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Carrés magiques indo-arabes et tortue chinoise de Lho Shu

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http://membres.lycos.fr/fusionbfr/JHM/CM/CM1.html

Carrés magiques indo-arabes et tortue de Lho Shu par Jacques Misguich Page personnelle : http://membres.lycos.fr/fusionbfr/JHM/JHM.html Groupe de travail international "Fusion B F R" : http://membres.lycos.fr/fusionbfr/ et Grégoire Misguich Page personnelle : http://www.lptl.jussieu.fr/users/misguich

Cette page est dédiée à Ronan Misguich, qui a assimilé avec succès (le 9 déc. 2000) le concept du nombre 1 :

12 janvier 2001. Complétée ce 24 octobre 2001. N.B. Afin d'imprimer ce texte facilement (10 Mo), chargez d'abord le PDF en cliquant sur PDF file (6 Mo) puis imprimez-le (version du 28 janvier 2001) . (In order to print this text easily (10 Mo), first click on the PDF file (6 Mo) and then print.)

1. Introduction Dans les souks au Maroc, pays principalement berbère de tradition et de monarchie, on trouve aujourd'hui de plus ou moins anciennes "boîtes à Coran" métalliques, finement décorées, au dos desquelles figure un carré de 9 cases remplies de différents "signes" dont aucun des Marocains interrogés, religieux ou non, n'ont pu nous expliquer la présence ou la signification.

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Au mieux on vous assure que "C'est un talisman, ça porte chance". L'un d'eux nous a même expliqué que c'était l'écriture d'un code secret familial... "comme pour ta carte Visa..." Ces signes diffèrent de boîte en boîte, et parfois toutes les cases ne sont même pas remplies. L'artiste manquait-il d'information ou bien a-t-il volontairement laissé inopérant le talisman pour les touristes ? Seuls les Marocains habitués à lire le Coran savent en fait encore lire les chiffres qui sont inscrits dans ce carré en anciens caractères indo-arabes (ou arabes orientaux) abandonnés depuis longtemps dans les pays situés à l'Ouest de la Lybie. Très peu de gens, parmi ce peuple principalement berbère, savent que les chiffres inscrits dans ce carré peuvent être sommés dans toutes les directions (lignes, colonnes et diagonales) pour donner toujours le même résultat 15... Mais combien savent-ils que ce carré reproduit une des huit formes de cet ancien "carré magique" qui remonte à la Chine de 2300 ans avant JC sous l'empereur Yü le Grand et qui fut, selon la légende, aperçu sur le dos d'une tortue sortant de la rivière "Lo" pour indiquer le nombre exact de sacrifices à opérer (15) ?

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(carré de Lo Shu, selon la légende trouvée en Chine dans le livre Yi-King)

C'est ce que nous allons tenter d'expliquer ici. C'est toute l'histoire des "carrés magiques" depuis quarante-trois siècles... Mais combien de Marocains savent-ils que ces carrés magiques et leurs généralisations ont été de tous temps un sujet d'intérêt non seulement pour les pratiques divinatoires comme on les pratique aujourd'hui encore sur la place Djama el Fnâ à Marrakech, mais aussi pour les artistes et mathématiciens occidentaux, de Dürer à Euler et Fermat, jusqu'à Edouard Lucas, mathématicien du XIXe siècle qui en écrivit la formule générale

et qu'ils sont aujourd'hui encore l'objet d'études mathématiques utilisant la théorie des corps [5] ?

2. Résumé de l'histoire de l'écriture et des nombres Pour situer les dates et les régions du monde où sont apparus l'écriture, les nombres et leur notation avec rang il est utile de se rappeler les étapes suivantes (tableau et histoire des chiffres , beaucoup des informations mathématiques sont prises sur le site 3 of 49

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de l'IREM ) : - 5 000 : Les Sumériens développent une numération parlée de base 60 - 4 000 : Ecriture cunéiforme primitive - 3 300 à 3 200 : Apparitions des chiffres sumériens et proto-élamites, tous deux considérés comme les plus anciens systèmes de numération connus - 3 100 : Hiéroglyphes égyptiens - 3 000 : Période de l'empereur Chinois Fou-Hi dont le symbole magique, l'octogone à trigramme contient les 8 premiers nombres représentés sous forme binaire par des traits interrompus ou non : 000 001 010 011 etc...

Le souverain Fuxi (Fou-Hi) crée les huit premiers trigrammes. On situe le règne de ce souverain entre le Vème et le IIIème millénaire avant JC. Sa mère le conçut au moyen d’un bâton trouvé dans le marais. Après douze mois de gestation, il fut mis au monde par des accoucheurs-dragons et il naquit avec une tête humaine et un corps écailleux. On attribue à ce personnage une foule d’inventions pratiques appliquées à la pêche, la chasse et la culture, ainsi que les rites du mariage et l’écriture. Mais son invention la plus originale demeure l’élaboration des huit trigrammes qui ordonnent le monde selon huit principes auxquels il attribua un nom pour chacun : 1- “Le ciel”, le créateur. 2 - “La terre”, le réceptif. 3- “Le tonnerre “, l’éveilleur. 4 - “La montagne”, l’immobilisation. 5 - ” L’eau”, l’insondable. 6 - “Le feu”, ce qui attache. 7- “Le lac”, la sérénité. 8 - “Le vent”, le doux. Ces trigrammes relatent un vision abstraite du monde et de ses mutations. Chaque trigramme étant issu d’un autre à la suite du changement d’un seul trait, la connaissance de l’essence de ces mutations permettrait de prédire l’avenir.

Entre la Chine et les ordinateurs, il y a un lien étonnant. Le tableau des hexagrammes (voir exemples) aurait pu être commandé par la compagnie IBM à un peintre contemporain. Or il se trouve qu'il date de l'Antiquité chinoise. Selon son propre témoignage, Leibniz fut émerveillé lorsque, grâce aux conseils du père Joachim Bouvet, missionnaire en Chine, il crut être parvenu à l'interpréter correctement. "Il croyait avoir trouvé par sa numérotation binaire l'interprétation des caractères de Fo-Hi, symboles chinois mystérieux et d'une haute antiquité, dont les missionnaires européens et les Chinois eux-mêmes ne connaissaient pas le sens. C'étaient 64 combinaisons de traits pleins et rompus (correspondant respectivement à O et à 1) rangées précisément dans l'ordre naturel des nombres supposés écrits dans le système binaire. Il proposait d'employer cette interprétation à la propagation de la foi en Chine, attendu qu'elle était propre à donner aux Chinois une haute idée de la science européenne, et à montrer l'accord de celle-ci avec les traditions vénérables et sacrées de la sagesse chinoise". (Couturat, La Logique de Leibniz) - 3 000 à 3 200 : Apparition de la numération hiéroglyphique égyptienne, comportant un signe pour chacune des puissances de dix :

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permettant par exemple d'écrire 1 234 567 sous la forme

Exemple :

- 2 700 : Apparition des chiffres cunéiformes sumériens

- 1 900 à 1 600 : Les Babyloniens développent le premier système de numération de position connu à ce jour. Utilisant la base 60 ce système ne comporte pas encore de zéro. - 1 400 (Fin du XIVe siècle av. J.C.) : Apparitions des plus anciens chiffres chinois connus. Le système de numération chinois remonte à la seconde partie du deuxième millénaire avant notre ère. Il est donc tout aussi ancien que l'écriture chinoise elle-même. Les plus anciennes traces que nous possédons de ce système sont celles que l'on trouve sur les os et les écailles de tortue, de la dynastie des Shang (1600 à 1066 avant notre ère).

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Ces écailles de tortue étaient utilisées à des fins divinatoires. Avant toute entreprise importante, le prince avait coutume de consulter l'oracle. Pour ce faire on perçait un ou plusieurs trous dans une écaille de tortue, et on la mettait dans le feu. Les craquelures qui s'y produisaient étaient alors interprétées par des devins. Ces parties de carapaces de tortue, découvertes à la fin du siècle passé seulement, étaient d'une importance capitale, puisque la question posée à l'oracle, ainsi que la réponse donnée, étaient gravées sur ce matériau. Ces écailles de tortue, que l'on a ensuite trouvées par dizaines de milliers, sont non seulement des documents culturels, mais également linguistiques de la plus haute importance. Le système de numération utilisé sur ces écailles et os de tortue est déjà remarquablement constant et unifié. Il utilise un total de treize signes:

Le système de numération chinois

~- 1 150 : Le Yi-king (ou Yijing) est un des plus anciens textes de la civilisation chinoise. Appelé aussi "classique des transformations" il représente en quelque sorte le discours de la méthode du système yin/yang. Sans auteur, il transcrit, sous forme d'un code binaire formé de lignes brisées et pleines le "potentiel énergétique d'une situation" à un moment précis. Sa première ambition est d'être un guide pour l'action, utilisable individuellement comme aide à la prise de conscience et à la prise de décision. En authenticité, le Yiking fait partie des cinq grands classiques chinois et son influence fut grande car elle a nourri les deux grands courants de la Chine ancienne, le Taoïsme et le Confucianisme. Le livre des transformations (yi king) est sans contredit l'un des plus vieux ouvrages de l'humanité. Yijing ou Yi-king en chinois veut dire, «Livre des mutations», le plus ancien des classiques, l'un des classiques du confucianisme, et manuel de divination. Il contient soixante-quatre hexagrammes, composés chacun d'une paire de trigrammes formés de trois traits parallèles. Les traits peuvent être pleins (représentant le yang ou principe actif) ou brisés (représentant le yin ou principe passif), selon la cosmologie chinoise ancienne qui expliquait tous les phénomènes en termes d'alternance du yin et du yang. Il y a huit trigrammes de base correspondant chacun à un phénomène naturel et l'ensemble des soixante-quatre hexagrammes représente toutes les combinaisons possibles des six traits. Le livre est consulté par division de cinquante tiges d'achillée, plante à laquelle on prête des vertus magiques, ou en tirant à pile ou face, pour obtenir des nombres qui correspondent aux différents traits de l'hexagramme. Ces nombres déterminent si un trait est yin ou yang, et s'il est «en repos» ou «mobile» (sur le

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point de se transformer en son opposé). Les hexagrammes se transforment constamment en un autre, conformément à l'ordre cyclique de l'univers.

Avec le temps, ils sont devenus des symboles de divination. Selon la légende, Fuxi le dieu-empereur (v. 2400 av. J.-C.) découvrit les huit trigrammes sur le dos d'une tortue sacrée : les vieux devins chinois prédisaient l'avenir en trouant par le feu des os ou des carapaces de tortues et en examinant les fêlures ainsi produites. La signification symbolique de chaque hexagramme est donnée par des passages poétiques énigmatiques et un commentaire philosophique. Les parties les plus anciennes du livre remontent à la première dynastie Zhou. Wen

Wang (v. 1150 av. J.-C.) aurait, selon la tradition, ajouté des conseils d'ordre moral aux hexagrammes divinatoires. Confucius et ses disciples ajoutèrent probablement un commentaire philosophique au Yi king pour lequel ils avaient, dit-on, une grande révérence. Les hexagrammes porte-bonheur du Yi king sont souvent employés dans les arts chinois. Le Yi-king établit les bases et surtout le fonctionnement de la philosophie chinoise. Les sages qui ont rédigé cet ouvrage (outil) devaient avoir une profonde connaissance des cycles et des phénomènes qui régissent l'univers et de la vie de tous les jours. Ils ont conçu un système binaire (deux) comparable à celui des ordinateurs: ''YIN'' et ''YANG''. Les ordinateurs se servent des ''0'' et des ''1'', le yi king lui, se sert de traits intermittents (ouverts) __ __ qui représentent le yin et de traits continus (fermés) _____ qui représentent le yang. Pour le yi king tout fait partie d'un cycle et le yin et le yang en sont les composantes opposées mais indissociables. (Lynda

Meyer). Le Yi-king émerge de la nuit des temps. Le premier “livre des Mutations” est une grosse tortue dont l’existence remonte à une époque mythique. Elle émergea de la rivière Lo, portant sur sa carapace des taches qui figuraient un carré magique où les nombres de 1 à 9 étaient arrangés de manière à ce que leur somme fût toujours égale à 15. L’histoire de la tortue de la rivière Lo est racontée dans “le livre des rites”, livre canonique de la Chine Ancienne, où l’on y découvre une autre histoire de ce genre, celle d’un dragon qui portait sur ses écailles un diagramme différent mais tout aussi étrange que l’on appelle le “dessin du fleuve Jaune”, et où les nombres impairs sont figurés par des ronds blancs et les nombres pairs par des noirs. Dans ces deux diagrammes magiques de la tortue et du dragon, se dessine une tentative de représenter par des signes les lois de l’univers. Ces lois étant applicables aussi bien au présent, au passé qu’au futur, tout un art divinatoire basé sur l’interprétation des craquelures de carapaces de tortues et des os d’omoplates de boeuf s’est developpé dans la Chine antique. C’est vers la fin du XVIIè siècle que le Yi-King est introduit en Europe par les Jésuites résidants à Pékin. Les premières traductions apparaissent au XIXème siècle, mais c’est la traduction parue à Vienne en 1924 d’un missionnaire protestant et ami de Jung, Richard Wilhelm, qui oeuvrera le plus pour faire connaître le Yi-king à l’occident. Le psychologue Carl Jung se déclara "fasciné par les remarquables et indéniables résultats du Yi-King".

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-1 143 Le roi Wen crée les 64 hexagrammes. C’est vers la fin du IIème millénaire avant JC que le roi Wen combina deux à deux les hexagrammes pour créer une nouvelle grille de lecture du monde plus affinée de 64 figures. Ce roi Wen qui gouvernait l’ouest de la Chine, était aux prises avec un tyran Shou Sin, le dernier souverain des Yin, dont la noirceur de caractère était aussi grande que la sagesse de Wen. S’inquiétant de la réputation grandissante de ce dernier, Shou Sin l’attira à la capitale et le fit prisonnier en 1143 AC. Ce jour-là deux soleils apparurent en même temps dans le ciel, la montagne Yao s’effondra et une femme se transforma en homme. Pour

passer le temps dans sa prison, le roi Wen entreprit de méditer sur les trigrammes composés quelques millénaires plus tôt par Fuxi et il eut l’idée de les accoupler deux à deux pour former les 64 hexagrammes que nous connaissons aujourd’hui. Il leur donne à chacun un nom, qui intègre le sens et la position des deux trigrammes qui le composent. Puis il écrivit un court commentaire sur leur sens, assorti de quelques conseils. Et pendant que le roi Wen pénétrait les "lois cosmiques" contenues dans les 64 hexagrammes, ses fils mettaient en place une armée pour renverser le tyran et libérer leur père. A leur grande surprise, ils retrouvèrent un homme serein et en pleine forme qui leur fit découvrir les murs de son cachot décorés des hexagrammes.

Au Ier millénaire av. J.-C. (960-585), les Hébreux adoptent un système proche de l'alphabet phénicien, dit "paléohébraïque ", qui subsiste dans l'écriture samaritaine jusqu'à nos jours. Les plus anciennes inscriptions connues en écriture hébraïque sont la tablette de Gezer (v. 950 av. J.-C., époque du roi Salomon) et la stèle de Mesha (roi de Moab, v. 850 av. J.-C.). Après l'exil à Babylone, l'écriture évolue vers un modèle araméen. Vers 535, on utilise une nouvelle écriture dite "hébreu carré" : dont les caractères n'ont presque pas changé d'aspect même si le Moyen Age vit chaque aire géographique avoir, tant pour l'hébreu carré que pour son corollaire cursif, son style et sa manière propre. Les premiers textes de la Bible furent notés en hébreu carré et c'est grâce à la Bible que la langue hébraïque a survécu et a pu renaître. VIe s. av. J.C. Apparition supposée des écritures libyco-berbères, vraissemblablement en Afrique du Nord Système alphabétique, consonantique comportant 28 signes en libyque (à Dougga), et de 23 à 27 signes en tifinagh selon les régions Lecture: - verticale de haut en bas et de bas en haut, - horizontale de gauche à 8 of 49

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droite ou de droite à gauche.

Langues notées : libyque et touareg (sans certitudes pour d'autres). Document le plus ancien : dédicace au roi Massinissa, stèle libyco-punique de 138 avant J.-C. (Dougga, Tunisie). Leur usage disparait au Maghreb, probablement à la fin de l'Antiquité mais se continuent en touareg. vers 551 av. J.-C., naissance présumée de Confucius dans le royaume de Lu (province du Shandong ). Fils d'une famille pauvre mais d'ascendance illustre (il remonterait à la dynastie Shang ), il fut orphelin de bonne heure. Persuadé qu'il était nécessaire de moraliser la politique, Confucius, nommé gouverneur de la ville de Zhongdu, chercha à mettre en pratique ses idées sur le gouvernement idéal. Ses disciples affirmèrent que son exercice du pouvoir fut si remarquable qu'«au bout d'un an aux quatre points cardinaux tous le prenaient modèle ». La tradition fait encore de lui un intendant des travaux publics, un ministre de la Justice aux alentours de 5 av. J.-C., puis un conseiller politique de la principauté de Lu. Mais, écarté de ce poste, il reprit, à partir de 497, sa vie d'errance et parvint dans la pricipauté de Wei. Le Yi King remonte à des temps immémoriaux. King signifie la trame d'une étoffe. - ce qui ne varie pas - Yi figure un caméléon - Ce qui change, qui évolue en fonction des situations. d'où la traduction de Yi King en "Livre des transformations" ou

"Livre des mutations". Il est attribué à Fo-Hi, figure mythique, le représentant de l'ère de la chasse, de la pêche et de l'invention de la cuisson. Il est désigné comme l'inventeur des trigrammes. ce qui signifie qu'on assiganit à ces huit figures une antiquité précédant tout souvenir historique. A noter que ces huit trigrammes primitifs portent des noms qu'on ne retrouve nulle part dans la langue chinoise. Les trigrammes combinés entre eux apparaissent dès la dynatsie des Hia (2000 av.JC). Selon la tradition générale les 64 hexagrammes proviennent du roi Wen, ancêtre de la dynastie des Tchéou. Il les dota de brefs jugements. Le texte ajouté aux différents traits est dû à son fils, le duc de Tchéou.

Tel était le livre lorsque Confucius le découvrit, auquel il consacra une étude assidue. Au terme de quatorze années d'absence, Confucius serait rentré dans son pays natal et se serait consacré à l'étude des textes, des chants et des rituels anciens. Selon l'historien

Sima Qian, il compila, remania ou rédigea plusieurs parties des grands textes canoniques de l'antiquité, notamment le Livre des documents (Shujing ), le

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Livre des odes (Shijing ) et le Livre des mutations (Yijing ). Le Classique des mutations, le célèbre Yijing, transmet les croyances magiques et cosmologiques des temps les plus anciens (on y trouve la théorie du Yin et du Yang, ainsi que celle des cinq éléments ). Le Yijing a donné lieu à de nombreuses et hasardeuses spéculations de la part des théosophes occidentaux : le livre se présente en effet comme un document codé, dont l'ésotérisme demeure impénétrable.

VIe - Ve s. av. J.C. : éveil des mathématiques chinoises IIIe s. av. J.C. : Invention du zéro par les Babyloniens. Le zéro babylonien n'est pas conçu comme un nombre pouvant être utilisé lors de calculs. Il sert simplement à exprimer l'absence d'unités d'un certain ordre. Une intéressante histoire du zéro peut être lue sur le site (ainsi que sur Pi).

IIIe s. av. J.C. : Apparitions des chiffres brâhmî (indiens), considérés comme les précurseurs de notre système de numération moderne (indo-arabe)

IIIe s. av. JC : Pendant l'époque classique le système utilisé par les Grecs de l'Antiquité était également décimal mais non positionnel. Ils se servaient de lettres, éventuellement accentuées, et de signes complémentaires : il fallait de nombreux symboles et un codage savant pour comprendre la valeur représentée :

Certains nombres avaient droit à des caractères spéciaux comme 900 (sampi). Pour distinguer un nombre d'un mot, on le surlignait. Au IIIe s. av. J.C. la nouvelle numération grecque utilise comme symboles numériques toutes les lettres de l'alphabet grec et trois autres symboles issus de l'alphabet phénicien. Les neuf premières lettres de l'alphabet permettaient d'écrire les chiffres de 1 à 9 ; les neuf lettres suivantes étaient employées pour les dizaines, de 10 à 90, et les neuf dernières pour les centaines, de 100 à 900. Les milliers étaient indiqués par une barre placée à gauche du chiffre approprié, et les dizaines de milliers par la lettre adéquate placée au-dessus de la lettre M. Ce dernier système présentait l'avantage de pouvoir exprimer de grands nombres avec un minimum de symboles. En revanche, l'utilisateur d'un tel système était contraint de mémoriser vingt-sept symboles.

- 46 : Jules César, suivant les conseils de l'astronome alexandrin Sosigènes, décide d'instaurer un système de calendrier fiable composé de 12 mois et d'une durée de 365 jours : tous les quatre ans un jour sera ajouté à l'année. Les mayas avaient déjà un calendrier plus précis.

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: Naissance du Christ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

1 à 700 : Hiéroglyphes mayas. Calendrier très évolué et très précis, en raison des moissons. Les nombres à base 20 étaient composés de points et de traits

Sur les stèles les nombres sont également représentés par des figures de divinités. Numération romaine. La numération romaine fut très particulière et totalement inadaptée à des calculs même élémentaires. C'est un système décimal. Les symboles principaux sont I, X, C et M (1, 10, 100 et 1000), les symboles secondaires sont V, L et D (multiples de 5) : 1 5 10 50 100 500 1000 I V X L C D M Pour leur calculs les romains utilisaient des casiers réunis en damier dans lesquels ils plaçaient de petits cailloux pour désigner les unités, dizaines, centaines, etc. De cette technique romaine, nous est resté le mot calcul (calculus = petit caillou). Cette numération est additionnelle car la valeur du nombre écrit est obtenue par somme ou soustraction des caractères juxtaposées. Pour effectuer des calculs, les savants romains devaient utiliser une table à calculs qu'on appelait abaque.

IVe s. : Naissance de la numération décimale indienne de position, ancêtre de notre numération écrite actuelle. On applique aux chiffres brahmi le principe de valeur de position.

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(Ancêtres des chiffres que nous connaissons aujourd'hui. Première grande innovation des Indiens : remplacer chaque valeur de 1 à 9 par un symbole abstrait.)

Aux neufs premiers chiffres, on ajoute également un signe en forme de petit cercle ou de point représentant le zéro. 325 - 409 : Diophante d'Alexandrie, mathématicien grec. Il aurait écrit treize livres d'un traité intitulé "Les Arithmétiques". On n'en connaissait que six jusqu'en 1972 -retrouvés au 15è siècle, en Italie, par Regiomantanus- lorsque quatre autres furent retrouvés en Iran. Son oeuvre, constituée principalement de problèmes des premier et second degré (189 problèmes, résolus pour la plupart) conduisant à des équations dont les solutions sont entières ou fractionnaires, influencera grandement les mathématiciens Arabes et, plus proches de nous, Viète et Fermat. Elle fut traduite au 16è siècle à Heidelberg par le célèbre linguiste et philosophe allemand Xylander (Wilhelm Holtzmann, dit Xylander, 1532-1596, qui traduisit également les six premiers livres des Eléments d'Euclide) puis complétée et commentée en France, en latin, par Bachet de Méziriac (1621). Equation diophantienne : équation de la forme P(x,y,z,...) = 0 où P est un polynôme à coefficients entiers (ou rationnels) dont on cherche les zéros dans N (entiers naturels) ou Q (nombres rationnels : fractions). Des exemples classiques d'équations diophantiennes : l'étude de la forme générale des triplets pythagoriciens, le théorème de Bezout, la solution générale de l'équation en nombres entiers ax + by = c, le grand théorème de Fermat, l'équation de Pell, que Lagrange résoudra au moyen de la théorie des fractions continues. Approximation diophantienne : algorithme consistant à approcher, à toute précision donnée, un nombre réel par des rationnels. On peut citer, en particulier, le développement en fraction continue qu'étudieront Aryabhata, Chuquet, Huygens (pour la construction d'horloges astronomiques), puis Euler, Lagrange, Gauss, Lambert, Legendre et bien d'autres dans l'étude des nombres irrationnels comme Liouville avec la découverte des nombres transcendants (1844). Ve s. La mathématique indienne (on dit souvent hindoue , car elle était plus

particulièrement étudiée par les religieux) se manifeste brillamment dès le 5è siècle avec des mathématiciens comme Aryabhata, Brahmagupta, Bhaskara et apparaît indépendante de celle des grecs.

476 - 550 : Aryabhata, astronome et premier grand mathématicien indien. Il affirme, contrairement à la doctrine géocentrique de Ptolémée (la Terre est immobile au centre de

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l'univers) alors répandue, la rotation de la Terre. Aryabhata est le premier grand mathématicien indien. Il nous fut connu par un important traité appelé l'Aryabhatiya, écrit en sanscrit (la langue sacrée des brahmanes) relatif à l'astronomie et aux mathématiques qui fut traduit en Europe au 19è siècle. Aryabhata y décrit les algorithmes de d'extraction des racines carrée et cubique, résout de difficiles équations diophantiennes par l'usage de fractions continues et fait usage d'un système décimal positionnel dont le graphisme est proche du notre et où l'usage du zéro apparaît implicitement. Le grand artisan de l'introduction du célèbre symbole sera Brahmagupta.

458 : Première apparition du zéro dans un traité de cosmologie indien, le Lokavibhâga, daté du lundi 25 août 458 (?) 512 : Premières traces de l'écriture arabe, probablement issue de l'écriture araméenne. Selon la tradition, un membre de la famille de Mahomet l'aurait inventée. L'alphabet arabe comporte 28 lettres. vers 571 : Naissance de Mahomet à La Mecque. En 612 il reçoit la révélation de l'ange Gabriel lui annonçant que Dieu le choisit comme prophète. 598 - 660 : Brahmagupta autre grand mathématicien et astronome indien. Ce mathématicien et astronome indien s'intéressa à l'algèbre et aux équations diophantiennes à la suite des travaux d'Aryabhata. Brahmagupta est sans doute le premier, dans des calculs commerciaux, à user des nombres négatifs pour signifier les pertes et les profits et à les utiliser en algèbre en énonçant la règle des signes. Il emploie dans ses calculs, les chiffres décimaux (graphisme très proche de nos chiffres actuels dits "arabes") et principalement le zéro (notation o) que les Arabes adopteront au IXe siècle avec, principalement, les travaux de Al- Khwarizmi. Le célèbre "chiffre" manqua cruellement aux grandes civilisations babyloniennes, égyptiennes et grecques. Son apparition en Inde, tout particulièrement dans l'oeuvre de Brahmagupta, est un pas de géant en algèbre.

622

: L'Hégire : Mahomet s'enfuit de La Mecque à Médine.

629 : Le mathématicien et astronome indien Brahmagupte publie son Brahmasphutasiddhânta, qui révèle une parfaite maîtrise de la notation décimale de position au moyen de neuf chiffres et du zéro. 630 : Mahomet conquiert La Mecque et y répand la religion musulmane après avoir détruit les idoles. 651 : Ecriture du Coran 711 : invasion arabe en Egypte. 814 : les arabes adoptent les chiffres indiens. Il faut distinguer aujourd'hui les chiffres arabes occidentaux dits "ghubâr" des chiffres arabes orientaux dits hindi, tirés directement de la notation indienne et encore utilisés en Lybie et en Egypte.

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Fin du VIIIe s. : Introduction de la numération décimale positionnelle et du zéro dans la culture islamique (le Coran aujourd'hui est écrit avec ces chiffres) 772 : al-Mansur, deuxième calife de la dynastie Abbasside a fondé la capitale Bagdad, rapidement devenue un grand centre d'échanges commerciaux et intellectuels. C'est à Bagdad que furent assimilés dans la culture islamique tous les travaux des scientifiques Grecs et Indiens. 750 - 1258 : Essor de la calligraphie arabe dans le califat Abbasside de Bagdad. ABBASSIDES. Deuxième grande dynastie de califes arabes, après celle des Omeyyades de Damas, qui régna à Bagdad de 749 à 1258 et dont le nom provient d'al-Abbas, l'oncle du prophète; trois grands califes en font la renommée, al-Mansur (764-775) le fondateur de Bagdad, Harûn ar-Rashid (786-806) le calife des Mille et une nuits qui envoya un éléphant à Charlemagne et al-Mamun qui fonda la Maison de la Science (Dar al-Hikma). La prise de Bagdad par les Mongols en 1258 met fin à cette dynastie. La transmission du savoir d'un professeur à un élève se faisait en partie par l'intermédiaire de la calligraphie. L'élève recopiait d'abord l'oeuvre étudiée sous la direction de son maître, puis il recevait de son professeur l'autorisation de transmettre cette oeuvre. Ce "droit de transmettre" lui permettait de citer oralement l'oeuvre étudiée et de l'enseigner aux autres. Il est intéressant de noter que ce "droit de transmettre" (Bi-haqq al-riwâya) à servit à désigner notre Baccalauréat. Certain livres étaient commandés par des mécènes, notamment pour les sciences, la médecine, l'histoire officielle, et l'art militaire. Par contre, d'autres calligraphes étaient plus indépendants et vivaient dans une grande rigueur, souvent sous l'influence de la doctrine Soufi. Ce furent surtout des juristes et des théologiens. Dans certaines bibliothèques les particuliers pouvaient venir copier gratuitement une oeuvre. Il y avait quelques ateliers de très haute qualité artistique à la cour des dirigeants importants, mais la majorité des oeuvres étaient faites par des copistes marchands indépendants. A la grande époque, il y avait près de cent copistes-marchands à Bagdad à qui chacun pouvait demander la copie d'une oeuvre littéraire. Ces copistes habitaient le "Sûq al-warrrâqîn." En plus des calligraphes on y trouvait aussi des échoppes appelées "Warrâq" (baraque ?) où se revendaient les livres et tout le matériel d'écriture. C'était un lieu de rencontre des représentants de l'élite cultivée (poètes, juristes, historiens, théologiens...). La calligraphie "une algèbre de l'âme". Exemple en styles Thuluth, Nashki et Ijaza

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(datant de 1829 - exemple tiré du CD "Calligraphie Islamique", exposition au Musée de Marrakech, Fondation Omar Benjelloun )

et la signature du réalisateur du CD, Mohamed Sijelmassi

780 - 850 : AL-KHWARIZMI Muhammad Ibn Moussa, un des plus illustres mathématiciens de son époque, vivait à la cour du calife Abbasside al-Mamum. Son "Traité sur le Chiffre" est le plus ancien travail arabe dans lequel la numération hindoue de position est utilisée. Astronome de Bagdad né à Khwarizem (Ouzbékistan), d'où son nom, sous le règne du calife Abd Allah al Mahmoun (786-833) qui encouragea la philosophie et les sciences en ordonnant la traduction des textes de la Grèce antique. La notoriété d'Al-Khwarizmi nous est parvenue à travers les siècles moins par ses talents d'astronome que par son intervention dans l'art du calcul algébrique : auteur d'un Livre sur la science de la transposition et de la réduction ("Kitab Al jabr w'al mouqabala"), écrit à la demande du calife de Bagdad, on peut le considérer comme un des premiers algébristes, mais ses travaux auraient été inspirés de ceux de l'indien Brahmagupta. Algèbre (14è siècle) vient ainsi de l'arabe al jabr utilisé par Al-Khwarizmi pour signifier "la transposition" (mot à mot reboutement, soit : remise en place, réparation) d'un terme d'un membre à l'autre d'une équation. Cette transposition se traduit essentiellement par l'ajout d'une même quantité dans les deux membres de l'équation afin d'éliminer les termes apparaissant en soustraction.

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972 à 982 : Au cours d'un séjour en Espagne, le moine bénédictin de l'abbaye de Cluny, Gerbert d'Aurillac

(945-1003, archevêque de Reims puis élu pape Sylvestre II en l'an 999) est initié aux chiffres "arabes" avec la traduction des traités arabes de Ibn-Musa el-Kharismi (ou "Al Khawarezmi", mathématicien perse à qui l'on doit l'algèbre et la trigonométrie et d'où vient le terme algorithme) qui a lui même introduit dans la science arabe les nombres et l'algèbre hindoue.

Exemple de chiffres indo-arabes encore utilisés dans le Coran aujourd'hui

Ce passage aux nombre indo-arabes semble avoir été mal accueilli à l'époque dans une Europe qui se considérait comme fidèle héritière du monde grec et romain. Ce moine s'initia aux mathématiques à l'astronomie et aux méthodes de calcul arabes lors d'un séjour qu'il effectua en Espagne de 967 à 970. Il fut par la suite élu pape en 999 sous le nom de Sylvestre II. La grande contribution de Gerbert est d'avoir modifié l'ancien abaque romain afin de profiter de la notation positionnelle. Cet abaque était constitué de plusieurs colonnes; sur lesquelles, on déplaçait jusqu'alors des pierres ( calculi , d'où le mot calcul) pour effectuer les opérations mathématiques. Gerbert remplaça les calculiqui avait une valeur unitaire, par des jetons numérotés de 1 à 9 nommés aspices ( apex au singulier). Gràce à ce progrès technique, les opérations mathématiques complexes comme la multiplication et la division ne représentaient plus des défis réservés aux spécialistes. Toutefois, étant donné que le système d'abaque ne nécessitait pas de zéro. Il faudra

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attendre le XIIième siècle avant de le voir resurgir. C'est ainsi que son Liber Abaci , le mathématicien Léonard de Pise dit Fibonacci (v. 1170 à v. 1250) donna au zéro le nom de zephirum , en provenance de l'arabe sifr (d'où vient aussi le mot chiffre).

L'usage systématique de ce système (nombres décimaux et fractions décimales) n'apparaîtra qu'à partir du 15è siècle sous l'influence de mathématiciens comme Chuquet, Viète et Stevin. 976 et 992 : Premières utilisations des chiffres indo-arabes dans deux manuscrits espagnols écrits en latin. 1 168 : Ecriture de la Thora. Figure prélevée dans le plus ancien imprimé mathématique chinois à avoir survécu, réalisé en 1213. Elle accompagne l'algorithme sous la forme duquel se présente le théorème de Pythagore en Chine ancienne (on remarque le triangle dePythagore de côtés 3, 4 et 5)

Il s'agit de la reproduction anastatique de ce qu'il reste de l'edition de 1213 des "Dix classiques de mathematiques", effectuée en 1981 par la maison d'édition wenwu chubanshe sous le titre Songke suanjing liuzhong. (information aimablement communiquée par Karine Chemla de l'université Paris 7).

XIIe siècle : Culture islamique (Un groupe arabisant écrit aujourd'hui) On voit donc apparaître une culture arabe islamique universelle et de grands centres culturels, à Alexandrie (Egypte), Bagdad (Irak), Cordoue (Espagne)... qui ont permis l'expansion dans les domaines scientifiques, techniques et littéraires. Ces foyers de civilisation se trouvent en effet au carrefour des grandes traditions culturelles gréco-égyptienne, irano-indienne et judéo-chrétienne. Une vaste entreprise est alors amorcée avec l'étude, la traduction et la mise en valeur de l'héritage antique-oriental et gréco-latin. Si on a pu parler de Renaissance en Europe (c'est à dire de la découverte de son passé gréco-romain et de l'humanisme), c'est grâce à l'aboutissement d'un processus d'accumulation et de perfectionnement des connaissances transmises par les ouvrages arabes à l'Europe via l'ltalie mais surtout l'Espagne (grand foyer de la culture arabo-islamique). Les connaissances les plus diverses ont ainsi pu parvenir en Occident (venant de l'Inde et de la Chine), à commencer par les mathématiques et les fameux chiffres arabes (c'est a Al Khawarezmi que l'on doit l'algèbre et la trigonométrie). En géographie, au Xlleme siècle, a la demande du roi Roger Il de Sicile, Al Idrissi établit un planisphère et un atlas du monde, et Thabit Ibn Qorra, lui, détermine la durée de l'année solaire. La médecine s'est aussi beaucoup développée sous l'empire arabomusulman, et fût très brillante au Moyen-Age: des traités sur les maladies, I'étude du corps humain y compris la chirurgie virent le jour. D'ailleurs l'oeuvre d'Avicenne (Ibn Sina, né au Xème siecle), fût traduite dans la plupart des langues européennes et constitua un ouvrage de référence pendant plus

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de six siècles. Dans le domaine de la navigation, les apports arabes sont entre autres la carte nautique, le phare, la voile et la boussole. Beaucoup de noms de produits et d'instruments entrant dans les expériences alchimistes européennes du Xllème siècle puisent dans le vocabulaire arabe: alambic, élixir, alcool... Cette civilisation a influencé jusqu'à la mode et les usages, notons par exemple que l'expression "échec et mat" vient de l'arabe (le vieux est mort) . Beaucoup d'autres mots français viennent de l'arabe : abricot, carafe, orange, alcool, tasse,café, sucre, sirop, sorbet jupe, azur, satin, coton, mousseline, magasin, luth, jarre, nacre, lilas, nénuphar, alambic, élixir, momie, talisman, girafe, gazelle, alchimie... et bien sûr toubib, émir, couscous. C'est à travers l'arabe du Moyen Age que sont parvenus en français certains mots grecs : alambic, où l’on reconnaît l’article défini al de l’arabe, suivi du mot grec ambix « vase à distiller » ; élixir, où l’article arabe a été rendu par él-, et où l’on devine le grec ksêron « médicament de poudres sèches » ; estragon, dont l’origine serait le terme botanique grec drakontion « serpentaire », dérivé de drakon « serpent » (nommé ainsi peut-être à cause de son aspect filiforme) ; guitare, qui est passé par l’arabe qitâra (et plus tard par l’espagnol) et qui se trouve être un doublet de cithare, également venu du grec kithara.

1 202 : Inroduction du signe zéro d'origine indienne en Europe occidentale. Fibonacci(Liber Abacci) utilise les chiffres "arabes" dont le zéro (zifr = vide, zéro en arabe ! Zéro vient de zefiro = chiffre en italien) XIIe au XVe siècle : En Europe ocidentale, la graphie des chiffres "arabes" se stabilise et donne naissance aux chiffres tels que nous les connaissons aujourd'hui. 1489 : Le mathématicien allemand Johann Widmann d'Eger introduit les signes +et-pour exprimer l'addition et la soustraction (auparavant on utilisait les lettres p et m). 1 514 : Albrecht Dürer grave Melancholia, avec un carré magique 4 x 4.

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1 557 : Le mathématicien anglais Robert Recorde introduit le symbole de l'égalité

= 1 582 : Bulle papale "Inter Gravissimus" instituant le calendrier grégorien. Le pape Grégoire XIII suit les conseils de son géomètre Christoph Clau, dit Clavius : chaque année multiple de 4 sera bissextile, sauf celles multiples de 100, mais celles multiples de 400 seront bissextiles. 1 608 : Le Néerlandais Willebord Snellius développe la notation à virgule pour représenter les nombres décimaux. 1 632 : le mathématicien anglais William Oughtred introduit le symbole de multiplication X. 1 637 : René Descartes crée la notation algébrique moderne où les données (paramètres) sont représentées par les premières lettres de l'alphabet (a,b,c) et les inconnues (variables) par les dernières (x,y,z). Il introduit la notation moderne pour les exposants positifs. 1 656 : Le mathématicien anglais John Wallis étend la notation exponentielle de Descartes aux exposants négatifs ou fractionnaires. Il introduit le symbole de l'infini. etc... etc...

3. Traduction des nombres indo-arabes de la boîte à Coran La traduction de cette boite à Coran peut donc s'écrire aujourd'hui :

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et l'on y reconnait immédiatement une des huit formes du carré magique (3x3) composé des seuls chiffres 1 à 9, apparaissant chacun une fois, et dispoosés de telle sorte que les sommes dans toutes les directions (lignes, colonnes et diagonales) soit toujours égale à 15, soit trois fois la moyenne (1+2+...+9)/2 = 5 La règle générale vient de Chine et implique l'égalité de la somme dans toutes les directions, par exemple :

Nous avons aussi pu relever sur une vieille boîte à Coran à Marrakech, chez un revendeur de métaux, le carré magique suivant : 6

7

2

1

5

9

8

3

4

qui peut être obtenu par symétrie à partir du précédent. Il faut signaler que de nombreuses boîtes à Coran au Maroc présentent des imperfections, dues sans doute à l'oubli de la source. Certaines présentent une inversion des chiffres de deux cases (voir ci-dessous, "carrés énigmatiques ou dégénérés"), certaines présentent même deux cases vides...

4. Carrés magiques Le concept de carré magique remonte à des temps très anciens et fut présent dans toutes les grandes civilisations. Son origine semble provenir de l'Inde et de la Chine , 2000 ans avant J.-C. On le retrouve dans les mathématiques Arabes. Les plus grands mathématiciens comme Fermat et Euler ont étudié les carrés magiques. Le non moins célèbre peintre et graveur Albrecht Dürer s'y intéressa aussi : on retrouve un carré magique (ci-dessus) dans une de ses gravures. Sa

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propriété fascinante, magique (!) lui prêta un caractère ésotérique et on le retrouve en astrologie ou dans des légendes plus ou moins diaboliques... Il existe de très nombreux écrits et sites sur ce célèbre sujet. La règle du "jeu" est la suivante : un carré n x n est quadrillé en n*n cases (n au carré) à la façon d'un échiquier. Il s'agit de placer n^2 entiers naturels distincts afin que la somme des entiers trouvés en ligne, en colonne et dans les deux diagonales soit toujours la même (c'est la constante S du carré, n en est l'ordre). Si la somme des diagonales diffère de la somme des lignes et colonnes, le carré est dit semi-magique.

Une résolution simple du carré magique peut être dérivée comme suit. Quelques résultats très élémentaires d'algèbre linéaire concernant le carré général de taille n*n a coefficients réels. 1) Notations - Les éléments sont les x[i,j] avec i=1..n et j=1..n (i est l'indice de ligne et j celui de la colonne). - Je note L1,..., Ln les sommes des éléments des lignes 1 à n : L1=x[1,1]+x[1,2]+...+x[1,n] L2=x[2,1]+x[2,2]+...+x[2,n] etc. - Je note C1 à Cn les sommes des éléments d'un colonne. - Je note D1 la premiere diagonale: D1=somme(x[i,i],i=1...n) et D2 pour l'autre D2=somme(x[i,n-i+1],i=1..n) 2) Equations Il y en a, a priori, 2n+2: n équations pour les lignes Li=S i=1..n n équations pour les colonne Cj=S j=1..n 2 équations pour les diagonales D1=S D2=S En fait, seules 2n+1 équations sont indépendantes car L1+L2+...+Ln=C1+C2+...+Cn 3) Nombre de paramètres: Il y a n*n inconnues et 2n+1 équations indépendantes Cela fait donc n*n-2n-1 paramètres libres dans le problème à coefficients réels (+ la somme S qui est aussi un paramètre, bien sûr).

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4) Cas n=3 Pour n=3, il y a donc 2 paramètres. Mais on ne peux pas fixer arbitrairement les valeurs de deux éléments quelconques du carré. En particulier, le centre du carré 3*3 vaut nécessairement S/3. Démonstration: D1+D2-C1-C3+L2=3*x[2,2] Or D1=D2=C1=C3=L2=S d'ou 3*x[2,2]=S. En fait, voila la solution générale du carré 3*3: a

-a-b+S

S/3+b-a S/3 2S/3-b

b S/3-b+a

a+b-S/3 2S/3-a

(qui est bien celle d'Edouard Lucas donnée ci-dessus). Elle est entière dès que a,b et S/3 sont entiers. Si on cherche une solution avec les nombres entiers de 1 à 9, alors nécessairement S=15 (car L1+L2+L3=3S=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45). Donc x[2,1]+x[1,2]=20-2*a doit être compris entre 3 et 17 (somme de deux nombres distincts entre 1 et 9) Donc a ne peut pas être =1 (ni 9). Donc le 1 n'est pas sur un coin du carré mais au milieu d'un côté : plaçons le en [1,2] (un choix sur 4). Alors x[1,2]=15-a-b=1 et a+b=14. Prenons a