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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO FACULTAD DE INGENIERÍA AMBIENTAL ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

SEPARATA 2 RESISTENCIA DE MATERIALES (GEBF305) SEMESTRE 2014-I CONTENIDO: SEMANA 2

 Miembros cargados axialmente  Esfuerzos y deformación axial AUTOR: Mg JESUS WALTER ACHA ESPINOZA PROFESOR DEL CURSO: Mg JESÚS WALTER ACHA ESPINOZA

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FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

SEPARATA 2 RESISTENCIA DE MATERIALES (GEAF412) GENERALIDADES: FUNDAMENTACIÓN DEL CURSO: Los futuros ingenieros civiles deben tener dominio de estos conceptos mecánicos que sustentan los sistemas de la ingeniería y usar adecuadamente modelos matemáticos para analizar y predecir el comportamiento de dichos sistemas en su carrera profesional. La asignatura de Resistencia de Materiales corresponde al area de formación profesional y es de naturaleza teórico – practica y de carácter obligatorio. Esta asignatura tiene como propósito hacer comprender a los estudiantes el comportamiento de los cuerpos solidos , sometidos a diferentes cargas; asi como los esfuerzos deformaciones y desplazamientos que se producen en los cuerpos ante cargas actuantes en ellos. En este curso se tratan los aspectos mencionados y se valoran los conceptos teoricos ante resultados experimentales, los cuales han acompañado la historia del estudio de la resistencia de materiales.

COMPETENCIAS. Desarrolla habilidades para la determinación de estados de esfuerzos internos y deformaciones en elementos sometidos a carga normal, fuerza cortante, momento flector y momento torsor. Desarrolla habilidades para la solución de estructuras estáticamente indeterminadas. Aprende a analizar y relacionar esfuerzos y deformaciones que se producen en las estructuras básicas , de materiales , de acuerdo a sus propiedades físicas y mecánicas , iniciándolos en la formación de su criterio estructural, según prioridades de seguridad y economía y preparándolo para sus cursos posteriores de Análisis de Estructuras, Diseño de Acero y Madera, Diseño de Concreto Armado I y II y Diseño de Puentes y Obras de Arte , entre otros.

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1. INTRODUCCIÓN A LA SEPARATA

Esta separata desarrolla los puntos contenidos en la programación del sílabo referidos a análisis de miembros cargados axialmente calculando las deformaciones que sufren por efectos de cargas externas. Además se estudiará como afecta el cambio de temperatura en las deformaciones y esfuerzos CONTENIDO 1.1 PRIMERA UNIDAD: ANALISIS DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES SIMPLES Y ESFUERZOS COMBINADOS (Duración: 6 sesiones)

Semana

SEMANA 2

Contenidos

Miembros axialmente .

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Indicador de logro

Capacidad

cargados

Esfuerzo y deformación axial

Aplica los conceptos de esfuerzos y deformaciones producidos por cargas axiales

Utiliza los conceptos de esfuerzos y deformaciones producidos por cargas axiales en la resolución de problemas reales.

Indicador de logro

Actitudes

Protege su entorno físico

Respeta los espacios que permiten la libre circulación entre el mobiliario del aula, a fin de mitigar los riesgos en caso de evacuación.

DESARROLLO DEL CONTENIDO MIEMBROS CARGADOS AXIALMENTE Principio de Saint-Venant establece

que el esfuerzo y la deformación unitaria

producidos en puntos del cuerpo suficientemente alejados de la región de aplicación de la carga serán los mismos que el esfuerzo y la deformación unitaria producidos por cualesquiera otras cargas aplicadas que tengan la misma resultante estáticamente equivalente y estén aplicadas al cuerpo dentro de la misma región. En otras palabras al aplicar el Principio de Saint-Venant podemos suponer que ocurrirá la misma distribución uniforme del esfuerzo en la sección c-c de la figura 2.2 b cuando la carga P es reemplazada por cualquier otra carga estáticamente equivalente. El esfuerzo en dicha sección es equivalente a

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⁄

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Deformación elástica de un miembro cargados axialmente

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Cuando una barra se somete a varias cargas axiales diferentes o el área de la sección transversal varia, se calcula el desplazamiento de un extremo de la barra por ecuación (V)

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Análisis de la deformación axial sufrida por una barra sometida a varias cargas axiales ertical

Problema 2.1

La barra de acero compuesta que se representa en la

figura 2.4a está hecha de dos segmentos AB y BD cuyas áreas transversales son AAB =

1 in2 y

ABD = 2 in2 , respectivamente. Si se halla

sometida a las cargas mostradas, determine el desplazamiento vertical del extremo A y el desplazamiento de B con relación a C. Tome Est = 29x103 Ksi

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Problema 2.2

El conjunto que se muestra en la figura 2.5a consiste en un tubo de aluminio AB con un área en su sección transversal de 400 mm 2. Una barra de acero de 10 mm de diámetro está unida a un collarín rígido y pasa a través del tubo. Si a la barra se le aplica una carga de tensión de 80 kN, determine el desplazamiento del extremo C de la misma. Considere Est = 200 GPa, Eal = 70 GPa

Desplazamiento de C respecto de B:

Desplazamiento de B respecto al extremo fijo A

Problema 2.3

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Para el poste BD

Problema 2.4 Un miembro está hecho de un material que tienen un peso específico

y un

módulo de elasticidad E. Si tiene la forma de cono dlas dimensiones mostradas en la figura 2.7 , determine a qué distancia se desplaza su extremo debido a la gravedad cuando está suspendido en una posición vertical.

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Ejercicios propuestos N°1

Determine el desplazamiento

de B con respecto a C de la flecha compuesta

(Fig

2.1)

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N`~

2.8 Determine el desplazamiento relativo de un extremo de la flecha ligeramente ahusada con respecto al otro extremo cuando está sometida la carga axial P.

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Problema 2.11 La probeta mostrada ha sido cortada de una hoja de vinilo de 5mm(E= 3.10 GPa) y está sometida a una tensión de 1.5 kN. Halle : (a) la deformación total, (b) la deformación de su zona central

Problema 2.11 Dos barras cilíndricas sólidas están cargadas como se muestra . La barra AB es de acero ( E = 200 GPa) y BC es de latón (E = 105 GPa). Halle (a) la deformación total de la barra compuesta ABC expresada en mm, (b) la deflexión del punto B en mm

Problema 2.13 Un tubo de aluminio de 250 mm de longitud ( E = 70 GPa), de 36 mm de diámetro exterior y 28 mm de diámetro interior, debe ser cerrado en los dos extremos por medio de cubiertas roscadas de 1.5 mm de paso. Con una cubierta atornillada, se coloca dentro del tubo una barra de latón ( E = 105 GPa) de 25 mm de diámetro y luego se atornilla la segunda tapa. Como la barra es ligeramente más larga que el tubo, se observa que la tapa debe ser forzada contra la barra rotando un cuarto de vuelta para poder ajustarla. Determine : (a) el esfuerzo normal medio en el tubo y en la barra , (b) la deformación del tubo y de la barra

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Problema 2.14 Un cilindro de poliestireno con un espesor de 1/8 pulg ( E = 0.45x106 psi) y una placa rígida circular ( se muestra parcialmente) se utilizan para apoyar una barra de acero AB ( E = 29x106 psi), de 10 pulg de longitud y ¼ pulg de diámetro . Si se aplica una carga P de 800 Lb en B , halle : (a) el alargamiento de AB, (b) la deflexión de B, (c) el esfuerzo normal medio en la barra AB

Problema 2.15 Los elementos AB y BE de la cercha mostrada son barras de acero de 25 mm de diámetro (E=200 GPa). Para la carga mostrada, halle el alargamiento (a) de la barra AB (b) de la barra BE.

Problema 2.16 Cada uno de los cuatro conectores verticales que unen los dos elementos horizontales está hecho de aluminio (E = 70 GPa) y tiene una sección uniforme de 10 x 40 mm. Para la carga mostrada, halle los desplazamientos (a) del punto E, (b) del punto F, (c) del punto G

Problema 2.17 Se aplican fuerzas de compresión de 40 kips, axiales, a ambos extremos del conjunto mostrado, por medio de platinas rígidas terminales. Sabiendo que Es = 29 x 106 psi y Ea = 10 x 106 psi, halle: (a) los esfuerzos normales en el núcleo de acero y la cubierta de aluminio, (b) la deformación del conjunto

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Problema 2.18 Dos barras cilíndricas, una de acero y la otra de latón están unidas en C y tienen soportes rígidos en A y E. Dada la carga mostrada y sabiendo que Es = 200 GPa y Eb = 105 GPa, halle: (a) las reacciones en A y en E, (b) la deflexión del punto C

Problema 2.19 Un tubo de latón de 12 pulg de largo , de 1 ¼ pulg de diámetro exterior y 1/8 pulg de espesor, se coloca en una prensa , ajustada de manera que sus quijadas toquen apenas los extremos del tubo sin presionarlos. Luego se aplican dos fuerzas P = 42 kips y P’= 36 kips , como se muestra en la figura N°2.19 . Sabiendo que E = 15 x 106 psi, halle: (a) las fuerzas ejercidas sobre el tubo por la prensa en A y D, (b) el alargamiento de la porción BC del tubo

después de aplicar las fuerzas P y P’ , se ajusta la prensa disminuyendo la distancia entre quijadas en 0.01 pulg Problema 2.21 Dos barras cilíndricas, una de acero (Es = 200 GPa) y la otra de latón(Eb = 105 GPa), están unidas en C. El extremo A de la barra compuesta así obtenida está fijo, mientras que existe una separación de 0.12 mm entre el extremo E y el muro vertical. Se aplican entonces en B una fuerza de 60 kN y otra de 40 kN en D, ambas horizontales y de izquierda a derecha. Determine: (a) las reacciones en A y en E, (b) la deflexión del punto C

Problema 2.22 Una barra rígida está suspendida de una platina fijada por medio de cuatro cables , como se muestra en la figura N° 2.24. Los alambres unidos a las clavijas B y C son de acero ( Es = 200 GPa) y tienen un diámetro de 2 mm. Los unidos a las clavijas A y D son de aluminio ( Ea = 70 GPa) y con diámetro de 2.5 mm. Si todos los alambres están tensos inicialmente , halle: (a) la tensión adicional en cada alambre cuando se aplica una fuerza de 2 kN en el centro de la barra, (b) el alargamiento correspondiente de los alambres.

Problema 2.20 Resuelva el problema N° 2.19 suponiendo que

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Problema 2.24 Un poste de concreto de 4 pies está reforzado con 4 varillas de acero, de ¾ pulg de diámetro. Sabiendo que para el acero Ea = 29x106 psi, y para el concreto 6 Ec = 3.6x10 psi , , halle los esfuerzos normales inducidos e el acero y en el concreto por un aumento de temperatura de 80°F

Problema 2.23 Los conectores BC y DE son de acero ( E = 29x106 psi) y tienen ½ pulg de ancho y ¼ pulg de espesor . Halle : (a) la fuerza en cada conector cuando se aplica una fuerza P de 600 lb al elemento rígido AF, como se muestra en la figura N° 2.23; (b) la deflexión correspondiente del punto A Problema 2.25 Una barra consta de dos porciones cilíndricas AB y BC, y están restringidas en ambos extremos La parte AB es de acero ( Es = 200 GPa, =11.7x10-6/°C) y la BC es de latón ( Eb = 105 GPa, =20.9x10-6/°C). Si la barra no está esforzada inicialmente, halle : (a) los esfuerzos normales inducidos en AB y BC por un aumento de 50°C, (b) la deflexión correspondiente del punto B.

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Problema 2.26 Dos barras cilíndricas, una de acero (Es = 200 GPa) y otra de latón (Eb = 105 GPa), están unidas en C. El extremo A de la barra compuesta así obtenida está fijo, mientras que existe una separación de 0.12 mm entre el extremo E y el muro vertical. La temperatura de la barra compuesta es elevada en 80°C. Si los coeficientes de dilatación lineal de ambos materiales son para el acero = -6 11.7x10 /°C y para el latón =20.9x10-6/°C, halle: (a) los esfuerzos normales en AC y CE, (b) la deformación de AC.

Problema 2.27 A una temperatura de 20°C se coloca una plancha rígida que pesa 60000 Kgf sobre dos varillas de bronce y una de acero como se indica en la figura N° 2.27. ¿A qué temperatura quedará descargada la varilla de acero Datos : Acero Bronce 2 Area (cm ) 25 25 (cada una) E Kgf/cm2) 2.1x106 8.4x105 1.17x10-5 1.89x10-5

Problema 2.28 La barra compuesta de la figura N° 2.28 está firmemente sujeta a soportes indeformables. Se aplica una fuerza axial P = 22000 Kgf a una temperatura de 20°C. Calcule las tensiones en cada material a la temperatura de 65°C. = 1.17x10-5(°C)-1 para el acero y 2.34 x 10-5(°C)-1 para el aluminio.

Problema 2.29 Calcule las deflexiones horizontal y vertical y , respectivamente, de la parte superior del poste de madera, debidas a la carga horizontal P = 30 kN. El poste tiene un área de sección transversal de 32,000 mm de elasticidad = 10 GPa. El poste se sostiene mediante una varilla de acero AC de 25 mm de diámetro y módulo de elasticidad = 210 GPa

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debida a la carga vertical P que actúa en el extremo B.

Problema 2.30 La armadura ABC mostrada en la figura N° 2.30 consta de dos barras idénticas (longitud L, área de sección transversal A y módulo de elasticidad E). Obtenga fórmulas para determinar las componentes horizontal y vertical , respectivamente, de la deflexión del nudo B debida a la carga horizontal P

Problema 2.32 La armadura ABCD mostrada consta de tres barras de igual longitud L que sostienen una carga vertical P. Determine las fuerzas Fa, Fb y Fc en las barras y la deflexión vertical del nudo D, si se supone que el módulo de elasticidad E y el área de sección transversal A son los mismos para las tres barras.

Problema 2.31 Una barra rígida AB de longitud L está articulada a una pared en A y soportada por dos alambres verticales unidos a los puntos C y D. Los alambres están hechos del mismo material y tienen la misma área de sección tranversal, pero el alambre en D es dos veces más largo que el alambre en C . Determine las fuerzas de tensión en los alambres

Problema 2.33 Una armadura ABCD que consta de tres barras que tienen la misma longitud L, igual área de sección transversal A e igual módulo de elasticidad E se carga con una fuerza vertical P. Determine la deflexión vertical de la junta D y las fuerzas Fa, Fb y Fc en las barras

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Problema 2.34 Una armadura simétrica de cinco barras se carga por una fuerza vertical P aplicada en la junta F . Todas las barras tienen la misma longitud L, la misma área de sección transversal A y el mismo módulo de elasticidad E. Determine la deflexión del nudo D y las fuerzas en las barras.

Problema 2.35 Una barra de cobre AB de 1.0 m de longitud a temperatura ambiente se coloca separada 0.10 mm entre su extremo A y una pared rígida según la figura N° 2.35. Calcule el esfuerzo de compresión axial en la barra si la temperatura aumenta 40°C . Datos del cobre: = 17x10-6/°C y E = 110 GPa.)

Problema 2.36 El elemento térmico mostrado está constituído de una barra de latón (longitud LL = 0.75 plg y área de sección transversal AL = 0.10 plg2) y de una barra de magnesio (longitud Lm = 1.30 plg y área de sección transversal Am = 0.20 plg2). Las barras se disponen de tal modo que la separación entre sus extremos libres es = 0.0040 plg a temperatura ambiente. Calcule las siguientes cantidades: (a) el incremento de temperatura T ( sobre la temperatura ambiente) para el cual las barras hacen contacto, y (b) el esfuerzo en la barra de magnesio cuando el incremento de temperatura T = 300°F. Use los siguientes datos : =10x10-6/°F, = 14.5x10-6/°F, = 15x106 psi y = 6.5x106 psi.)

Problema 2.37 Una varilla está formada por los egmentos que indica la figura N° 2.37. Si las fuerzas axiales P1 y P2 son nulas, determine las tensiones en cada material al descender la temperatura 32°C en lso casos siguientes : (a) los soportes no se mueven en absoluto, y (b) los soportes ceden 0.25 mm ,Considere los siguientes datos Bronce: = 1.89 x 10-5 (°C)-1 Aluminio: = 2.34 x 10-5 (°C)-1

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Acero:

= 1.17 x 10-5 (°C)-1

Problema 2.38 Resuelva el problema N° 2.37 si P1 = P2 = 5000 Kgf y los apoyo son completamente rígidos e indeformables Problema 2.39 La temperatura de la barra compuesta de la figura 3 se eleva en 80°C. Sabiendo que para el acero Es = 200 GPa, = 11.7 x 10 -6/°C y para el bronce Eb = 105 GPa, = 20.9 x 10 -6/°C y que no hay fuerza aplicada en B ni en D, halle : (a) los esfuerzos normales en AC y CE, ( b) la deformación de AC.

Problema 2.40 La barra ABC está compuesta de dos materiales y tiene una longitud total de 63 in y un diámetro de 3 in. La parte AB es de aluminio ( Eal = 10 x 106 psi) y la parte BC es de acero Eac = 30 x106 psi) La barra se somete a una fuerza de tensión de 30 kLb (a) determine las longitudes L1 y L2 para las partes de acero y aluminio, respectivamente, a fin de que ambas partes tengan el mismo alargamiento. (b) ¿ cuál es el alargamiento total de la barra? Fig 1

Problema 2.41 Una barra consta de dos porciones cilíndricas AB y BC, y está restringida en ambos extremos . La parte AB es de acero ( Es = 200 GPa, = 11.7x10-6/°C y la barra BC es de latón ( Eb = -6 105 GPa, = 20.9 x 10 /°C ). Si la barra no está esforzada inicialmente, halle : a) Los esfuerzos normales inducidos en AB y BC por un aumento de 50°C, (b) la deflexión correspondiente del punto B. Fig 3

Problema 2.42 Una barra consta de dos porciones cilíndricas La barra ABC está compuesta de dos materiales y tiene una longitud total de 36 in y un diámetro de 2 in. La parte AB es de acero ( E 30 x 106 psi) y la parte BC es de aluminio E al = 10 x106 psi) La barra se somete a una fuerza de tensión de 30 kLb (a) determine las longitudes L1 y L2 para las partes de acero y aluminio, respectivamente, a fin de que ambas partes tengan el mismo alargamiento. (b) ¿ cuál es el alargamiento total de la barra? Fig

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Problema 2.43 Una barra rigida BD esta sostenida por una articulación en B y por dos alambres unidos en C y D (Fig 3), Los alambres son idénticos excepto en longitud y están tensos (pero libres de esfuerzos) antes de aplicarse la carga P. Determine las fuerzas de tensión TC y TD producidas en los alambres por una carga P = 5000 N

Problema 2.43 alcule la distancia ‘h’ que la jaula cae cuando sostiene el peso W? ( fig A) Considere solo el efecto tensión en el cable , se conoce el producto EA (rigidez) = 10700 kN. La polea A tiene diámetro 300 mm y la polea B tiene 150 m de diámetro. L1 = 4.6 m , L2 = 10.5 m y W = 22 kN . Nota La longitud total del cable incluye las partes del cable alrededor de cada polea. (5 ptos)

Problema 2.43 Determine la carga máxima P que puede aplicarse a la viga de fundición de hierro mostrada en la figura 1 . Los esfuerzos admisibles son de 3000 lb/in2 en tensión y de 12000 lb/in2 en compresión

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Beer,F,P. (2010) Mecanica de Materiales Ed Mc Graw Hill, EE.UU. Hibbeler , R.C.(2011) Mecanica de Materiales (8 ava ed.) Edit. Pearson. Mexico Gere,J.M.(2008) Mecanica de Materiales ( 6 ed.) Cengage Learning Editores S.A. Mexico Hibbeler, R.C.(2011) Análisis Estructural (8 Ed.) Edit Pearson. Mexico.

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