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CAPITULO IV RESPUESTA EN EL TIEMPO 4.1. INTRODUCCIÓN En un circuito eléctrico, además de las fuentes y de los resistores, hay elementos dinámicos, es decir, capacitores e inductores. Cuando el circuito tiene tales elementos se dice que es dinámico y las variables circuitales a determinar son: el voltaje en el capacitor en todo instante y la corriente en el inductor en todo instante. Desde el punto de vista sistémico, analizar un circuito consiste en determinar los voltajes en los capacitores y las corrientes en los inductores para t>0, conocidos dichos valores en el instante en que se aplica la excitación: t=0.

+ vi(t) -

Circuito RLC

+ vo(t) -

Figura 4-1 Para analizar el circuito es necesario conocer cabalmente las leyes de Kirchhoff y los principios eléctricos que relacionan a la corriente y el voltaje en los tres elementos. Precisamente, al plantear las leyes y principios en un circuito que tenga n elementos dinámicos, resulta un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes. A partir del sistema de n ecuaciones de primer orden resulta una ecuación diferencial de orden n con coeficientes constantes que se resuelve usando las diferentes técnicas estudiadas en el curso de ecuaciones diferenciales. Puesto que la excitación al circuito se aplica, normalmente, en el instante: t=0, es necesario conocer los voltajes en los capacitores y las corrientes en los inductores en el instante: t=0-. 4.2. CIRCUITOS RC Solución ante cualquier excitación En su forma más simple, un circuito RC es el que se muestra en la figura 4-2 La excitación es la fuente de voltaje vs (t ) y la variable a medir es el voltaje en el capacitor en todo instante: v(t ) . Supongamos que en el instante: t=0- el capacitor tiene un voltaje inicial: vi. Al cerrar el interruptor, se establece una corriente en el circuito y aparece un voltaje: v(t) en el capacitor. Planteando la ley de Kirchhoff para voltajes en el circuito de la figura 4-2b, se obtiene: 111

R + vs(t) -

R

t =0 + v(t) -

+ v(t) -

+ vs(t) -

Figura 4-2a

Figura 4-2b

Ri(t ) + v(t ) = v s (t ) Sin embargo, puesto que la corriente que circula por el resistor es la misma que en el capacitor, se aplica la correspondiente relación funcional, a saber:

i (t ) = C

d v(t ) dt

Sustituyendo la corriente en la primera ecuación se obtiene:

RC

d v(t ) + v(t ) = vs (t ) dt

La ecuación anterior es una ecuación diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes, la cual se puede escribir en la forma:

v (t ) d 1 v(t ) + v(t ) = s dt t t

t = RC

t: es la constante de tiempo del sistema y se expresa en segundos. Con base en los estudiado en ecuaciones diferenciales, la solución general de la ecuación diferencial es la siguiente: -t

v(t ) = Ke

t

-t

+e

t

òe

t

t

v s (t )

t

dt

La primera parte de la derecha de la ecuación anterior es la solución complementaria y la otra es la solución particular que depende de la excitación.

112

Excitación escalón Supongamos que la fuente es un escalón de magnitud: E, es decir: vs(t)=Eu(t). En tal caso, después de hacer la integral, se obtiene que el voltaje en el capacitor en todo instante viene dado por: -t

v(t) = Cet + E

t>0

Al aplicar la condición inicial se obtiene: -t é ù v(t ) = ê E + (vi - E )e t úu (t ) ë û

Analizando la expresión anterior se observa que cuando el tiempo se hace muy grande, aproximadamente cinco veces la constante de tiempo, el voltaje en el capacitor tiende al voltaje de la fuente, es decir, el voltaje final en el capacitor es:V f = E . Lo anterior significa que después de mucho tiempo el capacitor se comporta como un circuito abierto. A menudo, se acostumbra escribir el voltaje en el capacitor en todo instante, así: -t é ù t v(t) = êv f + (vi - v f )e úu(t) êë úû

Gráficamente pueden presentarse dos situaciones, a saber: a) El voltaje inicial es menor que el voltaje final. Figura 4-3a b) El voltaje inicial es mayor que el voltaje final. Figura 4-3b

vf

vi

vi

vf 0

1t 2t 3t 4t 5t Figura 4-3a

0

1t 2t 3t 4t 5t Figura 4-3b

Cuando el capacitor está inicialmente descargado, el voltaje inicial es cero y en consecuencia, la respuesta el escalón: vs (t ) = Eu (t ) viene dada por:

113

-t æ v(t ) = E çç1 - e t è

ö ÷u (t ) ÷ ø

Respuesta natural del circuito RC Tal como se estudió en el primer capítulo, la respuesta natural del sistema es la que se obtiene cuando la excitación es la función impulso unitario. A partir de la respuesta al escalón unitario se encuentra que la respuesta natural del circuito RC está dada por:

v n (t ) =

1

t

-t

e t u (t )

A partir de la respuesta natural se puede encontrar la respuesta ante cualquier excitación: vs (t ) usando la integral de convolución, así: t

t

0

0

v ( t ) = conv ( v n ( t ), v s ( t )) = ò v n ( x ) × v s ( t - x ) × dx = ò v n ( t - x ) × v s ( x ) × dx Ejemplo 4.1 a) Determine la respuesta natural del circuito de la figura 4.2. sabiendo que la constante de tiempo es igual a la unidad. Represente gráficamente. b) Determine la respuesta si la excitación es un pulso rectangular de dos voltios de altura y dos segundos de ancho y represente gráficamente. c) Determine la respuesta a la excitación vs (t ) = sen(t )ut ) y represente gráficamente. Solución a) La respuesta al impulso unitario, en todos los casos, es la siguiente:

v n (t ) =

1

t

-t

e t u (t )

Si la constante de tiempo es la unidad, se tiene:

v n (t ) = e - t u (t ) La figura 4-4a muestra la respuesta natural del circuito. 114

b) La respuesta al escalón unitario es la integral de la respuesta al impulso, esto es, si denotamos por: ye(t) a la respuesta al escalón, se tiene:

(

)

y e (t ) = 1 - e -t u (t ) Ahora bien, la excitación en este caso se puede expresar en la forma:

vs (t ) = 2(u (t ) - u (t - 2)) Aplicando las propiedades de los sistemas lineales invariantes, se obtiene que la respuesta al pulso rectangular viene dada por:

[(

)

(

)

v(t ) = 2( ye (t ) - ye (t - 2) ) = 2 1 - e - t u (t ) - 1 - e - (t - 2 ) u (t - 2)

]

La figura 4-4b ilustra la gráfica correspondiente. b) Para determinar la respuesta a la señal senoidal usamos la integral de convolución, así: t v(t ) = é ò e- ( t - x ) sen( x) dx ùu (t ) êë 0 úû

Respuesta natural

Respuesta al pulso rectangular

vn(t)

v(t)

0

1

2

3

4

5

0

1

2 t

t Figura 4-4a

3

4

5

Figura 4-4b

Resolviendo la integral, se obtiene:

v(t ) =

(

)

1 -t e + sen(t ) - cos(t ) u (t ) 2

La figura 4-5 muestra la representación gráfica de la respuesta a la señal seno.

115

Respuesta a la señal sen(t) 1

v( t )

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 0

t

10

Figura 4-5

4.3. CIRCUITOS RL Respuesta ante cualquier excitación En su forma más simple, un circuito RL consiste de una fuente de voltaje (excitación), un resistor y un inductor conectados en serie tal como lo ilustra la figura 4-6 La variable a medir es la corriente en el inductor en todo instante: i(t). Supongamos que en el instante en que se conecta la fuente el inductor tiene una corriente inicial: i(0-)=Ii. Al conectar la fuente se establece una corriente en el circuito, la cual es justamente la corriente en el inductor. En cualquier instante: t>0, se verifica la ley de Kirchhoff para voltajes, así: d Ri (t ) + L i (t ) = vs (t ) dt La ecuación diferencial obtenida se puede escribir en la forma:

d R v (t ) i (t ) + i (t ) = s dt L L

t=

v (t ) d 1 i (t ) + i (t ) = s dt t R ×t

L R

R + vs(t) -

t=0

Figura 4-6a

R + vs(t) -

i(t)

Figura 4-6b 116

De manera similar al caso del capacitor, la solución de la ecuación diferencial obtenida es la siguiente: -t

i (t ) = Ke

-t

+e

t

t

òe

t

t

v s (t ) dt Rt

En la expresión anterior, K es una constante arbitraria y t es la constante de tiempo del circuito. Respuesta al escalón Supongamos que la excitación es de la forma: vs (t ) = Eu (t ) . Al efectuar la integral, se obtiene la solución general, así: -t

i(t ) = Ke

t

-t

t

t

t

-t

E E +e òe dt = Ke t + Rt R

Evaluando la constante, se encuentra que la corriente en el inductor en todo instante está dada por: -t -t ù E æ Eö t é i (t ) = + ç I i - ÷e = ê I f + (I i - I f )e t úu (t ) R è Rø êë úû

If =

E R

Puede notarse la analogía en el comportamiento de la corriente en el inductor con el voltaje en el capacitor. Observe que, después de mucho tiempo (cinco constantes de tiempo), la corriente en el inductor alcanza su valor final. Lo anterior significa que cuando la excitación es un escalón de magnitud: E, el inductor se comporta como un cortocircuito después de cinco constantes de tiempo. Gráficamente, las situaciones planteadas para el circuito RC en lo referente al voltaje en el capacitor son similares a lo que se presenta para la corriente en un inductor. Respuesta natural Siguiendo los mismos delineamientos presentados para el voltaje en el capacitor, la respuesta natural de un circuito RL es la que se obtiene cuando la excitación es el impulso unitario y el inductor está inicialmente sin energía. Puede verificarse que la respuesta natural para la corriente en un inductor está dada por:

in (t ) =

1

t

-t

e t u (t )

De igual forma, la respuesta ante cualquier excitación: vs (t ) se encuentra mediante la convolución entre la excitación y la respuesta natural, así: t

t

0

0

i (t ) = conv(vs (t ), in (t ) ) = ò v ( x)in (t - x) dx = ò v (t - x)in ( x) dx 117

Ejemplo 4.2 Un circuito serie RL, con una constante de tiempo igual a un segundo y un resistor de un ohmio, se somete a una fuente de voltaje: vs(t). Determine la corriente en el inductor en todo instante y represente gráficamente si la excitación está dada por: a) vs (t ) = 10(u (t ) - u (t - 5) )

b) vs (t ) = 10e - t cos(t )u (t )

Solución a) Si denotamos por: ie (t ) a la respuesta al escalón unitario y con base en las propiedades de los sistemas lineales invariantes, la respuesta del sistema es:

ie (t ) = 10(1 - e-t )u (t )

i (t ) = 10(ie (t ) - i(t - 5) )

b) En este caso es necesario aplicar la integral de convolución entre la excitación y la respuesta natural. El estudiante puede verificar que la respuesta natural en esta caso está dada por:

i n (t ) = e -t u (t ) En consecuencia, la respuesta del circuito en este caso es: t t i (t ) = ò e - (t - x )10e - x cos( x)dx = æç e - t ò e x10e - x cos( x)dx ö÷u (t ) 0 0 è ø

La respuesta del sistema se puede escribir como:

i(t ) = 10e - t sen(t )u (t ) Respuesta a e-t cos(t)

Respuesta al pulso rectangular Gráfica de i(t)

15 15

5

Gráfica de i(t) 5 4

10

3

i( t )

i( t )

2 5

1 0

0 0

0 0

2

4

6 t

Figura 4-7a

8

10 10

0

0 0

1

2

3 t

4

5 5

Figura 4-7b 118

4.4. CIRCUITOS RLC Introducción Como su nombre lo indica, un circuito RLC es el que tiene los tres tipos de elementos y analizarlo consiste en determinar los voltajes en los capacitores y las corrientes en los inductores. Para llevar a cabo el análisis es necesario conocer las condiciones iniciales, es decir, los voltajes en los capacitores y las corrientes en los inductores en el instante previo a la conexión de la fuente de alimentación. Con el objetivo de facilitar la comprensión del tema, empezaremos estudiando la topología de la figura 4.8. R + vs(t) -

L

R

t=0

L i(t)

+ vs(t) -

C

Figura 4-8a

C

+ v(t) -

Figura 4-8b

Circuito RLC serie Supongamos que en el instante de conectar la fuente el capacitor tiene un voltaje inicial: Vi y el inductor tiene una corriente inicial: Ii . Si la fuente de voltaje no es de tipo impulsiva, las condiciones iniciales son válidas en t=0+. Al aplicar la ley de Kirchhoff para t>0 y teniendo en cuenta las relaciones funcionales en los elementos en el circuito de la figura 4.8.b., se encuentra el siguiente sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden:

Ri(t ) + L

d i(t ) + v(t ) = v s (t ) dt

i (t ) = C

d v(t ) dt

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera, obtenemos una ecuación diferencial de segundo orden cuya variable es el voltaje, así:

LC

d2 d v ( t ) + RC v(t ) + v(t ) = vs (t ) dt 2 dt

Hacemos las siguientes definiciones que son comunes a todos los circuitos de segundo orden: Frecuencia natural del sistema: w n = 2

1 LC

Amortiguamiento del sistema: a = R / 2 L 119

Con las anteriores definiciones, podemos escribir la ecuación diferencial del sistema de la siguiente manera: 2 2 D 2 + 2 × a × D + w n × v(t ) = w n × vs (t )

(

)

La ecuación obtenida es la conocida ecuación de oscilaciones. Tanto el amortiguamiento como la frecuencia natural de oscilación se miden en radianes/segundos. Para resolver la ecuación diferencial es necesario conocer las condiciones iniciales, esto es, conocer el voltaje en el capacitor en t = 0 + y la derivada de dicho voltaje en el mismo instante. Con base en el enunciado, conocemos que: v(0+) = vi . Para hallar la otra condición inicial, analizamos el circuito en t = 0 + , así: Puesto que la corriente y el voltaje están relacionados, en todo instante, por la ecuación: i (t ) = CDv(t ) , en el instante: t = 0 + , se encuentra que: Dv(0+ ) =

i (0 + ) I i = C C

Con lo anterior se conforma el problema de valor inicial siguiente:

(D

2

)

+ 2aD + w n v(t ) = w n vs (t ) 2

2

v ( 0 ) = Vi

Dv( 0) =

Ii C

Una definición importante, antes de resolver el problema de valor inicial, es la del coeficiente de amortiguamiento, el cual se define como: z=

a wn

Como puede verse, el coeficiente de amortiguamiento es el cociente entre el amortiguamiento del sistema y la frecuencia natural de oscilación. Según se estudiará mas adelante, el coeficiente de amortiguamiento es el responsable de la repuesta natural del sistema. Con base en la definición del coeficiente de amortiguamiento, la ecuación diferencial se puede escribir en la forma siguiente:

(D

2

)

+ 2 zw n D + w n v(t ) = w n v s (t ) 2

2

Para resolver el problema de valor inicial planteado debemos, en primer lugar, determinar la solución complementaria a partir de la ecuación característica, así:

(m

2

+ 2 zw n m + w n

2

)= 0

Las raíces de la ecuación característica son:

m1 = - zw n - w n z 2 - 1

m 2 = - zw n + w n z 2 - 1

De acuerdo con los posibles valores de z, se presentan tres posibilidades, así: 120

1) Para z > 1 las raíces son reales y diferentes. En este caso se dice que el sistema es de tipo sobreamortiguado y la solución complementaria es la siguiente:

v c (t ) = K 1e -w n ×(z +

)

+ K 2 e -w n ×(z -

z 2 -1 t

)

z 2 -1 t

2) Para z = 1 las raíces son iguales. En este caso se dice que el sistema es críticamente amortiguado y la solución complementaria es la siguiente:

v c ( t ) = K 1 e - z ×w n t + K 2 te - z ×w n t 3) Para z < 1 las raíces son complejas conjugadas. En este caso el sistema es subamortiguado y la solución complementaria es la siguiente:

vc (t ) = e- z×wnt (K1 cos(wd t ) + K2 sen(wd t )

wd = wn 1 - z2

wd es la seudofrecuencia de oscilación del circuito. La solución complementaria se puede escribir de la siguiente manera:

vc (t ) = A× e-z×wn ×t × cos(wd × t - Q)

2

A = K1 + K 2

æK ö Q = atanç 2 ÷ è K1 ø

2

Respuesta al escalón y repuesta natural Suponiendo que la excitación es un escalón de magnitud: E, la ecuación diferencial del circuito se puede escribir en la forma:

(D

2

)

+ 2 zw n D + w n v(t ) = w n E 2

2

El estudiante debe saber que la solución particular en esta caso es: v p (t ) = E , con lo que la solución general es la suma de la complementaria y la particular, así: Para movimiento sobreamortiguado

v(t ) = E + K 1e -w n (z +

)

z 2 -1 t

+ K 2 e -w n (z -

)

z 2 -1 t

Las constantes de la solución general se determinan a partir de las condiciones iniciales, así:

v(t) = E + K1em1t + K2em2t

(

m1 = -w n z - z 2 - 1

)

(

m2 = -w n z + z 2 - 1

) 121

Dv(t ) = m1 K1e m1t + m2 K 2 e m2t Evaluando en t=0, se obtiene:

K 1 + K 2 = Vi - E K1 =

- m2 (Vi - E ) + m1 m1 - m2

Ii C

m1K1 + m2 K 2 = K2 =

Ii C

m1 (Vi - E ) m1 - m2

Ii C

Cuando el sistema está inicialmente en reposo, esto es, las condiciones iniciales en los elementos son iguales a cero, se tiene: - m1E m2 E K1 = K1 = m1 - m2 m1 - m2 En consecuencia, el voltaje en el capacitor en todo instante viene dado por:

æ mE - m1E m2 ×t ö v(t) = çç E + 2 em1 ×t + e ÷÷u(t) m1 - m2 m1 - m2 è ø æ ö m2 m1 v(t) = Eçç1 + em1 ×t em2 ×t ÷÷u(t) m1 - m2 è m1 - m2 ø En cuanto a la corriente en el inductor, se encuentra que:

i (t ) = C

d v(t ) dt

i(t ) = CE

m1 × m 2 m1 ×t e - e m2 ×t u (t ) m1 - m 2

(

)

Con base en lo desarrollado hasta el momento podemos concluir que cuando un circuito RLC serie, inicialmente en reposo, se somete a una excitación escalón unitario y el sistema es de tipo sobreamortiguado (z>1), las variables circuitales están dadas por: a) Voltaje en el capacitor en todo instante:

æ ö m2 m1 v (t ) = çç 1 + × e m1 × t × e m 2 ×t ÷÷ × u (t ) m1 - m 2 m1 - m 2 è ø b) Corriente en el inductor en todo instante:

122

i(t ) = C

(

)

m1 m 2 e m1t - e m2t u (t ) m1 - m2

Es importante recordar que las raíces de la ecuación característica están dadas por:

(

m1 = -w n z + z 2 - 1

)

(

m2 = -w n z - z 2 - 1

)

z >1

Finalmente, puesto que la respuesta natural es la derivada de la respuesta al escalón, encontramos: a) Respuesta natural del capacitor:

v n (t ) =

(

)

m1 m2 e m2t - e m1t u (t ) m1 - m2

b) Respuesta natural del inductor:

i n (t ) = C

(

)

m1 m 2 m1e m1t - m 2 e m2t u (t ) m1 - m2

Ejemplo 4.3 Un circuito RLC serie presenta los siguientes datos: R=3 Ohmios, L=1 Henrios y C=0.5 Faradios. Determine las respuestas del capacitor y del inductor ante las excitaciones: escalón unitario e impulso unitario y represente gráficamente. Suponga que el sistema está inicialmente en reposo. Solución Con base en lo estudiado, la ecuación diferencial del sistema es:

(D

2

)

+ 3D + 2 = 2vs (t )

a=

3 2

wn = 2

Las raíces de la ecuación característica son:

m1 = -2

m2 = -1

La solución general para el voltaje en el capacitor, ante la excitación escalón unitario es:

v(t ) = K 1 e -2×t + K 2 e -t + 1 123

La derivada del voltaje en todo instante es: Dv(t ) = -2 K 1 e

-2 t

Evaluando en t=0, se obtienen las ecuaciones: K 1 + K 2 = -1

- K 2 e -t - 2 × K1 - K 2 = 0

A continuación se muestran los valores de las constantes y las respuestas al escalón del capacitor y del inductor.

(

)

(

v e (t ) = 1 + e -2t - 2e -t u (t )

K 1 = 1 K 2 = -2

)

i e (t ) = e -t - e -2×t u (t )

En cuanto a la respuesta natural, se tiene:

(

)

vn (t ) = 2 e- t - e-2×t u (t )

(

)

in (t ) = 2e -2×t - e - t u (t )

Las figuras 4-9 y 4-10 muestran las gráficas correspondientes: Respuesta a u(t) en el C

Respuesta a u(t) en el I Gráfica de i(t)

0.5 0.5

Gráfica de ve(t)

1

1

0.4

0.8

0.3

ie( t )

0.6

ve( t )

0.2

0.4

0.1

0.2

0

0 0

0 0 0

1

2

3

4

t

5 5

0 0

Figura 4-9a

vn ( t )

2.5 t

3.75

5 5

Figura 4-9b

Respuesta natural del C 0.5

1.25

Respuesta natural del I

Grafica de vn(t)

2

0.5

in ( t )

0.25

Grafica de vn(t) 2

0.5

1

0 0

0 0

1

2

3 t

Figura 4-10a

4

5 5

1

0 0

1

2

3 t

4

5 5

Figura 4-10b 124

Para movimiento críticamente amortiguado

v ( t ) = E + K 1 e - z w n t + K 2 te

- zw nt

La derivada del voltaje en el capacitor en todo instante viene dada por:

Dv(t ) = e - zw nt (- zw n K 1 + K 2 - zw n K 2 ) Para condiciones iniciales iguales a cero se encuentran las siguientes ecuaciones:

K1 + E = 0

- zw n K 1 + K 2 = 0

Con base en lo anterior, encontramos la respuesta del capacitor ante la excitación: Eu (t ) así:

(

)

v ( t ) = E 1 - e - z w n t - z w n te - z w n t u ( t ) La respuesta del capacitor al escalón unitario es, en consecuencia, la siguiente:

(

)

v e ( t ) = 1 - e - z w n t - z w n te - z w n t u ( t ) De manera similar al caso sobreamortiguado, la respuesta del inductor ante la excitación escalón unitario, es:

ie ( t ) = C ×

d v e (t ) dt

i e ( t ) = C × z 2 × w n × t × e - z ×w n ×t × u( t ) 2

En cuanto a las respuestas al impulso unitario, se obtienen los siguientes resultados:

v n ( t ) = z 2 × w n × t × e - z ×w n ×t × u( t ) 2

i n ( t ) = C × z 2 × w n × t × e - z ×w n ×t × (1 - z × w n × t ) × u( t ) 2

Ejemplo 4.4 Un circuito RLC serie presenta los siguientes datos: R=2 Ohmios, L=1 Henrios y C=1Faradios Determine las respuestas del capacitor y del inductor ante las excitaciones: escalón unitario e impulso unitario y represente gráficamente. Suponga que el sistema está inicialmente en reposo. Solución

(

)

Con base en lo estudiado, la ecuación diferencial del sistema es: D 2 + 2 D + 1 × v(t ) = vs (t ) Como puede verse, las raíces de la ecuación característica son iguales, así: m1 = m2 = -1 125

Si la excitación es el escalón: Eu (t ) , la solución general es la siguiente:

v(t ) = E + K 1 e -t + K 2 te - t Derivando y teniendo en cuenta las condiciones iniciales, se encuentra el voltaje en el capacitor en todo instante, así: v(t ) = E 1 - e - t - te - t u (t )

(

)

Finalmente, se obtienen las respuestas tanto al escalón unitario como al impulso unitario, así:

(

)

( )

v e (t ) = 1 - e -t - te -t u (t )

i e (t ) = te - t u (t )

( )

i n (t ) = e - t (1 - t )u (t )

vn (t ) = te -t u (t ) Respuesta a u(t) en el C

Respuesta a u(t) en el I

Grafica de ve(t)

1

ie( t )

ve( t )

Grafica de ie(t)

0.5 0.5

1

0.25

0.5

0

0 0

0 0 0

1

2

3

4

5

6

7 7

t

0 0

1

4

5

6

7 7

Figura 4-11b

Respuesta natural del C

vn ( t )

3 t

Figura 4-11a

0.5

2

Respuesta natural del I

Grafica de vn(t)

1

0.5

in ( t )

Grafica de in(t) 1

0

0.25

1

0 0

0 0

1

2

3

4 t

Figura 4-12a

5

6

7 7

1

0 0

1

2

3

4

5

t

6

7 7

Figura 4-12b 126

Para movimiento subamortiguado

v(t ) = E + e- z×wnt (K1 cos(wd t ) + K2 sen(wd t ) Dv(t ) = e- z ×w nt [(- wd K1 - zwn K 2 )sen(wd t ) + (wd K 2 - zwn K1 ) cos(wd t )] Evaluando en el instante t = 0 y suponiendo que las condiciones iniciales en los elementos son iguales a cero, se obtiene:

w d K 2 - zw n K 1 = 0

K1 + E = 0

A partir de las ecuaciones anteriores resulta la respuesta del capacitor ante la excitación: Eu (t ) , así:

é öù æ zw n v (t ) = E ê1 - e - z ×w n t çç cos (w d t ) + sen (w d t )÷÷ ú u (t ) wd êë ø úû è Puede concluirse que la respuesta del capacitor al escalón unitario está dada por:

é æ öù zw v e (t ) = ê1 - e - z ×w n t çç cos(w d t ) + n sen(w d t )÷÷úu (t ) wd è øûú ëê En cuanto a la corriente en el inductor, se tiene:

ie (t ) = C

d ve (t ) dt

2 æ z 2w n ö ÷ sen (w d t )u (t ) ie (t ) = Ce - z ×w n t çç w d + ÷ w d è ø

El estudiante puede verificar que la expresión anterior es equivalente a la siguiente.

i e (t ) = Ce

- z ×w n t

wn2 sen (w d t )u (t ) wd

De manera similar a los casos tratados previamente, las respuestas de los elementos ante la excitación impulso unitario, son:

v n (t ) = e

- z ×w n t

wn2 sen (w d t )u (t ) wd 127

in (t ) = Ce

wn 2 (wd cos(wd t ) - zwn sen(wd t ))u (t ) wd

- z ×w n t

Ejemplo 4.5 Para el circuito RLC serie, tomar los siguientes datos: R=2 Ohmios, C=0.5 Faradios y L=1 Henrios. Escriba las respuestas de los elementos al escalón unitario y al impulso unitario y represente gráficamente. Solución Con los datos del problema se tiene que la ecuación diferencial para el voltaje es:

(D

2

)

+ 2 D + 2 v(t ) = 2vs (t )

Con lo anterior, se deduce que el movimiento es subamortiguado, con los siguientes parámetros.

a =1

wn = 2

z=

2 2

wd = 1

Sustituyendo los datos en las expresiones obtenidas, se obtienen los siguientes resultados:

[

]

v e (t ) = 1 - e -t (cos(t ) + sen(t ) ) u (t )

i e (t ) = e - t (cos(t ) - sen(t ) )u (t )

v n (t ) = 2e - t sen(t )u (t )

1.5

Grafica de ve(t)

Grafica de ie(t)

0.5 0.5

1.5

1

ve ( t )

i e (t ) = e - t sen(t )u (t )

ie( t )

0

0.5

0.5

0 0

0 0

3

6 t

Figura 4-13a

9 9

0.5

0 0

3

6 t

9 9

Figura 4-13b

128

1

vn( t )

Grafica de vn(t) 1

1

0.5 in ( t )

0

Grafica de in(t) 1

0.5

0

0.5

0.5

0.5

0 0

3

6 t

9 9

0.5

0

3

0

Figura 4-14a

6 t

9 9

Figura 4-14b

El análisis presentado para el circuito RLC serie puede ser aplicado para cualquier topología, lo importante es tener bien claro que la respuesta de un circuito ante cualquier excitación se puede determinar resolviendo la ecuación diferencial resultante y aplicando las condiciones iniciales del problema, las cuales se obtienen en el instante t=0+. También, a partir de la respuesta ante el escalón unitario se obtiene la respuesta natural y con base en ella se encuentra la respuesta ante cualquier excitación usando la integral de convolución. 4.4.3.4. Para movimiento oscilatorio puro. Circuito LC

v(t ) = E + K 1 cos(w n t ) + K 2 sen(w n t ) Dv (t ) = - K 1 sen( w n t )w n + K 2 cos( w n t )w n Evaluando en el instante t=0 y suponiendo que las condiciones iniciales en los elementos son iguales a cero, se obtiene: E + K1 = 0

K2 = 0

A partir de las ecuaciones anteriores resulta la respuesta del capacitor ante la excitación: Eu(t), así:

v (t ) = E (1 - cos(w n t ) )u (t ) Puede concluirse que la respuesta del capacitor al escalón unitario está dada por:

v e (t ) = (1 - cos(w n t ) )u (t ) En cuanto a la corriente en el inductor, se tiene: 129

i e (t ) = C

d v e (t ) dt

ie (t ) = Cw n sen(w n t )u (t )

De manera similar a los casos tratados previamente, las respuestas de los elementos ante la excitación impulso unitario, son:

v n (t ) = w n sen(w n t )u (t )

i n (t ) =

1 cos(w n t )u (t ) L

Ejemplo 4.6 Para el circuito LC serie, tomar los siguientes datos: C=0.25 Faradios y L=1 Henrios. Escriba las respuestas de los elementos al escalón unitario y al impulso unitario y represente gráficamente. Solución Con los datos del problema se tiene que la ecuación diferencial para el voltaje es:

(D

2

)

+ 4 v(t ) = 4vs (t )

Con lo anterior, se deduce que el movimiento es oscilatorio puro, con wn igual a dos. Sustituyendo los datos en las expresiones obtenidas, se obtienen los siguientes resultados:

v e (t ) = (1 - cos(2t ) )u (t )

ie (t ) = 0.5 sen(2t )u (t )

v n (t ) = 2 sen( 2t )u (t )

i n (t ) = cos( 2t )u (t )

A continuación se muestran las correspondientes gráficas. 2

Grafica de ve(t) 2

ie( t )

ve ( t )

Grafica de ie(t)

0.5 0.5

1

0

0.5

0 0

0.5 0 0

3

6 t

Figura 4-15a

9 9

0 0

3

6 t

9 9

Figura 4-15b 130

2

vn ( t )

Grafica de vn(t)

1

2

in( t )

0

2

Grafica de in(t) 1

0

1

2

0 0

3

6

1

9 9

t

Figura 4-16a

0 0

3

6

9 9

t

Figura 4-16b

Circuito RLC paralelo Las figuras 4-17a y 4-17b ilustran la topología paralelo, antes y después de aplicar la excitación: vs (t ) . Al plantear las leyes de Kirchhoff para: t > 0 , se obtienen las siguientes ecuaciones.

v s (t ) - v (t ) = i (t ) + CDv (t ) R

v(t ) = LDi (t ) R

R t=0 + vs(t) -

L

Figura 4-17a

C

+ vs(t) -

i(t) C

L C

+ v(t) -

Figura 4-17b

En forma matricial, se tiene:

RCD + 1ù éi(t ) ù év s (t )ù é R ê- LD ú × êv(t )ú = ê 0 ú 1 ë û ë û ë û La ecuación diferencial para la corriente en el inductor viene dada por: 131

v s (t ) 1 1 ö æ 2 D+ çD + ÷i (t ) = RC LC ø RLC è De manera similar al circuito RLC serie, se definen las siguientes cantidades: Frecuencia natural: w n = Amortiguamiento: a =

1 LC

1 2 RC

Coeficiente de amortiguamiento: z =

a wn

En consecuencia, se obtiene el mismo problema de valor inicial que se obtuvo para el circuito serie, aunque en esta caso la variable a determinar es la corriente en el inductor. Si las condiciones iniciales en los elementos son iguales a cero, el problema de valor inicial asociado al circuito RLC paralelo es el siguiente:

(D

2

)

+ 2 z w n D + w n i (t ) = w n 2

2

v s (t ) R

i( 0 ) = 0

Di( 0 ) = 0

Al resolver el problema con la excitación escalón se pueden presentar las diferentes posibilidades previamente estudiadas para el circuito serie, esto es, los movimientos: sobreamortiguado, subamortiguado y críticamente amortiguado. Circuitos con bobinas acopladas Consideremos los circuitos ilustrados en las figuras 4-18a y 4-18b. De acuerdo con lo estudiado en el capítulo 3, la inductancia mutua está dada por:

M = k L1 × L2

0£ k 0 , las ecuaciones del circuito son las siguientes: 132

R1

R1

M

t=0

M i2

i1

+ vs (t) -

L1

+ vs (t) L1 -

R2

L2

Figura 4-18a

L2

R2

Figura 4-18b

R1 i1 + L1 Di1 - MDi 2 = v s R 2 i 2 + L 2 Di 2 - MDi1 = 0 El sistema en forma matricial es el siguiente:

éL1D + R1 - MD ù éi1 ù évs ù ê - MD L D + R ú × êi ú = ê ú 2 2û ë 2û ë ë0 û La ecuación diferencial para la corriente en el secundario es la siguiente:

[(L L 1

2

]

)

- M 2 D 2 + (R2 L1 + R 1 L2 )D + R1 R2 i2 = MDv s

Respuesta al escalón unitario Si la excitación es el escalón unitario, resulta una ecuación diferencial homogénea, así

(D

2

)

+ 2aD + w n i 2 = 0 2

En la ecuación diferencial anterior se tiene que:

a=

R 2 L1 + R1 L 2

(

2 L1 L 2 - M

2

)

wn2 =

R1 R 2 L1 L 2 - M 2

Teniendo en cuenta que: M = k × L1L2 y que: 0 £ k < 1 , se tiene: 133

a=

R2 L1 + R1L2 2 L1L2 1 - k 2

(

)

wn2 =

R1R2 L1L2 1 - k 2

(

)

El estudiante puede verificar que las condiciones iniciales para determinar la corriente en el secundario son las siguientes:

i2 (0) = 0 Di2 (0) =

M L1L2 - M 2

El estudiante puede verificar que el coeficiente de amortiguamiento viene dado por:

z=

æ R2 L1 R1 L2 ç + ç R2 L1 2 1 - k 2 è R1 L2 1

ö ÷ ÷ ø

Si se analiza la expresión anterior se encuentra que el mínimo valor del coeficiente de amortiguamiento es la unidad, lo cual corresponde al caso en que: k = 0 . En efecto, en tal caso, la suma de un número real positivo con su inverso multiplicativo es siempre mayor o igual que dos. Para todo numero real positivo: x, se cumple que: x +

1 ³2 x

Con base en el análisis presentado, el movimiento deberá ser del tipo críticamente amortiguado o sobreamortiguado para la topología mostrada. Después de determinar la corriente en el secundario se puede hallar la corriente en el primario y el voltaje en el secundario. Respuesta natural Tal como se hizo con los circuitos RLC serie y paralelo, la respuesta natural se determina a partir de la respuesta al escalón y a partir de ella se puede hallar la respuesta ante cualquier excitación. Un caso de particular interés es el que se presenta cuando la excitación es una función senoidal. Se verá que la relación entre las corrientes dependerá de la relación entre las inductancias. Ejemplo 4.7 Determine las corrientes y los voltajes en los inductores de la figura 4.18. y represente gráficamente si la excitación es el escalón unitario. Tome los siguientes datos: L1=1H, L2=4H, R1=1W, R2=5W y k=0.8. Solución El problema de valor inicial para la corriente en el secundario es el siguiente: 134

(D

2

)

+ 6.25D + 3.471 i2 = 0

i2 (0) = 0

Di2 (0) = 1.111

La solución general y su primera derivada se ilustran a continuación

i2 = K 1e -0.616t + K 2 e -5.634t Di 2 = -0.616 K 1 e -0.616 t - 5.634 K 2 e -5.634 t Evaluando las constantes, resulta:

(

)

i 2 (t ) = 0.221 e -0.616t - e -5.634 t u (t ) A continuación se determina la corriente en el primario, así

(

)

i1 = 1 - 0.5696e -0.616 t - 0.4304e -5.634 t u (t ) A continuación se muestran las gráficas de las corrientes ante la excitación escalón. Corriente en el primario 1

i1( t )

Corriente en el secundario

Grafica de i1(t)

Grafica de i2(t)

0.2 0.2

1

i2( t )

0.5

0.1

0

0 0

0 0

1

2

3 t

4

0

5 5

Figura 4-19a

0 0

1

2

3 t

4

5 5

Figura 4-19b

En cuanto a los voltajes en los inductores, se tiene:

(

)

v1 = 0.5696 × e -0.616×t + 14304 . × e -5.634×t × u( t )

(

)

v 2 (t ) = 1.107 e -0.616t - e -5.634t u (t ) 135

Voltaje en el primario 3

Voltaje en el secundario

Grafica de v1(t)

Grafica de v2(t)

1

3

1

2 v1( t )

0.5 v2( t )

1

0

0

0.5

1 1

1 0 0

1

2

3 t

4

5 5

1

0

1

2

0

Figura 4-20a

3

4

t

5 5

Figura 4-20b

EJERCICIOS RESUELTOS 1) Halle la respuesta del circuito RC salida por condensador ante la señal Em(t) y represente gráficamente R t=0

+ V(t) -

C

+ vo(t) -

Figura 4-21 Solución La ecuación que rige el circuito, válida para t ³ 0 + es la siguiente: RC

dvo + vo (t ) = V dt

La solución a esta ecuación es: vo (t ) = v f + (vi - v f )e

-t

RC

(1)

t ³ 0+

Justifique la expresión anterior. 136

El voltaje final está dado por: v f = vo (¥) = V Suponiendo que: vo (0-) = 0 , tenemos: vi = vo (0) = 0 Justifique los valores de v f y vi encontrados, apoyándose en los circuitos equivalentes válidos para t=0+ (Recuerde la condición inicial) y t= ¥ (Recuerde la condición final) Realizando los cambios correspondientes a la solución: vo (t ) = V (1 - e

-t

t

t = RC

)u (t )

u (t ) : indica la validez de vo (t ) en el dominio del tiempo. Ahora graficamos el voltaje de salida; observe que se trata de una exponencial creciente. Para estudiar mejor la exponencial, hagamos una tabla de vo (t ) en función de t(medido en constantes de tiempo) t

t 2t 3t 4t 5t

vo(t) 0.632V 0.864V 0.950V 0.981V 0.993V

Observe que la exponencial logra su valor final V, entre 4t y 5t. Teóricamente, la exponencial e e-5 es aproximadamente cero.

-t

se hace cero para t=¥ , pero en la práctica se asume que e-4 ó

t

Si V = 1Voltio y t = RC=1 tenemos: 1

vo( t )

Gráfica de vo(t) 1

0.5

0 0

0 0

2

4 t

6

8 8

Figura 4-22 137

¿Cómo hallaría usted la respuesta del mismo circuito ante la función rampa r(t), y la función impulso d(t)? . Parta del hecho de que el circuito es lineal e invariante en el tiempo. Resuelva el mismo problema pero tomando la salida por la resistencia; compare resultados. 2) Hallar la respuesta del circuito RC salida por el resistor, ante un pulso rectangular de amplitud 10 voltios y de duración 100ms. Asumir R=10KW y C=1mF C

+ R

vo(t) -

Figura 4-23a Gráfica de vi(t) 12

vi ( t )

8

4

0

0

0.1 t

0.2

Figura 4-23b Solución Observe que vi(t)= 10 Voltios para

0 £ t £ 100ms - y 0 para t ³ 100 ms + .

Luego la excitación es constante en dos intervalos diferentes y la salida puede encontrarse empleando la expresión (1) del problema 1, aplicada a cada intervalo. Suponga que: vC (0-) = 0 Primer intervalo:

0+ £ t £ 100 ms -

138

v f = v o (¥) = 0V RC = 10 K × 1m = 10ms = t

vi = vo (0) = 10V

vo (t ) = (0 + (10 - 0)e

-t

0.01

vo (t ) = 10e

)u (t )

-t

u (t )

0.01

La expresión encontrada es válida para: 0 £ t £ 100ms - . Para el intervalo: t ³ 100 ms + , se necesita conocer vo(100ms); éste se puede encontrar evaluando la expresión en dicho instante, se obtiene que es prácticamente cero. Este será el vi para el segundo intervalo. Observe que t 0 es la siguiente: 0.1

di (t ) 1 + 200i (t ) + - 4 dt 10

ò

t

0+

i (t )dt = 200

La ecuación anterior se puede escribir en la forma: d 2i (t ) di (t ) + 200 + 105 i (t ) = 0 2 dt dt La solución general de la ecuación diferencial es: i (t ) = Ae -51.31t + Be -1948t 140

Las constantes de integración A y B, se evalúan teniendo en cuenta las condiciones iniciales: i ( 0+ ) = 0

y

di (0+ ) = 2000 dt

Justifique las dos condiciones dadas ayudándose con los circuitos equivalentes. Se encuentra que A=1.05 y B=-1.05. Por tanto: i (t ) = 1.05 × e -51.31×t - 1.05 × e -1948×t La solución corresponde a un movimiento no oscilatorio sobreamortiguado. La corriente máxima se puede encontrar derivando la ecuación anterior e igualando a cero. Justifique que las respuestas encontradas realmente corresponden a un máximo. Muestre gráficamente todos los resultados obtenidos. 1. En t=0 el interruptor S pasa a la posición 1 donde permanece 300ms, al cabo de éstos pasa posición 2 donde se mantiene 250ms, finalizados estos, pasa a la posición 3 donde permanece indefinidamente. Determine el voltaje de salida y represente gráficamente, suponiendo que el condensador está inicialmente descargado. t=0

1 100KW

S

vc(t)

2 3 + 10v -

30KW 8KW 6KW

10mF

5v +

Figura 4-26 Solución Analicemos el circuito equivalente en cada posición. 141

Posición 1

vc(t) 100KW + 10v -

10mF

Figura 4-27 La constante de tiempo viene dada por:

t 1 = 100 KW × 10mF = 1000ms El voltaje en el capacitor es, en consecuencia: vc (t ) = 10(1 - e

-t

1000

)u (t )

Para el segundo intervalo debe conocerse el voltaje en el capacitor al cabo de 300ms. Evaluando, se obtiene: v(300ms) = 2.6Voltios Posición 2 vc(t) 5KW + 1.66v -

10mF

Figura 4-28 El estudiante puede comprobar que el circuito equivalente en éste caso es el que se muestra en la figura 4-28. vi = 2.6V , v f = 1.66V , t 2 = 250ms vc = 1.66 + (2.6 - 1.66)e

- ( t - 300 )

250

300+ £ t £ 550 -

El voltaje, al cabo de los 550ms, es: vc (550ms) @ 1.66V 142

Posición 3 vc(t) 8KW 5v +

10mF

Figura 4-29 vc (t ) = -5 + (1.66 + 5) × e

- ( t - 550 )

550 £ t < ¥

80

Note que el condensador tiende a un voltaje de –5V, en un t=950ms Un punto importante en el gráfico es el tiempo para el cual el voltaje en el capacitor se hace cero, éste se obtiene a partir de la expresión anterior, así: 0 = -5 + (1.66 + 5)e tcruce = 573ms

- ( t - 550 )

80

Durante el desarrollo del problema, se puede observar la importancia de saber identificar la condición inicial y final del condensador, la constante de tiempo en cada paso, las simplificaciones de los circuitos mediante teoremas, como llevarlos a un simple circuito RC, que cuando su excitación es constante, se puede tratar empleando la expresión: vo (t ) = v f + (vi - v f ) × e

-t

t

La figura 4-30 muestra el voltaje resultante para el capacitor: v0 (t ) Un problema interesante, muy parecido al anterior, se presenta cuando al pasar el interruptor a la posición 3 encuentra un circuito serie como el que se muestra en la figura 4-31. Resuelva el problema y represente gráficamente. 4) Diseñe un circuito que contenga una sola batería, resistores, un condensador de 200mF, un interruptor de dos posiciones que pasa a la posición 1 en t = 0, donde permanece durante 5s, al cabo de los cuales pasa a la posición 2 donde se mantiene indefinidamente y tal que la salida tomada sobre el condensador, sea la mostrada. 143

5

Gráfica de Vc(t) 5 2.5

vc( t )

0 2.5

5 5

0

0.3

0

0.6 t

0.9

1.2 1.2

Figura 4-30 3

8KW 20mF 5v + Figura 4-31 Según la figura 4-32, el circuito obtiene un primer estado estable en t = 5s, y la salida se mantendría en un voltio si el interruptor no pasara a la posición 2, una vez en esta se llaga a un segundo estado estable en t = 20s, con una salida de 3 voltios. Un primer paso en este diseño, es hallar el valor de la batería; éste debe ser mayor ó igual a 3 voltios. Se parte de una batería de 3 voltios y un condensador inicialmente cargado, pensemos primero en un circuito simple RC serie, salida por condensador, a que valor tendría el voltaje sobre este?. En el caso que el interruptor se mantuviera en la posición 1, el voltaje de salida de estado estable sería 1 voltio?. Las inquietudes planteadas una vez resueltas, sugieren la necesidad de limitar el voltaje sobre el condensador en el primer estado estable. Cómo podría lograrse este objetivo?. Se sugiere el circuito de la figura 32. Discútalo y analícelo detenidamente. Cumple este circuito con las experiencias planteadas?. Se le ocurre otro circuito más sencillo?.

144

R3 R1

2 1

vc(t) t=0

+ 3v -

200mF

R2

Figura 4-32 Observe que R2 tiene como objetivo limitar el voltaje sobre el condensador en el primer estado estable. Después de un estudio detenido, se llega a concluir que el circuito mostrado debe producir el vc(t) deseado. El siguiente paso es hallar R1, R2, R3. Para la posición 1, en el intervalo: 0 £ t £ 5 - , vi = 0, v f = 1V

t1 =

R1 R2C , observe que el voltaje en estado estable de la posición 1 debe ser: R1 + R2 R2 3V = 1V R1 + R2

Justifique circuitalmente esta afirmación. Además: 5 × t 1 = 5s , donde: t 1 = 1s Las dos últimas afirmaciones ayudan a encontrar R1 y R2. Se llega a: R1 = 15K y R2 = 7.5K. vc (t ) = (1 - e

-t

t1

)u (t )

0 £ t £ 5-

Para la posición 2, nos queda un simple circuito serie: R3C . En la posición mencionada que es válida para 5+ £ t < ¥ se tiene: vi = 1V , v f = 3V , t 2 = R3C La ecuación para este intervalo será: vc (t ) = 3 + (1 - 3) × e

- (t -5)

t2

145

- ( t - 5) æ t2 ö vc (t ) = çç 3 - 2e ÷÷u (t - 5) è ø

Se desea que en t=20s vc(20)=3V, por lo tanto: t 2 @ 3s . En consecuencia R3 @ 15 K Piense en otros posibles circuitos que produzcan la salida deseada. Recuerde la importancia del factor económico en todo diseño.

Gráfica de Vc(t)

4

4 3

Vc ( t )

2 1

0 0

0 0

5

10

15 t

20

25 25

Figura 4-33 5) En el circuito mostrado, la lámpara tiene una resistencia infinita cuando está apagada y cero cuando está encendida. Escoger valores R,C y V para que la lámpara se encienda dos veces por segundo. Para el encendido, el elemento mencionado requiere 20V. R + V -

vc(t)

C

Lámpara

Figura 4-34 Interpretando el enunciado del problema, podemos sacar las siguientes conclusiones: ·

Mientras la lámpara esté apagada, se comporta como un circuito abierto, y el condensador se está cargando. 146

· ·

Tan pronto Vc llega a 20 voltios, la lámpara se enciende, su resistencia se hace cero, el condensador es cortocircuitado, la lámpara se apaga y el proceso se repite. La lámpara encienda cada 0.5s y se apaga inmediatamente.

Todo lo anterior puede visualizarse en las figuras 4-35,4-36 y 4-37 R + V -

vc(t)

Lámpara apagada

C

Figura 4-35 R + V -

vc(t)

Lámpara encendida

C

Figura 4-36

25

Gráfica de Vc(t) 25 20

vc ( t )

15 10

0

5 0

0 0

0.5

1

1.5 t

2

2.5 2.5

Figura 4-37 147

Analice detenidamente la información gráfica dada y justifique las siguientes afirmaciones: 1. V ³ 20V Tómese V = 20V 2. RC = 0.1s Tómese R = 1MW C = 0.1mF Encuentre la ecuación para el voltaje de salida. Con los resultados encontrados, chequee que el circuito cumple realmente las condiciones planteadas. 6) Para el circuito dado, halle vc (t ) suponiendo que el sistema está inicialmente en reposo. vc(t) 2KW

2KW v1senwt

+ -

+ -

1mF

vx(t)

Figura 4-38

1.5 1.5

vx ( t )

Gráfica de Vx(t), para v1=1V

1

0.5 0 0

0 0

1

2

3 t

4

5

6 6

Figura 4-39 Dado que las excitaciones son fuentes independientes, un paso obvio en la obtención de vc(t), es hallarlo por superposición. vc (t ) = vc1 (t ) + vc 2 (t ) 148

vc1 (t ) es el voltaje sobre el condensador cuando actúa la fuente senoidal vc 2 (t ) es el voltaje sobre el condensador cuando la fuente senoidal se apaga a. Hallemos vc1 (t )

1KW

v1 sen wt 2

vc1(t)

+ -

1mF

Figura 4-40 Recordando los métodos de solución de ecuaciones diferenciales, llegamos a: vc1 (t ) = Ae

-t

RC

+

v1 2 1 + w 2 R 2C 2

sen(wt - f )

donde: A es la constante de integración. f = tan -1 (wRC ) b. Hallemos vc 2 (t ) 1KW vc2(t) vx (t ) 2

+ -

1mF

Figura 4-41 Justifique el circuito vc2(t), no es más que la salida de un circuito RC serie, salida por condensador, excitado por una señal constante a trazos. Este problema fue suficientemente analizado en los problemas 1 y 2. Trate de encontrar una expresión general para vc2 (t). 149

La solución general será: vc (t ) = vc1 (t ) + vc 2 (t ) 7) Considere el circuito de la figura: R

. L . L

i1(t) vi(t)

+ -

i2(t)

L v(t)

R

R

Figura 4-42 Suponga que el sistema se encuentra inicialmente en reposo. 1. Escriba las ecuaciones del circuito. 2. Tomando la siguiente información: vi (t ) = 10u (t ) encuentre v(t) y represente gráficamente.

R = 5W L = 2H

M = 1H C = 1F,

Solución 1. Para el planteamiento de las ecuaciones, se procede a partir del método de voltajes de malla y corrientes de nodo así: - vi + R × i1 + L × Di1 + M × Di2 + L × Di2 + M × Di1 + R × i2 = 0 L × Di2 + M × Di1 + R × i2 = v v i1 = i2 + C × Dv + R por lo tanto el sistema será: ( R + L × D + M × D) × i1 + ( R + L × D + M × D) × i2 = vi M × D × i1 + ( R + L × D) × i2 - v = 0 1ö æ i1 - i2 - ç C × D + ÷ × v = 0 Rø è Para encontrar v(t), comencemos por sustituir los valores de los elementos circuitales en las ecuaciones, las cuales se escriben en forma matricial, así: 150

0 é3D + 5 3D + 5 ù é i1 (t ) ù é10u (t )ù ê D ú êi (t )ú = ê 0 ú 2D + 5 -1 ú ê úê 2 ú ê êë - 1 1 - (D + 1 / 5)úû êë v(t ) úû êë 0 úû Para resolver el sistema usamos la regla de Cramer, así: v(t ) =

A3 A

Haciendo uso del paquete Mathcad, se tiene que el determinante del sistema es: 3 .D

D 1

5 3 .D

5

0

2 .D

5

1 1

D

1

3

3 .D

103 . 2 D 5

35 .D

15

5

En cuanto al numerador, tenemos: 3 .D

5 3 .D

D

2 .D

1

1

5 10.F ( t ) 5

0

30 .D.F ( t )

50 .F ( t )

0

Puesto que la solución es válida para: t > 0 , la ecuación diferencial para el voltaje en el capacitor es: æ 3 103 2 ö D + 35D + 15 ÷v(t ) = 50 ç 3D + 5 è ø Donde: F (t) es la función escalón unitario En cuanto al numerador, tenemos: 3 .D

5 3 .D

D

2 .D

1

1

5 10.F ( t ) 5

0

30 .D.F ( t )

50 .F ( t )

0

Puesto que la solución es válida para: t > 0 , la ecuación diferencial para el voltaje en el capacitor es: æ 3 103 2 ö D + 35D + 15 ÷v(t ) = 50 ç 3D + 5 è ø 151

La ecuación característica será entonces: m3 +

103 2 35 ×m + ×m +5 = 0 15 3

Las raíces de la ecuación característica son: - 1.54 - 1.67 - 0.66 La solución general de la ecuación diferencial es: v(t ) =

10 + K1e - 4.54 t + K 2e -1.67 t + K 3e - 0.66t 3

Para determinar las constantes se deben tener en cuenta las condiciones iniciales del problema, si el sistema está inicialmente en reposo, indica que v(0) = 0, i1(0) = 0, i2(0) = 0. Con dichos valores podemos determinar, en el sistema de ecuaciones, los valores: Dv(0) y D 2v(0) A partir de los dos primeras ecuaciones del sistema, evaluando en t = 0 , resulta: Di1 (0) + 2 Di2 (0) = 0 3Di1 (0) + 3Di2 (0) = 10 Cuya solución es: D × i1 (0) =

20 3

D × i1 (0) = -

10 3

Con estos valores y derivando la tercera ecuación, se obtiene D2v(0)=10. Derivando la expresión para v(t) dos veces, se obtiene: Dv(t ) = -4.54 K1e -4.54 t - 1.67 K 2 e -1.67 t - 0.66C3e -0.66 t D 2v(t ) = 20.61K1 × e -4.54t + 2.79 K 2 × e -1.67 t + 0.44 K 3 × e -0.66t Evaluando para t=0 se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: 1 1 ù é K1 ù é- 10 / 3ù é 1 ê- 4.54 1.67 - 0.66ú ê K ú = ê 0 ú ê úê 2 ú ê ú êë 20.61 2.79 0.44 úû êë K 3 úû êë 0 úû Resolviendo el sistema, resulta: K1 = -0.328 K 2 = 3.437 K 3 = -6.443 152

El voltaje en el capacitor es, en consecuencia: v(t ) =

10 - 0.328e -.54 t + 3437e -1.67 t - 6.443e - 0.66t 3

La figura 4-42 ilustra la representación gráfica del voltaje en el capacitor 4

v( t )

0 0

t

10

Figura 4-42 8) Para el circuito de la figura, encuentre la respuesta del capacitor al escalón unitario en todo instante, suponiendo que el circuito está inicialmente en reposo y graficar. 5H

+ vs(t) -

i1 + -

1H

+ v(t) -

i2 0.3F

R

Figura 4-43 Solución Planteando voltajes de malla y corrientes de nodo tenemos: - vs (t ) + 5Di1 (t ) + v(t ) = 0 - v(t ) + Di2 (t ) + 3i2 (t ) = 0 i1 = 0.3Dv(t ) + i2 153

El sistema, en forma matricial, es el siguiente: 0 1 ù é i1 ù é1ù é5 D ê 0 D + 3 - 1 ú êi ú = ê0ú ê úê 2 ú ê ú êë - 1 1 0.3D úû êë v úû êë0úû Puesto que nos piden el voltaje en el capacitor, aplicamos la regla de Cramer, así: El determinante del sistema es: 5 .D 0 1 0 1

D

3 1

1 0.3 .D

3

1.5 .D

2

4.5 .D

6 .D

3

La ecuación diferencial para el voltaje en el capacitor es: æ3 3 9 2 ö ç D + D + 6 D + 3 ÷v(t ) = 3 2 è2 ø De manera similar a lo expuesto en el ejercicio anterior, el estudiante puede verificar que las raíces de la ecuación característica vienen dadas por: - 1 - 1 + i1 - 1 - i1 . En consecuencia, la solución general se puede escribir en la forma: v(t ) = 1 + K1e - t + K 2e - t cos(t ) + K 3e - t sen(t ) Para determinar las constantes se procede de forma similar, es decir, se requieren las condiciones iniciales: v(0) Dv(0) D 2 v(0) . A partir del sistema de ecuaciones, en: t = 0 , se tiene que: v(0) = 0 Dv(0) = 0 D 2v(0) = 0 La función y sus dos primeras derivadas evaluadas en t = 0 conducen al siguiente sistema: 1 0 ù é K1 ù é- 1ù é1 ê- 1 - 1 1 ú ê K ú = ê 0 ú ê úê 2 ú ê ú êë 1 0 - 2úû êë K 3 úû êë 0 úû Resolviendo el sistema, se obtiene: K1 = -2 K 2 = 1 K 3 = - 1 . Con base en lo anterior, el voltaje en el capacitor en todo instante es: v(t ) = 1 - 2e - t + e - t cos(t ) - e - t sen(t ) La figura 4-44 ilustra la gráfica correspondiente. 154

9) Considere el circuito de la figura 4-45 1) Escriba las ecuaciones para v1(t) y v2(t). 2) Resuelva para v1(t) y v2(t), sabiendo que vi(t)=10u(t), RC=1, y el sistema está inicialmente en reposo.

1

v( t )

0 0

t

10

Figura 4-44

R

R

+ vi(t) -

+ v1(t) + 2 v2(t) -

C + -

+ v2(t) -

C

Figura 4-45 Solución Planteando ecuaciones de voltajes de malla y corrientes de nodo tenemos: - vi + Ri1 + v1 + 2v2 = 0 - 2v2 - v1 + RCDv2 + v2 = 0 i1 = CDv1 + CDv2 Por lo tanto las ecuaciones para v1 y v2 serán:

(RCD + 1)v1 + (RCD + 2)v2 = vi - v1 + (RCD - 1)v2 = 0 155

Ahora resolvemos el sistema planteado, sustituyendo los valores dados:

D=

( D + 1) -1

( D + 2) ( D - 1)

( D + 1) 10 -1 0

Dv2 =

D = D2 + D + 1

Dv2 = 10

La ecuación diferencial para v2 (t ) es: ( D 2 + D + 1)v2 (t ) = 10 La solución para v2 será de la forma: v2 (t ) = v2c (t ) + v2 p (t ) . Hallando la complementaria y la particular, se tiene: æ 3 ö æ 3 ö v2 (t ) = 10 + K1e - t / 2 cosçç t ÷÷ + K 2e - t / 2 sençç t ÷÷ 2 2 è ø è ø A partir del sistema de ecuaciones se determinan las condiciones iniciales, así: v(0) = 0 Dv(0) = 0 Tomando la primera derivada del voltaje y evaluando en t = 0 se obtiene que: K1 = -10 K 2 = - 10 3 / 3 En consecuencia, el voltaje v2 (t ) está dado por: æ 3 ö 10 3 - t / 2 æ 3 ö v2 (t ) = 10 - 10e - t / 2 cosçç t ÷÷ e t ÷÷ sençç 3 è 2 ø è 2 ø El voltaje v1 (t ) se calcula como: v1 (t ) =

æ 3 ö æ 3 ö d v2 (t ) - v2 (t ) = -10 + 10e - t / 2 cosçç t ÷÷ + 10 3e - t / 2 sençç t ÷÷ dt 2 2 è ø è ø

Las gráficas correspondientes se muestran en la figura 4-46a y 4-46b. 10) Para el circuito de la figura 4-47 1. Escriba el P.V.I. para el voltaje en el capacitor, sabiendo que el sistema está inicialmente en reposo 2. Resuelva el P.V.I. con los siguientes datos: R=3/16, C=1, L=1 y vs(t)=10u(t). 156

Solución a) Para determinar el P.V.I. comenzamos por plantear las ecuaciones de corrientes de nodo y voltajes de malla. 5

15 10

v1( t )

v2( t )

5

5

10 15

5

t

Figura 4-46.a R + vs(t) -

t

Figura 4-46.b R

vx

vy

R i(t)

L

R + v(t) -

R C

Figura 4-47 vx - v y vs - vx =i+ R R vx = Ri + LDi v y = RCDv + v vx - v y R

= CDv +

vy R

Reemplazando vx y vy en la primera ecuación, se llega a lo siguiente:

(3R + 2 LD )i - (RCD + 1)v = vs Reemplazando vx y vy en la segunda ecuación:

(R + LD )i - (3RCD + 2)v = 0 157

Si v(0)=0, entonces al sustituir en las ecuaciones resultantes, se obtiene un sistema que permite encontrar el valor de: Dv(0)= vs(0) / 5RC. Finalmente el PVI será:

(3R + 2 LD )i - (RCD + 1)v = vs (R + LD )i - (3RCD + 2)v = 0 v(0) = 0 Dv(0) = vs (0) / 5 RC

b) Sustituyendo los datos en las ecuaciones tenemos: éæ 9ö æ3 öù ê ç 2 D + 16 ÷ - ç 16 D + 1÷ú é i (t ) ù é10ù ø è øú êè ê ú=ê ú 3 9 æ ö æ ö ê- ç D + ÷ ç D + 2 ÷ ú ëv(t )û ë 0 û êë è 16 ø è 16 ø úû El determinante del sistema es: 2 .D D

9 16 3 16

3. D 16

1

9. D 16

2

15 . 2 D 16

105 .

15

32

16

D

La variación de voltaje es: æ9 ö ç + 2 × D÷ è 16 ø Dv(t ) = æ3 ö - ç + D÷ è 16 ø

10 = 0

15 8

La ecuación diferencial para el voltaje en el capacitor se puede escribir en la forma: ( D 2 + 3.5 D + 1)v(t ) = 2 La solución para v(t ) será de la forma: v(t ) = C1e -0.3139t + C2 e -3.186t + 2 Para determinar C1 y C2 derivamos se procede de manera similar que en los ejercicios previos. El resultado e 158

v(t ) = 1.5e -0.3139t - 3.5e -3.186t + 2

3

3 2

v( t ) 1 0 0

t

10

Figura 4-48 11) Para el circuito de la figura 4-49: a) Escriba el PVI para una de las variables, sabiendo que el sistema está inicialmente en reposo. b) Resuelva el PVI con los siguientes datos: R = 1, C = 1 y vs(t) = 10 u(t) R + vs -

v1

v2

C

C v3

C

R

2 v1

Figura 4-49

Solución a) Para determinar el PVI planteamos las ecuaciones de voltajes y corriente, así: CDv1 = CDv2 + CDv3 - vS (t ) + RCDv1 + v1 + v3 + 2v1 = 0 - 2v1 - v3 + v2 + RCDv2 = 0 El sistema de ecuaciones en forma matricial presenta la forma: 159

CD CD ù é v1 ù é 0 ù é - CD ê RCD + 3 0 1 úú êêv2 úú = êêvg úú ê êë - 2 RCD + 1 - 1 úû êëv3 úû êë 0 úû El determinante del sistema es: C .D R.C .D 3 2

C .D 0 R.C .D

C .D 5 .C .D

1 1

2 2 6 .C .D .R

2 3 3 R .C .D

1

La ecuación diferencial para el voltaje v1 (t ) es: ( R 2C 3 D 3 + 6 RC 2 D 2 + 5CD )v1 (t ) = ( RC 2 D 2 + 2CD )vg (t ) Las condiciones iniciales son: v1 (0) = Dv1 (0) =

vg (0) RC

D 2v1 (0) = -

4vg (0) R 2C 2

El problema de valor inicial para el voltaje v1 es el siguiente, después de reemplazar los datos: ( D 3 + 6 D 2 + 5D)v1 (t ) = 0

v1 (0) = 0 Dv1 = 10

D 2 v1 (0) = -40

Las raíces de la ecuación característica son: m = 0 m = -5 m = -1 La solución general de la ecuación diferencial es: v1 (t ) = C1 + C2e - t + C3e -5×t Tomando las dos primeras derivadas, se tiene: Dv1 (t ) = -C2e - t - 5C3e -5t

D 2v1 (t ) = C2 e - t + 25C3e -5t

Evaluando para t = 0, tenemos: C1 + C2 + C3 = 0

- C2 - 5C3 = 10

C2 + 25C3 = -40

Solucionando el sistema tenemos que: C1 = 4 C2 = -2.5 C3 = -1.5 Por lo tanto la solución para V1 es: v1 (t ) = 4 - 2.5e - t - 1.5e -5×t 160

La representación gráfica para V1 se muestra en la figura 4-50.

4

4 3

v1( t )

2 1

0 0

t

10

Figura 4-50

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

2 v1

v1

+

v2

-

iL 1/3W

Id(t)

vc

4F

5H

Figura 4-51 Para el circuito mostrado en la figura 4-51: vc (0-) = 0; iL (0-) = 0 . Determine: v1 (t ) y v2 (t ); t > 0.

is

+ v 1H -

i 3v

+

1/2W

6A

Figura 4-52 161

2. Para el circuito de la figura 4-52, encuentre y grafique i(t), sabiendo que: iL (0-) = 0 y que la excitación es: is (t ) = tu (t ) - 3(t - 1)u (t - 1) + 2(t - 2)u (t - 2)

3. Para el circuito mostrado en la figura 4-53, hallar i(t) y v(t) para t>0, sabiendo que: v(0-) = 0 , is (t ) = 2u (t ) - 3u (t - 1) + u (t - 2) y vs (t ) = 6u (t ) . 1F

2W + -

+ v i vs

is

+ -

Figura 4-53 4. Para ambos circuitos, mostrados en las figuras 4-54a y 4-54b, el interruptor ha permanecido mucho tiempo cerrado, y se abre en t=0. Hallar y graficar v(t), i(t) para t>0. t=0

t=0

0.1F i

10V

2W

3W

i

+ v 9V -

2W

Figura 4-54a

6W

5H

3W

Figura 4-54b

t=0

8W

t=0

5W

+ v 12V

i

+ v -

16H

Figura 4-55a

3V

i + -

10V

2F

3F

+ v -

Figura 4-55b 162

5. Repita el problema anterior para los circuitos mostrados en las figuras 4-55a y 4-55b. R

R +

vs

+ R v(t) -

+ -

R vs

C

v(t)

+ -

L

-

Figura 4-56a

Figura 4-56b

Para los circuitos mostrados en las figuras 4-56a y 4-56b, hallar v(t) si: a) vs (t ) = Vu (t ) b) vs (t ) = Ve - t u (t ) c) vs (t ) = V cos(wt )u (t ) Tome condiciones iniciales vc (0-) = 0; iL (0-) = 0 1W

6. + 3V -

t=0

2W

6V +

Figura 4-57a

1W

vu(t)

0.5H

+ -

i

2W

4i

10mF

i(t)

+ vc(t) -

Figura 4-57b

Para los circuitos de las figuras: 4-57.a y 4-57.b, determine i(t) para t>0. Suponga que: vc (0-) = 0, i (0-) = 0 . 7. Para los circuitos de las figuras: 4-58.a y 4-58.b, determine: i (t ) y v(t ) para t > 0 8. Determine la corriente en el primario: i1 (t ) para el circuito de la figura: 4-59, con la siguiente información: vi (t ) = 10u (t ) R = 5W L = 2H M = 1H C = 1F 9. Para el circuito de la figura 4-60 a) Determine el valor de M para el que el amortiguamiento sea crítico 163

b) Sí M = 0.5 y vs (t ) = 5u (t ) , determine las corrientes del circuito c) Repita la parte b para M=0.5 y vs (t ) = 5e - t u (t ) . d) Para que valor de M el amortiguamiento es 50% del crítico. En tal caso, hallar i2(t) para vs (t ) = sen(t ) 1W

1H

3W

1H

i 3V

i 1F

t=0

+ v -

0.5W

12V

+ 1F

t=0

v -

Figura 4-58.a R

Figura 4-58.b

. L . L

i1(t) vi(t)

+ -

i2(t)

L v(t)

R

R

Figura 4-59 1F

2W

i1

vs(t)

M

1H

..

i2 1H

t=0

Figura 4-60 10. Repita el problema 7 sí se intercambian los capacitores y los resistores.

164

ANEXO CAPITULO IV SIMULACIÓN EJEMPLOS Ejemplo 4.1 Para obtener el producto RC=1, se toman los valores R=1KW y C=1mF, como se muestra en la figura IV.1

Figura IV.1 Simulación para una entrada de un pulso rectangular, v s ( t ) = 2 × ( u( t ) - u( t - 2)) . Donde V1 e la entrada y V(C1:1) la salida.

Figura IV.2 165

Simulación par una entrada senoidal , vs = sen(t ) × u (t ) . Donde V2 es la entrada y V(C1:1) la salida.

Figura IV.3 Ejemplo 4.2 Para una constante de tiempo de 1seg con un resistor de un ohmio, se tiene como resultado L=1H , tal como se muestra en la figura IV.4

Figura IV.4 166

a) Para una entrada rectangular v s ( t ) = 10 × ( u( t ) - u( t - 5)) . Donde V1 es la entrada e I(L1) es

la salida . Figura IV.5 b) Para una entrada v s ( t ) = 10 × e - t × cos( t ) × u( t ) . Donde V1 y V2 son entradas e I(L1) es la salida.

Figura IV.6

167

La simulación resultante para dicho caso, se muestra en la figura IV.7

Figura IV.7 Ejemplo 4.3 El esquema correspondiente al problema, se muestra en la figura IV.8. Para una entrada escalón unitario vs (t ) = u (t ) , se obtiene la respuesta mostrada en la figura IV.9.

Figura IV.8 Donde I(L1) y V(C1:1) son las salidas mostradas en la figura IV.9., corriente en el inductor y voltaje en el capacitor, y V1 es la entrada. 168

Figura IV.9 Para una entrada vs (t ) = d (t ) , se obtiene una salida como la mostrada en la figura IV.10

Figura IV.10 169

Ejemplo 4.4 El esquema correspondiente al problema, se muestra en la figura IV.11.Para una entrada escalón unitario vs (t ) = u (t ) , se obtiene la respuesta mostrada en la figura IV.12

Figura IV.11 Donde I(L1) y V(C1:1) son las salidas mostradas en la figura IV.12, corriente en el inductor y voltaje en el capacitor, y V1 es la entrada.

Figura IV.12 Para una entrada vs (t ) = d (t ) , se obtiene una salida como la mostrada en la figura IV.13 170

Figura IV.13 Ejemplo 4.5 El esquema correspondiente al problema, se muestra en la figura IV.14.Para una entrada escalón unitario vs (t ) = u (t ) , se obtiene la respuesta mostrada en la figura IV.15

Figura IV.14 Donde I(L1) y V(C1:1) son las salidas mostradas en la figuraIV.15, corriente en el inductor y voltaje en el capacitor, y V1 es la entrada.

171

Figura IV.15 Para una entrada vs (t ) = d (t ) , se obtiene una salida como la mostrada en la figura IV.16

Figura IV.16 172

Ejemplo 4.6 El esquema correspondiente al problema, se muestra en la figura IV.17. Para una entrada escalón unitario vs (t ) = u (t ) , se obtiene la respuesta mostrada en la figura IV.18.

Figura IV.17 Donde I(L1) y V(C1:1) son las salidas mostradas en la figuraIV.18, corriente en el inductor y voltaje en el capacitor, y V1 es la entrada.

Figura IV.18 Para una entrada vs (t ) = d (t ) , se obtiene una salida como la mostrada en la figura IV.19 173

Figura IV.19 Ejemplo 4.7 El esquema correspondiente al problema, se muestra en la figura IV.20. Para una entrada escalón unitario vs (t ) = u (t ) , se obtiene la respuesta mostrada en la figura IV.21

Figura IV.20 Donde I(R1) e I(R2) son las salidas mostradas en la figura IV.21, corriente en el primario y corriente en el secundario y V1 es la entrada.

174

Figura IV.21 Ahora los voltajes de salida son V(TX1:1) y V(TX1:3), mostrados en la figura IV.22

Figura IV.22 175

EJERCICIOS RESUELTOS 1. El ejercicio plantea un t = RC = 1, y además una entrada vs (t ) = u (t ) , bajo estas condiciones se tomarán los valores de R=1W y C=1F. El esquema correspondiente a ello, se muestra en la figura IV.23.

Figura IV.23 Para dicha entrada, se tiene la salida V(C1), mostrada en la figura IV.24 y la entrada V1.

Figura IV.24 176

2. Un circuito RC, mostrado en la figura IV.25, con salida por resistor y con una entrada vs (t ) = 10(u (t ) - u (t - 0.1)) , si R=10KW y C=1mF, presenta una respuesta de la forma mostrada en la figura IV.26.

Figura IV.25 Donde V(R1) es la salida y V1 e la entrada, mostradas en la figura IV.26.

Figura IV.26 3. para el circuito de la figura IV.27, se tiene una entrada constante, para la cual se obtiene la forma de onda mostrada en la figura IV.28

177

Figura IV.27 Para determinar el valor pico de corriente se toman los cursores y se miden 910.891mA en un tiempo de 2.7763mseg

Figura IV.28 4. El problema se divide en tres simulaciones, primero para la posición 1 del swiche, segundo para la posición 2 y tercero para la posición 3. 178

Posición 1. El swiche permanece activo 300ms

Figura IV.29 La simulación correspondiente al circuito es la que se obtiene en la figura IV.30; durante el tiempo establecido, el voltaje en el capacitor es de 2.5970voltios.

Figura IV.30 Posición 2. El swiche permanece activo 250ms. Por lo tanto son 550ms de tiempo total . La simulación correspondiente al circuito es la que se obtiene en la figura IV.32, para un tiempo de 250.345ms el voltaje en el capacitor es de 1.6662voltios. 179

Figura IV.31

Figura IV.32 Posición 3. En esta posición el swiche permanece indefinidamente. Esto se muestra en la figura IV.33.

180

Figura IV.33 La simulación correspondiente al circuito es la que se obtiene en la figura IV.34, para un tiempo de 937.5ms el voltaje en el capacitor es de (-5)voltios.

Figura IV.34 5. El problema se divide en dos partes, la posición 1 donde permanece 5seg y la posición 2 donde se llega a estado estable a los 20seg Posición 1. El esquema correspondiente a dicha posición se muestra en la figura IV.35.

181

Figura IV.35 Como se observa en la figura IV.36 a los 5seg se alcanzan 993.290voltios, valor cercano a 1voltio, lo cual es esperado.

Figura IV.36 Posición 2. En esta posición el swiche permanece activo indefinidamente, pero se espera un estado estable 15seg después de que se abre el otro swiche. Su esquema se muestra en la figura IV.37.

Figura IV.37

182

En la figura IV.38, se ve cómo en un tiempo de 20seg se alcanza un nivel de 2.9975voltios, un valor muy aproximado a los 3voltios

Figura IV.38 6. El ejercicio plantea el encendido y apagado de una lámpara, esto se simulará con el disparo de un SCR, es un dispositivo que funciona solo en el momento que se envíen pulsos por el gate y este polarizado directamente, como se muestra en la figura IV.39. Para la entrada se toma una fuente con valor de 22.5voltios ya que con la caída de voltaje en el resistor se tiene a la salida 20voltios, lo cual es requerido.

Figura IV.39 183

La gráfica obtenida en la simulación, es la que se muestra en la figura IV.40, donde se percibe que la lámpara se cortocircuita cada 0.5 segundos.

Figura IV.40 7. Para la simulación del circuito mostrado en la figura IV.41, se tomaron como voltajes de entrada un voltaje pulsado vx (t ) = u (t ) - u (t - 1) y otro senoidal de amplitud 1voltio y frecuencia de 0.5Hz, esto se muestra en la figura IV.42.

Figura IV.41

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Figura IV.42 Se puede ver como la salida se corta inmediatamente después de que el pulso se vá a cero. 8. Para el circuito de la figura IV.43, se tiene en cuenta un k = 1 , ya que M = k × L1 × L 2 , y teniendo M = 1 y , se obtiene dicho valor. En la figura IV.44, se tiene la respuesta del capacitor V(C1:1) y las corrientes en los inductores, I(R1) es la corriente en el primario e I(R3) es la corriente en el secundario.

Figura IV.43

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Figura IV.44 9. Para determinar el voltaje en el capacitor en todo instante, para el esquema que se muestra en la figura IV.45. También es posible conocer las corrientes en los inductores L1 y L2, estas se muestran en la figura IV.46.

Figura IV.45

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Figura IV.46 La respuesta obtenida para el capacitor es la esperada de acuerdo al análisis teórico. 10. Para determinar los voltajes en los capacitores se realiza la simulación del circuito mostrado en la figura IV.47, teniendo en cuenta que la constante de tiempo es 1, se toma los valores R = 1W y C = 1F .

Figura IV.47

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La respuesta obtenida para cada uno de los capacitores se muestran en la figura IV.48, donde V(C1:1 ,C1:2) es el voltaje en C1 y V(C2:1) es el voltaje en C2.

Figura IV.48 11. Para el ejercicio se solicita conocer la respuesta al escalón para el capacitor de la figura IV.49 La respuesta obtenida se muestra en la figura IV.50 La cual es deseada.

Figura IV.49 188

Figura IV.50 12. El problema planteado en este ejercicio, solo fue resuelto para V1, pero en este caso se simularán los voltajes en los tres capacitores. La figura correspondiente al circuito sobre el cual se realiza la simulación es el mostrado en la figura IV.51.

Figura IV.51 La resistencia utilizada en paralelo es con el objeto de mantener un voltaje en el nodo común a los capacitores. El voltaje para C1, C2 y C3 se muestra en la figura IV.52, donde v1 = v(C1 ) , v2 = v(C2 ) , v3 = v(C3 ) . 189

Figura IV.52 La respuesta obtenida para cada capacitor es la deseada de acuerdo al análisis teórico.

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