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• Carlos David T Garcia

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Asignatura: Cálculo diferencial Unidad 2. Límites y continuidad Actividad 1. Foro de representación de límites Alumno: Edgar Ignacio Andrade Muñoz Matrícula: ES1921011515 Programa educativo: Licenciatura en Matemáticas

El límite, sus propiedades y continuidad El presente documento tiene la intención de describir intuitivamente lo que se entiende por límite y lo que se entiende por límite cuando se habla de funciones, además de sus propiedades. Por otra parte, se da una breve explicación sobre la continuidad y discontinuidad, cuándo existe en una función ya sea en un intervalo abierto o cerrado.

¿Qué es el límite? En la Evidencia de Aprendizaje de la Unidad 1, se presentó la siguiente función que tenía un comportamiento peculiar: 𝑓(𝑥) =

5𝑥 − 2 𝑥+9

Cuando la función toma valores grandes se observa que se va acercando al valor 5 como se observa en la siguiente tabla: x f(x) 10 2.5263158 100 4.5688073 1000 4.9534192 10000 4.9953042 100000 4.9995300 1000000 4.9999530 10000000 4.9999953 Es decir, si vamos aumentando le valor de x, podemos acercarnos tanto a 5 como se quiera, pero sin tocarlo. En este caso, x se está acercando al infinito y mientras más grande sea, la diferencia de f(x) y el valor 5 se va reduciendo más. Por ejemplo, si queremos que la diferencia de f(x) y 5 sea menor a 0.000001, basta con ir aumentando el valor de x hasta el valor 100000000. En este caso podemos decir que el límite de f(x) cuando x tiende a infinito es 5.

¿Qué entendemos por límite en el caso de funciones? Uno de los principales textos que se utilizan para enseñar Cálculo en la Facultad de Ciencias de la UNAM es el del autor Michael Spivak (2012), en él aparece la definición de límite: “Definición La función f tiende hacia el límite l en a significa que: para todo  > 0 existe algún  > 0 tal que, para todo x, si 0 < |x — a| < , entonces | f(x) — l | <  “. Spivak hace hincapié en que dicha definición es una de las más importantes del cálculo y hace la recomendación de memorizarla como un poema. Con base en lo anterior, para demostrar que una función g(x) tiene su límite en el valor h, bastará con verificar que existe ese .

¿Qué propiedades tiene el límite?

En el mismo libro (Spivak, 2012), las propiedades del límite se establecen como teoremas que se desprenden de la definición antes descrita. A continuación, se mencionan dichos teoremas:

“Una función no puede tender hacia dos límites diferentes en a. En otras palabras, si f tiende a l en a, y si f tiende a m en a, entonces l = m.” (Si existe el límite, éste es único)

“Si lim 𝑓(𝑥) = 𝑙i y lim 𝑔(𝑥) = 𝑚 , entonces: →

→

1. lim (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑙 + 𝑚 →

2. lim (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑙 ∙ 𝑚 →

Además, si 𝑚 ≠ 0 , entonces 3. lim ( )(𝑥) = →

“

Continuidad y discontinuidad La continuidad está asociada a la definición de límite. Para que pueda decir que una función f sea continua en a, se debe cumplir que: lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) (Spivak, 2012) →

Si no se cumple, entonces se dice que la función es discontinua en a. Respecto a la continuidad en intervalos abiertos cerrados, se puede decir que decir que es local y que, si una función es continua en un intervalo, debe serlo en cada punto de dicho intervalo. Por ejemplo, supongamos a la función g(x)=1/x. Esta función no está definida para

x=0 por lo que no puede ser continua en x=0, sin embargo, si es continua en el intervalo (0,) y también lo será en e intervalo cerrado [5,20] .

Conclusiones Como bien lo menciona Spivak, el concepto de límite es uno de los más importantes del Cálculo y ed él se desprenden conceptos como la continuidad.

Referencias Spivak, M. (2012). Calculos. Barcelona, España: Reverté.