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• Arturo

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CAPITULO 8

Esfuerzos en una masa de suelo

En la parte II se estudiaron las fuerzas que actúan entre partículas individuales del suelo. En un suelo real, evidentemente, es imposible estudiar las fuerzas existentes en cada punto de contacto. Más bien es necesario emplear el concepto de esfuerzo· . En este capítulo se introduce "el concepto de esfuerzo tal como se aplica a los suelos, se come.ota-n los esfuerzos que existen en una masa de suelo como resultado del peso propio y por efecto de las fuerzas aplicadas y por último se muestran algunas representaciones geométricas útiles del .estado. de esfuerzos en un punto de una masa de suelo. • No eXiste"una "traducción unificada en castellano para el ténnino stress. Así, por ejemplo, en . España se emplea el equivalente tensión, junto con los tus tipos: tracción (tensüe stress), compresión.(compressive stress} y tensión tangMcial (shear stress). Por el contrario, en MHico y otros países de América del Sur se habla de esfuerzos, que pueden ser de tensión, de compresi6n y cortantes o t~ngenciales. Esta segunda fonna es la que se ha adoptado en este J.i~o ppt lo que ell.ector no habituado debení tener p~sente esta -nota para no incunir en interpretaciones equivocadas. (N~T .).

8.1 CONCEPTO DE ESFUERZO EN UN

SISTEMA DE PARTlCULAS La Fig. 8. l a muestra una pequel'ia celda. de medición hipotética (elemento A) enterrada en una masa de suelo, Imaginemos que esta celda. se ha colocado de tal fonna que I~ partículas del suelo no se han desplazado, Los Wa' gramas de la Fig. 8.1b,e, representan las caras horizontal y vertical del elemento A, con 'las partículas de suelo que . cargan sobre esas caras. Estas partículas ej.ercen general-mente fuerzas nonnales y tangenciales sobre dichas caras . Si cada ca;ra es cuadrada, de lado a, podemos definir los esfuerzQs que actúan sobre la c~lda . por

N,

11=-

•

al'

(J~

N,

= -,

a'

"T~

T. a' ·

=-

T

:r.

, - a'

donde N I1 Y Nh repreSentan respectivamente las fuerzas nonnales en direq, ..

o

'/1/ / / 1/ / / / /

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1

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0.40 1

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2

---

-z Ji

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1\ 1\

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/ 0.30

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V

\

V

1

\

/ 1/

1 ..

/ V

./

0.1' 3

V

V

I

V

-

0.10

4

/ - -

I V y

1

~

--

/

-

./

--- 1

-

-

-

1

Fig. 8 .4. E!¡fuerzos vertieale5 producidos una superficie circu lar.

por una

,/ 0,05

-j

..

-

c~rg .. uniforme' sobnl

•

La obtención de la solución elástica para unas determinadas cargas y condiciones de contorno o fronte ra es bas'" tante tediosa. En este libro no nos interesa la forma de obtener) estas soluciones, sino más bién, la forma de emplearlas', En este capítulo se incluyen varias soluciones en forma gráfica. Carga uniforme sobre una superUcie circular. Las Figs. 8.4 y 8.5 dan los esfuerzos producidos por una presión normal uniformemente repartida !u¡. que actúa sobre UDa superficie circular de radio R en la superficie de un semi-

espacio elásticoJ . E~os esfuerzos deben añadirse a los esfuerzos 'geostáticos iniciales. La Fig. 8.4 proporciona los

~ En general, los esfuerzos calculados a partir de la teoría de la elastici4ad son funcion es de! coeficiente de Poisson}L. Esta magni· tud se 4efinirá en el capítulo 12. Sin embargo, los esfuerzOS verticales debidos a los esfuerzos normales aplicados en superficie son siem· pre independientes de)J, así como los esfuerzos originados por una carga en faja. Por ello, de los gráficos representados en este capítulo sólo,lo.s de la Fig. 8.5 dependen de ¡.¡ Y corresponden a JL = 0.45.

~I

~I i

1"

.\ 1\

c-...r" '1" \ 1\ 1\ \

N

1 1

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1'\

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H~~\~\*

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H . i

1

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1 11 1 1

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1 ..¡ji I

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1

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I

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1

l'

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l',

1'\

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\

\

' 1\

~

r"lr

~

I ~

2,5

3

4

5678910 1.0

"'"

o., 0.8

0.7 0.6 0.5

4.01+-H-\-++-1

0.4

•

0.3 ... 025

•

0.2

0.15

0.1.0 0.1

0.2

0.15

0.25

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7 0.8 0.9 1.0 ro on

1.5

2

2.5

3

4

5678910

(a)

Presi6n uniforme := !Jq,

~

A (b)

Fig. 8.6. al Abato para la determinación de eifuerzos ve rticales bajo las esquinas de una superficie rectangular con carga uniforme en un materiel elástico e is6tropo. Del ábaco $6 obtiene f(m,nl. b) Para el punto A, 60v = lI.Q~ X '(m,nJ. ¡Según Newmark, 1942).

~

118

El suelo seco

esfuerzos verticales. El significado de .60', Y .6.0'3, dados en la Fig. 8.5, se comentará en la sección 8.4. Por el momento basta con saber que, a lo largo del eje vertical.

El ejemplo 8.2 muestra el empleo de estos ábacos . Los esfuerzos provocados por una carga superficial deben afia· diese a los esfuerzos geostáticos con objeto de obtener los esfuerzos finales después de aplicar la carga. Las figuras como las indicadas dan una idea de cómo se distribuyen los esfuerzos en una masa de suelo. Por ejemplo, la zona situada bajo la superficie cargada, donde los esfuerzos verticales son más importantes, se suele denominar frecuentemente "bulbo de esfuerzos". Para una superficie circular cargada, los esfuerzos verticales son menores de 0.15 6/¡, a una profundidad de 3R y menores de O.lO!u¡s a una profundidad de 4R. Generabnente se considera que el bulbo de esfuerzos corresponde al volumen comprendido dentro del contorno correspondiente a 0.1 .6. q. aunque esta elección es totabnente arbitraria. Carga unifonne sobre una superficie rectangular. El gráfico de la Fig. 8.6 puede emplearse para obtener los esfuerzos verticales bajo la esquina de una superficie rectangular cargada. El ejemplo 8.3 muestra la forma de emplear este gráfico para obtener los esfuerzos en puntos no situados bajo la. esquina de la superficie cargada. Los problemas que comprenden cargas superficiales no reparti· das uniformemente o distribuidas sobre una superficie de fonna irregular pueden resolverse dividiendo la carga en partes que contengan cargas uniformemente repartidas sobre superficies rectangulares. Cargas en faja. Las Figs. 8.7 y 8.8 dan los esfuerzos producidos por cargas en faja; es decir, cargas que son infmitamente largas en la dirección nonnal al plano de la figura. Se recogen dos casos: carga unifonnemente repartida y carga en faja de forma triangular. Análogamente, .6.-0', == .6.O't> Y .6.03 = .6.oh a lo largo del eje ,vertical. Otras soluciones. También se dispone de gráficos para otros casos de carga en medios elásticos eslratificados y en terrenos elásticos rígidos en dirección horiwntal pero defonnables en dirección vertical. Con un computador digital, el ingeniero puede obtener fácilmente las distribuciones elásticas de esfuerzo para cualquier tipo de carga y condiciones de contorno. Gráficos como los aquí recogi: dos resultan útiles para el estudio preliminar de )..1n problema o cuando no se dispone de un computador.

• Fj empl. 8.2

Datos: Se tiene un suelo con 'Y = 1.70 ton/m3 y Ka = 0.5. cargado con &J, = 25 ton/m 2 sobre una superficie circular de 6 m de diámetro. Problenuz: Calcular los esfuerzos vertical y horizontal a una profundidad de :1 m· bajo el centro. Soludan: Esfuerzo

Esfueno

vertical

horizontal (ton/m2 )

(ton/m 2 )

Esfuerzos iniciales

~,z=

-yz = 5.10

Fig.8.4 Incrementos de esfuerzos (0.64)(25) = 16.00 21.10 Esfuerzos

Fig.8.5b (0.10)(25)= 250 5.05

finales

.. Ejemplo 8.3

Datos: El esquema de carga representado en la Fig. ES.3-1. Problema: Calcular el esfuerzo fo'ertical a una profundidad de 3 m bajo el punto A. Soludón: La carga dada es equivale~te: a la suma de los 4 rectángulos de carga que aparecen en· la Fig. ES.3-2 Caso de carga

1

11 111 lV

m

n

CoefiCiente

1.5 2 15 05

2 0.5 0.5 0.5

0.223 0.135 0.13 1 0.085

In

4.5 m

+1

+

6.

-1

,,,,,,,.7

-.J1.5m , - - - ----, 1.5 m Il/¡, - 5 tonlm 2

3m

A

['5. + Descafga

6. Fig. E8.3-2.

1.115 -Q.675 -Q.655 0.425

A

4.5 m

A

Aov - lon/m 2

0.2~O

Fig. ES.3-1

1

2.55

1.5m A W

-1

1.5m A

4.5 m

+

In fl.sm

ton/m2

.

Esfuerz.os en una masa de suelo

,

, 4

2

~v ~ 0.4~

~

\

V

V

4 60'1. 03

"""

6 ....

..

4

03_

\

z

2

0.5_

...

a

x a

~~~"" 4J:-o~~

. 2

¡"""

(~i~ 1\ I

119

.. _.

.

/ / 1

,

/

Fig. 8.7. Esfuerzos principales bajo una carga rect¡¡ngul8r de longitud infinit¡¡o

Exactitud de los valores calculados para los esfuerzos inducidos. Se plantea la cuestión crítica ·de la exactitud de Jos valores calculados a. partir de las teorías de distribución de- esfuerzos. Esta cuestión puede resolverse únicamente si se comparan los valores calculados con los incrementos de esfuerzos reales deducidos de una serie de casos prácticos. Desgraciadamente, existen escasas series de medidas fidedignas de los incrementos de esfuerzos en una masa de suelo (ver-Taylor, 1945 y Tumbull, Maxwell y Ahlvin, 1961). ,. las comparaciones, relativame.nte escasas, entre los increment.os· de esfuerzo calculados y medidos indican ' una concordancia sorprendentemente buena, en especial en el caso de los esfuerzos verticales. Se requiere un gran número de comparaciones de este tipo para establecer el grado de precisión de los incrementos de esfuerzos calculados. En la fase actual de conocimientos, el illgeniero debe continuar empleando las distribuciones de esfuerzos basadas en la teoría de la elasticidad, a falta de. método~ inejores. Debe tener presente sin embargo que los valores así calculados pueden adolecer de un error del ± 2S % o superior. 8.4 ESFUERZOS PRINCIPALES Y CIRCULO DE MOHR

Como en cualquier otro material, el esfuerzo nonnal en un punto situado en el interior de una masa de suelo

suele ser una función de la orientación del plano elegido para defUlir dicho esfuerzo. Carece de significado hablar del esfuerzo nonnal o del esfuerzo tangencial en un punto. Por esta razón, generabnente se añaden subíndices a los símbolos o y 'T para especificar la fonna en que se derUlen estos esfuerzos. Con mayor generalidad, por supuesto, deberíamos hablar del tensor de esfuerzos que proporciona una descripción completa. del estado de esfuerzos en un punto . Este tema se comenta en los textos de mecánica elemental, como el de Crandall y Dahl (1959). Los siguientés párrafos establecerán los conceptos y definiciones esenCiales. Esfuerzos principales En cualquier punto sometido a esfuerzos existen 3 planos ortogonales (es decir, perpendiculares entre sí) en los cuales los esfuerzos tangenciales son nulos. Estos planos se denominan planos principales. Los esfu·erzos nonnales que actúan sobre estos tres planos se denominan esfuerzos principales. El más grande de estos tres esfuerzos principales se denomina esfuerzo principal mayor al ; el más pequeilo es el esfuerzo pn·ncipal menor o] y el tercero es el esfuerzo principal intermedio 2 _ Cuando los esfuerzos en el terreno son geostáticos, el plano horizontal que pasa por un determinado punto es un plano principal al igual que todos los planos verticales a través de dicho punto. Cuando K < 1, Ov = 0"1 , O"h =a3 ,

°

120

El suelo seco

,

•

-%

•

2 0.7

•

; ·etc.. (ver1la Fig. E8 .6·3),

D_+'-_ +_LD Fig. E8.6·3

Resolución por medio de ·ecuaciones. l. Se parte del hecho de que la suma de esfuerzos normales ,es constante

.,- ~~.;¡a2.., ~~4L:+:¡-e.2 = 3 kg/cm2 2

Esfuerzos en una masa de suelo 2. Se emplea la relación

(",~",)

-

[ ".

-

"' + ( - -2-

a,)], +

[.,.,]2

con cualquier par de esfuerzos conocido.

('1 ~ (1a) =~[2 3

", --

("' + -2-

3J1

+ 11 =V2==

a,) + ("' -a,) --2-

a,) - ("'- 2- -a,)

"' 2 +(-

. !?'3 =

1.414kg/ cm'l

= 1.586 kg/cm 2

4 .. Se elige el par de esfuerzos para el cual (] ti sea mayor ; es decir (4,-1). 2,., - 2 sen 29 = - - _ - _ = -0.707 (11 - (1a 2.828

29. = _ 45

G

8_ -2W 5. El ángulo que fonna la dirección del esfuerzo principal mayor con la horizontal 0 • es = 300 - 8 = 52.'5 .... ... Ejemplo 8.7

Datos. Se tiene una carga de 25 ton/ ro2 uniformemente repartida' sobre una superficie circular de_30. m. de radio. Problema. Para una profundidad de 30 m bajo el borde de la superficie cargada, calcular el incremento del esfuerzo· horizontal y las' direcciones' de -los incrementos :dé los esfuerzos principales mayor y menor. Solución. Pueden utilizarse las Figs. 8.4 y 8.5 para obtener ~ a ti , ~ (] I , Y ~ q 3. Representando estos incrementos se construye el círculo de Mohr. El polo se localiza trazando' una horizontal por el punto que representa el esfuerzo vertical, resolviéndose así el problema.

~ '.

,

Esfuerzos sobr. un plano V¡rtiC'I,.......-

,. ", i

..... ,

O

~

-2,5

!

...

\ , 4",

~

Di:tci6n de /Jo)

-,

~

1J.11¡' - ) 3;81

,/ /" ~0, /" ___.

2.'

,

/ irtcl:ión

. d.~

Esfuerzos so· bre un plano ho-nzon,,1 (llo. ~

"

Fig. ES.7.

Pregunta para el alumno. Para la construcción del diagrama ha sido necesario suponer que el esfuerzo tangencial era negativo sobre el plano horizontal. Una forma de comprobar esta hipótesis es viendo si las direcciones de los incrementos de los esfuer· zos principales son razonables. ¿Lo son? ....

125

126

El suelo seco ... Ejemplo 8.8 Representar en un diagrama p - q los estados de esfuerzos correspondientes a los ejemplos 8.4 a 8.6. Solución: Ver la Fig. E8.8.

,

I

'.6

,

'.5

O

,

,O

.

I

1'·'

I

,I

I

, p = ("~~"")=(I~a3)

, I

4

(kt'em')

Fig:E8.B.

8.6 TRAYECTORIAS DE l:SFUERZOS Frecuenteme~te se desea . representar los sucesivos estados de esfuerzos que existen .en una muestr~ de suelo al cargarla. Una fonna de hacer esto es trazar una serie de círculos de Mohr. Por ejemplo, la Fig. 8.1Oa muestra estados sucesivos al incrementar (11, manteniendo . conStante (13_ Sin embargo, un diagrama con muchos círculos puede resultar bastante confuso, en especial si se representan sobre un nUsmo diagrama los re.sultados de diversas pruebas. Un método más satisfactorio consiste en .representar una serie de puntos (p.q) uniéndolos mediante una curva (8.lOb). E..'1a línea se denomina trayecrOria"de esfuerzos. Al igual que un círculo de Mohr o un punto (p-q) representan un estado de esfuerzos, una trayectoria de esfuer·

ZaS proporciona una representación continua de sucesivos est ados de esfúerzos6 . la Fig. 8.1 1 muestra diversas trayectorias de esfuerzos cuyo empleo resultará interesante . en los capítulos siguientes. En la Fig. 8.1 1a aparecen trayectorias de esfuerzos que parten de un estado paca el cual (l ~ = ah. Este es un estado inicial común en muchos tipos de pruebas de laborat orio. A partir .de este estado inicial, se suele variar en general 0u y ah en la misma magnitud (.ll o., = II (lit), o se hace variar uno de los esfuerzos principales mientras que el

6 I:.o$ l~rminO$ historia de esfuenos y cw'\Io vec torial se utilizan también para indicar las curvas que representan sucesivos estados de esfuerzo, aunque las deHnicionts de e~as curvas son algo diferentes.

q E D

Trayectoria di esfuerzos

E

B A

(o)

p

(b)

Fig. 8.10. Representación de sucesivos estados de esfuerzO!! al aumentar al manteniendo constante a3. Los puntos A. 8, etc., representcln idén tiCOS estados en amboS diagramas. a) C(rcul05 de·Moh r . b) Oiagramap·Q.

Esfuenos en una masa de suelo

otro se mantiene constante lLl (J positivo mientras a Oh = O, Ó .ó. ah negativo para D. ou = O). Por supuesto son posibles muchas otras trayectorias; pueden incrementarse si· multáneamente A 01 Y ¿la) de fanna que .::103 = 6.01 /4. Un estado inicial más común e~ que tanto (JI) como Oh sean mayores que cero, pero al) .p.Oh. La parte (b) de la Fig. S .ll muestra varias trayectorias de esfuerzos que parten de un estado inicial de este tipo. También tienen interés los estados de carga que parten _ de (] I = o) = O Y en los cuales (] I Y 03 aumentan de manera constante (Hg. 8.l1c). Para este tipo de carga

q AO'II'" - ACTo

40'">0 D 1 CI'ArlIl = O

B,6UIt = *40""

I - K -Pq =--1 +K

q

(8.10)

donde K es el coeficiente de presión o esfuerzo lateral ya detmido '¡m la sección 8.2. La trayectoria de esfuerzos K 1 corresponde a la compresión isótropa, sin esfuerzos tangenciales. La trayectoria Ko indica la forma en que aumentan los esfuerzos en un suelo normalmente consolidado durante el proceso de sedimentación. La pendiente de la trayectoria Ko se designa por 13; es decir, para un est ado de carga Ko

p

(b)

127

(8.11)

q

Combinando las ecuaciones 8.10 y 8.11 se tiene l - tan¡3 K, = 1 tan ~

+

Estado. de carga con

Ko

Uh/Uu'"X

(8. 12)

Una trayectoria de esfuerzos no tiene por qué ser una r~cta .. ror .Jt~m:Rlo, podemos obligar a que los esfuerzos se

p

(o)

bl

travectonas'

de esfuerzoS', 'sI lñicialmeñte Inicialmente (1t1>Oh .> O. el In icialmente 011=

Fig. S',11. EjemplOs 'de au=ah. Oh = 0.

apliquen de fonna que.6. au = -+ (A ah)2. Una trayectoria de esfuerzos puede estar fonnada por una serie de t ramos rectos unidos. Dos estados de carga cliferentes pueden seguir la misma curva en el plano p-q, pero uno de ellos puede corresponder a esfuerzos crecientes y el otro a es· fuerzos decrecientes. Para evitar cualquier ambigüedad, las trayectorias de esfuerzos deben llevar una punta de flecha para indicar el sentido de la c~a.

... Ejemplo 8.9 ~tOI. Condiciones de carga y terreno representados en la Fig. E8.9-1.

Problema. Obtener la trayéctoria de esfuerzos de los puntOs A a H .

Solución: Utilícense las Figs. 8.4 y 8.5 pata calcular los· esfuetzc5S". Las' trayectorias de esfuerzos se dan en la tabla siguiente y en la Fig. ES.9·2.

..

(Tabl~ del Ejemplo 8.9)

Inicial . Punto

A B

e

D

E F G' H

", 15.4 31.0 46.5 62.0 93 .0 124.0 -154.5 185.5

", 6.1 12.4 18.6 24.8 37.2 49.6 61.8 74.2

Inezementes p

10.7 2l.7 32.5 43.4 65.1 86.8 108.2 129.8-

~. 4 .6 9.3 13.9 18.6 27 .9 37.2 46.3 55.6

Final

!J..f1"

~",

",

",

p

q

26.0 22.5. 17.6 13.4 7.9 5.0 3.4 2.4

13.8 6.4 2.9 1.3 0.3 0 .1

' 41.4 53.5 64.1 75.4 100.9 129.0 157.9 187.9

19.9 18.8 21.5 26. 1 37.5 49.7 61.8 74.2

30.6 36.1 42.8 50.7 69.2 89.3 109.8 131.1

10.7 17.3 21.3 24.6 31.7 39.6

o o

48.5 56.8

• Las pequeñas difezencias que pueda encentm el lector, se debe!). a enores de redondee en la transfonnación de unidades. (N.T.).

128

El suelo seco

Depósito Oi6metro _ 45 m Altur, _ 40 m 4 q. '" 25 ton/mI

I A~ 7.50

\

B ¿ 15.00

C~ 22.50

.

•

•

I I•,

~ o

"u -

E6 45.oo

¡-.!

I

~ •

. I

I

I

1\

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