

x3

3

M3

18 14 8 -2 2 8

0.8 2.4 4.8 0 1.2 4.8

160 480 960 0 240 960

x3

3

V3

18 14 8 -2 2 8

0.1 0.3 0.6 0 0 0.6

20 60 120 0 0 120

V1

12 0.4 96 8 0.6 144 2 0 0 4 0 0 8 0.6 144 14 0.3 72 Effort tranchant négatif x2 V2 2

x3

3

V3

-24 -12 0 -24 0 0

12 8 2 4 8 14

18 14 8 -2 2 8

0 0 -0.4 0 -0.1 -0.4

0 0 -80 0 -20 -80

0 -0.4 -0.1 -0.2 -0.4 0

0 -96 -24 -48 -96 0

M total 1216 1776 1248 864 1584 1584 V total 152 204 120 36 168 198 V total -24 -108 -104 -72 -116 -80

L'utilisation d'une ligne d'influence peut s'illustrer comme suit. Pour la poutre montrée à la figure 3.12a, on donne en ordonnée la valeur de la ligne d'influence d'un effet Q quelconque en fonction de la position longitudinale des charges. La valeur de toute effet Q causé par un groupe de charges P1, P2,..., Pn peut être obtenu en utilisant la valeur de la ligne d'influence de cet effet:

ou bien

Q  1 P1   2 P2  ...   n Pn

(3.9a)

Q  i Pi

(3.9b)

La valeur de ce même effet, due à une charge linéique d'intensité p (Fig. 3.12b) agissant sur une portion de longueur CD, est: D

Q    p dx

(3.10a)

C

qui prend la forme suivante pour une charge linéaire q d'intensité constante: D

Q  q   dx

(3.10b)

C

où la valeur de l'intégrale représente l'aire sous la ligne d'influence entre C et D.

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Lignes d'influence

3.15

Figure 3.12: Ligne d'influence

Ainsi la connaissance de la forme d'une ligne d'influence indique la position que doivent occuper les charges afin de produire l'effet maximal. Des exemples de lignes l'influence sont donnés aux figures 3.13 à 3.15 pour une poutre isostatique, une poutre continue et un cadre rigide respectivement. On peut voir, sur la figure 3.13, que le moment négatif maximal en E survient lorsque les travées AB et CD sont chargées alors que la travée BC n'a aucune charge. D'une façon similaire, l'effort tranchant positif maximal à cette même section se produit lorsque la charge occupe toute la section AB et la portion EC de la travée centrale. Sur la figure 3.14, on observe que la réaction d'appui en B est maximale lorsque les travées AB et BC sont chargées alors que des charges sur la travée CD réduisent la valeur de la réaction. Sur la figure 3.15, on doit interpréter la ligne d'influence sur la béquille BE comme étant la valeur de l'effet considéré à la section n pour une charge horizontale positive vers la droite agissant sur la béquille BE.

3.4.2 Le principe de Müller-Breslau Le principe de Müller-Breslau, ou du travail virtuel, est une méthode très utile qui permet d'obtenir une ligne d'influence. Ce principe veut que la valeur de la ligne d'influence, pour tout effet donné dans une structure, soit égale à celle de la déformée (flèche) de cette structure obtenue, avec la retenue correspondant à cet effet relâchée, lorsque cette structure est soumise à un déplacement unitaire associé à la retenue relâchée. Ce principe est général et peut s'appliquer à toute structure isostatique ou hyperstatique. Il peut être démontré à l'aide du théorème de Betti.

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3.16

Conception des ponts

Figure 3.13: Poutre isostatique

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Lignes d'influence

3.17

Figure 3.14: Poutre continue

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3.18

Conception des ponts

Figure 3.15: Cadre rigide

Rappelons brièvement que le théorème de Betti veut que

"pour deux systèmes de forces F et P, indépendants et en équilibre individuellement, la somme des produits des forces du système F (Fi) par les déplacements iP de ces forces engendrés par le système

de forces P est égale à la somme des produits des forces du système P (Pi) par les déplacements iF de ces forces engendrés par le système de forces F". Ce théorème s'exprime ainsi: n

m

i 1

i  n 1

 Fi iP  

Pi  iF

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(3.11)

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Lignes d'influence

3.19

Ainsi, considérons la poutre isostatique en équilibre de la figure 3.13a. On peut éliminer le support en B et remplacer par son effet par une charge concentrée positive vers le haut, RB (Fig. 3.13b). Si la structure est maintenant soumise à une charge concentrée F en B de sorte que la flèche en B égale l'unité, on obtient la déformée de la poutre montrée à la figure 3.13c. Comme la structure était initialement isostatique, l'élimination de l'appui en B rend la structure instable (mécanisme) et la force F requise pour obtenir une flèche unitaire en B est nulle (F=0). Ceci est particulier aux structures isostatiques. En effet, pour une structure hyperstatique l'élimination d'une restriction laisse toujours une structure stable de sorte que F n'est pas nulle (F =/ 0). Si on applique le théorème de Betti exprimé par l'équation 3.11, on trouve:

1 P1   2 P2  ...   n Pn  1  RB  F  0

(3.12)

Cette équation indique que le travail virtuel externe fait par le groupe de charges agissant sur la poutre (Fig. 3.13b) durant le déplacement de la structure à la figure 3.13c est égal au travail virtuel externe réalisé par le système de forces de la figure 3.13c durant le déplacement de la figure 3.13b. Cette dernière quantité est égale à zéro car il n'y a aucun déplacement en B dans le système de la figure 3.13b. Ainsi on peut réécrire l'équation 3.12:

RB  i Pi

(3.13)

Si l'on compare cette dernière équation à l'équation 3.9b, on voit que la flèche de la poutre de la figure 3.13c est la ligne d'influence de la réaction RB. Ceci démontre que la ligne d'influence de la réaction RB peut être obtenue en relâchant cet effet (ici éliminer l'appui B) en introduisant subséquemment un déplacement unitaire en B vers le bas, c'est à dire dans la direction opposée à la direction positive de l'effet considéré, la réaction RB. En utilisant la statique élémentaire, on peut aisément vérifier que la valeur des ordonnées de la figure 3.13c est bien égale à la réaction d'appui en B pour une charge unitaire se déplaçant le long de la poutre de la figure 3.13a. De façon similaire, on peut obtenir la ligne d'influence du moment à la section E. Il faut pour cela relâcher le moment en E en introduisant une rotule à cet endroit. On applique ensuite deux couples égaux et opposés F afin de produire une rotation relative des deux extrémités de poutres en E. En appliquant le théorème de Betti pour les systèmes des figures 3.13d et 3.13e, on obtient:

ou bien

1 P1   2 P2  ...   n Pn  1 M E  F  0

(3.21)

M E  i Pi

(3.22)

démontrant que la courbe sur la figure 3.13e est bien la ligne d'influence du moment en E. Finalement, la ligne d'influence de l'effort tranchant en E est obtenue en relâchant cet effet en E en introduisant un mécanisme permettant le transfert des autres efforts mais non l'effort tranchant, et en imposant un déplacement unitaire relatif des deux extrémités de la poutre au moyen de deux charges concentrées égales et opposées. Ceci nous permet encore une fois d'écrire à l'aide du théorème de Betti pour les systèmes des figures 3.13d et 3.13f:

1 P1   2 P2  ...   n Pn  1  VE  F  0

(3.23)

VE  i Pi

(3.24)

ou bien

prouvant du fait même que la figure 3.13f est bien la ligne d'influence de l'effort tranchant en E. Les lignes d'influence montrées jusqu'à présent étaient composées de lignes droites, typiques pour les structures isostatiques. Ainsi le calcul d'une des valeurs de la ligne d'influence et la connaissance de sa représentation

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3.20

Conception des ponts

graphique sont suffisants pour tracer la ligne d'influence au complet en connaissant la valeur associée en tout point. Les lignes d'influence des structures hyperstatiques sont composées de courbes nécessitant le calcul de la valeur associée à plusieurs endroits. Aux figures 3.14 et 3.15, le principe de Müller-Breslau est appliqué de façon générale pour obtenir les lignes d'influence de divers types d'effets pour des structures hyperstatiques.

3.4.3 Méthode de calcul d'une ligne d'influence Les étapes suivies à la sous-section précédente, pour obtenir une ligne d'influence pour un effet quelconque peuvent, se résumer comme suit. 1.

La structure est relaxée en relâchant la retenue correspondant à l'effet considéré. Le degré d'hyperstaticité de la structure relaxée est réduit d'une fois comparativement à la structure initiale.

2.

Un déplacement unitaire est introduit dans la structure relaxée dans la direction opposée à l'effet considéré. Ceci est fait en appliquant une force, ou une paire de forces égales et opposées, correspondant à cette action.

3.

La valeur de la déformée de la structure ainsi obtenue correspond à l'ordonnée de la ligne d'influence de l'effet considéré. La valeur de la ligne d'influence est positive dans la même direction que la charge externe unitaire.

3.4.4 Application de la méthode de Müller-Breslau L'utilisation de la méthode de Müller-Breslau est illustrée à travers trois exemples: une poutre isostatique, une ferme isostatique à joints souples et une poutre continue sur trois appuis, une fois hyperstatique. Dans chacun des exemples, il s'agit de tracer la ligne d'influence de certains effets et de calculer la valeur maximale de l'effet pour le chargement QS-660. EXEMPLE 3.3: Pour la poutre montrée à la figure 3.16, on désire trouver les lignes d'influence pour VC, MB et RB ainsi que leur valeur maximale de ces effets pour un chargement QS-660. a) Effort tranchant VC: La ligne d'influence de VC se trouve en relaxant cet effort, afin d'avoir un déplacement unitaire, tel qu'illustré à la figure 3.16b. On voit que seulement les charges sur la travée CD vont induire un effort tranchant en C. L'effort maximal s'obtient en plaçant la charge de 240 kN en C et celle de 200 kN à 6 m de C vers la droite, ce qui donne l'effort tranchant suivant, avec 240 = 1.0 et 200 = (10-6)/10 = 0.4: VC = 1.0×240 + 0.4×200 = 320 kN b) Moment fléchissant MB: La ligne d'influence du moment en B est montrée à la figure 3.16c. Elle a été obtenue en relaxant le moment en B en insérant une rotule et en imposant une rotation unitaire au même endroit. La valeur maximale de la ligne d'influence survient en C et prend la valeur de: c =  × L = 1 × 5 m = 5 m

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Lignes d'influence

3.21

Le moment maximal produit par le chargement QS-660 s'obtient en positionnant la charge de 240 kN en C, celle de 200 kN à 6 m du côté droit de C et celle de 60 kN à 4 m à gauche de C, ce qui donne: 240 = 5.0 m, 200 = 5(10-6)/10 = 2.0 m et 60 = 5(5-4)/5 = 1.0 m. La valeur de MB est donc: MB = 5.0×240 + 2.0×200 + 1.0×60 = 1660 kN.m c) Réaction d'appui RB: La ligne d'influence de la réaction en B est montrée à la figure 3.16d. Elle a été obtenue en relaxant la réaction en B en éliminant l'appui et en imposant un déplacement unitaire au même endroit.

Figure 3.16: Exemple 3.3

La réaction maximale produite par le chargement QS-660 s'obtient en positionnant la charge de 240 kN en C, celle de 200 kN à 6 m du côté gauche de C, celle de 160 kN à 12 m du côté gauche de C et celle de 60 kN à 4 m à la droite de C, ce qui donne: 240 = 1.0, 200 = (20+5-6)/25 = 0.76, 160 = (20+5-12)/25 = 0.52 et 60 = (10-4)/10 = 0.6. La valeur de RB est donc:

RB = 1.0×240 + 0.76×200 + 0.52×160 + 0.6×60 = 511.2 kN

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3.22

Conception des ponts

EXEMPLE 3.4 À la figure 3.17 on montre une ferme à membrures articulées formant une poutre en arc. On désire calculer la ligne d'influence de la membrure 1 située entre les nœuds E et F. On procédera en faisant une coupe à travers le panneau CDEF et en utilisant tour à tour les lignes d'influence des réactions d'appui en A et B. a) Équilibre à gauche En faisant l'équilibre à gauche (Fig. 3.17b), on utilise la ligne d'influence de RA pour déterminer la valeur de la ligne d'influence de la membrure 1 lorsque la charge se situe à la droite de D. En faisant la somme des moments autour de D, on détermine que l'effort N1 est égal à:

 M D  RA  2 a donc

 N1  d  0

 M D  RA  2 a  N1  d  0

N1  

2a  R A d

Ceci conduit à l'expression suivante pour N1:

 N1  

2a 2a  RA   d d

 x 1    L

b) Équilibre à droite En faisant l'équilibre à droite (Fig. 3.17c), on utilise la ligne d'influence de RB pour déterminer la valeur de la ligne d'influence de la membrure 1 lorsque la charge se situe à la gauche de C. En faisant la somme des moments autour de D, on détermine que l'effort N1 est égal à:

 M D   RB  4 a

 N1  d  0

donc N1  

4a  RB d

Ceci conduit à l'expression suivante pour N1:

 N1  

4a 4a x  RB    d d L

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Lignes d'influence

3.23

Figure 3.17: Exemple 3.4

c) Ligne d'influence entre C et D La valeur de la ligne d'influence entre C et D s'obtient en reliant la valeur de la ligne d'influence en C à celle en D. L'équilibre à gauche nous donne comme valeur de ligne d'influence en D (x = 2a):

 N1  

2a d

 2a 1   L  

tandis que l'équilibre à droite nous donne en C (x = a):

 N1  

4a d

a   L

L'équation de la droite reliant ces deux points est donnée par l'expression suivante:

 N1  

4a x   d L

Cette équation est identique à celle obtenue pour l'équilibre à droite.

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3.24

Conception des ponts

EXEMPLE 3.5 À la figure 3.18, on montre une poutre continue sur trois appuis à inertie constante, une fois hyperstatique. On désire calculer la ligne d'influence du moment au centre de la travée AB, au point D. En appliquant le principe de Müller-Breslau pour obtenir la ligne d'influence de MD, on relâche le moment en B en insérant une rotule à ce point et on applique en ce point deux couples égaux et opposés F, produisant une rotation unitaire relative entre les segments de la poutre de part et d'autre du point D. Ces couples produisent une flèche  en D et des rotations en D sur les segments AD et DBC dont la somme doit être égale à un. Pour déterminer l'ordonnée de la ligne d'influence, on doit calculer la rotation en D causée par un couple F agissant sur le segment AD ainsi que la rotation et la flèche en D causées par un couple F agissant en D sur le segment DBC. Ces valeurs permettront de déterminer la valeur de F et ainsi les ordonnées de la ligne d'influence.

Figure 3.18: Exemple 3.5

Un fait important mérite d'être souligné. Aux figures 3.13 à 3.15, on spécifiait que les tangentes des segments pour le calcul de la ligne d'influence de l'effort tranchant devaient être parallèles. À l'exemple 3.3 (Fig. 3.16b), on voit que les tangentes n'ont pas la même pente. La raison est que la compatibilité dans les tangentes est requise seulement lorsqu'il y a continuité dans le diagramme de moment, ce qui est requis pour les poutres continues alors que cela ne s'applique pas pour le cas où on retrouve une rotule comme à l'exemple 3.3. C'est le même raisonnement qui conduit à la compatibilité des flèches en D dans le cas de l'exemple 3.5 car l'effort tranchant de chaque côté de D doit être le même. Ainsi, la continuité dans le diagramme des moments

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Lignes d'influence

3.25

requiert des tangentes égales de chaque côté de la discontinuité introduite alors que la continuité dans les diagrammes d'effort tranchant, tout comme pour la réaction d'appui, nécessite des flèches égales.

3.5

LIGNES D'INFLUENCE POUR LES GRILLAGES

La méthode du grillage est une technique répandue d'analyse en trois dimensions des tabliers de ponts. Brièvement, cette méthode représente un tablier de pont, formé d'une dalle reposant sur des poutres longitudinales, par un réseau des poutres longitudinales jointes entre elles par des poutres transversales représentant la contribution de la dalle et des diaphragmes à la rigidité transversale du tablier. Il est ainsi possible d'obtenir les lignes d'influence d'un grillage. Toutefois, le niveau de complexité de la tâche se prête presqu'exclusivement au calcul numérique sur ordinateur. On peut cependant utiliser avantageusement le principe de Müller-Breslau pour avoir une idée de la forme que prennent les lignes d'influence. Un tel exercice permet de mieux comprendre le comportement structural des grillages ou de toute autre structure. À titre d'exemple, on illustre à la figure 3.19 la "ligne" d'influence de trois moments fléchissant: Mn1, Mn2, et Mn3. On constate que la ligne d'influence ne se situe plus seulement sur une membrure mais s'étend plutôt sur la structure en trois dimensions. Bien que le principe de Müller-Breslau s'applique aisément, il faut l'utiliser avec prudence. Ainsi, à la figure 3.19b, on observe que la valeur de la ligne d'influence est négative sur la poutre EIF. Cette constatation, quoique réaliste, est fonction de la rigidité transversale de la membrure GHI par rapport à la rigidité des membrures longitudinales. Il est possible qu'il en soit autrement dans certaines circonstances. Il importe donc d'utiliser beaucoup de discernement dans l'application de la méthode.

3.6

UTILISATION DE LOGICIELS SPÉCIALISÉS

L'utilisation de l'ordinateur pour le calcul des tabliers de ponts est très répandue. Il est pratiquement impossible aujourd'hui de procéder sans l'aide de l'ordinateur pour le calcul des efforts. Ainsi les méthodes manuelles vues dans ce chapitre ne sont à peu près plus utilisées pour déterminer les efforts dans les structures. Toutefois elles peuvent s'avérer utiles dans certaines occasions. Ainsi il est important que le concepteur de ponts ait une connaissance qualitative du type d'effort et une connaissance quantitative de l'ordre de grandeur et du sens (signe) des efforts auxquels il doit s'attendre dans son analyse. Ces notions lui permettront d'éviter des erreurs grossières dues à une utilisation erronée des outils informatiques mis à sa disposition car l'utilisation de boîtes noires, même en apparence facile, est toujours très délicate. L'analyse se fait selon différentes approches. Sur une échelle de complexité allant du plus simple au plus complexe, on retrouve l'extrémité de la simplicité l'analyse des structures conventionnelle et à l'extrémité de la complexité la méthode des éléments finis. Toutefois, on doit noter que la première méthode est un cas particulier de la seconde. La différence fondamentale qui existe entre ces deux extrêmes est que la méthode d'analyse structurale conventionnelle utilise des éléments de poutres unidimensionnels pour représenter une structure alors que la méthode des éléments finis idéalise la structure au moyen d'éléments unidimensionnels, bidimensionnels et tridimensionnels. La formulation des éléments finis en fait également une méthode ayant une beaucoup plus grande polyvalence. En analyse des ponts, les deux méthodes sont utilisées. Lorsque la géométrie d'un pont s'assimile à une poutre ou un cadre plan, la méthode d'analyse des structures conventionnelle sera généralement préférée, étant plus simple d'application. Lorsqu'on désire réaliser une analyse en trois dimensions d'un tablier, on utilisera souvent la méthode de d'analyse des structures conventionnelle en faisant une analyse de grillage, ou bien on utilisera la méthode des éléments finis.

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3.26

Conception des ponts

Figure 3.19: Grillage

RÉFÉRENCES 3.1

GHALI, A. and NEVILLE, A.M. 1989. "Structural analysis - A unified classical and matrix approach". 3rd Ed., Chapman and Hall, N-Y, 870p.

3.2

LARNACH, W.J. 1964. "Influence lines for statically indeterminate plane structures", MacMillan & Co Ltd, London, 256p.

3.3

GRIOT, G. and LORSCH, H. 1952. "Influence line tables", F. Ungar Publishing, N-Y, 87p.

3.4

ERIKSEN, B. 1955. "Influence lines for thrust and bending moments in the fixed arch", Concrete Publication Ltd, London, 27p.

3.5

BEAULIEU, D., PICARD, A., TREMBLAY, R. GRONDIN, G. et MASSICOTTE, B. 2003 et 2010. "Calcul des charpentes d'acier, Tomes 1 et 2". Institut Canadien de la Construction Métallique, Ontario.

3.6

WIGHT, J. and MACGREGOR, J.G. 2009. "Reinforced concrete mechanics and design". Prentice Hall.

3.7

AMERICAN INSTITUE FOR STEEL CONSTRUCTION 1966 "Moments, shears and reactions for continuous highway bridges".

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