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• Wilhem Santos

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIERIA ECONOMICA Escuela profesional de ingeniería económica

CASOS ESPECIALES DE LA FUNCION DE PRODUCCION (CES) FUNCIONDE PRODUCCION. La función CES muestra rendimientos constantes a escala −𝟏

𝑸 = 𝑨[𝜶𝑳−𝝆 + (𝟏 − 𝜶)𝑲−𝝆 ] 𝝆

Esta función adopta varias formas dependiendo del valor del parámetro 𝝆. CASO I : SUSTITUCION PERFECTA K

𝑄 = [𝛼𝐿 + (1 − 𝛼)𝐾]

TMST= Cte.

Isocuanta

L SUSTITUCION PERFECTA

Si 𝜎 → ∞ , ⇒ 𝜌 → −1 Demostración: 1

𝜌 = 𝜎 − 1 … (1) 1

; como sabemos el valor de 𝜎 = ∞ …(2) 1

Entonces 𝜌 = 𝜎 − 1 = ∞ − 1 = −1 Reemplazamos (2) en (1). 1

𝜌=∞−1,

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NOTA: 1) 2)

1 ∞ 1 0

=0 =∞

𝜌 = 0 − 1 = −1…(3)

Por lo tanto quedara :

El valor de 𝜌 es negativo. El parámetro de sustitución es negativo: esto significa que la elasticidad de sustitución es negativa, los productos modernos son poco sustituible. Tasa marginal de sustitución técnica

TMST:

𝛼

𝐾 1+𝜌

( ) (1−𝛼) 𝐿

(3) en (4).

𝐾 1−1

(𝐿 )

…(4) 𝐾 0

= (𝐿 ) = 1 𝛼

Por lo tanto TMST= (1−𝛼) ; Es cte. −1

𝑄 = 𝐴[𝛼𝐿−1 + (1 − 𝛼)𝐾 −1 ] 𝜌 Reemplazando (3) en forma general −1

𝑄 = 𝐴[𝛼𝐿−1(−1) + (1 − 𝛼)𝐾 −1(−1) ]−1 ;

𝑄 = 𝐴[𝛼𝐿 + (1 − 𝛼)𝐾]1 ; es lineal la función de producción. 𝑄 = 𝐴[𝛼𝐿−1 + (1 − 𝛼)𝐾 −1 ]

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CASO II WASILY LEONTIEF

K 𝑄 = 𝑚𝑖𝑛 (𝐴𝐿, 𝐴𝐾).

L

BINES COMLEMENTARIOS

Si 𝜎 → 0 Demostración: 1

𝜌 = 𝜎 − 1 … (1) como sabemos el valor de 𝜎 = 0 …(2) Reemplazamos (2) en (1). 1

𝜌 = 0 − 1 , según la nota de la parte I. 1

𝜌 = 0 − 1 = ∞ − 1 = ∞ ⇒ 𝜌 = ∞… (3) Tasa marginal de sustitución técnica

TMST:

𝛼

𝐾 1+𝜌

( ) (1−𝛼) 𝐿

…(4)

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(3) en (4). Se obtiene 𝐾 1−∞

𝑅𝑇𝑆 = ( 𝐿 )

𝐾 ∞

= ( 𝐿 ) … (5)

depende de los valores de factores de producción. (K, L). Si: 𝑲 > 𝑳 ⇒ 𝑻𝑴𝑺𝑻 → ∞ SI EL FACTOR CAPITAL ES MAYOR AL FACTOR TRABAJO, LA TASA MARGINAL DE SUSITUCIO TECNICA TIENDE AL INFINITO. Si: 𝑳 > 𝑲 ⇒ 𝑻𝑴𝑺𝑻 → 𝟎 ; SI EL FACTOR TRABAJO ES MAYOR AL FACTOR CAPITAL, LA TASA MARGINAL DE SUSTITUCION TECNICA TIENDE A CERO. Por lo tanto, cuando 𝝆 tiende a −∞ , una isocuanta de la tecnología CES se parece a una isocuanta correspondiente a la tecnología de Leontief.

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DEMOSTRACION CON EJEMPLOS MATEMATICOS K>L y L>K

CUANDO K>L Si:

K=5

CUANDO L>K L=2

Si.

K=0.5

L=167689

5 1 ( ) = 2.5 2

0.5 1 ( ) = 0.000002 167689

5 2 ( ) = 6.25 2

0.5 2 ( ) = 0.0000000006 167689

⁞

⁞

5 2666671 ( ) =∞ 2

0.5 20 ( ) = 000000 … = 0 167689

cuanto mayor sea el exponente el numero

cuanto mayor sea el exponente el numero

se aproxima mas al infinito.

se aproxima a cero.

−𝟏

FUNCION DE PRODUCCION 𝑸 = 𝑨[𝜶𝑳−𝝆 + (𝟏 − 𝜶)𝑲−𝝆 ] 𝝆 INTRODUCIMOS A FUNCION DE PRODUCCION=

Si: K>L⇒ 𝑸 = 𝑨

−𝟏

𝐿

−𝝆 + (𝟏 − 𝜶)𝑲−𝝆 ] 𝝆 … (7) −𝜌 [𝜶𝑳 𝐿 −𝜌 −𝟏

𝑸=

𝜶𝑳−𝝆 +(𝟏−𝜶)𝑲−𝝆 𝝆 𝑨𝑳 [ ] 𝑳−𝝆

;

se simplifica y resulta. −𝟏

𝑲 −𝝆 𝝆

𝑸 = 𝑨𝑳 [𝜶 + (𝟏 − 𝜶) ( 𝑳 ) ] … (8)

𝐿 −𝜌 𝐿 −𝜌

= 1. (artificio)… (6)

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MULTIPLICAMOS POR (-1) AL EXPONENTE A ESTA FUNCION −𝟏

𝑲 −𝝆 𝝆

[𝜶 + (𝟏 − 𝜶) ( 𝑳 )

] ; RESULTA: 𝟏 𝝆

𝟏

𝑸 = 𝑨𝑳 [

𝑲 −𝝆 𝑳

𝜶+(𝟏−𝜶)( )

] … (9)

DESPEJANDO:

𝑸 = 𝑳[

𝟏 𝝆

𝟏 𝑲 −𝝆 𝑳

𝜶+(𝟏−𝜶)( )

lim 𝑄 = lim [𝐿 (

𝜌→∞

𝜌→∞

] ... (10)APLICAMOS LIMITES.

1 𝜌

𝟏 𝑲 −𝝆 𝑳

𝜶+(𝟏−𝜶)( )

) ]; REMPLAZANDO EL VALOR DE 𝜌=∞,

RESULTA. lim 𝑄 = 𝐴𝐿 𝜌→∞

Si K>L ⇒min AL Si KL capital es mayor al trabajo es decir falta mano de obra por tal razón elegimos trabajo, igual cuando capital es menor al trabajo. 𝑄 = 𝑚𝑖𝑛 (𝐴𝐿, 𝐴𝐾).

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIERIA ECONOMICA Escuela profesional de ingeniería económica COBB DOUGLAS

CASO III

𝑄 = 𝐾 𝛼 𝐿1−𝛼

COBB DOUGLAS

Si 𝜎 = 1 ⇒ 𝜌 = 0 1 𝜎

𝜌 = − 1… (1) Reemplazando los valores en (1)

𝜌=

TMST=

𝛼 𝐾 1+𝜌 ( ) … 1−𝛼 𝐿

1 −1=0 1

(2)

REEMPLZANADO LOS VALORES: 𝛼 𝐾 1+0 )( ) 1−𝛼 𝐿

(

TMST de la forma de producción cobb Douglas estricta. 𝑸 = 𝑨𝑳𝜶 𝑲𝟏−𝜶 −𝟏

𝑸 = 𝑨[𝜶𝑳−𝝆 + (𝟏 − 𝜶)𝑲−𝝆 ] 𝝆

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIERIA ECONOMICA Escuela profesional de ingeniería económica −𝟏

𝑸 = 𝑨[𝜶𝑳−𝝆 + (𝟏 − 𝜶)𝑲−𝝆 ] 𝝆 … (3) Aplicando logaritmo natural a (3) 𝑳𝒏(𝑸) = 𝑳𝒏𝑨 + 𝑳𝒏

[𝜶𝑳−𝝆 +(𝟏−𝜶)𝑲−𝝆 ] 𝝆

… (4)

APLICANDO LIMITES A (4) 𝛼

lim [𝐿𝑛𝑄] = 𝐿𝑛𝐴 + 𝐿𝑛

[ 𝐿0 +

𝜌→0

𝐿𝑛

(1−𝛼) 𝐾0

]

𝜌

(𝛼 + 1 − 𝛼) 0 = 0 0

Aplicando L´Hospital Pero la regla de L'Hôpital es mucho más general, pues es aplicable no sólo a la indeterminación 0/0, sino también a las indeterminaciones:

/

, 0×

,

-

.

La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. 𝒉(𝝆) = 𝜶𝑳−𝝆 + (𝟏 − 𝜶)𝑲−𝝆 [𝜶𝑳−𝝆 + (𝟏 − 𝜶)𝑲−𝝆 ]

ℎ′ (𝜌) =

𝜕ℎ(𝜌) 𝜕𝜌

=

−𝛼𝐿−𝜌 𝐿𝑛(𝐿)−(1−𝛼)𝐾 −𝜌 𝐿𝑛(𝐾) 𝛼𝐿 −𝜌 +(1−𝛼)𝐾 −𝜌

𝑍1 = (1 − 𝛼)𝐾 −𝜌

………… (5)

𝑍 = 𝛼𝐿−𝜌

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aplicando logaritmo

aplicando logaritmo

𝐿𝑛𝑍1 = 𝐿𝑛(1 − 𝛼) − 𝜌𝐿𝑛𝐾… (1)

𝐿𝑛𝑍 = −𝜌𝐿𝑛(𝛼𝐿) … (1)

Diferenciando (1).

𝐿𝑛𝑍 = 𝐿𝑛𝛼 − 𝜌𝐿𝑛𝐿 … (2)

1 𝑑𝑧 = −𝐿𝑛𝑑𝜌 𝑧

Diferenciando (2) 1 𝑑𝑧 = −𝐿𝑛𝐿𝑑𝜌 𝑧

𝑑𝑧 = (1 − 𝛼)𝐾 −𝜌 𝐿𝑛𝐾 𝑑𝜌

𝑑𝑧 = −𝑍𝐿𝑛𝐿 = −𝛼𝐿−𝜌 𝐿𝑛𝐿 𝑑𝜌

𝛼𝐿−𝜌 𝐿𝑛(𝐿) + (1 − 𝛼)𝐾 −𝜌 𝐿𝑛(𝐾) lim [ ] 𝜌→0 𝛼𝐿−𝜌 + (1 − 𝛼)𝐾 −𝜌

𝛼𝐿𝑛(𝐿) (1−𝛼)𝐿𝑛(𝐾) + 𝐿𝜌 𝐾𝜌 𝛼 (1−𝛼) + 𝜌 𝐿𝜌 𝐾

lim [

𝜌→0

] …………….. (6)

REEMPLAZANDO EL VALOR DEL LIMITE 𝛼𝐿𝑛(𝐿) 𝐿0

[

𝛼 𝐿0

+ +

(1−𝛼)𝐿𝑛(𝐾) 𝐾0 (1−𝛼) 𝐾0

]=

𝛼𝐿𝑛(𝐿) + (1 − 𝛼)𝐿𝑛(𝐾) 1

⇒𝐿𝑛𝑄 − 𝐿𝑛𝐴 = 𝛼𝐿𝑛(𝐿) + (1 − 𝛼)𝐿𝑛(𝐾) … (7) 𝑄

𝐿𝑛 (𝐴 ) = 𝐿𝑛𝐿𝛼 + 𝐿𝑛𝐾 1−𝛼 … (8) 𝑄

𝐿𝑛 (𝐴 ) = 𝐿𝑛(𝐿𝛼 . 𝐾 1−𝛼 ) … (9) Aplicamos antilogaritmos 𝑄

𝛼 .𝐾 1−𝛼 )

𝑒 𝐿𝑛(𝐴) = 𝑒 𝐿𝑛(𝐿

… (10)

Simplificamos … (10)

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𝑄 = 𝐿𝛼 𝐾 1−𝛼 𝐴 RESULTA LA FUNCION DE COBB DOUGLAS.

𝑄 = 𝐴𝐿𝛼 𝐾 1−𝛼

La popularidad de la función de producción Cobb-Douglas de debe a la relativa facilidad de su estimación en la practica, que al ser colocados en términos logarítmicos se transforma en: 𝐿𝑛 = 𝐿𝑛𝐴 + 𝛼𝐿𝑛𝐾 + (1 − 𝛼)𝐿𝑛𝐿 La ecuación anterior se puede estimar geométricamente. Y 𝛼 corresponde a la elasticidad del producto respecto del capital y (1 − 𝛼) a la elasticidad del producto respecto al trabajo. RESUMEN DE LAS PRINCIPALES FUNCIONES DE PRODUCCION

𝜎

𝜌

Funcion de produccion

0

∞

Leontief(insumo producto): 𝑄 = min(𝑎𝐾, 𝑏𝐿)

1

0

Cobb-Douglas: 𝑄 = 𝐾 𝛼 𝐿1−𝛼

∞

-1

Sustitucion Perfecta 𝑄 = 𝑎𝐾 + 𝑏𝐿

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