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MATEMÁTICA II INEGENIERIA MECÁNICA INTEGRALES MÚLTIPLES INTRODUCCIÓN: En el capítulo 1 se planteo el problema de hallar el área comprendida entre la gráfica de una función positiva y = f(x) y el eje OX y las rectas x = a , x = b, a esta área se la representó como: b

 f x dx a

En este problema se calcula la primitiva de f(x) y con el cálculo de la integral definida se solucionó el problema

b

A   f x dx  F (b)  F (a).

Teorema de Barrow

a

Ahora el problema que se plantea es el cálculo del volumen de un prisma de base rectangular R a, b x c, d

  

Y limitado superiormente por la gráfica

z  f ( x, y)

A éste volumen se denota por:

  f ( x, y)dA R

Lic. Alejandro Chacha Cortez

1

MATEMÁTICA II INEGENIERIA MECÁNICA 1.

INTEGRALES DOBLES

Las integrales múltiples son una extensión de las integrales definidas de funciones escalares a campos escalares de dos o más variables. En el cálculo de la integral definida para una función de dos variables sabemos que se trata de una superficie, luego la región de integración sería de la forma:

a, bxc, d  , es decir un rectángulo de 

2

,

denotado como R. DEFINICIÓN: Se

f ( x, y) una función definida en una región rectangular R del plano:

R  a, bxc, d   x, y  / a  x  b  c  y  d  Se denomina integral doble de

f

en

R y se denota

d b

  f (x, y)dxdy a la integral de

f ( x, y) , cuyo límite exista

c a

Se puede escribir en la forma

  f ( x, y)dA , R

La integrabilidad de una función de dos variable indica que si una función es continua entonces es integrable 2.

INTEGRALES ITERADAS

Como no se puede evaluar la integral doble mediante su definición, porque esta no es operativa, se recurre a un procedimiento llamado integración sucesiva, que indicamos a continuación:

Teorema de Fubini Sea f ( x, y) una función continua sobre un rectángulo

R : a  x  b, c  y  d Entonces se puede calcular la integral doble  R  f ( x, y)dA por integración iterada en cualquier orden, es decir: db

bd

ca

ac

 R  f ( x, y)dA    f ( x, y )dxdy    f ( x, y )dydx Sea

f ( x, y) una función definida en una región R.

Lic. Alejandro Chacha Cortez

2

MATEMÁTICA II INEGENIERIA MECÁNICA d b

  f (x, y)dxdy c a

Se fija

y

y se integra

f con respecto a x :  f ( x, y)dx  g ( y)

Esta es la integral parcial de Luego se integra

f con respecto a x.

g con respecto a y:  g ( x, y)dy

De un modo similar, si consideramos a x fijo:

 f ( x, y)dy  h( x) Integral parcial de f con respecto a y. Luego se evalúa:  h( x)dx Se calcula entonces una integral doble por cálculo sucesivo de dos integrales: primero se integra con respecto a una variable y luego se integra el resultado con respecto a la otra variable. Cuando se realiza esta integración parcial sucesiva, se opera de dentro hacia fuera como se puede ver en las expresiones siguientes:

  f ( x, y)dxdy    f ( x, y)dxdy   f ( x, y)dydx    f ( x, y)dydx Las integrales de este tipo se llaman integrales iteradas. El teorema siguiente nos dice como evaluar integrales dobles.

Es decir, para calcular una integral doble se puede calcular una cualquiera de las integrales iteradas:

d b

b d   f ( x , y ) dx dy  f ( x , y ) dy       dx c a a c  

Ejercicio Nº 01 24

Calcule

  xydxdy

03

Ejercicio 2 Calcule  (2  R

y)dA

Donde R es el rectángulo del plano xy cuyos vértices son (0,0), (3,0), (3,2) y (0,2).

Lic. Alejandro Chacha Cortez

3

MATEMÁTICA II INEGENIERIA MECÁNICA

Ejercicio N º 03 5 6

Calcular

  12 x

2

y 5 dxdy

0 4

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES NO RECTANGULARES Una región se dice acotada si está contenida en un rectángulo, como muestra la

Región D

figura: Para resolver la integral doble sobre la región no rectangular D, podemos pensar en considerar regiones de tipo I (bandas verticales) y en regiones de tipo II (bandas horizontales), como indicamos a continuación:

Región de tipo I (banda vertical)

y

Una región de tipo I contiene puntos (x,y) tales que, para cada x fijo entre las dos constantes a y b, la coordenada

g1 ( x)

a

g 2 ( x) ,

donde

g1

y

y

varía de

g 2 son funciones continuas.

y =g2(x) A

y =g1(x) a

b

x

Región de tipo II (banda horizontal) Una región de tipo II contiene puntos (x,y) tales que, para cada coordenada

x varía de h1 ( y ) a h2 ( y ) , donde h1

y

h2

y

fijo entre las dos constantes

cy d ,

la

son funciones continuas.

y

d B x=h1(x)

x=h2(x)

c

x Lic. Alejandro Chacha Cortez

4

MATEMÁTICA II INEGENIERIA MECÁNICA

El teorema siguiente nos permite calcular una integral doble sobre una región de tipo I o de tipo II.

Teorema de Fubini para regiones no rectangulares b

y  g2 ( x)

a

y  g1 ( x )

Si D es una región de tipo I, entonces  D  f ( x, y)dA  

 f ( x, y )dydx

Siempre y cuando existan las dos integrales. De un modo similar, para una d

x  h2 ( y )

c

x  h1 ( y )

 D  f ( x, y)dA  

región de tipo II,

 f ( x, y )dxdy

Ejercicio Sea T la región triangular limitada por las rectas y = 0, y = 2x, x = 1. Calcule la integral doble  ( x 

y )dA por

T

integración iterada. a) Integrando primero con respecto a y. b) Integrando primero con respecto a x. Solución a) Fijo x entre 0 y 1, e y varía entre y=0

y

y=2x 2x

 y2    ( x  y )dA     ( x  y )dy dx    xy   dx 2 T 0 0   0 1 2 x

1





  2 x 2  2 x 2 dx  0

4 3 x 3

1

 0

4 3

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE

*

 kf x; y dA  k  f x; y dA ; k  . R

*

R

  f x; y   g x; y dA   f x; y dA   g x; y dA R

*

R

 f x; y dA  0

si

R

f ( x)  0 en .

R

*

 f x; y dA   g x; y dA R

si

f ( x, y)  g ( x, y) en .

R

Además hay una propiedad aditiva del dominio.

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5

MATEMÁTICA II INEGENIERIA MECÁNICA  f x; y dA   f x; y dA   f x; y dA , si R = R1  R2. R

R1

R2

Determinación de los límites de Integración. Ejercicio 2 2x

Dibuje la región de integración de:

  f x; y dydx, y exprese la integral como una integral doble equivalente con

0 x2

el orden de integración invertido.

Solución La región de integración viene dada por la desigualdad: x  y  2x; 2

0  x 2.

y y=2x

y =x2 0

2

x

4

Invertimos el orden de integración y obtenemos:

y

 dy  f x; y dy.

0

x

y 2

Ejercicios 1) Dibújese la región sobre la cual se realiza la integración, y escríbase la integral equivalente con el orden de integración invertido. Calcúlese ambas integrales. 1 1

  dxdy

0

y

2) En los problemas siguientes escriba la integral iterada equivalente. No integre, haga el gráfico. 1 x

a)

  f x; y dydx

0 x2 1 ex

b) 

 f ( x, y )dydx

0 1 2 x3

c)

  f x; y dydx

0 0

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6

MATEMÁTICA II INEGENIERIA MECÁNICA Solución

2 ex

e2 2

1)   dydx    dxdy  e  3. 0 1

2

1 ln y

y

1 x

1

0 x2

0 y

1) a)   f  x; y dydx    f  x; y dxdy. 1 ex

e 1

0 1

1 ln y

2 x3

8 2

0 0

03 y

b)   f ( x, y )dydx    f  x; y dxdy.

  f x; y dydx    f x; y dxdy.

c)

Ejercicios propuestos Evaluar las siguientes integrales dobles x

1)

  x.senydydx 

00

 senx

2)

  ydydx 

0 0 2 2 y

3)

  dxdy  1 y 1 y

4)

y

2

e xy dxdy 

0 0

5) Calcular

y  x  1  y    dA, Donde : R   x x  2   y  0 La región R es: 4 16 / x

6) Invierta el orden de integración para

  f ( x, y)dydx 2

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x

7

MATEMÁTICA II INEGENIERIA MECÁNICA 7) Hallar el volumen del solido limitado por: 2 y   12 x e dA, 2

8) Calcular

z = x2 + y2 y el punto z = 9

y  x3 Donde R :  y  x

en el primer cuadrante

Aplicaciones físicas de las integrales dobles Consideremos una lámina delgada L, que ocupa la región R del plano y cuyo espesor es despreciable. En dicha región de distribuye de manera continua una masa con densidad superficial (

).

Masa de la lámina (

∬

)

Momentos estáticos respecto de los ejes El momento estático

de un punto material (

respectivamente

) de una masa m, respecto al eje x y

respectivamente al eje y, es el producto de la masa por su distancia al eje x y respectivamente al eje y. Luego los momentos estáticos de la lámina L estarán dados por:

∬

∬

Centro de masa o centro de gravedad Se define como el punto en que se habría de colocar el punto de apoyo para que el sistema alcanzase el equilibrio. Viene dado por

(

)

Centro geométrico Las coordenadas ( ̅ ̅) del centroide de una región plana R de área ̅

̅ ∬

̅

̅

∬

∬

satisfacen las relaciones:

̅

o también

̅ ∬

∬

Momentos de inercia de L El momento de inercia de un punto material P de masa m, respecto a una recta r, o un punto

es el producto de

la masa por el cuadrado de la distancia de P a la recta o al punto. Y el momento de inercia de un conjunto de puntos materiales respecto a

, es la suma de los momentos de

inercia de los diversos puntos del conjunto. Por tanto, los momentos de inercia vendrán dados por: 

Respecto al eje x ∬



Respecto al eje y

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8

MATEMÁTICA II INEGENIERIA MECÁNICA ∬ 

Respecto al origen (denominado también momento de inercia polar)

)

∬( 

(

Respecto a un punto

)

∬

∬[(

)

(

)]

INTEGRALES TRIPLES DEFINICIÓN:

 





Nuestra región de integración se extiende a la forma a, b x c, d x e, g , es decir se tendría un paralelepípedo, una región de

 3 a la cual la denotaremos por Q

Sea f una función de tres variables definida en R

3

Q  a, bxc, d xe, g   ( x, y, z) / a  x  b  c  y  d  e  z  g Se denomina integral triple de f en Q y sede nota de la siguiente manera g d b

   f ( x, y, z)dxdydz e c a

Si existe este límite decimos que f es integrable en Q El teorema de Fubini es aplicable para estas integrantes,

porque como o las integrales dobles

estas pueden ser observadas por integrales iteradas

Ejemplo: Calcular el volumen de la región del espacio limitada 2

2

2

2

por las superficies cilíndricas x + z = 1, y + z = 1.

SOLUCIÓN

Podemos proyectar la región contra los planos xz o yz; por la simetría del problema da exactamente lo mismo; optemos por el xz. La proyección nos dará un círculo de radio 1. De este modo, tendremos los siguientes límites para las variables: 

La variable x tendrá como extremo inferior el valor -1 y como extremo superior el valor 1.

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9

MATEMÁTICA II INEGENIERIA MECÁNICA 2

2



La variable z oscilará entre la rama inferior y la superior de la circunferencia x + z = 1.



La variable y oscilará entre la semisuperficie inferior y la superior del cilindro centrado en el eje x, y + z = 1.

2

2

Expresado esto como límites de una integral triple, tendremos:

1

V 



1 x 2



1 z 2

1  1 x 2  1 z

1

dydzdx   2



1 x 2

1  1 x

2 2 1  z dzdx 2

(1)

En este momento puede resultar tentador el cambio a coordenadas polares. Sin embargo, se obtendría un integrando cuya primitiva no se puede expresar de forma compacta (comprobarlo). Tampoco puede

integrarse (1)

como está, pues también se llegaría a una expresión matemáticamente intratable. Nos queda otro recurso, sin embargo, y es el de cambiar el orden de integración. Tenemos así: 1

V 



1 x 2

1  1 x

1

2 1  z 2 dzdx   2



1 z 2

1  1 z

1

2 1  z 2 dxdz   4(1  z 2 )dz  ···  2 1

16  3

Ejemplo: Encontrar el volumen de la tregion acotada por:

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z  x 2  3y 2

y

1 z  12  x 2 3

10

MATEMÁTICA II INEGENIERIA MECÁNICA PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES Como en el caso de las integrales dobles, las triples cumplen también las propiedades de linealidad, aditividad respecto a la región de integración, leyes de monotonía y el teorema de la media, cuyos enunciados son análogos a los correspondientes para las integrales dobles.

∭

(

∭(

)

)

∭ (

∭

)

∭

∭

∭

∭

∭

∭

∭

∭

CÁLCULO DE INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CARTESIANAS O RECTANGULARES En general, no se calcula una integral triple a partir de su definición como límite dirigido de unas sumas de Riemann. Aunque sí se utiliza la definición cuando es necesario recurrir a hallar valores aproximados, utilizando métodos numéricos. Para calcular valores exactos, se aplica la versión tridimensional del teorema de Fubini visto para las integrales dobles que permitía resolverlas mediante reiteración de integrales simples. En el caso de integrales triples, se necesitarán tres integrales simples reiteradas. ( )

∭ (

)

∫ ∫ ( )

(

)

(

∫ (

( )

)

)

∫ ∫ ( )

(

)

(

∫ (

)

)

Tomando los límites de integración de forma que cubran la región R, pudiendo variarse el orden de integración seis (6) formas distintas. CÁLCULO DE INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS Son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje. El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en

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11

MATEMÁTICA II INEGENIERIA MECÁNICA aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana. Coordenadas cartesianas: ( Coordenadas cilíndricas: (

) )

Relación entre las coordenadas cartesianas y cilíndricas: { Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por ( 

) (figura1) donde:

: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY



: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano XY.



: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.

Los rangos de variación de las tres coordenadas son: La coordenada acimutal La coordenada radial ahí,

se hace variar en ocasiones desde (

)

es siempre positiva. Si reduciendo el valor de

vuelve a aumentar, pero

(

).

llega a alcanzarse el valor cero, a partir de

aumenta o disminuye en π radianes.

El elemento de volumen para subdividir una región en el espacio con coordenadas cilíndricas es:

Las integrales triples en coordenadas cilíndricas son evaluadas como integrales iteradas. ( )

∭ (

)

∫ ∫ ( )

(

)

(

∫ (

)

)

Tomando los límites de integración de forma que cubran la región R. CÁLCULO DE TRIPLES EN COORDENADAS ESFÉRICAS. Las coordenadas polares esféricas son una generalización de las coordenadas polares en tres dimensiones. El sistema de coordenadas

esféricas se basa en la misma idea que las

coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes (figura 3): : es la distancia de P al origen : es el ángulo que ⃗⃗⃗⃗⃗ forma con el eje z positivo (

) : es el ángulo de

las coordenadas cilíndricas

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de

(

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), siendo el cero el plano XY.

12

MATEMÁTICA II INEGENIERIA MECÁNICA También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de (

) o de

(

).

Las integrales triples en coordenadas esféricas son evaluadas como integrales iteradas. ( )

∭ (

)

∫ ∫ ( )

(

)

(

∫ (

)

)

Tomando los límites de integración de forma que cubran la región R. APLICACIONES DE LA INTEGRAL TRIPLE Masa de un sólido Si

es una función densidad continua de un sólido que corresponde a una región sólida Q, la masa m del sólido

viene dada por:

∭ (

)

Momentos de primer orden 

Primer momento del sólido respecto al plano yz

(

∭ 

Primer momento del sólido respecto al plano xz

(

∭ 

)

)

Primer momento del sólido respecto al plano xy

(

∭

)

Centro de masa Si la masa del sólido es m, las coordenadas del centro de masa de la región sólida Q son:

( ̅ ̅ ̅) ̅

̅

̅

Momentos de inercia de una región sólida 

Momento de inercia con respecto al eje x

∭( 

) (

)

Momento de inercia con respecto al eje y

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13

MATEMÁTICA II INEGENIERIA MECÁNICA ) (

∭( 

Momentos de inercia con respecto al eje z

) (

∭( 

)

)

Momentos de inercia con respecto al origen

) (

∭(

)

Valores promedios

̅

∭

(

)

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