Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Capitulo IV Diseño de la altura y acer
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Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones
Capitulo IV Diseño de la altura y acero de la zapata- Muro
Prof. Silvio Rojas Octubre, 2007
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones III.- DISEÑO DEL ACERO Y ALTURA REQUERIDA DE LAS FUNDACIONES III.1.- Diseño de una fundación directa cuadrada La fig. 35, muestra la sección transversal y planta, de una fundación directa cuadrada de área Bx B, empotramiento Df y altura de la zapata “h”. Los pasos para diseñar la fundación son los siguientes: 1. Determine capacidad de carga admisible (q_adm) por los métodos descritos en otro material. 2. Determine el esfuerzo aplicado por la superestructura, peso de suelo y concreto de la zapata, el cual viene dada por las ecuaciones (22), (24) ó (26)
(
q _ total _ aplicada = q _ columna + γ _ suelo ⋅ Df + h ⋅ γ concreto − γ _ suelo
(
q _ total _ aplicada = q _ columna + h ⋅ γ concreto − γ _ suelo q _ total _ aplicada =
Q Area _ zapata
)
)
…………. (22)
…………………………(24)
…………………………………………………..(26)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones
3. Igualando q_adm y q_aplicada, se determina el área requerida de la fundación por falla portante del suelo, la cual será:
Area =
Q q _ adm − γ suelo ⋅ Df − h ⋅ (γ concreto − γ suelo )
…………………….......(109)
Sino existe excentricidad, y por ser zapata cuadrada, la dimensión B de la misma se obtiene:
Area = B 2 ⇒ B = Area
………………………………………………….......(110)
Si existe alguna excentricidad “e” en una de las direcciones, la ec. 110 se escribe:
Area = B ⋅ (B − 2 ⋅ e )
………………………………………………………….(111)
De la ec. 111, se obtiene “B” de la zapata cuadrada. Es recomendable revisar la teoría de zapatas excéntricas cuando existe excentricidad en ambas direcciones para el chequeo del área efectiva.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones 4.
Conocido el área se debe verificar el asentamiento admisible de la estructura, ya que algunas veces las dimensiones de zapatas y losas están determinadas por el asentamiento.
Fig. 35.- Fundación directa cuadrada
5. Luego se mayoran las cargas, de acuerdo a lo expuesto en el punto I.1. Donde U viene a ser la carga Q_ult mayorada y el momento mayorado será M_ult. Luego se obtiene q_ult. Si no existe excentricidad, y a partir de la ec. 29, q_ult ( ver fig. 36a) se expresa:
q _ ult =
Q _ ult
…………………………………………………………. (112)
B2
Si existe excentricidad (ver fig. 36b), q_ult se obtiene aplicando directamente la ec. 29.
q _ ult _ máx =
q _ ult _ mín =
Q _ ult 6 ⋅ ex 6 ⋅ ey ⋅ 1 + + 2 B B B Q _ ult 6 ⋅ ex 6 ⋅ ey ⋅ 1 − − 2 B B B
………………………………..(113.1) Se está considerando que la zapata es suficientemente rígida …………………………....…(113.2)
6. En el caso de fundaciones directas empotradas o losas rellenas de suelo, el ancho de la columna se incrementa en 10 cm para obtener el ancho del pedestal.
bx _ pedestal = bx _ columna + 10cm ………………………………….. (114.1)
by_ pedestal = by_ columna + 10cm
…………………………………..(114.2)
7. Determinación de la altura útil de la zapata En el caso de zapatas cuadradas sin excentricidad (ver fig. 36 a), se aplica el criterio de corte por punzonado el cual se expresa a través de la ec. 42 y 47 en el caso de un pedestal rectangular (b1=by_pedestal, b2=bx_pedestal). En el caso de pedestal cuadrado se aplica la ec. 44 y 47 (b, ancho del pedestal), y si la columna es circular se aplica la 46 y 47(φb, diámetro del pedestal). Por ejemplo en el caso de pedestal rectangular, al igualar la ec. 39 y 42 se obtiene la ec. que permite determinar la altura útil “d” de la losa de la zapata :
Q _ ult − q _ ult ⋅ (bx _ pedestal + d ) ⋅ (by _ pedestal + d )
[(
) (
)]
2 ⋅ bx _ pedestal + d + by _ pedestal + d ⋅ d
= 1.06 ⋅ φ ⋅ f ´c ⋅10
…….(115)
En la ec. 115, en el lado derecho de la ec. se multiplicó por “10”, ya que se está trabajando en toneladas y metros.
Si existe excentricidad (ver fig. 36b), y se diseña por punzonado la ec. 115 debe escribirse, como: Q _ ult − q _ prom ⋅ (bx _ pedestal + d ) ⋅ (by _ pedestal + d )
[(
) (
)]
2 ⋅ bx _ pedestal + d + by _ pedestal + d ⋅ d
= 1.06 ⋅ φ ⋅ f ´c ⋅10
……….(116)
Cuando la zapata cuadrada es excéntrica, generalmente predomina el diseño por viga ancha, en este la ec. 50 hace referencia a la fig. 36b y , es expresa:
Igualando este esfuerzo a la resistencia al cortante (ec. 48), se obtiene:
q _ ult _ máx + q c 2
B bx _ pedestal ⋅ B ⋅ − − d 2 2 = 0.53 ⋅ φ ⋅ f ´c ⋅10 B⋅d
…………………..(123)
Igual que la ec. 115, la resistencia del concreto se ha multiplicado por “10”, ya que se está trabajando en toneladas y metros.
Fig. 36.- (a) Zapata cuadrada sin excentricidad (predomina el punzonado). (b) Zapata con excentricidad (predomina el criterio de viga ancha).
8.- Una vez que se conoce la altura útil “d”, se determina el acero requerido por flexión, aplicando la ec. 30 y 31. Se debe chequear el acero mínimo indicados en el punto I.2.1.1. El número de barras requerida para una zapata cuadra , se obtiene por:
N º barras =
As _ requerido Ab
…………………………………………… (124) 7 cm
donde: As_requerido: Acero requerido calculado a partir de la ec. 31. Ab: Area de la barra seleccionada. B La separación entre barras, será:
B − 14 − φb s= N º barras − 1
Acero en esta dirección ……………………………………………………………..(125)
En esta ec. “B” debe estar en “cm”. El número 14 corresponde a 7 cm de 7 cm recubrimiento por cada lado (ver fig. 37) y φb es el diámetro de la barra seleccionada. El acero requerido en la otra dirección será diferente ya que la altura útil “d1” será menor, sin embargo por ser zapata cuadra y sin excentricidad simplemente se repite el mismo acero (ver fig. 37a).
Cuando la zapata cuadrada es excéntrica, el momento requerido para determinar el acero en dirección de la excentricidad, se hace a través de la ec. 31, tomando en cuenta la la fig. 36b, considerando que la reacción del suelo no es uniforme. Para ello se sigue el siguiente procedimiento: •Determinación de la carga por metro lineal w1 y w2 en los extremos del diagrama Fig. 36.- (b) Zapata con excentricidad
w1 = q _ ult _ máx ⋅ B
….………..(126)
w2 = q _ ult _ mín ⋅ B
….………..(127)
•Pendiente “m1” de la variación de la carga “w”
m1 =
w1 − w2 B
……….…….……..(128)
(predomina el criterio de viga ancha).
Zapata excéntrica: Mu =?? Zapata sin excentricidad
•
Variación de la carga w
w = w1 − m ⋅ x •
…………………………………………………(129)
Determinación de la ec. de la fuerza cortante
x2 Vu = (w1 − m1 ⋅ x ) ⋅ dx ⇒ Vu = w1 ⋅ x − m1 ⋅ 0 2
∫
•
x
…………..…….(130)
Determinación de la expresión de momento M_ult x2 x2 x3 M _ ult = w1 ⋅ x − m1 ⋅ ⋅ dx ⇒ M _ ult = w1 ⋅ − m1 ⋅ 2 2 6
∫
……………(131)
donde: x: Distancia desde el extremo de la zapata a la sección crítica por momento. Si la columna o pedestal es de concreto, “x” será:
B bx _ pedestal x= − 2 2
……………………………………………….(132)
La determinación del acero y separación, ya se indicó anteriormente. El acero en la dirección donde no existe excentricidad, se encuentra de la misma la forma que se hizo para la zapata cuadrada sin excentricidad. La fig. 37b, ilustra la distribución del acero para una zapata cuadrada con excentricidad.
Menor acero
Mayor acero
Fig. 37.- (a) Acero para una fundación cuadrada sin excentricidad. (b) Acero para fundación cuadrada con excentricidad.
9. El acero de flexión debe cumplir con la longitud de desarrollo, cuyas exigencias y criterios están expuestos a través de las ecuaciones 33, 34 hasta la ec. 38. En el caso de zapatas cuadradas esta longitud de desarrollo disponible en la base de la zapata será: ld =
B b _ pedestal − − 7cm 2 2
…………………………………………………(133)
10. Luego se chequea el criterio de transferencia de esfuerzos expuesto en el punto I.2.1.3. 3. Ahora se determina la altura de la zapata “h”. La mínima altura será de 30 cm y por cortante será el valor correspondiente a (ver fig. 37):
h=d+
φb 2
+ 7cm
…………………………………………………………..(134)
Por último se debe tomar en cuenta los requisitos fundamentales expuestos en el punto II.1, sobre todo en cuanto al arriostramiento y rigidez. Allí se indica que para las fundaciones aisladas se recomienda un valor máximo de 3 , aunque son frecuentes los valores cercanos a 2, en el caso de las zapatas pequeñas
III.2.- Diseño de una fundación directa rectangular La fig. 38, muestra la sección transversal y planta, de una fundación directa cuadrada de área Bx L, empotramiento Df y altura de la zapata “h”. Los pasos para diseñar la fundación son los siguientes: 1. Ver punto 1 de zapatas cuadradas. (qadm=?) 2. Ver punto 2 de zapatas cuadradas. (qaplicada=?) 3. Ver punto 2 de la zapatas cuadradas, con la diferencia del área. También debe ser considerada la excentricidad en la determinación de las dimensiones de la zapata. (Area = B . L) 4. Ver punto 4 de zapatas cuadradas. (δ δ ≤ δadm)
Fig. 38.- Fundación directa rectangular.
5. Se mayoran las cargas, de acuerdo a lo expuesto en el punto I.1. Si no existe excentricidad, y a partir de la ec. 29, q_ult ( ver fig. 39a) se expresa:
q _ ult =
Q _ ult B⋅L
La fundación es suficientemente rígida …………………………………………………………..(135)
Si existe excentricidad (ver fig. 39b), q_ult se obtiene aplicando directamente la ec. 29.
q _ ult _ máx =
q _ ult _ mín =
Q _ ult 6 ⋅ ex 6 ⋅ ey ⋅ 1 + + B⋅L L B
…………………………… (136.1) La fundación es suficientemente rígida
Q _ ult 6 ⋅ ex 6 ⋅ ey ⋅ 1 − − …………………….……… (136.2) B⋅L L B
6. Ver punto 6 zapatas cuadradas. (bx-p=bx_c+10; by-p=by_c+10 ) 7. Determinación de la altura útil de la zapataCuando la zapata es rectangular predomina el diseño por viga ancha. Si no existe excentricidad la ec. 123 haciendo la referencia a la fig. 39a y , es expresa: L bx _ pedestal q _ ult ⋅ B ⋅ − − d 2 2 = 0.53 ⋅ φ ⋅ f ´c ⋅10 B⋅d
(ton/m2)………………….(137)
Si la zapata es excéntrica (ver fig. 39b), el diseño por viga ancha se hará por: q _ ult + q c 2
L bx _ pedestal ⋅ B ⋅ − − d 2 2 = 0.53 ⋅ φ ⋅ f ´c ⋅10 B⋅d
(ton/m2)……………….(138)
Para el chequeo por punzonado, y si no existe excentricidad (fig. 39a), se aplica directamente la ec. 115, en caso de pedestal rectangular. Si el pedestal es cuadrado o circular, la ec. debe ajustarse a esas dimensiones. Si existe excentricidad (ver fig. 39b), para el chequeo por punzonado se aplica la ec. 116 directamente.
Fig. 39.- (a) Zapata rectangular sin excentricidad (predomina el viga ancha). (b) Zapata rectangular con excentricidad (predomina el criterio de viga ancha).
8. Una vez que se conoce la altura útil “d”, se determina el acero requerido por flexión, aplicando la ec. 30 y 31. Se debe chequear el acero mínimo indicados en el punto I.2.1.1.
Si la zapata no es excéntrica (fig. 40a), el acero en el sentido más corto, se distribuye de manera no uniforme y la longitud para obtener el momento último es la dada por la ec. 132, y la longitud en el sentido más largo para obtener M_ult, será:
l=
L b _ pedestal − 2 2
……………………………………………………….(139)
El número de barras en ambos casos se obtiene a través de la ec. 124. La separación entre barras, en el ancho “B” (longitud de barras más largas en la dirección de L), se obtiene por la ec. 125.
La separación de las barras en el sentido de “L” (longitud de barras más cortas en la dirección de “B”), se obtiene tomando en consideración la siguiente recomendación: “El esfuerzo suministrado por la columna a la zapata, se concentra cerca de el centro de la zapata, en consecuencia la curvatura de la zapata es más pronunciada en esa zona, y disminuye en la dirección de “L” a medida que se incrementa la distancia desde la columna. Por esta razón se necesita un área de acero mayor en la zona central, en comparación con los extremos lejanos de la zapata”. En este sentido el código ACI, establece: As _ central =
2⋅ B ⋅ As _ total L+B
…………………………………………………(140)
El acero en la zona central en la dirección más corta, será determinado de acuerdo a: 2⋅ B As _ central = ⋅ As _ total …………………………………………………(140) L+B
Este acero obtenido por la ec. 140, será distribuido en una longitud “B” (ver fig. 40a y 40b). El resto del refuerzo que se requiere en la dirección más corta, debe distribuirse de manera uniforme en los bordes de la zapata. Cuando la zapata rectangular es excéntrica, se usan las mismas ecuaciones (ec. 126, 127 y 131 ), si la excentricidad está en el sentido de “L” (caso más favorable, vea ec. 136). Determinación de la carga por metro lineal w1 y w2 en los extremos del diagrama •Pendiente “m1” de la variación de la carga “w”
m1 =
w1 − w2 L
…………………………………………………………………..(141)
La distancia “x”, para la determinación del momento M_ult, será en esta caso:
L bx _ pedestal x= − ………………………………………………………………..(142) 2 2
Fig. 40.- (a) Acero para una fundación rectangular sin excentricidad. (b) Acero para fundación rectangular con excentricidad.
9. Ver punto 9 para zapatas cuadradas. (long de desarrollo) 10. Ver punto 10 para zapatas cuadradas (transferencia de esfuerzos). 11. Ver punto 11 para zapatas cuadradas (altura de zapata). 12. Ver punto 12 para zapatas cuadradas (arriostramiento).
III.3.- Diseño de losa combinada rectangular con presión uniforme. La fig. 41a, muestra planta de dos columnas separadas por una distancia “s”, donde se aprecia que la columna de la izquierda se ubica muy cerca de un lindero, lo cual hace que una fundación directa (zapata rectangular), tenga cierta excentricidad geométrica que puede generar esfuerzos de tensión en la zapata, probablemente no admisibles, y que los mismos pueden ser eliminados con la construcción de una losa combinada rectangular. La fig. 41b, presenta una zona de solape de las dos fundaciones directas correspondientes a dos columnas contiguas, que justifica la construcción de una sola losa para ambas columnas. La fig. 41c y 41d, corresponden a la sección transversal y planta de una losa combinada rectangular diseñada con presión uniforme, y que por tanto el centro geométrico de la losa se corresponde con el punto de acción de la fuerza resultante de las dos columnas. Aquí se debe indicar que el volado de longitud “lv” que se observa el la fig. 41c, se debe a que la fuerza Q_2 de la columna “2” es mayor que Q_1 de la columna “1”.
. Q_2 > Q_1 . Pto de acción de R, coincide con centro geométrico de losa. . Actúa presión uniforme en la losa combinada rectamgular
Fig. 41.- (a) Planta de columnas contiguas y donde la columna de la izquierda está próxima al lindero. (b) Sección transversal de fundaciones directas correspondientes a dos columnas contiguas donde existe solape de las fundaciones. (c) Sección transversal de una losa combinada rectangular. (d) Planta de la losa combinada rectangular.
Los pasos para diseñar la fundación son los siguientes: 1. Se determina la capacidad admisible del suelo. 2. Se determina la resultante de las fuerzas que aplican las columnas.
R = Q _ 1+ Q _ 2
….………………………………………………………… (143)
−
3. Se determina el punto de aplicación x de la resultante. Para ello se toma momento en el eje de la columna 1. − − Q_2 Q_2 x'⋅R = Q _ 2 ⋅ s ⇒ x' = s ⋅ ⇒ x = x'+l ⇒ x = s ⋅ +l R R
………..(144)
La condición para que resulte una fundación rectangular es de x’ > s/2. La longitud (L) de la losa rectangular, para que exista presión uniforme de la reacción del suelo por debajo de la zapata será: −
L = 2⋅ x
…………………………………………………………………….(145)
4. Luego se determina el área requerida de la losa por falla portante del suelo. Se aplicará la ec. 109 cambiando Q por R.
Area =
R q _ adm − γ suelo ⋅ Df − h ⋅ (γ concreto − γ suelo )
…………………..(146)
Ahora se puede hallar el ancho de la losa, conocido L y el área.
B=
Area L
……………………………………………………………….(147)
5. Se mayoran las cargas, de acuerdo a lo expuesto en el punto I.1 y se determina q_ult (ver fig. 42a y 42b).
Rult = Qult _ 1 + Qult _ 2
q _ ult =
Rult B⋅L
..…………………………………………. (148) …………………………………………..…. (149)
6. Ver punto 6 zapatas cuadradas. (bx_p=bx_c+10; by_p=by_c+10 )
7. Ver punto 6 zapatas cuadradas. (altura útil) Para ello, se determina la carga “w” por metro lineal y se dibujan los diagramas de corte y momento (ver fig. 42c, 42d, 42e). En estos diagramas se ha invertido las cargas para facilidad del dibujo.
w = q _ ult ⋅ B
………………………………………………………..(150) s.r Estos diagramas es debido a que la relación L/H difícilmente están por debajo de “7”. Es decir el diseño es por flexión.
Fig. 42.- (a) Reacción uniforme del suelo. (b) losa cargada uniformemente. (c) Carga en la losa por metro lineal. (d) Diagrama de corte. (e) Diagrama de momentos.
En la fig. 42 d, se ubica el cortante a partir de una distancia “d” de las caras del pedestal. En este caso se indica Vult_1 y Vult_2.
Vult _ 1 = V _ 1 − w ⋅ (
bx _ pedestal 2
Vult _ 2 = V _ 2 − w ⋅ (
bx _ pedestal 2
+ d)
…………………………………(151)
+ d)
…………………………………(152)
Luego se calcula el esfuerzo último:
Vult _ 1 v _ ult _ 1 = = B⋅d
V _1− w⋅ (
Vult _ 2 v _ ult _ 2 = = B⋅d
bx _ pedestal B⋅d
V _ 2 − w⋅(
2
+ d)
bx _ pedestal B⋅d
2
+ d)
……………………….(153)
…………………….(154)
Ahora estas expresiones se igualan a la resistencia del concreto, para determinar “d”, resultando: bx _ pedestal V _ 1− w⋅ ( + d) 2 = 0.53 ⋅ φ ⋅ f ´c ⋅10 ………………..…………….(155) B⋅d
V _ 2 − w⋅(
bx _ pedestal B⋅d
+ d)
2
= 0.53 ⋅ φ ⋅ f ´c ⋅10
……….…………….(156)
De la ec. 155 y 156, se toma el valor de “d” más desfavorable. Luego se chequea el punzonado en ambas columnas. Para ello considérese la fig. 43, donde un de lindero coincide con la cara del pedestal: Para la columna 1: d ) ⋅ (by _ pedestal + d ) 2 < 1.06 ⋅ φ ⋅ f ´c ⋅10 ……….…………….(157) d + + by _ pedestal + d ⋅ d 2
Qult _ 1 − q _ ult ⋅ (bx _ pedestal + 2 ⋅ bx _ pedestal
(
)
Para la columna 2:
Qult _ 2 − q _ ult ⋅ (bx _ pedestal + d ) ⋅ (by _ pedestal + d )
((
) (
))
2 ⋅ bx _ pedestal + d + by _ pedestal + d ⋅ d
< 1.06 ⋅ φ ⋅ f ´c ⋅10 ……………….(158)
8. Con el momento máximo M_máx_ult se calcula el acero positivo para el tramo. Y con los momentos en los apoyos se estima el acero negativo, aplicando la ec. 31. La separación de ambos aceros es uniforme en el ancho “B” de la losa (ver fig. 44a y 44b).
acero en el sentido más corto se estima considerando que las columnas están soportadas por vigas planas, y que
El
por tanto los esfuerzos de reacción son los siguientes:Para la columna 1, en este caso donde no existe ningún volado a la izquierda de la misma:
acero en el sentido más corto se estima considerando que las columnas están soportadas por vigas planas
Fig. 43.- (a) Sección transversal de la losa. (b) Definición del punzonado en las columnas que une la losa rectangular. (c) Area considerada para la determinación del acero transversal.
q _ ult _ 1 =
Qult _ 1 B ⋅ bx _ pedestal + 0.75 ⋅ d
(
)
…………………………………….(159)
Para la columna 2, donde existe volado a la derecha de la misma: q _ ult _ 2 =
Qult _ 2 B ⋅ bx _ pedestal + 2 ⋅ 0.75 ⋅ d
(
)
……………………………………. (160)
La carga por metro lineal y momentos para el acero, en ambas columnas, será: Columna 1:
w1 = q _ ult _ 1 ⋅ (bx _ pedestal + 0.75 ⋅ d ) B by _ pedestal − 2 2 Mult _ 1 = w1 ⋅ 2 Columna 2:
………………………..(161)
2
…………………………………… (162)
w2 = q _ ult _ 2 ⋅ (bx _ pedestal + 2 ⋅ 0.75 ⋅ d ) ……………………………… (163) B by _ pedestal − 2 2 Mult _ 2 = w2 ⋅ 2
2
…………………………………… (162)
Con estos momentos se determina, el acero transversal en cada columna a través de la ec. 31 (ver fig. 44c y 44d).
Fig. 44.- (a) y (b) Acero para momento máximo. (c) y (d) Acero en los apoyos y acero transversal.
9.- El acero debe cumplir con la longitud de desarrollo, cuyas exigencias y criterios están expuestos a través de las ecuaciones 33, 34 hasta la ec. 36. 10. Luego se chequea el criterio de transferencia de esfuerzos expuesto en el punto I.2.1.3. 11. Se determina la altura de la zapata “h”.
12.Por último se debe tomar en cuanta los requisitos fundamentales expuestos en el punto II.1, sobre todo en cuanto al arriostramiento y rigidez. Allí se indica que para zapatas combinadas de dos o más columnas, difícilmente la relación de rigidez, está por debajo de 10 y en este caso debe recurrirse a los resultados de la teoría de vigas sobre fundación elástica, donde además dan algunas expresiones para determinar los esfuerzos y momentos. En este trabajo se aplicó el método de análisis y diseño a flexión de vigas, para el cálculo del esfuerzo cortante por viga ancha (altura útil) y el acero en el tramo y en los apoyos. III.4.- Diseño de losa combinada rectangular con viga rígida (sección en T) con presión uniforme. Las observaciones hechas anteriormente a la fig. 41 del punto III.3 son válidas también para este caso expuesto en esta sección, ya que allí se indicó cuando se justifica el diseño de una losa combinada rectangular de fundación. Los aspectos de diseño adicionales a la losa en este caso es la viga rígida que une ambas columnas (ver fig. 45). Esta viga absorberá los momentos y cortantes que producen las cargas de las columnas y la reacción del suelo.
Viga “T” invertida Fig. 45.- (a) y (b) Sección transversal y planta de una losa combinada rectangular con viga rígida. (c) Perspectiva de la losa combinada y viga rígida.
Los pasos para diseñar la fundación son los siguientes: 1. Se determina la capacidad admisible del suelo. (qadm=?) 2. Ver punto 2 del caso III.3 (R = Q1+Q2) 3. Ver punto 3 del caso III.3. (x’=s.Q2/R; x=x’+l) 4. Ver punto 4 del caso III.3. (qadm = qaplicada; Area =? Area = B . L) 5. Ver punto 5 del caso III.3 (Rult = Qult_1+Qult_2; qult= Rult/Area) 6. Ver punto 6 zapatas cuadradas. (bx_p=bx_c+10; by_p=by_c+10) 7. Determinación de la altura útil de la losa y de la viga rígida.
Se determina la altura útil de la losa por viga ancha (ver fig. 46a), a través de: q _ ult ⋅ (
B by − − d)⋅ L 2 2 = 0.53 ⋅ φ ⋅ L⋅d
f ´c ⋅10
…………………………………(163)
La altura útil de la viga rígida, se obtiene según: •Aplicando el criterio de flexión de vigas (ver fig. 46 d) 6120 ⋅ d 0.75 ⋅ 0.85 ⋅ Mmáx _ ult 6120 + fy 6120 ⋅ d ⋅ d − = 0.85 ⋅ f ' c ⋅ by ⋅ 0.75 ⋅ 0.85 ⋅ 0.9 6120 + fy 2
…….……(164)
•Se diseñan cumpliendo la relación (S/H < 6), es decir con la relación correspondiente a vigas cortas, para incrementar su rigidez y evitar grandes asentamientos bajo el área donde se apoyan las columnas. •La inercia respecto al centroide de la sección mostrada en la fig. 46 a (I_centroidal) es recomendable que sea dos veces la inercia de la losa sin viga rígida (caso anterior).
I _ centriodal ≥2 I _ losa
………………………………………………………..(165)
Estos diagramas se usaran para diseñar la viga Fig. 46.- (a) Reacción uniforme del suelo. (b) Carga en la losa por metro lineal. (c) Diagrama de corte. (d) Diagrama de moementos.
El momento para el acero en el sentido más corto de la losa será:
B by w⋅ − 2 2 Mult = 2
2
…………………………………………………………(165) Con este momento se obtiene acero para
la losa
donde:
w = q _ ult ⋅ L
…………………………………………………………(166)
El acero para este momento se obtiene por la ec. 31 y se distribuye uniformemente en la longitud “L” (ver fig. 47), el cual debe cumplir con el acero mínimo. El acero en el sentido más largo, se distribuye solamente en las dos alas de la viga (ver fig. 47), y será el correspondiente al acero mínimo obtenido para esa área. Acero mínimo
Estribos para resistir corte
Acero para momento máximo (ver diagrama) Acero para momento negativo
Acero obtenido para el momento distribuido uniformement e
Fig. 47.- Distribución del acero para la losa y la viga.
8.- Los estribos para la viga se obtienen según las ecuaciones de la 92 a la 96.
III.5.- Diseño de zapatas trapezoidales con presión uniforme. La fig. 48, muestra que una de las caras de la columna de la izquierda, coincide con el lindero, y que para eliminar la excentricidad de la fundación de esta columna, se debe recurrir al diseño expuesto en el punto III.3 ó III.4 ó al desarrollado en esta sección. Diseño de rectangular R más cerca de col. 2 Fig. 48.- Planta indicando que la columna 1 se ubica en el lindero.
Q2 > Q1
Condiciones para el diseño de zapatas trapezoidales, son las siguientes: •Columna No. 1, muy cerca al lindero o en lindero •Q1 > Q2 (si Q1 < Q2, la zapata es rectangular) •La zapata combinada (en este caso trapezoidal) permite eliminar grandes excentricidades de la columna No. 1, tanto geométrico como la producida por momentos. •Como Q1 > Q2, el centro geométrico de la losa estará más cercano a la columna de Q1. •La zapata puede llegar al lindero, la cual no debe afectar a estructuras ya construidas.
La fig. 49a, 49b y 49c, presenta el caso cuando la losa llega hasta el borde del pedestal ó columna y la fig. 49c, 49d y 49f, ilustra el caso cuando la losa puede coincidir con el lindero. L es una dimensión preestablec ida losa es llegando hasta el borde del pedestal
x
Para diseñar con presión uniforme pto de aplicación de R debe coincidir con el centro geométrico
losa llegando hasta el lindero.
2 x no se corresponde con L
Fig. 49.- (a), (b) y (c) Sección y planta de losa trapezoidales llegando hasta el borde del pedestal. (c), (d) y (f) Sección y planta de losa trapezoidales llegando hasta el lindero.
Pasos a seguir en el diseño: 1. 2. 3.
∑M = 0 1
x' =
Se determina la capacidad admisible del suelo. Ver punto 2 del caso III.3 (R = Q1+Q2) Determinación de x (ubicación de la resultante R) . (Suma de momentos en el eje 1)
Q2 ⋅ Lc R
………………………………………………………………..(167)
Por tanto:
x=
Q2 ⋅ Lc b1 + R 2
………………………………………………………..…..(168)
También se puede plantear:. Σ M lindero = 0 en este caso fig. 49b):
(Suma de momentos en el lindero,
b b R ⋅ x = Q2 Lc + 1 + Q1 1 …………………………………….…..……..(169) 2 2 b b Q2 Lc + 1 + Q1 1 2 2 = Q2 ⋅ Lc + b1 x= R R 2
………………………………………....(170)
Observación: •Como Q1 > Q2, significa que < L, por consiguiente, no se x 2 puede decir que la longitudxde la losa es 2 , dado que no llegaría a la columna 2. •El objetivo es diseñar con presión uniforme, por tanto la posición de “R” al lindero no puede variar.
−
x
•La única manera que el centro de gravedad geométrico de la losa coincida con el punto de aplicación de la resultante, es que la losa tenga mayor dimensión hacia la columna No. 1, de esta forma se genera la forma trapezoidal de la zapata. Se entiende por tanto que: Para que exista presión uniforme el centro geométrico xcg de la losa trapezoidal debe coincidir con el centro geométrico. Por tanto:
x = xcg
………………………………………………………………………(171)
Escribiendo xcg en función de a, b, L:
x cg
L L 1 b a 1 L 1 L a ⋅ L ⋅ + − ⋅ L⋅ 2⋅ a ⋅ + ⋅ (b − a ) ⋅ ⋅ L a ⋅ L + (b − a ) ⋅ 3 2 22 2 3 2 2 3 = = = a b a+b b a + a⋅ L + − ⋅ L 2 2 2 2
xcg =
1 b + 2a 3 a + b Recordemos que:
(172)
x=x
cg ……………………………………………………….(173)
Si xcg ≤ L/3, se recomienda diseñar zapatas combinadas en voladizo (punto III.6). Diseñar zapatas trapezoidales en este caso significa dimensiones de “a” muy pequeñas y dimensiones de “b” muy grandes. 4. Luego se determina el área requerida de la losa por falla portante del suelo, a través de la ec. 146. De la fig. 49c ó 49f, se escribe que el área de la zapata, viene dada por: a+b Area = ⋅L 2
……………………………………………………….(174)
El Area se conoce por falla portante
Igualando la ec. 171, 173 y 174, se determinan las dimensiones “a” y “b”. Nota: Se puede redondear “a” y “b”, a dimensiones prácticas, sin embargo el cálculo de momentos y fuerzas cortantes, las debe hacer con las dimensiones obtenidas exactamente, para el cierre de los diagramas. 5. Se mayoran las cargas, de acuerdo a lo expuesto en el punto I.1 y se determina Rult y q_ult, aplicando la ec. 148 y la ec. 149. 6. Ver punto 6 zapatas cuadradas. (bx_p=bx_c+10; by_p=by_c+10) 7. Determinación de la altura útil de la losa. Para ello, se determina la carga “w” por metro lineal y se dibujan los diagramas de corte y momento (ver fig. 50). En estos diagramas se ha invertido las cargas para facilidad del dibujo. Carga por metro lineal (ver fig. 50b)
w1 = q _ ult ⋅ b w2 = q _ ult ⋅ a
……………………………………………………….(174) ……………………………………………………….(175)
8. Se definen las ecuaciones para determinar los cortes y momentos Corte a partir del extremo donde actúa w1: ………………………………………………………(176) V = (w1 − m.x )dx
∫
x2 V = w1 ⋅ x − m ⋅ + A ………………….…………..……………………(177) 2 Para x = 0 → V = 0 por tanto A = 0
x2 V = w1 ⋅ x − m ⋅ 2 Para x =
………………….…………..………..……………(178)
b1 se obtiene Vi (ver fig. 50e): 2
b1 b 2 Vi = w1 1 − m 2 2
2
………………….…………..………..……………(179)
Por tanto Va, será (ver fig. 50e):
V A = Qu1 − Vi
………………….…………..………..……………(180)
Se invierte las cargas
Fig. 50.- (a)Sección de la losa trapezoidal .(b) Definición de las cargas lineales. (c) Esfuerzo de reacción del suelo en la losa . (d) Carga lineal sobre la losa. (e) Diagrama de fuerza cortante. (f) Diagrama de momentos. (g) Definición de puntos donde se mide “x”.
Ecuación del corte entre el tramo (entre las columnas 1 y 2): Corte a partir de la carga w1’(ver fig. 50d):
V=
∫ (w '−m.x )dx 1
…………………………………………………………(181)
x2 V = w1 '⋅x − m ⋅ + A …………………………………………………….(182) 2 Para x = 0 → V = VA → A = VA …………….……..…………………..…(183) Cambiando el signo a la ec. 182, se escribe x 2 Vtramo = V A − w1 '⋅x − m ⋅ …………………………………………....…(184) 2 Para Vtramo = 0, se obtiene x para Mmáx. Cuando x = Lc, se obtiene VB. 2 ( ) L c V B = V A − w1 '⋅Lc − m ⋅ 2
……….……(185) (debe dar con signo negativo)
Corte en el volado derecho Vd:
V d = Qu 2 − V B
……………………………………………………(186)
También a partir del diagrama de carga lineal (ver fig. 50d):
V =
∫ (w
2
+ mx )dx
……………………………………………….…(187)
x2 V = w2 ⋅ x + m ⋅ +B 2
……………………………………………(188)
X=0→V=0→B=0
x2 V = w2 ⋅ x + m ⋅ 2
……………………………………………(189)
Para x = b2/2
b2 b 2 V d = w2 ⋅ 2 + m ⋅ 2 2
2
…………………………………….……(190)
Momentos en los apoyos y en el tramo: Apoyo A:
x2 V = w1 − m ⋅ 2
………………………………………………………(191)
2 x M = w1 ⋅ x − m ⋅ dx 2
∫
…………….………………………………(192)
x2 x3 …………….………………………………(193) M = w1 ⋅ − m⋅ +A 2 6 Para x = 0 → M = 0 → A = 0
x2 x3 M = w1 ⋅ − m⋅ 2 6 Para
b1 x= 2
…………….……………………………(194)
2
MA
b1 b1 2 2 = w1 − m⋅ 2 6
3
………………………………………… (195)
Apoyo B:
Vtramo
x2 = V A − w1 '⋅x + m ⋅ 2
M tramo
2 x = V A − w1 '⋅ x + m ⋅ dx ………………………………….… (197) 2
M tramo
x2 x3 = V A ⋅ x − w1 '⋅ + m⋅ + A ……………….……………. (198) 2 6
……………………………………… (196)
∫
Para x = 0 → M = - MA → A = -MA
M tramo
x2 x3 = V A ⋅ x − w1 '⋅ + m⋅ −MA 2 6
……………….………….… (199)
Para x = Lc, se obtiene MB:
M B = V A ⋅ Lc
( Lc )2 − w '⋅ 1
2
( Lc )3 + m⋅ 6
−MA
……………………..(200)
A partir del volado derecho
x2 V = w2 + m ⋅ 2
…….. ……………………………………………….(201)
2 x M = w2 ⋅ x + m ⋅ 2
∫
dx
x2 x3 M = w2 ⋅ + m ⋅ + A 2 6
…….. …………………………………….(202)
…….. …………………………………….(203)
Para x = 0 → M = 0 → A = 0: 2
b2 b2 2 2 M B = w2 ⋅ + m⋅ 2 6
3
…….. …………………………………….(204)
Determinación del corte último, para determinar la altura útil “d”: Para hallar Vult, se debe hacer a una distancia “d” de la cara del pedestal 1 ó a una distancia “d” del pedestal 2 (ver fig. 51a y 51b). Se puede determinar en ambas columnas y tomar el mayor. Sin embargo, el ancho de la losa en la columna 2 es menor
Fig. 51.-(a) Planta de la losa indicando las secciones críticas por viga ancha. (b) Sección con ubicación del corte último. (c) Planta de la losa indicando el área de punzonado en cada columna. (d) Planta de la losa mostrando la distribución el acero para el momento en el tramo. (e) Sección con el acero en el tramo y en los apoyos. (f) Planta con la distribución del acero de los apoyos.
Consideremos que se trabaja con la columna 2:
x2 V = V A − w1 '⋅x + m ⋅ 2
Vult=?
……………………………………………(205)
Vult = ? (columna 2)
x = Lc −
b2 −d 2
…………………………………………………..(206) 2
b Lc − 2 − d 2 b ……….....………..(207) Vult =V A− w1 '⋅ Lc − 2 − d + m 2 2 Debemos cambiar el signo a la ecuación porque el corte en esa parte del diagrama es negativo. 2
Vult
b Lc − 2 − d 2 b = w1 '⋅ Lc − 2 − d − m − V A ……………..….....………..(208) 2 2 2
v ult
b b m w1 ' Lc − 2 − d − Lc − 2 − d − V A 2 2 2 = B2 ⋅ d
……………..….....………..(209)
De la planta de la zapata (fig 51a), se obtiene, la expresión de B2.
B2 = a +
(b2 + d )(b − a )
……………………………………….. (210)
L 2
v ult
b b m w1 ' Lc − 2 − d − Lc − 2 − d − V A 2 2 2 = (b2 + d )(b − a ) a + ⋅d L
…….... (211)
Igualando la ec. 213 a la a resistencia del concreto por viga ancha, resulta:
2
b b m w1 ' Lc − 2 − d − Lc − 2 − d − V A 2 2 2 = 0,53 ⋅ 0,85 ⋅ f ' c ⋅10 (b2 + d )(b − a ) a + ⋅d L
…….... (212)
de donde se obtiene ”d”. Chequeo por punzonado en la columna 2 (fig. 51c):
d Qu 2 − qu (b2 + d ) + b2 + 2 vul = < 0,85 ⋅1,06 f 'c ⋅10 d ( ) 2 b + + d + b 2 ⋅d 2 2
......………(213)
El mismo procedimiento se aplica a la columna 1. Se toma la mayor “d” que resulte. Por lo general, la columna 2 resulta más desfavorable. Luego debe chequear punzonado en la columna 1 y columna 2. 2. Cálculo del acero Para determinar el acero por momento máximo, se toma el promedio del ancho de la zapata trapezoidal.
b prom = n=
b+a 2
0,85 ⋅ f ' c ⋅b prom fy
……………………………………………………..(214)
……………………………………………………..(215)
As _ max = nd −
As − min =
(nd )
2
−
2nMmáx _ ult 0,9 f y
14 ⋅ b prom ⋅ d fy
N º barras =
As _ max A _ barra
………………………..…..(216)
………………………………..……..…..(217)
………………………………..……..…..(218)
Luego se determina la separación en cada borde del área de losa:
S1 =
b − 14 − φb N º barras
S2 =
a − 14 − φb N º barras
……………………………………………....…..(219)
……………………………………………....…..(220)
Acero en los apoyos b prom _ 1 =
b + blongitud _ de _ desarrollo 2
………………………....…...(221)
b prom _ 2 = ñ=
a + a longitud _ de _ desarrollo
………………………………(222)
2
0,85 ⋅ f ' c ⋅ b prom _ i
…..……………………………………...………(223)
fy
As = ñ ⋅ d −
(ñ ⋅ d )2 − 2 ⋅ ñ ⋅ Mult _ apoyos 0,9 fy
14 As _ min = ⋅ b prom _ i ⋅ d fy
…..……………………(224)
…..…………………………………….…(225)
Distribución del acero de los momentos negativos
S prom _ 1 =
S prom _ 2 =
b prom _ 1 − 14 − φb N º barros − 1
b prom _ 2 − 14 − φb N º barros − 1
…..…………………………………….…(226)
…..…………………………………….…(227)
Acero transversal (ver fig. 52b):
q _ ult _ 1 =
q _ ult _ 2 =
Qult _ 1 …..……………………………………..…(228) b + b' (b1 + 0,75d ) 2
Qult _ 2 a + a' (b2 + 0,75d ) 2
…..………………………………………(229)
Ejemplo para la columna 1(ver fig. 52b): Sección pasando por el centro entre b y b’
w = q _ ult _ 1 ⋅ (b1 + 0,75d ) w⋅l2 Mu = 2
…..…………………………….……..…(230)
(l debería tomarse en el centro entre b y b’)
…..….…(231)
b = b1 + 0,75d
……………………………………………………...….…(232)
0,85 ⋅ f ' c ⋅ b n= fy
………………………………………………….....….…(233)
As mín = ρ min ⋅ b ⋅ d As = n ⋅ d −
(nd )
2
(ρmin: losas)
−
2 ⋅ n ⋅ Mu 0,9 fy
…………………………… (234)
…………………………… (235)
3. Altura de la losa:
h = d +7+
φb
…………………………………………………….. (236)
2
Fig. 52.- Acero transversal. Definición de áreas para el acero transversal.
Si existen momentos en la base de los pedestales los diagramas se presentan en la fig. 53 y ecuación para ubicar la resultante será: Ubicación de la resultante (ver fig. 53a):
∑M
1
=0
……………………………………………………………. (237)
Q 2 ⋅ Lc + M 2 + M 1 x' = R
……………………………………….. (238)
El punto de aplicación de la resultante (que debe coincidir con el centro geométrico de la losa trapezoidal), será:
x = Lv + x'
………………….…………………………………... (239)
Observaciones: •Si
•Si
•Si
x< x
Q1 ⋅ de lo contrario, el efecto volcador Lc − e de la base 1, levantaría la base de la columna 2. Area de la columna 1:
q adm
R1 = + h(γ concreto − γ suelo ) + Df ⋅ γ suelo (de esta expresión se obtiene A1) (246) A1
Luego:
A1 = L1 ⋅ B1
s. r El peso de la viga por encima de la zapata, ya está contenido aquí, no tomando la diferencia entre pesos unitarios del concreto y suelo. (de esta expresión se obtiene L1) …………...………….(247)
Generalmente se limita alguna de las dos. Sin embargo, es conveniente que B1 no sea muy grande para disminuir la excentricidad y por consiguiente la magnitud del momento volcador.
Area de la columna 2:
q adm =
R2 + h(γ concreto − γ suelo ) + Df ⋅ γ suelo A2
……………….(248)
(de esta expresión se obtiene A2) Luego:
A2 = B 2
(siempre que sea posible se diseña cuadrada)
………….(249)
Determinación de la Altura de las Losas y Aceros Mayorando previamente las cargas, se pueden obtener las reacciones mayoradas en las fundaciones (ver fig 55): q _ ult _ 1 =
Rult _ 1 A1
q _ ult _ 2 =
Rult _ 2 A2
………………………………………………………. (250)
…………….………………………………………. (251)
Viga ancha Viga ancha Punzonado
Fig.55.- Losa de zapata rectangular mostrado sección por viga ancha y losa de zapata cuadrada mostrando sección por viga ancha y área por punzonado.
Corte por viga ancha en la Columna 1(ver fig. 55): L b Vult = q _ ult _ 1 ⋅ B1 ⋅ 1 − 1 − d 1 2 2
………………………………………………..(252)
vult
L b q _ ult _ 1 ⋅ 1 − 1 − d1 .B1 2 2 = B1 ⋅ d1
………………………………………(253)
L b q _ ult _ 1 ⋅ 1 − 1 − d1 ⋅ B1 2 2 = 0,53 ⋅ 0,85 ⋅ f 'c ⋅10 ………….………….………(254) B1 ⋅ d1
De la ec. 254, se obtiene d1. d1 ≥ 15 cm. En esta zapata no existe corte por punzonado Corte por viga ancha en la Columna 2 (ver fig. 55):
B b2 Vult = q _ ult _ 2 ⋅ B ⋅ − − d 2 2 2
v ult
B b q _ ult _ 2 ⋅ B ⋅ − 2 − d 2 2 2 = B⋅d2
………….……………………(255)
………….……………………(256)
B b q _ ult _ 2 ⋅ B ⋅ − 2 − d 2 2 2 = 0,53 ⋅ 0,85 ⋅ B⋅d2
f ' c ⋅10
………….……………(257)
De la ec. 257 resulta d2. Chequeo de corte por punzonado en la Columna 2 (ver fig. 55)
d B b Vult = Qult _ 2 − q _ ult _ 2 ⋅ (b2 + d 2 ) ⋅ + 2 + 2 2 2 2
v ult
B b2 d 2 Qult _ 2 − q _ ult _ 2 ⋅ (b2 + d 2 ) + + 2 2 2 = B b2 ( ) 2 + + d + b + d 2 2 2 ⋅d2 2 2
d B b Qult _ 2 − q _ ult _ 2 ⋅ (b2 + d 2 ) + 2 + 2 2 2 2 B b2 ( ) 2 + + d + b + d 2 2 2 ⋅d2 2 2
………….(258)
………….….(259)
= 0.85 ⋅1.06 ⋅ f ' c ⋅10 …………….(260)
De la ec. 260 resulta d2 y se compara con el obtenido de la ec. 257.
Acero por flexión de las zapatas (ver fig. 56): Zapata columna 1: La carga por metro lineal será:
w = q _ ult _ 1 ⋅ B1
…………………………………………………..(261)
La longitud para el momento es: l=
L1 b1 − 2 2
…………………………………………………..(262)
El acero se distribuye uniformemente en el ancho B1. El acero en la dirección más corta (ver fig. 57) corresponde al acero mínimo expuestos para losas. Zapata columna 2 (ver fig. 56): La carga por metro lineal será:
w = q _ ult _ 2 ⋅ B
………………………………………………….. (263)
La longitud para el momento es:
l=
B b2 − 2 2
………………………………………………….. (264)
El acero se distribuye uniformemente en el ancho B. El acero en la otra dirección (ver fig. 57) corresponde al acero mínimo expuestos para losas
Fig. 56.- Acero por flexión de la zapata.
Fig. 57.- Acero mínimo en la otra dirección
Diseño de la altura de la viga y acero requerido:
Vtramo = V A − w1 ⋅ x M tramo
(ver fig. 58)
……………………………(265)
x2 = V A ⋅ x − w1 ⋅ − M i (ver fig. 58) ………………………(266) 2
A partir de la ec. 265 y 266, se obtiene el momento Mmáx para el acero del tramo cuando V = 0. La altura de la viga rígida se puede estimar según:
Iviga-rígida ≥ 2 Izapata de mayor inercia ……………….. (267) Por tanto: b ⋅ hviga 3 12
B ⋅ h zapata 3 = 2 12
……………………………..…………(268)
En la ec. 268, b toma el valor mayor de b1 o b2. También la mayor inercia de la dos zapatas. La altura útil, será:
d = hviga − 7 −
φb 2
(φb, diámetro de la barra para Mmáx)
Fig. 58.- Diagrama de cortes y de momentos.
…….. (269)
Luego se chequea el cortante en la viga, a partir de la columna 1 ó 2.
v ult
Vult = b⋅d
………………………………………………..(270)
Acero para la viga en el tramo y en los apoyos (ver fig. 59):
n=
Ancho de pedestal
0,85 ⋅ f ' c ⋅ b fy
( ) (nd )
As = nd −
2
−
(b = b1 ó b = b2)
…………………….…..(271)
2 ⋅ n ⋅ Mmáx _ ult 0,9 ⋅ fy
………………………..(272)
El acero para momentos en los apoyos y estribos requeridos por cortante, similar al caso de losa rectangular con viga rígida.
Fig. 59.- Acero para la viga
El acero mínimo para vigas, será:
As min =
14 ⋅b ⋅ d fy
…………………………………………………………….(273)
Si existen momentos en las bases las reacciones R1 y R2 serán (ver fig. 60 y 61):
∑M
2
= 0 ⇒ R1 (Lc − e ) − M 1 − Q1 ⋅ Lc − M 2 = 0
Q1 ⋅ Lc + M 1 + M 2 R1 = Lc − e
∑V = 0 ⇒ R
1
+ R2 = Q1 + Q2
………………..(274)
…………………………………………..(275)
⇒
R2 = Q1 + Q2 − R1 …………..(276)
Fig. 60.- Reacciones cuando existen momentos
Q ⋅ Lc + M 1 + M 2 R2 = Q2 + Q1 − 1 Lc − e
………………………………..(277)
(M 1 + M 2 ) e ⋅ Q1 − Lc − e Lc − e
…………………………….. (278)
R2 = Q2 − Q2 >
M1 + M 2 e + ⋅ Q1 (más desfavorable que el anterior) ....(279) Lc − e Lc − e
Los cortes en los apoyos será la suma algebraica de producido por la carga lineal más el producido por el momento
V A = Qu1 − Vi
……………………………………………………………(280)
V B = Qu 2 − Vd
……………………………………………………………(281)
VM
M u1 + M u 2 = Lc
………………………………………………………..(282)
Fig. 61.- Diagrama cuando existe momentos en columnas.
Para columnas de las esquinas y lindero que están en el lindero. Losa que elimina excentricidad de la columna de la esquina de las dos columnas laterales próximas
Losas combinadas para eliminar excentricidad de las columnas laterales
III.7.-Losas de fundaciones y tipos de losas Es un sistema de fundación de la superestructura, que puede cubrir toda el área de la misma Una losa de fundación
Soporta varias columnas y paredes. Preferido para suelos capacidad de carga
que
tienen
baja
En suelos de baja capacidad portante, el sistema de fundación directa, puede cubrir más del 50% del área de construcción En estos casos el sistema de losas resulta ser más económico.
Tipos de losas:
1.- Placa de espesor constante: Doblemente armada en las dos direcciones ortogonales, con acero tanto superior como inferior (fig. 62 a)
2.- Placa plana engrosada bajo las columnas: El engrosamiento bajo las columnas más cargadas, provee mayor espesor para evitar el punzonado y para disminuir el acero negativo (fig. 62b).
3.- Vigas y losas: Las placas nervadas son las que presentan nervios y vigas, conectando las columnas, con lo cual se logra incrementar la rigidez de la fundación. Los nervios pueden ser unidireccionales (fig. 63a) o colocados en forma de cuadricula (fig. 63b). La presencia de los nervios conectando el pie de las columnas, elimina el peligro de punzonado en la placa.
La losa con nervios trabaja unidireccionales, apoyada en la dirección más corta en esas vigas transversales, y las vigas longitudinales resultan de forma de T invertida.
La losa con nervios ortogonales, trabaja bidireccionalmente y divide la losa total en áreas parciales de dimensiones reducidas.
4. Losa celular
paredes de basamento como parte de la losa placa muy rígida, que minimiza o anula los asentamientos diferenciales especialmente en suelos débiles y compresibles permiten aumentar considerablemente la inercia del conjunto con peso reducido, ya que están formadas por placas rígidamente vinculadas en los nodos formando varios interiores que se pueden utilizar como sótanos.
III.8. Criterios para el diseño estructural de la losa. Hipótesis de Winkler (1867) Según esta hipótesis, el esfuerzo de reacción del suelo, en todos los puntos del plano de contacto de la viga-suelo, resulta proporcional a la deflexión “y” de la viga de ancho de “b” y altura “h”, y de longitud infinita, sujeta a una carga concentrada Q. Por mecánica estructural, para una viga prismática se cumple la siguiente relación entre momento flector M, la rigidez EI y la segunda derivada de la deflexión “y” de la elástica respecto a la abscisa.
d2 ⋅y M = E ⋅ I ⋅ dx 2 Rigidez 1
ρ
=
d2y dx 2
Por mecánica estructural, para una ……………………………………………… (283) viga prismática se cumple la siguiente relación entre momento flector M, la rigidez EI y la segunda derivada de la deflexión “y” de la ………………………………………………………… (284) elástica respecto a la abscisa.
donde: M: Momento en una sección de la viga. E: Módulo de Young del material de la viga. I: Momento de inercia de la sección transversal de la viga (1/12. b. h^3). y: Deflexión de la viga. b: Ancho de la viga. x: Ubicación de la sección donde se está considerando la deflexión. ρ: Radio de curvatura en la longitud del arco formado por la flexión de la viga. También:
d3y dM =V = E⋅I ⋅ 3 dx dx
……………………………………………… (285)
d4y dV = w = E⋅I ⋅ 4 dx dx
………………………………………………..(286)
donde: V: fuerza cortante en la sección considerada. w: carga por metro lineal de ancho.
w = σ ⋅b
…………………….………………………………………..(287)
donde: σ: Reacción del suelo. La hipótesis de Winkler expresa que la reacción del suelo es directamente proporcional a la deflexión de la viga, y será negativo ya que la reacción del suelo tiene sentido contrario a la deflexión “y” de la viga. σ = −k ⋅ y ………………………………………………………………....(288) k: Coeficiente de reacción del suelo de la subrasante (kg/cm3) Por tanto la ec. 286, se escribe, como:
d4y σ ⋅ b = E ⋅ I ⋅ 4 …………………………………………….......…..(289) dx
Sustituyendo la ec. 288 y 289, se tiene:
d4y E ⋅ I ⋅ 4 + k ⋅ y ⋅b = 0 dx
d4y E ⋅ I ⋅ 4 = −k ⋅ y ⋅ b dx
……………………………………….. (290)
……………………………………….. (291)
La ec. 291, representa la ecuación diferencial con base en la hipótesis simple de Winkler. Hetényi (1955) desarrolla en detalle la tensión general de la viga continua que se apoya sobre un medio elástico. Esta teoría supone que la reacción del medio es proporcional al desplazamiento o corrimiento que sufre el suelo en el punto considerado. La fig. 64, muestra el modelo de Winkler.
Fig. 64.- Fundación elástica simplificada – modelo de Winkler.
Criterio de rigidez relativa (fundación – suelo): La solución general de la ecuación diferencial 291, se puede expresar como:
y = [C1⋅ cos(λ ) ⋅ x + C 2 ⋅ sen(λ ) ⋅ x]⋅ e λ ⋅ x + [C 3 ⋅ cos(λ ) ⋅ x + C 4 ⋅ sen(λ ) ⋅ x]⋅ e −λ ⋅ x z z y = e − z / L C ⋅ cos + D ⋅ sen L L
4 EI L= b ⋅ k
(292)
……………………………….. (293)
1/ 4
b⋅k λ = 4 ⋅ EI
………………………………………………………………..(294) 1/ 4
………………………………………………………………..(295)
E: módulo elástico de la viga I: momento de inercia de la sección de la viga b: ancho de la viga λ: factor de amortiguación del sistema cimiento-suelo de soporte 1/λ: longitud característica o longitud elástica y constituye una medida de la interacción entre la viga y el suelo de soporte.
Si (1/λ λ) es grande, implica que una carga aplicada sobre la viga causa deflexiones de la misma hasta una distancia considerable del punto de acción de la carga (ver fig. 65).
Si (1/λ) es grande
Fig. 65.- Distribución de deflexiones y de presiones de contacto para una viga rígida
Si la longitud característica es pequeña, proviene de una combinación de viga blanda y suelo rígido (fig. 66), y el tramo de influencia de la carga es relativamente local respecto al punto de aplicación de la carga, y en cuanto a la rigidez relativa la viga se comporta como muy flexible. Para una condición intermedia de rigidez ver fig. 67.
Si la longitud característica es pequeña, proviene de una combinación de viga blanda y suelo rígido (fig. 66), y el tramo de influencia de la carga es relativamente local respecto al punto de aplicación de la carga, y en cuanto a la rigidez relativa la viga se comporta como muy flexible. Para una condición intermedia de rigidez ver fig. 67.
Si (1/λ) es pequeña combinación de viga blanda y suelo rígido Fig. 66.- Distribución de deflexiones y de presiones de contacto para condiciones muy flexibles de rigidez relativa.
Si (1/λ) intermedia
Fig. 67.- Distribución de deflexiones y de presiones de contacto para una condición intermedia de rigidez relativa.
La fig. 68, muestra la posible reacción de la subrasante para el caso de rigidez intermedia.
Fig. 68.- Distribución de esfuerzos en el suelo de fundación Para rigidez intermedia.
III.8. 1.- Criterios de Hetenyi (1946) respecto a la rigidez relativa:
Hetenyi propuso utilizar los intervalos de la relación λL que se presentan en la tabla 4 para identificar las vigas de acuerdo con su rigidez relativa. Tabla Nº 4.- Identificación de vigas de fundación de acuerdo con intervalos de la relación λL y criterios para determinar la distribución de presiones de contacto Intervalo λL
Identificació n de la viga
λ.L < π/4
Viga rígida
Criterio para la distribución de la presión de contacto Distribución lineal de π / 4 >L la presión
λ
π/4 ≤ λ.L ≤ π
λ.L > π
Viga de flexibilidad intermedia
Determinarla como viga sobre fundación elástica
Viga flexible
Determinarla como viga sobre fundación elástica
L