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• Alex Junior Rodriguez Barranzuela

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CENTRO DE MASA Y CENTRO DE GRAVEDAD

En la Física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio. Consideremos un cuerpo material: 

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Para que el centroide del cuerpo coincida con el centro de masa, el cuerpo debe tener densidad uniforme o una distribución de materia que presente ciertas propiedades, tales como la simetría. Para que un centro de masa del cuerpo coincida con el centro de gravedad, el cuerpo debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme.

CENTROIDE En geometría, el centroide o baricentro de un objeto X perteneciente a un espacio n-dimensional es la intersección de todos los hiperplanos que dividen a X en dos partes de igual n-volumen con respecto al hiperplano. Informalmente, es el promedio de todos los puntos de X.

Es el centro geométrico de un cuerpo

ROBLEMA RESUELTO:

CENTRO DE MASA El centro de masa es el punto en el que se puede considerar que está "concentrada" toda la masa. Los términos "centro de masa" y "centro de gravedad ", se utilizan como sinónimos en un campo gravitatorio uniforme, para representar el punto único de un objeto o sistema que se puede utilizar para describir la respuesta del sistema a las fuerzas y pares externos. El concepto de centro de masa es el de un promedio de las masas, factorizada por sus distancias a un punto de referencia. En un plano, es como el punto de equilibrio o de pivote de un balancín respecto de los pares producidos. Normalmente se abrevia como c.m. 

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el centro de masas coincide con el centroide cuando la densidad es uniforme o cuando la distribución de materia en el sistema que tiene ciertas propiedades, tales como simetría. el centro de masas coincide con el centro de gravedad, cuando el sistema se encuentra en un campo gravitatorio uniforme (el módulo y la dirección de la fuerza de gravedad son constantes). Supongamos que tenemos un sistema de diferentes masas m1 , m2, m3 ..... mn separadas en el espacio a distancias fijas y que suman un total de masa M; la expresión general para determinar las coordenadas del centro de masa es:

Caso 1: El uso de las ecuaciones 1 implica que para determinar la posición del centro de masa de un sistema, debemos, ante todo, definir un punto de referencia a partir del cual vamos a medir los vectores que dan la posición del centro de masa. En un sistema de tipo lineal, como por ejemplo, dos masas esféricas en colocadas a lo largo de una varilla sin masa podemos proceder como sigue: En la figura 1 se muestra un esquema del sistema lineal mencionado arriba, en él una masa de 1.6 kg está en un extremo de la varilla y se ha colocado en el origen del eje x, esto es x = 0 m. La otra masa de magnitud 1.8 kg está a 1.2 m del origen, la masa de la varilla es tan poca que puede despreciarse. Sustituyendo en las ecuaciones 1 para X tenemos:

Figura 1

Es decir el centro de masa está algo más cerca del la masa mayor como era de esperase. Su sustituimos para dos masas iguales de 1.6 kg, tendremos que el centro de masa estará a X= 0.6 m, exactamente en la mitad de la distancia entre las dos masas.

Caso 2: Ahora el caso de un sistema en dos dimensiones al agregar una masa m3 = 2.3 kg a una distancia de 1.1m sobre el eje y como se muestra en la figura 2. Sustituyendo en las ecuaciones 1 para hallar las coordenadas x e y del centro de masa tenemos: Coordenada x:

Coordenada y:

Del mismo modo se opera en un sistema de tres dimensiones, pero, por supuesto, hay que agregar un eje z y calcular su valor para situar el centro de masa en el espacio. Cuando se considera la gravedad como fuerza actuante en un objeto rígido, se puede asumir sin error que la fuerza actúa en el centro de masa y se le conoce generalmente como centro de gravedad.

CENTRO DE GRAVEDAD El centro de gravedad (c.d.g.) es un concepto muy importante cuando se diseñan estructuras y máquinas ya que de su situación dependerá que éstas sean estables y no pierdan su posición de trabajo. En él suponemos concentrada toda la masa del objeto, pero sólo de forma virtual, ya que la masa de un objeto se encuentra repartida por todo él.

El centro de gravedad es el centro de simetría de masa, donde se intersecan los planos sagital, frontal y horizontal. En dicho punto, se aplica la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre un cuerpo. Cabe destacar que el centro de gravedad no se corresponde necesariamente con un punto material del cuerpo. Si se trata de una esfera hueca, por ejemplo, su centro de gravedad no pertenecerá al cuerpo

Características: El centro de gravedad de un cuerpo puede estar dentro o fuera del cuerpo El centro de gravedad de un cuerpo quedara perfectamente determinado con respecto a un eje de coordenadas por una abscisa (x) y una ordenada (y) El centro de gravedad no varía con la posición pero si depende de su forma geométrica Si un cuerpo presentase algún eje de geometría, el centro de gravedad se encontrara en un punto contenido en dicho eje. Si a un cuerpo se le aplica una fuerza igual al peso pero en sentido contrario y en el centro de gravedad, dicho cuerpo permanecerá en equilibrio independientemente de lo que pudiera inclinarse el cuerpo con respecto al centro de gravedad.

La posición del centro de gravedad de un objeto depende de su forma: Si la figura es regular, es muy sencillo situar el c.d.g. ya que se encuentra en su centro geométrico como ves en la siguiente figura.

El c.d.g. de una figura irregular es más complicado calcularlo y, como puedes ver en la imagen de la derecha, puede quedar fuera de la propia pieza. Sí podemos afirmar que cuanto mayor sea la base, mayor será la estabilidad de la pieza. En la siguiente imagen podemos ver en 1, la pieza en su posición estable; en 2, se ha desequilibrado el objeto, pero retomará la posición estable cuando se suelte, ya que la flecha vertical que pasa por el c.d.g. cae dentro de la base; en 3, la pieza se volcará pues, como vemos, la flecha se sale de la base.

La posición del centro de gravedad también depende de la distribución de masas en él: Para conseguir mayor estabilidad tendremos que acumular la mayor cantidad de masa cerca de la base. Cuando tengamos estructuras muy altas habrá que ponerle una base grande y pesada para darle estabilidad. En los edificios, estas bases se llaman cimientos.

Ejemplo:

El primer paso será que ubiquemos el punto de referencia, que generalmente será el origen (0,0) del plano x, y. En segundo lugar, ubicamos los cg de cada figura regular. Tercer paso, llenamos la tabla que te presento a continuación:

De modo que el centro está localizado en la coordenada (4.21, 3.21)

VOLCADURA DE LOS OBJETOS

Para que un objeto cualquiera colocado verticalmente no se vuelque, es necesario que la vertical que pasa por su centro de gravedad no se salga fuera de la base de dicho objeto. Por esta razón, el cilindro inclinado de la fig. 14 tiene que volcarse.

Figura 14. Este cilindro debe volcarse, puesto que la vertical de su centro de gravedad no pasa por la base. Pero si este mismo cilindro fuera tan ancho, que la vertical trazada por su centro de gravedad no se saliera de los límites de su base, no se volcaría.

Figuras 15 a y 15 b Las llamadas torres inclinadas de Pisa, Bolonia o Arcángel (fig. 15) no se caen, a pesar de su inclinación, porque la vertical de sus centros de gravedad no rebasa los límites de sus bases (otro motivo, pero de segundo orden, es la profundidad a que sus cimientos se hunden en tierra). Una persona puesta de pie no se cae, mientras la vertical de su centro de gravedad está comprendida dentro de la superficie limitada por los bordes exteriores de las plantas de sus pies (fig. 16). Por esto es tan difícil mantenerse sobre un solo pie y aún más sobre guardar el equilibrio en el alambre, ya que en estas condiciones la base es muy pequeña y la vertical del centro de gravedad puede rebasar sus límites fácilmente. ¿Os habéis fijado en la manera de andar que tienen los "lobos de mar»? Pues se explica, porque toda su vida la pasan en el barco, cuyo suelo se balancea y hace que la vertical de sus

centros de gravedad pueda salirse en cualquier momento de los límites del espacio limitado por las plantas de sus pies.

Figura 16. Cuando una persona está en pie, la vertical de su centro de gravedad pasa por la superficie limitada por las plantas de sus pies. Por esto, los marineros adquieren la costumbre de andar de manera que su cuerpo tenga la mayor base posible, es decir, separando mucho los pies. De esta forma consiguen tener la estabilidad necesaria cuando están en la cubierta de su barco y ésta se balancea, pero, como es natural, esta costumbre de andar la conservan cuando lo hacen por tierra firme.