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Quinto Semestre

Ecuaciones diferenciales Alumno: Gilberto Eugenio Rivera

U2

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

U2

Ecuaciones diferenciales de segundo orden Actividades

Actividad 2. Solución de ecuaciones de segundo orden

+ u2 (x − x − x ln x + x ln x) + u1 (−x + x) = 4x ln x x2 u1J + 1J x2 u2 (1 + ln x)u2J = 4x ln x

x2 y ' '−xy ' + y=4 x ln x x2 y ' '−xy ' + y= 0 :

x2 u2 (1 + ln 4 x)u2J = ln x x

yp = u1 x + u2 x ln x ⇒ yp = J

u1J x + u1 + u2J x ln x + u2 (1 + ln x) Considerando que

xu1 y

u1 x + u2 x ln x = J

J

u1 2

DEBEN DE SATISFACER EL SISTEMA

0

CONFORMADO

yp u1 x + u2 J

JJ

(1

x ln x) ⇒ yp

POR ECUACIONES

u1J x + u2 J

Xu1J + (xIn x) u12 = 0

x2 yp ' '−xy ' + y=4 x ln x

U11+ ( 1+Inx ) u2J =

U11+ ( 1+Inx ) u2J = 4 x1Inx

u1 J +

(1+ In x) u12-1=4-1 ln x 1 u2 x2 x2¿(1+ In x) + x ¿ – x [u 1 + u2 (1 + ln x) + u1x - x[u2x + u (1 + ln x)] + u x + u x ln x = 4x ln

Δs=¿ 1

1 In x Δs = 1 1

= 1 + In x- In x =

1 + In x

1

In x

4 x−1In x

1+ In x = -4 x−1 (Inx)2

1

In x

x x2 u1J + u2J (x2 + x2 ln x )

1

4 x−1In x

= -4 x−1 Inx

u1= -4 ∫ (ln x)2 dx = ⅆx 4 −4 ∫ (ln x)2 x =- 3 (ln

4 u J + (1 + ln x)u J = x ln x

x)3 + c1 u = 4 ∫ x−1 ln x dx = dx 2 ∫ 4 (ln x) = 2(ln x)2 + c2

x

4 3 2 3 (ln x) y u2 = = 2(ln x)

Yp = u1x +u2x Inx = -

(In x ¿ ¿

2

4 3 3 (ln x) Y =2

2 Yp( x)− x(ln x)3 3 y = yp(x)+ k1y1(x)+ k2y2(x)

1. Utilizando el método de coeficientes indeterminados, determina una solución particular y escribe la solución general de cada una de las ecuaciones diferenciales ordinarias siguientes:

a)

y ' ' −4 y ' + 4 y=2 x2−4 x +2

(1) y JJ − 4y J + 4y = 2x2 − 4x + 2 Primero se obtiene la soluci´on general de la edo. homog´enea asociada (soluci´on complemen- taria yc(x)): Proponiendo y = eµx se obtiene

y JJ − 4y J + 4y = 0 µ2 − 4µ + 4 = (µ − 2)2 = 0 Cuya solución es µ = 2, de multiplicidad 2, entonces

yc = c1e2x + c2xe2x = (c1 + c2x)e2x Segundo, se obtiene una soluci´on particular yp (x) de la no-homogénea

y JJ − 4y J + 4y = 2x2 − 4x + 2 Aquí el termino no homogéneo es un polinomio de grado 2, además, se tiene a y con coefi= 0. ƒ ciente 4 Se propone como solución particular a

yp(x) = Ax2 + Bx + C Con A, B, C coeficientes a determinarse. Si Sustituyendo en

yp = Ax2 + Bx + C ⇒ ypJ = 2Ax + B ⇒ ypJJ = 2A ypJJ − 4ypJ + 4yp = 12x2 − 40x + 42, se obtiene

2A − 4(2Ax + B)+ 4(Ax2 + Bx + C) = 2x2 − 4x + 2 Asociando respecto a x

(4A)x2 + (−8A + 4B)x + (2A − 4B + 4C) = 2x2 − 4x + 2 Igualdad que se cumple cuando

4A = 2 −8A + 4B = −4 

− 4B + 4C = 2 2A

Sistema de ecuaciones que tiene por solución a

A = 3,B = −4 y C = 5 Entonces, la soluci´on particular es

yp(x) = 3x2 − 4x +5 Por lo tanto, la soluci´on general es

y = yp(x)+ yc(x) y = 3x − 4x +5 + (c1 + c2x)e2x 2

(2) y JJ − 4y J + 4y = 4(2x − 1)e4x Por el ejercicio anterior se sabe que la soluci´on general de la homogénea

asociada, es

yc = (c1 + c2x)e2x Para obtener una soluci´on particular yp (x) de la no-homogénea

y JJ − 4y J + 4y = 4(2x − 1)e4x = (8x − 4)e4x

Debe considerarse que: el t´ermino no homogénea es un polinomio de grado uno por e4x y que, además, e4x no es soluci´on de la homogénea asociada. Se propone como solución particular a

yp(x) = (Ax + B)e4x Con A, B coeficientes a determinarse. Si

yp = (Ax + B)e4x ⇒ ypJ = 4(Ax + B)e4x + Ae4x ⇒ ypJJ = 16(Ax + B)e4x + 8Ae4x Sustituyendo en

ypJJ − 4ypJ + 4yp = (8x − 4)e4x , se obtiene [16(Ax + B)+ 8A]e4x − 4[4(Ax + B)+ A]e4x + 4(Ax + B)e4x = (8x − 4)e4x Eliminando e4x y asociando respecto a x

(4A)x + (4A + 4B) = 8x − 4 Igualdad que se cumple cuando .

4A = 8 4A + 4B = −4

Sistema de ecuaciones que tiene por soluci´on a A = 2 y B − = yp(x) = (2x − 3)e4x Por lo tanto, la soluci´on general es

y = yp(x)+ yc(x) y = (2x − 3)e4x + (c1 + c2)e2

b)

y '' + y= 2 cos 3 x

y '' + y=0 2

m +1=0

Yc = C1 cosx + C2 sen x

m1 = 0 +i m2 = 0 + -i

3 Entonces, la soluci´on particular es

G(x) = 2cos 3x Entonces se asume Yp= (Ax+B)cos x + Cx+ D ) sen x

Etc Solución particular

yp= ½ x 2 cosx + ½ xsen x

Una masa de 2 N alarga 6 cm un resorte. Si se jala hacia abajo la masa otros 3 cm y se suelta, suponiendo que no hay resistencia del aire, determina la posición de la masa en cualquier instante t. Determina la frecuencia, el periodo y la amplidud del movimiento. Observación: Las condiciones iniciales son x (0)=0.03, v (0)=0

Conversión de 2 N a kg 0.23943 Conversión de centímetros a metros 6 cm =0,06 y 3 centimetros = 0,03 m

El equilibrio se alcana cuando W = Fr Mg = ky 0.23943 kg ( 9.8 m / s2 ) = k ( 0.,06 m)

= 39,1069 39 N/m

m ⅆ2 x

=KX ⅆf

d 2x

KX

2

d 2x

KX

= ⅆf2

m

=0 m

Las condiciones iniciales son x (0)= 0.03, v (0)=0

x (0) =

ft s

x (0) =

2N=K(

3 ) 5

k=y

ft s

P = mg 2 = m. 32 2 M= 32

En t = 0s y = 0.03

0.23943 y ' '

+ 39,1069 39

0.23943

39,1069 39 y

0.23943

=0

''

y= 0 0.23943

y (0) = 0.3

y (0) = 0

=

1 16

y ' ' + 169 y = 0

EN T 0s ,

y ❑ (0) = 0.03

y¿

(0) = 0

y = 0.03 m

L { y '' } =s 2 L [ y ] – sy (0) - y ' (0) L [ y ' ] + L [ 16 y ] = 0 L { y '' } =s 2 L [ y ] – 0.03s - (0) s2 L [ y ] – 0.03s + 169 L [ y ]= 0 s2 L [ y ] + 169 L [ y ]= 0.4s

[ y] =

0.03s =0.03

S

L−1

2

s +166 s2 + 122

=

0.03s =0.03

S

L−1

2

2

s + 122

s +166

Y= 0.03 COS ( 1 t) Y= 0.03 COS (- 0.54) Y(1) = -0.011620 m Y= 0.03 COS (- 0.54) Y(1) = -0.011620 m

Y= 0.03 COS ( 10 t) Y= 0.03 COS (- 0.83) Y(0) = -0.0249 m

Guarda tu actividad con la nomenclatura EEDI_U2_A2_XXYZ. Las cuatro primeras letras corresponden a la clave de la asignatura, posteriormente sigue el número de la unidad y de la actividad. Por último, sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno, y la Z por la inicial de tu apellido materno. Envía tu actividad y espera las observaciones de tu docente en línea, de ser necesario ajusta lo que te indique. *Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 5 MB.

Actividad 3. Modelo y solución de sistemas de segundo orden

Actividad individual Introducción Hemos visto que una sola ecuación diferencial puede servir como modelo matemático de distintos fenómenos. Las ecuaciones diferenciales de segundo orden surgen en el análisis de problemas en muchas y diversas áreas de la ciencia y la ingeniería. El modelado matemático con ecuaciones diferencial de segundo orden con coeficientes constantes

d2 y a2+a =g (t ) dt1+a0 ydy dt 2

La función g es la entrada (función de entrada o función forzada) del sistema. La salida o respuesta del sistema es una solución de la ecuación diferencial en un intervalo que contiene a t 0que satisface las condiciones iniciales prescritas y (t 0 )= y0 , y ' (t 0 )= y1 . Instrucciones 1. Usando un programa de software, resuelve los siguientes problemas de valor inicial, mostrando su gráfica e información complementaria generada por el software elegido. a) b) c) d)

y ' ' +3 y ' +5 y=0 con y (0)=0 y y ' ' − y ' +2 y=0 con y (0)=5 y y ' ' − y ' +2 y=x con y (0)=5 y con y (0)=8 y y ' ' − y ' +2 y=x3

y ' (0)=1 y ' (0)=5 y ' (0)=5 y ' (0)=8

2. Verifica la fecha de entrega y los requisitos mínimos a cubrir con la finalidad de que te organices y cumplas en tiempo y forma con tu actividad.

3. Considera los siguientes criterios de evaluación:

Criter io Entrega en tiempo y forma la actividad Incluye una portada de presentación. Presenta evidencia del uso del programa de software. Incluye una estructura en la presentación,contiene una portada y su trabajo denota orden, congruencia, secuencia y referencias en formato APA Renombra su documento con la nomenclatura señalada. Total

Punta je 5 5 7 5 1 0

5 1 0 0

4. Guarda tu actividad con la nomenclatura EEDI_U2_A3_XXYZ. Las cuatro primeras letras corresponden a la clave de la asignatura, posteriormente sigue el número de la unidad y de la actividad. Por último, sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno, y la Z por la inicial de tu apellido materno. 5. Envía tu actividad y espera las observaciones de tu docente en línea, de ser necesario ajusta lo que te indique. *Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 5 MB.

Evidencia de aprendizaje. Ecuaciones diferenciales de segundo orden aplicadas

Actividad individual Introducción La presente evidencia de aprendizaje retoma los principales temas estudiados en esta unidad (específicamente de ecuaciones de segundo orden), por lo cual realizarán una investigación en la que se identifique un problema o fenómeno que implique a las energías renovables. Instrucciones 1. Identifica un problema que pudiera solucionarse con el uso de energías renovables. (Energía eólica, hidráulica, fotovoltaica, termosolar, biocombustibles o inclusive celdas de combustible). 2. Investiga, en fuentes y sitios especializados, las distintas maneras en que se puede resolver el problema. 3. Identifica los fenómenos físicos relacionados, representables con ecuaciones diferenciales de segundo grado que deben de ser controlados. 4. Modela los fenómenos a controlar utilizando ecuaciones de segundo orden. 5. Menciona las variables dependientes e independientes que forman la ecuación diferencial planteada. 6. Describe las características de la ecuación diferencial. 7. Elabora un reporte el cual deberá contener: o o o o o

Portada Introducción Marco teórico Desarrollo Conclusiones

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Ecuaciones diferenciales de segundo orden Actividades

oReferencias consultadas en Formato APA. Verifica la fecha de entrega y los requisitos mínimos a cubrir con la finalidad de que te organices y cumplas en tiempo y forma con tu actividad. Considera los siguientes criterios de evaluación: Criterio

Puntaje

Entrega en tiempo y forma la actividad Incluye estructura en la presentación, contiene una portada y su trabajo denota orden, congruencia y secuencia Plantea y describe el problema o fenómeno a resolver mediante ecuaciones diferenciales. Presenta la ecuación diferencial que describe el fenómeno. Identifica las variables dependientes e independientes que forman la ecuación diferencial. Presenta las referencias en formato APA

5 1 5 2 5 2 0 1 5 1 5

Renombra su documento con la 5 nomenclatura señalada. Guarda tu actividad con la nomenclatura EEDI_U2_EA_XXYZ. Las cuatro primeras letras Total 100 corresponden a la clave de la asignatura, posteriormente sigue el número de la unidad y de la actividad. Por último, sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno, y la Z por la inicial de tu apellido materno. Envía tu actividad y espera las observaciones de tu docente en línea, de ser necesario ajusta lo que te indique. *Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 5 MB.

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Ecuaciones diferenciales de segundo orden Actividades

Autorreflexiones

Actividad individual Introducción Bienvenido(a) a la actividad de Autorreflexiones correspondiente a la Unidad 2, la cual te permitirá reflexionar sobre el conocimiento adquirido. ¡IMPORTANTE! Recuerda responder a esta actividad hasta que hayas desarrollado todas las actividades, los temas y las lecturas sugeridas en la unidad 2. Instrucciones 1. Reflexiona acerca de los contenidos hasta ahora estudiados en esta unidad 2 de Ecuaciones diferenciales. Llene el espacio en blanco o conteste cierto o falso. En algunos casos quizás haya más de una respuesta correcta.

a) La solución única de y ' ' + x 0 y=0, y ' (0)=0es . b) Dos funciones, f 1 ( x )y f 2 ( x ) ,son linealmente independientes en un intervalo si una no es múltiplo constante de la otra. c) Las funciones f1 ( x )=x 2y 2f ( x )=x |x| son linealmente independientes en el intervalo y linealmente dependientes en el intervalo . d) Un múltiplo constante de una solución de una ecuación diferencial también es una solución. e) Para el método de los coeficientes indeterminados, la forma supuesta de la solución particular, y p ,de y ' ' − y=1+ exes

.

2. Guarda tu actividad con la nomenclatura EEDI_U2_ATR_XXYZ. Las cuatro primeras letras corresponden a la clave de la asignatura, posteriormente sigue el número de la unidad y de la actividad. Por último, sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno, y la Z por la inicial de tu apellido materno. 3. Envía tu actividad. *Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 5 MB.

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