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• Jose Fernando Gomez

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Operaciones de Molienda y Transporte de Alimentos

Filtració n

CAPITULO VII

OPERACIÓN DE FILTRACION ---------------------------------------------------------------------------------------------------------OBJETIVO: Dar a conocer el fundamento de las operaciones de filtración y cálculos de diseño usados en la Industria Alimentaria. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------7.1 FILTRACIÓN La separación de los sólidos de una suspensión haciéndola pasar a través de un medio poroso o malla el cual retenga los sólidos y permita el paso del líquido es llamada filtración. En general, los poros del medio serán más grandes que las partículas que serán removidas, y el filtro trabajará eficientemente sólo después de que un depósito inicial sea retenido en el medio. En el laboratorio, la filtración es a menudo llevada a cabo en una forma de embudo Büchner, y el líquido es succionado a través de la capa delgada de partículas utilizando una fuente de vacío. En los casos más simples la suspensión es colada dentro de un filtro cónico provisto de un papel filtro. En el equivalente industrial de tal operación, las dificultades están relacionadas con el manejo de grandes cantidades de suspensiones y sólidos. Con el propósito de lograr una alta velocidad de paso de líquido a través de éstos, altas presiones son generalmente aplicadas y para cuando una alta capacidad es requerida se hace necesaria una gran área de filtración. Una operación típica de filtración se ilustra en la Figura 7.1 la cual muestra el medio filtrante, en este caso una tela, su soporte y la capa de sólidos, o torta de filtración la cual ya está formada.

Figura 7.1: Principios de filtración (Coulson y Richardson, 1998).

Alberto L.Huamaní Huamaní

1

Operaciones de Molienda y Transporte de Alimentos

Filtració n

La filtración es esencialmente una operación mecánica que demanda poca energía comparada con la evaporación o el secado donde el calor latente del líquido (usualmente agua) tiene que ser suministrado. En la operación típica mostrada en la Fig.1, la torta crece gradualmente sobre el medio, incrementándose progresivamente la resistencia para el flujo del líquido. Durante el periodo inicial de flujo, las partículas son depositadas en las capas superficiales del medio filtrante. Los factores más importantes de los cuales depende la velocidad de filtración son: 1. La caída de presión desde la alimentación hasta el lado más lejano del medio filtrante. 2. El área de la superficie filtrante. 3. La viscosidad del filtrado. 4. La resistencia de la torta de filtración. 5. La resistencia del medio filtrante y las capas iniciales de la torta. El tipo de filtración descrito es usualmente conocido como filtración de torta; la proporción de los sólidos en la suspensión es grande y la mayoría de las partículas son acumuladas en la torta de filtración, la cual puede ser subsecuentemente separada del medio (Coulson y Richardson, 1998). 7.1.1 Teoría de la filtración La teoría de la filtración es valiosa para interpretar resultados de laboratorio, buscar condiciones óptimas de filtración y predecir los efectos de los cambios en las condiciones operacionales. El empleo de esta teoría está limitado por el hecho de que las características de filtración se deben determinar siempre en la lechada real que se trate, puesto que los datos obtenidos con una lechada no son aplicables a otra (Velezmoro, 2002). En la filtración se manejan dos métodos de operación totalmente diferentes: si la presión se mantiene constante la velocidad de flujo disminuirá progresivamente, mientras que si la velocidad de flujo se mantiene constante la presión debe incrementarse gradualmente. Las tortas de filtración pueden dividirse en dos clases: tortas incomprensibles y comprensibles. En el caso de una torta incomprensible, la resistencia a fluir de un volumen dado de torta no es apreciablemente afectada tampoco por la diferencia de presión a través de la torta o por la velocidad de deposición del material. Por otro lado, con una torta compresible un incremento de la diferencia de presión o de la velocidad de flujo causa la formación de una torta más densa con una mayor resistencia. Debido a que las partículas que forman la torta son pequeñas y el flujo a través del lecho es lento, el flujo es normalmente laminar. Si además la torta es incompresible, la velocidad de flujo puede representarse como:

v

1 dV f A f dt f



3

P 2 51   s  f l

(1)

2

En esta ecuación, Vf es el volumen de filtrado que ha pasado en un tiempo tf, Af, Área de la sección transversal de la torta de filtrado, v es la velocidad superficial de filtrado, lAlberto es elL.Huamaní grosor de la torta, S es la superficie específica de las partículas, e es la porosidad, 2 Huamaní

Operaciones de Molienda y del Transporte de μ es la viscosidad filtrado, y ΔP es la diferencia de presión aplicada.Filtració En la Alimentos n derivación de esta ecuación se asume que la torta es uniforme y que la porosidad es constante. La

Alberto L.Huamaní Huamaní

3

3

 es entonces una propiedad de las partículas que forman la torta, y 2 5 1    s

cantidad

2

debería ser constante para un material dado. Por tanto

1 dV f P  A f dt f r f L

(2)

De donde

5 1    s 2

r 



2

(3)

3

La ecuación (2) es la ecuación básica de filtración y “r” es llamado resistencia específica. Para tortas incompresibles éste se toma como constante pero dependerá de la velocidad de deposición, naturaleza de las partículas, y de las fuerzas entre las partículas. En la ecuación (2) las variables l y Vf están relacionadas por el balance de material entre los sólidos de la lechada y la torta. El resultado de este balance permite la obtención de una relación básica entre (-ΔP), Vf y tf dada por:

dVf  P   Af dt f r f vl

(4)

Donde Vf es el volumen de torta depositado por unidad de volumen del filtrado (Coulson y Richardson, 1998). 7.1.2 Flujo de líquido a través de la tela Un trabajo experimental sobre el flujo del líquido a través de un medio poroso a bajas velocidades de flujo ha mostrado que la velocidad de flujo es directamente proporcional a la diferencia de presión. Siendo la resistencia de la tela más las capas iniciales de partículas depositadas de importancia, ya que estas últimas no solamente forman el verdadero medio filtrante sino que además pueden bloquear los poros de la tela incrementando así su resistencia. Las telas podrían tener que desecharse debido a tensiones mecánicas (Coulson y Richardson, 1998). 7.1.3 Flujo de filtrado a través de la tela y torta combinadas Sean la tela filtrante y las capas iniciales de torta equivalentes a un grosor L de torta depositada más adelante en el proceso. Entonces si (-ΔP) es la caída de presión a través de la torta y tela combinadas:

1 dV f



Af dt f



 P  r  f l  L 

(6)

Integrando esta ecuación entre los límites tf = tf1, Vf = Vf1 y tf = tf, Vf = Vf para filtración a presión constante:

tt1f  r f v r f vV f 1 r f L  V  V f  V f 1 A 2  P   V f 1  A 2 f  P  f  P  f A f

(7)

Figura 7.2: Curva típica de filtración (Geankoplis, 1998). Por eso hay una relación lineal entre (tf-tf1)/(Vf-Vf1) y (Vf-Vf1) (como se muestra en la Figura 7.2) y la pendiente es proporcional a la resistencia específica, como en el caso del flujo de filtrado a través de la torta de filtrado sola, pero la línea no cruza el origen. El intercepto sobre el eje de (tf-tf1)/(Vf-Vf1) debiera permitir que L, el grosor equivalente de la tela, sea calculado pero no se obtienen resultados reproducibles porque esta resistencia es críticamente dependiente de la manera exacta en como la operación es comenzada. El tiempo al cual la medición de Vf y tf es tomado no afecta la pendiente de la curva, solamente al intercepto. Se notará que una relación lineal entre t f y Vf2 no es ampliamente obtenida cuando la resistencia de la tela es apreciable (Coulson y Richardson, 1998). 7.2

FILTROS PRENSA DE PLACAS Y MARCOS

Estos filtros consisten de placas y marcos alternados con una tela filtrante a cada lado de las placas. Las placas tienen incisiones con forma de canales para drenar el filtrado en cada placa. La suspensión de alimentación se bombea en la prensa y fluye a través del conducto al interior de cada uno de los marcos abiertos, de manera que va llenando los espacios vacíos. El filtrado fluye entre la tela filtrante y la superficie de la placa, a través de los canales y hacia el exterior, mientras los sólidos se acumulan como torta en los marcos. La filtración continúa hasta que los marcos quedan completamente llenos de

sólidos, como se muestra en la Figura 7.3. En este caso el filtro prensa tiene una descarga abierta individual para cada marco, que permite una inspección visual para verificar la

transparencia del líquido filtrado. Si una de las salidas descarga líquido turbio debido a una perforación de la tela o a otras causas, se puede cerrar por separado y continuar con la operación. Cuando los espacios están totalmente llenos, las placas y los marcos se separan y se extraen las tortas. Después se vuelve a armar el filtro y se repite el ciclo. Las prensas de placas y marcos presentan los inconvenientes comunes a todos los procesos por lotes. El costo de mano de obra para extraer las tortas y volver a ensamblar la unidad, más los costos fijos por tiempos muertos, pueden constituir una porción muy elevada de los costos totales de operación. Algunos modelos modernos de prensas de placas y marcos tienen un juego duplicado de marcos montados en un eje giratorio. Mientras se usa la mitad de los marcos, la otra mitad se descarga y se limpia, lo que reduce los costos de mano de obra. Existen también sistemas automatizados que se han aplicado a estos tipos de filtros (Geankoplis, 1998).

Figura 7.3: Sección transversal de un filtro prensa (Moir, 1982). Los filtros prensa, como el de la Fig. 3.6, se usan en los procesos por lotes pero no se pueden emplear para procesos de alto rendimiento. Se manejan con facilidad, son versátiles y de operación flexible y se pueden utilizar a altas presiones si es necesario, con soluciones viscosas o cuando la torta del filtro tiene una gran resistencia (Geankoplis, 1998). Los filtros prensa se fabrican en un amplio rango de tamaños, desde marcos de 100 100 mm, que tienen su mayor uso en el laboratorio, hasta 1.5 1.5 m con un grosor de marcos de 75 mm grosor (Coulson y Richardson, 1998). La presión de alimentación para filtros prensa es usualmente de 690 kPa o menos, aunque algunos modelos estándares pueden operar hasta presiones de 2070 kPa y modelos especiales hasta 6900 kPa. Son equipos compactos que ocupan poco espacio y pueden presentar una superficie de filtración de hasta 400 m2. 7.2.1 Tiempo de ciclo óptimo El grosor óptimo de torta que se formará en un filtro prensa depende tanto de la resistencia ofrecida por la torta y del tiempo que tomará para desmantelar y volver a equipar la prensa. Aunque la producción de una torta delgada resulta en una alta velocidad de

filtración, es necesario desmantelar más a menudo la prensa y esto demanda un tiempo para la operación. Para una filtración llevada enteramente a presión constante:

tf r f L r f v  V  2 V f 2 f  P  A f  P  A f tf Vf

(8)

 B1V  B2

(9)

f

Donde B1 y B2 son constantes. De esta manera el tiempo de filtración tf es dado por:

t f  B1V2  B2V f

(10)

f

El tiempo de desarme y montaje de la prensa (t´) es sustancialmente independiente del grosor de la torta producida. El tiempo total de un ciclo en el cual un volumen V f de filtrado es recolectado es entonces tf + t´ y la velocidad de filtración global (W) está dada por:

Vf W  2 B1V f  B2V  t ' f

(11)

W es un máximo cuando dW/dVf = 0. Derivando W con respecto a Vf e igualando a cero:

B1V 2  B2 Vf  t 'V 2B1 f

f

f

 B2   0

(12)

V

t '  B1V2

(13)

f

Si la resistencia del medio filtrante es despreciable, t f  B V 2 , entonces el tiempo de 1 f

filtración es exactamente igual al tiempo en que la prensa está fuera de servicio. En la práctica, a fin de obtener la máxima velocidad de filtración global, el tiempo de filtración siempre deberá ser algo mayor a fin de tomar en cuenta la resistencia de la tela (representada por el término B2Vf). En general, una baja resistencia específica de la torta provocará utilizar marcos de menor grosor (Coulson y Richardson, 1998).

Ventajas del filtro prensa: 1. Debido a su simplicidad es muy versátil y puede usarse en un amplio rango de materiales bajo condiciones de operación variable de grosor de torta y presión. 2. El costo de mantenimiento es bajo. 3. Provee una gran área de filtración en un espacio pequeño y pocas unidades adicionales son necesarias. 4. La mayoría de las conexiones son externas y las fugas son fácilmente detectadas. 5. Presiones altas son obtenidas fácilmente.

6. Es igualmente adecuado cuando el producto principal es tanto la torta como el líquido (Coulson y Richardson, 1998). Rangos de aplicación del filtro prensa (Moir, 1982): Propiedades de la suspensión Tamaño de partícula, μm Contenido de sólidos, % Velocidad de acumulación de torta

1-100 0.001-40 Media-Baja

Requerimientos de proceso Velocidad de producción de sólidos Baja-Alta Humedad de la torta Baja Aplicación en la recuperación de sólidos Sí Aplicación en la clarificación Sí Posibilidad de lavado Riesgo de rotura del cristal Contención de vapor Operación por encima o debajo de la temperatura ambiente Área de filtración máxima por unidad, m2 7.3

Aceptable Bajo No Sí 400

DISEÑO DEL FILTRO PRENSA

Para el dimensionamiento del filtro prensa de placas y marcos se utilizan varias ecuaciones que a continuación se presentan y además se resuelven con un programa elaborado en MATLAB. De igual manera que para cualquier proceso de separación, en el filtro prensa se alimenta la suspensión al equipo y éste permite la obtención de una fase sólida y otra líquida. Estando el balance de materia dado por:

Fig. 4 Balance de materia. Balance general:

Ca sus  Ca f  Ca

(14)

y

Balance de líquido:

1

xsusp



Ca

sus



1

x

sus

C (1 a

5)

f

Balance de sólidos:



susp

Ca

sus

 

 y y Cay

(16)

En el programa elaborado en MATLAB se resuelve el balance para obtener simultáneamente el volumen de filtrado y la cantidad de levadura separada. Para el diseño del filtro prensa se sigue la siguiente metodología de cálculo: 1. El área de filtración utilizada en el equipo piloto se determina mediante la ecuación:

Afu  2nmu * Amu

(17)

2. Se calcula el volumen de torta depositado por unidad de volumen de filtrado con la ecuación:

v 

nmu * gmu * Afu Vf

(18)

3. La resistencia específica de la torta se obtiene a través de la ecuación:

r

2B1 *2 A f * P  fv

(19)

4. La resistencia del medio filtrante se calcula con la ecuación:

Rm  r * L

(20)

5. El área requerida de filtración se obtiene resolviendo la ecuación (8). 6. El número de marcos requerido se calcula mediante la ecuación (18). 7. El área de cada marco se determina a través de la ecuación (17). 8. El tiempo de desmantelamiento y ensamblaje de la prensa se calcula con la ecuación (13). 9. El tiempo total de un ciclo de filtrado se computa como la suma del tiempo que dura la operación de filtrado (tf) más el tiempo de desmantelaje y ensamble de la prensa (t’).

tciclo  t f  t '

(21)

7.3.1

Programa de diseño

Formulario

Programa function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles) X=str2num(get(handles.edit1,'string')); Y=str2num(get(handles.edit2,'string')); V_cf =str2num(get(handles.edit3,'string')); dc=str2num(get(handles.edit4,'string')); d_sl=str2num(get(handles.edit5,'string')); v =str2num(get(handles.edit6,'string')); Q=str2num(get(handles.edit7,'string')); Fs_v=str2num(get(handles.edit8,'string')); Fs_m =str2num(get(handles.edit9,'string')); t_f =str2num(get(handles.edit10,'string')); Per =str2num(get(handles.edit11,'string')); nfu =str2num(get(handles.edit12,'string')); gfu=str2num(get(handles.edit13,'string')); Afu=str2num(get(handles.edit14,'string')); lc=str2num(get(handles.edit15,'string')); gfn=str2num(get(handles.edit16,'string')); P =str2num(get(handles.edit17,'string')); % GRAFICO DE REGRESSION LINEAL aj = polyfit(X,Y,1); XX = X(1):0.0001:X(length(X)); YY = polyval(aj,XX); plot(XX,YY,'k');hold on plot(X,Y,'*r') axis('square') axis([0,0.013,150000,211000]) xlabel('V, m^3') ylabel('t/V, s/m^3')

set(gca,'FontSize',10) title('Curva de Filtración') m = aj(1); % Pendiente de la curva de filtración; [s/m^6] % CALCULO DE LAS RESISTENCIAS LOCALES A = 2*nfu*Afu; % Área de filtración utilizada; [m^2] vc = v*dc; % Viscosidad de la cerveza; [Pa.s] v_tf = (nfu*gfu*A)/V_cf; % Volumen de torta depositada por unidad de volumen de % filtrado obtenido; [m^3/m^3] r = 2*m*A^2*P/(vc*v_tf); % Resistencia especifica de la torta; [1/m^2] Rm = r*lc; % Resistencia del medio de filtración [1/m] % CÁLCULOS PARA EL DISEÑO DEL FILTRO PRENSA m_cake = Q*d_sl*Fs_m; % Cantidad de levadura separada; [kg/h] V = (1 - Fs_v)*Q; % Volumen de filtrado obtenido [m^3/h] V_t = V*((100-Per)/100); % Volumen final - perdida [m^3/h] a = t_f; b = -Rm*vc*V/P; c = -r*vc*v_tf*V^2/(2*P); An = (-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a); % Área de filtración requerida; [m^2] n_fr = v_tf*V/(gfn*An); % Número de marcos nfr = ceil(n_fr); % Número de marcos requerido Afr = An/(2*nfr); % Área de marcos requerida; [m^2] t_d = (r*vc*v_tf*V^2)/(2*An^2*P); % Tiempo de desarme y ensamblaje de la prensa; [s] 22 t_ciclo = (t_d + t_f)/3600; % Tiempo del ciclo total; [h] % SALIDAS DE RESULTADOS set(handles.edit31,'string',A); set(handles.edit24,'string',vc); set(handles.edit25,'string',v_tf); set(handles.edit26,'string',r); set(handles.edit27,'string',Rm); set(handles.edit28,'string',m_cake); set(handles.edit29,'string',V); set(handles.edit30,'string',V_t); set(handles.edit18,'string',An); set(handles.edit19,'string',n_fr); set(handles.edit20,'string',nfr); set(handles.edit21,'string',Afr); set(handles.edit22,'string',t_d); set(handles.edit23,'string',t_ciclo); function pushbutton2_Callback(hObject, eventdata, handles) close function pushbutton3_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to pushbutton3 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) set(handles.edit1,'string',''); set(handles.edit2,'string',''); set(handles.edit3,'string','');

set(handles.edit4,'string',''); set(handles.edit5,'string',''); set(handles.edit6,'string',''); set(handles.edit7,'string',''); set(handles.edit8,'string',''); set(handles.edit9,'string',''); set(handles.edit10,'string',''); set(handles.edit11,'string',''); set(handles.edit12,'string',''); set(handles.edit13,'string',''); set(handles.edit14,'string',''); set(handles.edit15,'string',''); set(handles.edit16,'string',''); set(handles.edit17,'string',''); set(handles.edit18,'string',''); set(handles.edit19,'string',''); set(handles.edit20,'string',''); set(handles.edit21,'string',''); set(handles.edit22,'string',''); set(handles.edit23,'string',''); set(handles.edit24,'string',''); set(handles.edit25,'string',''); set(handles.edit26,'string',''); set(handles.edit27,'string',''); set(handles.edit28,'string',''); set(handles.edit29,'string',''); set(handles.edit30,'string',''); set(handles.edit31,'string',''); Resultados

7.4

PROBLEMAS DE FILTRACION

1. Se tiene un jugo de piña a filtrar y cuenta con los siguientes datos de filtración a 278.2ºK (05ºC), a presión constante (-ΔP) de 46,2 KN/m2. El área de la prensa de placas y marcos es 0,0439 m2 y la concentración de la suspensión es 23,47 Kg solido/m3 de filtrado. Calcúlense las constantes α y Rm a partir de los siguientes datos experimentales: V(m3) 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003

t(min) 17.5 41.3 72 108.3 152 201.7

Solución Para el diferencial de tiempo dt1= dt1-dt0=17,5-0=17,5 dt2= dt2-dt1=41,3-17,5=23,8 Para el diferencial de volumen dV1= dV1-dV0=0,0005-0=0,0005 dV2= dV2-dV1=0,001-0,0005=0,0005 Para el volumen promedio Vpromd1=(V1+V0)/2= (0,0005+0)/2=0,00025 Vpromd2=(V2+V1)/2= (0,001+0,0005)/2=0,00075 V(m3) 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003

t(s) 17.5 41.3 72 108.3 152 201.7

dt 17.5 23.8 30.7 36.3 43.7 49.7

dV 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005

Vpromd 0.00025 0.00075 0.00125 0.00175 0.00225 0.00275

dt/dV 35000 47600 61400 72600 87400 99400

Realizamos la gráfica de dt/dV en función del volumen promedio (Vpromedio) y obteniéndose lo siguiente:

Filtracion a presion constante 120000.00 y = 3E+07x + 28439 R² = 0.9992

dt/dV

100000.00

60000.00 40000.00 20000.00 0.00 0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030 Vpromd(m3)

Datos: Cs =23,47Kg/m3 A =0,0439m2 -ΔP =46200N/m2=4345,2 kg/m2 μ =8.937 x10-4 kg/m-s

Del gráfico se obtiene: Kp =25908571,4 s/m6 B =28370, 4762 s/m3 kp 



 Cs A

2

P

(25908571,4s/m6 ) * (0,0439m 2 ) (46200N/m2 ) 2 2

3

(0,000893N.s / m ) * (23,47kg / m )

  1,10x1011

kg m

B

 Rm A P

Rm 

3

2

28370,4762s/m * 0,0439m * 2 46200N/m 0,0008937N.s / m 2



10

B  6,44x10

1 m

2. Se cuenta con los siguientes datos para filtrar en el laboratorio una suspensión acuosa a 298.2 K (25°C), a presión constante (-ΔP) de 338 kN/m2. El área de filtración de la prensa de placas y marcos es A = 0,0439 m2, y la concentración de la suspensión es Cs = 23,47 kg/m3. Calcule las constantes α y Rm, en base a los datos experimentales, si t es el tiempo en s y V es el volumen de filtrado recolectado en m3. V(m3) 0.000489 0.001 0.001501 0.002 0.002489 0.003002 0.003506 0.004004 0.004502 0.005009

t(s) 4.4 9.5 16.3 24.6 34.7000 46.1 59.0 73.6 89.4 107.3

Solución Primero se calculan los datos como t/V y se tabulan en la tabla. Se construye la gráfica de t/V contra V, y se determinan la intersección y el intercepto. V(m3) t(s) dt dV Vpromd dt/dV 0.0005 4.4000 4.4000 0.0005 0.0002 8998 0.0010 9.5000 5.1000 0.0005 0.0005 9980 0.0015 16.3000 6.8000 0.0005 0.0008 13573 0.0020 24.6000 8.3000 0.0005 0.0010 16633 0.0025 34.7000 10.1000 0.0005 0.0012 20654 0.0030 46.1000 11.4000 0.0005 0.0015 22222 0.0035 59.0000 12.9000 0.0005 0.0018 25595 0.0040 73.6000 14.6000 0.0005 0.0020 29317 0.0045 89.4000 15.8000 0.0005 0.0023 31727 0.0050 107.3000 17.9000 0.0005 0.0025 35306

40000 35000

y = 1E+07x + 4911.2 R² = 0.9947

30000 dt/dV

25000 20000 15000 10000 5000 0

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

V promd

Cs =23, 47 Kg/m3 A =0, 0439 m2 -ΔP =338 kN/m2 μ =0,0008937 N*s/m2 Del gráfico se obtiene: Kp =1x107 s/m6 B =4911,2s/m kp 



 Cs A

2

P

(1x107 s/m6 ) * (0,0439m 2 ) (338000N/m 2 ) 2 2

3

(0,000893N.s / m ) * (23,47kg / m )

  .......... .

kg m

B

 Rm A P

Rm 

3

2

4911,2s/m * 0,0439m * 2 338000N/m 0,0008937N.s / m 2



0.0030

B  .......... ......

1 m

3. En los ensayos efectuados en el laboratorio en un filtro de 8,506 m2 se realizó un proceso de filtración de una solución acuosa que contiene un 10% de sólidos en suspensión, si la caída de presión que experimenta le fluido al atravesar la torta y el medio filtrante es de Δ P = 3 atm. Si por cada kg de torta húmeda se obtiene 0,5 kg de torta seca. Obteniéndose los siguientes resultados de filtrado: Calcular el coeficiente de compresibilidad y resistencia del medio filtrante. Cuadro1. Resultados experimentales de filtración t(s) V(m3) 480.0 1.6 1080.0 2.7 1860.0 3.72 2940.0 4.9 4200.0 6 5700.0 7.125 Considerará la densidad de la solución acuosa 1000 kg/m3. Viscosidad = 1,2 mPa.s SOLUCION Datos del equipo A = 8,506 m2 ΔP = 3 atm = 3 x 9,8 x 104 Pa Datos de la suspensión Cs = 10%= 0,010kg/m3 Datos del filtrado µ = 1,2 mPa.s = 1,2 x 10-3 Pa.s SOLUCION A continuación procesamos los valores experimentales V(m3) t(s) dt dV Vpromd 1.6 480 480.0000 1.6000 0.8000 2.7 1080 600.0000 1.1000 1.3500 3.72 1860 780.0000 1.0200 1.8600 4.9 2940 1080.0000 1.1800 2.4500 6 4200 1260.0000 1.1000 3.0000 7.125 5700 1500.0000 1.1250 3.5625

dt/dV 300 545 765 915 1145 1333

A continuación graficamos t/V en función del Vprom y realizamos el ajuste lineal de los datos experimentales

dt/dV

1500 1000

y = 367.4x + 36.617 R² = 0.9948

500 0

0.0000

1.0000

2.0000

3.0000

4.0000

V promd

De acuerdo a la ecuación de filtración la ecuación general de filtración a presión constante es: dt  k pV  B (1) dV La ecuación a partir de los datos obtenidos de la gráfica es:

dt  367,4V  36,617 dV

(2)

s K p  367,4 6 m s B  36,617 3 m kp 

 Cs A

2

P

(367,4 s/m6) * (8,506m 2 ) (3 x 9,8 x Pa)   4 2 10 -3 3 (1,2 x 10 Pa.s) * (0,10kg / m )

  .......... .

kg m

B

 Rm A P 3

2

36,617s/m * 8,506m * 3 x 9,8 x 10 Rm  Pa 1,2 x 10-3 Pa.s

4

B  .......... ......

1 m

4. En los ensayos efectuados en el laboratorio de 0,465 m2 de área se realizó un proceso de filtración a presión constante con un P =5,52x105 N/m2. Obteniéndose los siguientes resultados: t (s) 0 3 V (m ) 0,0

15,96 0,010

51,96 0,020

108 0,030

186 0,040

Con la ayuda de estos datos se desea realizar el proceso en un filtro industrial para lo cual se cuenta con la misma suspensión, pero con una concentración 80% mayor y con una diferencia de presiones de 4,14x105 N/m2 constante. Se desea saber el volumen de filtrado que pasará a través del filtrado industrialmente en una hora, si la nueva área de filtración es de 1,30 m2. Solución. V(m3) 0.01 0.02 0.03 0.04

t(s) 15.96 51.96 108 186

dt 15.9600 36.0000 56.0400 78.0000

dV 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100

Vpromd 0.0050 0.0150 0.0250 0.0350

dt/dV 1596 3600 5604 7800

dt/dV

presion constante 9000.00 8000.00 7000.00 y = 206160x + 526.8 R² = 0.9995 6000.00 5000.00 4000.00 3000.00 2000.00 1000.00 0.00 0.0000 0.0100 0.0200 Vpromd(m3)

dt  K p1V  B1 dV

(Experimental)

dt  266160V  526,8 dV

0.0300

0.0400

dt  K p 2V  B2 (Industrial) dV Relacionando las constantes, Kp y B

 Cs1 2 A1 P1  Cs kp2  2 2 A2 P2  kp1 

(1)

(2)

Relacionando ecu. 2 y ecu. 1

Cs2

A P2   2 Cs1 kp1 2 A1 P1 

kp2

2

kp2 A1 P1 Cs2  kp1 A22 P2 Cs1 2

A1 P1 1,8Cs1  2

kp2  kp1

2

A2



P2 Cs1 

Reemplazamos los valores respectivos 6

Kp 2  (206160s / m )

(0,465m 2) 2 (5,52x105N / m 2 )(1,8) (1,30m 2 ) 2 (4,14x105 N / m 2 )

Kp2  8172,84s / m6 El valor de la constante B es:

B1 

Rm

A1 P

1

B 2 

Rm

A P  2

2

Relacionando las constantes y despejando B2 se tiene:

B2  B 1

A1 (P)1 A2(P) 2

B2 

2

5

526,8(0,465m )(5,52x10 N / m 2 5 2 ) (1,3m )(4,14x10 N / m )

2

B2  251,24s / m3 Se tiene la ecuación general de filtración a presión constante dt  kp2V  B2 dV

2

t  kp2 V  B2V 2

Reemplazando el valor del tiempo 3600s  8172,84 V

V 

2

 251,24V

3600 s  4086,42V 2  251,24V

2

5. En un filtro de hojas se estudia las características de una suspensión efectuando una serie de experiencias de laboratorio a una velocidad de filtración constante de 1 litro/min. Los resultados de tales experiencias han sido los siguientes: t (min) 2 4 P (atm) 0,75 1,5

6 1,38

8 1,9

10 2,2

12 2,65

14 3.0

Una vez conocidas las características de la suspensión y del filtrado, el ciclo de filtración se realiza de modo siguiente a nivel piloto de la siguiente manera: a. Se comienza a filtrar a velocidad constante de 2,5 litros por minuto, hasta que la diferencia de presión sea de 2,5 atm. b. Se continúa después la filtración a presión constante de 2,5 atm hasta que el volumen de filtrado sea de 80 litros. c. Se lava la torta sobre el mismo filtro con 30 litros de un líquido de propiedades análogas a las del filtrado manteniendo constante la diferencia de presión de 2,5 atm. d. Se descarga y acondiciona el filtro en cuya labor se emplea 20 minutos. Calcúlese: a. Tiempo de filtración y volumen de filtrado a velocidad constante. b. Tiempo de filtración a presión constante. c. Tiempo de lavado y tiempo total del ciclo. SOLUCION

Proceso

dV  1L/min dt

Laboratorio a

Filtración A Velocidad cte. 2,5 L/min

Filtración A Presión 2,5 atm cte,

t= V=

Lavado

t=

t=

a) A nivel lab. a velocidad constante de

dV  1L/min dt

 μR  dV  μ α Cs  d ΔP= 2 V dt +  m   A   A  dt μ α Cs  dV dV   μRm  dV  ΔP= t+      dt 2 dt dt A  A     

P   K

v

dV  t  D    dt 

ΔP(atm)

Graficando los valores tenemos:

y = 0.1923x + 0.4657 R² = 0.9935

Tiempo(min)

P  0 ,192 t  0 ,465

Descarga

b) Para el proceso de filtración a velocidad constante de

P 1

dV  2,5L/min dt

dV  K v  t  D2  dt 1

P 2  K v  dV  t  D2  dt  2

Relacionando las dos variaciones de presiones:

C s (dV / dt) 12

Kv 1(dV / dt) 1 A2  Kv 2 (dV / dt) 2 C s (dV / dt) 2 A2

2

( dV / dt )22 Kv ( dV / dt  Kv ( dV / dt 0,192  ) 2 ) 1 12 2 1 ( dV / dt ) atm Kv2( dV / dt )2  1,2 min Relacionando las constantes

D2  D1

( dV / dt )2 0, ( dV / dt )1 465

2,5   1,1625atm 1

P 2  1,2 atm t 

1,1625atm min

Tiempo para llegar a P = 2.5 atm

2,5atm2  1,2 atm t 

1,1625atm min

t = 1,11 min Volumen de filtrado en t = 1,11 min V = (dV/dt) t = 2, 5 lt/min x 1,11 min = 2,775 L.

2,52 1

2

V = 2,775 L

c) Proceso de filtración a P = 2,5 atm constante. V= 80 L Relacionamos las constantes de presión constante y velocidad constante

C s Kp 2

2

A (P) 1   Kv 2 (dV / dt) 2 C s (dV / dt) 22 (P)(dV / dt) 22 A2 1,2 Kv2 ( dV / dt ) Kp 2   2  0,0768 2,5 2,5   2

( 2P )( dV / dt 2 )

Kp2  0,0768 Relacionando las constantes.

B2



D2

B2 

Rm AP  Rm ( dV / dt ) 2 A

B 

D2 2

2

( P )( dV / dt )

1,1625  0.186 min/ ( 2,5 )( 2,5 L )

dt

 0,0768V  0,186 dV dt

 0,0768V  0,186 dV t

0,0768V2

2

 0,186V Para V = 80 litros

0 ,0768802  0 ,18680 t 2 t = 260,64 min

d) Tiempo de lavado

 dV  1 1  dt lavado 4 KpV  B Reemplazando valores

1  dV    dt lavado 0.0768* 80  0.186  dV   0,158 L min  dt lavado Entonces, el tiempo de lavado con 30L es:

t lavado 

tlavado 

Vlavado  dV     dt  lavado 30L L 0,158 min

tlavado  189,87 min Capacidad 

V filtrado tciclo

2,77  80 1.11  260,64  189,87

Capacidad 

 0.182L / min

Capacidad  0.182L / min

6. Para filtrar una suspensión acuosa se utiliza un filtro prensa de marcos y placas. Trabajando a velocidad constante de filtración, al cabo de 45 minutos se obtienen 250 litros de filtrado. En este periodo de tiempo, la caída de presión aumenta desde 0,40 Kgf/cm2 hasta 3,5 Kgf/cm2. Si se desea trabajar a presión constante de 3,5 Kgf/cm2 ¿qué cantidad de filtrado se obtendría al cabo de los 45 minutos?. SOLUCION Datos a velocidad constante Datos:

dV dt

 Cte

t = 45 min; V = 250L, P = 0.40 Kgf/cm2 hasta 3.5 Kgf/cm2

La ecuación de filtración a presión constante es:

t  KpV 2  BV P= cte P = 3,5 Kp/cm2 T= 45 min V = ?’ Se me pide determinar el volumen (V): SOLUCIÓN Velocidad de filtración a velocidad constante es: dV dt



250L  5,556L / min 45 min

Graficamos presión en función del tiempo, ec. A dV/dt= cte

4 3.5

y = 0.0689x + 0.4 R² = 1

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

10

20

30

40

50

Del gráfico:

Kv(dV / dt)  0,0689 D  0,4

Kp 2 cm . min

Relacionamos las constantes de presión constante y velocidad constante Cs

Kp Kv(dV / dt)



2 1 (P) A (P) 2 2  (dV / dt) Cs (dV / dt)

A Kv(dV / dt) Kp 

0,0689

(P)(dV / dt)

Kp  6,37 *10

4

2

2



Kp 2

4 cm min 2 6,37 *10 2 min 3,5Kp/cm 5,556L / min  L

min L

Relacionando las constantes. Rm B AP   D Rm (dV / dt) A

B2 

0,4

B 

D (P)(dV / dt) 2

Kp cm

2

L Kp (3,5 2 ) ) cm (5,56 min

 0.0205min/ L

Reemplazando valores tenemos en la ecuación (4)

t  k pV 2  BV 4

45min  6,37 *10

min VL

2

V  0,0205

min L

6

2

0.0045  6,37V  2,05x10 V

V  ....L

7. Un filtro cilíndrico de arena de 30 cm de diámetro y 1,5 m de altura, que funciona por gravedad, está formado por una primera capa de arena de superficie específica de 5 cm-1 sobre la que va una segunda capa de igual peso que la primera constituida por partículas de superficie específica de 7 cm-1. Calcúlese la cantidad de agua que puede filtrarse por hora, si la superficie del agua a filtrar se mantiene 30 cm por encima de la superficie del lecho filtrante, cuyas porosidades es 0,40. SOLUCIÓN

Calculo de fracción de altura X1 L 2L  0,5

X 2  L  0,5 2L

Dm 

6 as 0 m

Calculo de superficie específica de cada grava as 01  5cm 

5 100cm 1  500m cm m

as 0 m  x1 as 01   x2 as 02 

as 01  7cm 

7 100cm 1  700m cm m

1

a s 0  0,5x500  0,5x700  600m

Calculo de diámetro de partícula equivalente media

D pe m 

6  0,010m 600

Asumiendo que es un flujo laminar a través del lecho:

1  em 2 .v

hf



L

 150

m3

pem



2

(I)

g

hf  0,30  1,5  1,8m  6 993,14x10 .Pa.s

  998.2

kg m

  0,40

3

g  9,81

m s

2

Reemplazando los valores en la ecuación (I)

1,8 1  0,4  (993,414x10 ).v  150 3 2 (0,4) (0,01) (998,2)(9,81) 1,5 2

6

v  1,4m / s Calculo del N Re

N Re 

N Re 

D pe m.v. (1  m ) 

(0,01)(1,4)(998,2) 6  23477,93 (1  0,4)(993,414x10 )

N Re  23477,93 Este valor no corresponde al régimen laminar por lo que, lo asumido como flujo laminar, no se cumple entonces se utiliza la siguiente ecuación:

2 1  m     150

hf

 D 3

L

g

m



(1   m )

v  1,75

v

2

 .g.D

2

m

m

pe m

Reemplazamos los valores en la ecuación dada: 2 6 2 1,8  1  0,4  (993,414x10 ).v (1  0,4)v  150  1,75 3 2 3 1,5 (0,4) (0,01) (998,2) (0,4) (9,81)(0,01)

(9,81)

v  0,63m / s La cantidad de agua filtrada por hora será la altura recorrida por A: 2

D h V  4 QV 

h es cm /s

entonces es v = 0,63m/s

0,302 (0,63)  0,044 4

3

m s

Q  0,044

m3 s

8. Un filtro de gravedad está constituido por un lecho inferior formado con guijarros de 25 mm de forma esférica (altura 60 cm) y un lecho superior directamente sobre el anterior de 60 cm de espesor también de arena de diámetro 15 mm. La porosidad de las capas es de 40% y 35% respectivamente. El filtro trabaja anegado por agua, manteniéndose el nivel de este 60 cm por encima de la cara superior de aquel. La presión en la cara inferior es la atmósfera. Determine el caudal de agua por unidad de área que deja pasar el filtro? (m3/hr-m2). = 1,0x10-3 kg/m-s; K”=5 SOLUCIÓN

1m

5

1,013x10  5883Pa Pa 100cm 10,33m.de.agua

P  60cm.de.agua

Haciendo uso de la ecuación de Kozeny C. (considerando que es flujo laminar que pasa por los canales internos) tenemos:

v

P m 3

Lk '' (1  m ) 2 as 0 2m

as 0   xi as m

0i

 m   xi 

Dpe m  6 / as 0 m

i

as 0 m  6 / Dpe m Xi = fracción de altura volumen correspondiente a cada tamaño de superficie específica

xi 

altura.del.lecho altura.total

x1 

60  0,50 120 6  240 m 1 as 01  0,025m

60  0,50 120 6 1 as 02   400 m 0,015m

 1  0,40

 2  0,35

x2 

Cálculo de superficie especifica media del lecho del sistema

as 0 m  x1 ss 01   x2 as 02  as 0 m  0,5x240  0,5x400  320 Calculo de porosidad media del lecho del sistema

 m  x1 1   x2  2  em  0,5x0,40  0,5x0,35  0,375 em  0,375 Calculo de velocidad del fluido a través del lecho

v

P m 3

Lk '' (1  m ) 2 as 0 2m 58830,375 3 2 1x10 1,205(12  0,375) x320 3

v

 3,447 m / s

Calculo del caudal del fluido a través del lecho

Q v A Q A

 3,447

m 3600s m3 0,375  4653,545 2 s hr m  hr

Q m3  4653,545 2 filtrado A m  hr 9. Un filtro de placas y marcos, que opera a presión constante, requiere una hora para separar 600 L de filtrado de una suspensión acuosa. Calcular la capacidad de filtración si la velocidad inicial de filtración es de 60 L/min. Y además, se necesitan 80 L de agua para lavar la torta depositada y se emplean 35 minutos para la descarga, limpieza y montaje del filtro. SOLUCION Datos T = 1 h = 3600s V = 600L dV dt

 60L / min

Agua para lavar VL  80L

F (c) 

t'  35min

V

(1)

t ciclo

t ciclo  t filtración  tlavado  t' t lav

(2) ado



VL dV / dt L

(3)

Para placas y marcos la velocidad de lavado es:  1  dV     dt  L 8KpV  4B

(4)

Se sabe que t

 KpV  B

(5)

dV 1  dt KpV  B

(6)

V

Reemplazando valores pata t = 0, V = 0 en la ecuación (6) L 1  min Kp(0)  B s B  1000 3 m

60

B

1 min s  1000 3 60 L m

Para t = 1 h = 3600 s en la ecuación (5) 2

t  KpV  BV 3600s  Kp 0.6m Kp  8333.33 s



3 2

s  1000 (0.6m 3 ) 3 m

m6

Cálculo de velocidad de lavado en la ecuación 4  dV      dt  L

1

 2.273 10

88333,330.06  41000

Cálculo del tiempo de lavado en la ecuación (3) t lavado 

VL dV / dt L 3

t lavado 

3

80x10 m m3

x

5

3

m s

2,273x10

5

s

t lavado  3520s Capacidad de filtración es: F (c) 

V t ciclo

3 3 0.6m 5 m F (c)   6.5x10 3600s  3520s  2100s s

F (c)  3,91L / min

10. A partir de la ecuación:

t

K p 2V 2 2

 VB2

Demostrar que el flujo de filtrado está dada por la siguiente relación parabólica:

(V 

' 2 V)  K1(t

 t 1)

k1 = constante, V1 = constante, t1= constante Se cuenta además con los datos siguientes: K = 2/k1; y B = 2V’/k1 SOLUCION Derivando la ecuación tenemos dt = dV(kV + B) dV 1  dt KV  B

dV  dt

1  2  2V ' V   k1  k1



2 V V

'

dV



k1 2V  2V

'

 k1 dt

Integrando se tiene:

V  V 

'

 k1 (t  t 1 )

2

11. En un proceso de filtración a presión constante, el cuadrado del volumen filtrado es proporcional al tiempo de filtración. Si en 6 horas se han producido 24 L de filtrado, hallar la cantidad de filtrado (volumen) que se obtendrá en 0,5 horas. V2  t

V12 = k t1 (1)

V22 = k t2

(2)

SOLUCION Dividiendo ec. (1) :(2)

V12 kt1  kt 2 V22 Reemplazando los valores tenemos: 2

V2 6 2  24 0.5 V2 = 6.92 litros / 0,5 horas

12. En un experimento la relación de flujo filtrado está determinada por la relación: (V  ' 2 V)

 k(t

'

 t)

Donde: V = volumen de filtrado en un tiempo. V’ = constante t’ = constante A partir de esta relación encuentre una ecuación que permita usar los datos obtenidos en un experimento de filtración a presión constante, tal como se muestra en la tabla siguiente: Tiempo (s) 0 3 Filtrado (ft ) V 0

21 42 63 115 0.025 0.042 0.055 0.080

168 0.100

343 0.150

Calcular el tiempo necesario para que el sistema manipule 14 lb de una pasta con las siguientes características: Fracción (en peso) de sólidos en el producto alimentado = 0,25 Densidad del filtrado = 55 lb/ft3 SOLUCION Haciendo el cuadro siguiente t (s) V(ft3) t/V 21 0,025 840,000 42 0,042 1000,000 63 0,055 1145,455 115 0,08 1437,500 168 0,1 1680,000 343 0,15 2286,667

2500,000

y = 11690x + 517,6

t/V

2000,000

2

R = 0,9988

1500,000 1000,000 500,000 0,000 0

0,05

0,1

0,15

V

KP = 11690 B=517,6 a. P = cte. dt  K pV  B dV Derivando: (V  '

V) 2(  V V')dV

2

(1)  k(t

'

 t)

 kdt

dt V 2V'  2  dV k k

(2)

Comparando las ecuaciones (1) y (2) '  2 B  2V k k

Kp

Kp = 11690

B = 517,6

KP =2/k,

k, = 2/11690 = 0.00017109

B = 2V,/k,

V, = (B)k,/2 = 517,6 x 0.000019 /2

V,= 0.044277 dt V 2V'  2  dV k k

t 

V2 2VV'  k k

m = 14 lb.

(3)

0,2

Tiene una fracción de sólido en peso de 0,25 f peso = 0,25

Lo que queda retenido es 14 x 0,25 Masa filtrada m = 14 (1-0,25) = 14 x 0,75 filtrado = m filtrado/ V filtrado  = 55 lb /pie3 V filtrado = m/ = 14 x 0,75/55 pie3 V filtrado = 0,191 pie3 Reemplazando en ec (3) V filtrado = Vf y V, y k, 2

t 

0,191  20,00640,191 0,000019



0,000019

t = 2048.73 segundos 13. Una muestra de 30 mL de caldo procedente de la fermentación de la penicilina se filtra en el laboratorio, utilizándose un filtro de 3 cm2 y con una presión de 5 psia, el tiempo de filtración es de 4,5 min. Estudios previos han mostrado que la torta del filtro de penicillium chrysogenun es bastante compresible con s = 0,5, si se desea filtrar 500 litros de caldo de un fermentador a escala piloto en 1 hora ¿qué tamaño de filtro se necesita si la caída de presión es 10 Psia? La resistencia debido al medio filtrante es despreciable Solución

dt dV dt dV

= kpV + B =

  Cs 2

A (P)

V+



R A( P) m

 = o (P)s Reordenando

 o Cs

2 A2 dt  s 1 P V dV

2

2A t   oCs  s 1 2 P V

Reemplazando los valores tenemos

4 A2 t 2 x9x4.5 2 0.5  o Cs  min s 1 2  0.51 2  0.402cm ( psia) P V 5 (30) 2

A 

c s (P) 2 V 2

t

Para 10 psia A = 1,15 cm2

14. En un proceso de filtración a presión constante de 4 atm se obtiene una torta incompresible de 3 cm de espesor y porosidad 0,3 que contiene 200 g de sólidos de densidad 1g/cc. El volumen de filtrado es de600 litros empleando un tiempo de filtrado de 1 hora. La torta se lava sobre el mismo filtro con 300 litros de agua cuyas propiedades pueden considerarse iguales a las del filtrado. La viscosidad de la suspensión es de 3,9 kg/m-Hr. El tiempo necesario para la carga, descarga y limpieza del filtro es de 20 minutos, y puede suponerse que la resistencia ofrecida por el medio es despreciable frente a la ofrecida por la torta. Calcular la capacidad de filtración, la resistencia de la torta, la caída de presión en el medio filtrante y la caída de presión en la torta. SOLUCION P = 4 atm = 405.3 Kpa L = 3 cm e = 0.3 Cs = 200 g Densidad = 1g/cc  = 3.9 kg/m-hr

Vf = 600 litros/ hr Vlavado = 300 lt

Porosidad = e = (Vl – Vp ) / Vl = 1 – Vp/Vl (1-e) = Vp/Vl Vp = mp /p Vl = A x L

mp / (1  e) 

p



AxL

0.200  1  0.30 (1000)(0.03) A

A = 9,52 x 10-3 m2 Si B = 0 dt/dV = Kp V + B T = Kp V2 /2 + BV 3600 s = Kp (0,6 m3)2 /2 + 0 Kp = 2 x 3600 s /(0,6m3)2 = 20000 s/m6

Kp = Cs/ A2P

 = Kp A2 P / Cs

 = 20000 s/m6 x (9,52 m2 )2x 10-3 405,300 pa (1.0833x 10-3) (0.333 kg/m3  = 2.036 x 109 m/kg Velocidad de lavado (dV/dt) = (dV/dt)filtrado = 1/ Kp V = 1/ 20000 (0,6 ) s x m3 /m6 (dV/dt) = 8.333 x 10-5 m3/s 8.333 x 10-5 m3 …………1s 3 0.3 m ……………………….x X = 3600 s = 60 min Capacidad = V / t total ciclo = 600 lt/ (20 + 60 ) = 7.5 lt/min Pmf = ( (dV/dt)  Rm )/A B = 0 Rm = 0 Pmf = 0 Ptotal = Pmf + Ptorta Ptotal = Ptorta = 4 atm

15. Se usa un filtro prensa experimental el cual tiene un área de 0,080 m2, para filtrar una suspensión de almidón a presión constante de 267 Kpa. La ecuación de filtración que se obtiene es de: t/V = 10,25 x 106 V + 3,4 x 103 Donde t está en segundos y V en m3 a. Usando la misma suspensión e iguales condicione en un filtro de hojas con área de 16,97 m2 ¿Cuánto tiempo será necesario para obtener 8 m3 de filtrado?. b. Después de la filtración, la torta se lava con 0,2 m3 de agua. Calcúlese el tiempo de lavado en un filtro de hojas. c. Considerando que para la carga y descarga del filtro de hojas se emplean 30 minutos . calcúlese la capacidad de filtración. Solución

6

2

3

t  10,25x10 V  3,4x10 V Derivando 6

3

dt  20,5x10 VdV  3,4x10 dV dt 6  20,5x10 V  3

3,4x10 dV

dt  kp1V  B1 dV

1

6

Kp1  20,5x10

3

B  3,4x10

dt  kp2V  B2 dV Relacionando kp y B

Kp2  Kp1

A12 A22

Reemplazamos los valores respectivos

(0,080m2 2) Kp2  (20,5x10 s / m ) (16,97m2 )2 6

6

Kp2  445,58s / m 6

B2 

B 1 A1 A2 2

3400(0,080m ) B2  2 (16,97m ) 3 B2  16,03s / m

t 

kp2V 2

2

 B2V

t  14386,78s a. tiempo de lavado dV 1  dt Kp2V

t

(445,58)82  16,03(8) 2

0 .2 2 V2 t  Kp2 t  445.58 2 2

t  8.91s

b. Capacidad capacidad 

V tiempociclo

capacidad 

V 14386.79  8.9  1800

16. Una solución que contiene partículas esféricas de colorantes de 1,235 x10-6 m de diámetro promedio en suspensión va a ser filtrada para ser concentrada en un régimen de filtración a velocidad constante. Estudiando las partículas del colorante se sabe que 500 kg de ellas ocupan un volumen aparente de 1.42857 m3 constituyendo las partículas el 70 % de ese volumen. El equipo de filtración es un filtro de placas y marcos que tiene un área de filtración de 17.46 m2. Al cabo de un tiempo de iniciado el proceso de filtrado se tuvo una caída de presión de 1,88 atm con una porosidad de 0,4 al finalizar la filtración se obtuvo una caída de presión de 49,2831 atm y la porosidad disminuyó a 0,25. Con esta información: a. Si el proceso de filtración se realizara a presión constante de 2 atm ¿cuánto de volumen de filtrado se obtendría en una hora?. Datos adicionales: Cs = 23,47 kg/m3.  = 8.937 x 10-4 kg/m-s Densidad = 23.47 kg /m3 SOLUCION a. la superficie específica de las partículas que conforman la torta es: S = (A/V) = (4  r2 )/ ( 4/3)  r3) S = 3/r = 4858299.595 m-1 La densidad de las partículas se calcula en base a la información dada: 5000 kg de partícula ocupan (1,428571 x 0,7) m3 Luego la densidad de la partícula p

p = 5000/(1.428571 x 0,7) 5000 kg/m3

Se cumplen las condiciones: P1 = 1.88 atm P2 = 1.88 atm

e1 = 0.4 e2 = 0.24

Con estas dos condiciones calculamos las resistencias específicas de las tortas formadas teniendo en cuenta que:  = K (1-e) So2 p e3 Reemplazando datos 1 = 2.2127 x 1011 2 = 1.1329 x 10-12 Como 1 = 2 se trata de una torta compresible luego se cumple que:  = o Ps Linealizando la ecuación log  = log o + s log P Reemplazando tenemos que s = 0.5 y o = 5.0699 x 108 m/kg Para el proceso de filtración a 2 atm tenemos: t = Kp V2/2 Donde: Kp = ( Cs o Ps) / A2 P

reemplazando datos

Kp = 3.30166 s/m6 Luego en una hora tendremos: V = (2 ( 3600)/ 3.30166)1/2 = 46.6981 m3 V = 46.6981 m3 17. Dada la siguiente relación de flujo: (V    5) donde: V = Volumen en 2 K(t 3) litros, t = tiempo en minutos. Y si K  t 2  t  1 Hallar la velocidad de flujo en el minuto 2,6. SOLUCION.

(V  3)  2 K(t

 5) (1)

K  t

2

 t  1

(2)

Remplazando ec. 2 en 1 (V  3)  (t 2  t  1)(t  5) 2

(V  3)  t  6t 2  6t  5 2

(I)

3

Derivando (I) 2(  V 3)dV

 3t 3 dt

 12tdt  6 dt

Reordenado a velocidad dV 3t  dt

2

 12t  6  3)

(II)

2(V Reemplazando: t = 2,6 en (I) (V + 3)2 = (2,6)3 + 6 (2,6)2 + 6 (2,6) + 5 V = 5,873 Velocidad de flujo: reemplazando en (II) V y t = 2,6 32,6   122,6    6 dt 2(5,873  3)

dV

2

dV /dt = 3,24 litros /min. 18. Una suspensión va a ser filtrada a una velocidad constante de 10 ft3/hora durante un tiempo de 2 horas. Los únicos datos experimentales disponibles son los obtenidos de filtraciones a presión constante, ellos indican que la torta tiene un coeficiente de compresibilidad de 0,5 y que a una presión de 60 lb /pulg2 el volumen de filtrado en ft3 y el tiempo en minutos siguen la relación: V2/2 = 7000 t. Determinar la potencia del filtro a velocidad constante. SOLUCION 1. Una suspensión es filtrado a P = constante, luego se obtiene a velocidad = cte.

Proceso a P = cte V2/2 = 7000 t V2 = 14000t Derivando 2V dV = 14000dt

dt



dV

2V 14000

dt  V dV 7000

dt  Kp1V  B1 dV

Comparando estas dos ecuaciones, se aprecia que el término B1= 0

kp  Si B = 0

1 7000

0

Rm entonces Rm = 0

AP

P = kvV + C

Luego el proceso a V = cte. Donde

C 

Rm dV A dt

como Rm = 0 entonces C =0

Entonces

P  K vV

P 

( C s ) dV V 2 A dt

(1)

Sabiendo que

kp 

1 7000



 Cs A 2 P

Donde:

P 7000



 Cs A

(2)

2

Se considera: Que : Cs , A ,  ,  son iguales a P = cte como a V =cte. Reemplazando ec (2) en (1) a V = cte.

Pv.cte  datos:

P

p.cte

7000

 dVV dt

PP =cte

= 60 lb /pulg2

dV

3

 10 pies dt hr

Hallando el V de filtrado Dato

10 pie3 ...................1 Hr V .................... 2 Hr V = 20 pie3/Hr

Reemplazando datos:

Pv.cte  Pv.cte =

P

p.cte

7000

 dVV dt

1 x 60 x 10 x 20 s x lb x pie3 x 10 pie3 x h 7000 pie6 pulg2 h 3600 s

P = 9, 76 x 10-4 lbf/pulg2 P = 9, 76 x 10-4 lbf/pulg2 x 144 pulg2/pie2 P = 0,06857 lbf /pie2 Potencia = P x Q Potencia =

0,06857 lbf/ x 0,5 pie3 x min Pie2 min 60 s

Potencia = 5,71 x10-4 pie-lbf/s Potencia = 5,71 x 10-4 HP Como HP = 0,7457 KW = 745,70 Watts Potencia = 0,4257 Watts 19. La ecuación de filtración a presión constante de 38,7 psia es: t /V = 6,1 x 10 -5 V + 0,01. Donde: “t” está en segundos, caída de presión en psia y volumen en litros. La resistencia específica del cake es independiente de la presión; y si el proceso de filtración se realiza a una velocidad constante de 10 litros /segundos. ¿Cuánto tiempo tomará alcanzar una caída de presión de 50 psia?. SOLUCION

a. A presión constante P = 38.7 Psia = cte t/V = 6,1 x 10-5 V + 0,1 t = 6,1 x 10-5 V2 + 0,1V dt = 12,2 x10-5 V dV + 0,01 dV dt / dV = 12,2 x 10-5 V + 0,1

dt/dV = Kp V + B

b. A velocidad constante

Relacionamos Kp y Kv

Kv = 12.2 x 10-5 (s/lt2) 38,7 psia x 10 lt/s Kv = 0, 0472 Psia/lt Relacionamos B y C C dV  (P) B dt

C = B (P) (dV/dt) = 0.01 x 38.7 x 10 C = 3,88 psia Ecuación a velocidad constante será P = 0,0472 V + 3,88

Para P = 50 psia 50 psia = 0.0472 V + 3.88 psia V = 977.33 l V = (dV/dt) t 977.33 l = (10 lt/s ) t t = 97.73 s

20. Una suspensión va a ser filtrada a una velocidad de 5 pie3/min durante un tiempo de 4,5 horas, los únicos datos experimentales disponibles son os obtenidos de filtraciones a presión constante, los que indican que la torta tiene un caudal de 0,5 pie3/min y que a una presión de 50 psia el volumen de filtrado en pie3y el tiempo en minutos varia según la relación. V = 15000t Encontrar la potencia teórica para la filtración necesaria sabiendo que la filtración se realiza a presión constante. SOLUCION dV/dt = 5 pies3 /min V = 0,5 pies3 /min V2 = 1500t Derivando 2V dV = 1500dt dt/dV = V/750 kp = 1/750 B=0 Relacionamos Kp y Kv

t = 4,5 horas P = 50 psia

C s 

Kp 1 A 2 P   C s (dV / dt) Kv P(dV / dt) A2 dV Kv  KpP = (1/750) (50) 5 dt Kv = 1/3 psia /pie3 A velocidad constante

 R m  dV    Cs     V dV +  P =   A 2  dt  A  dt P = Kv V + C P = V/3 + 0 5 pie3 .....................1 min x ............................4.5 hr/60 min/hr X = 1350 pie3 de filtrado P = V/3 + 0 P = (1/3) (1350 pie3) = 450 psia P =450 psia

PROBLEMAS PROPUESTOS 21. La velocidad inicial de filtración en un filtro de hoja que funciona en régimen de filtración a presión constante es de 50 ft/min y para separar 500 litros de filtrado el tiempo de filtrado es de una hora. Calcúlese la capacidad de filtrado , el filtrado se lava a la misma presión con 75 litros de agua, y para la carga y limpieza de filtrado se emplean 30 minutos. 22. En un filtro de placas se requiere filtrar una suspensión homogénea a una velocidad constante de 4,5 pie3/min. Pruebas experimentales han producido la siguiente ecuación: V2 = 650 P0.6 t Donde: V = pie3 P = pisa t = min. Se desea saber: El volumen de filtrado después de 5 horas. La potencia teórica (HP = Q x P) 23. Las experiencias efectuadas con una suspensión homogénea que contiene 0,015 g de sólidos /m3 de agua en un filtro de hojas en régimen de filtración a la velocidad constante de 0,02 m3/min han conducido a los resultados siguientes: Tiempo 1 2 3 4 5 6 7 2 Kgf /m 0,32 0,54 0,73 0,93 1,16 1,33 1,52 La resistencia específica de la torta es constante para diferencias de presiones inferiores a 1,5 kg/cm2. Se ha de estudiar el efecto de la variación de la velocidad de filtración sobre la capacidad de la velocidad de filtración sin que las presiones de operación sobrepasen las 1,5 kg/cm2 teniendo en cuenta que la torta no se lava y que el tiempo de limpieza y descarga del filtrado es de 1 hora. Determinar: c. tiempo necesario para alcanzar la presión de 1,50 kg /cm2. d. Capacidad de la filtración en m3/Hr. 24. En un proceso de filtración a presión constante el cuadrado del volumen de filtrado es proporcional al tiempo de filtración. Si en 6 horas se han producido 24 litros de filtrado hallar la cantidad de filtrado (volumen) que se obtendrá en 3 horas. Además

calcular la capacidad de filtración si el filtrado se lava a la misma presión con 30 litros de agua y para la carga y limpieza del filtro se emplea 30 minutos. Considerar que la velocidad de lavado es ¼ de la velocidad de filtrado. 25. En los ensayos de laboratorio del filtrado de una suspensión acuosa en un filtro prensa a la velocidad constante de 5 m3/min se han obtenido los siguientes resultados: Tiempo (min) 0,55 0,73 0,91 1,09 1,36 2,29 3,20 P(kg /cm2) 1 3 5 7 10 20 30 Calcúlese el tiempo óptimo de filtración si ha de realizarse a una diferencia de presión de 0,8 kg /cm2 y el tiempo necesario de limpieza y lavado entre ciclo y ciclo es de 30 min.

t optimo  t '  Ve K p

2t Kp

t = tiempo necesario para la limpieza y lavado entre ciclo y ciclo. Ve = volumen de filtrado para la limpieza y lavado entre ciclo y ciclo. tciclo = toptimo + t’ 26. En un proceso de filtración a presión constante se ha determinado experimentalmente los valores de Kp = 40 s/m6 y B = 14 s/m3, teniendo en cuenta que el cake es incompresible, calcular el volumen de filtrado para 270 segundos de filtración. Además, determinar la velocidad y el tiempo de lavado del filtro, considerando que dicha velocidad es de 1/5 de la velocidad de filtración y que el volumen del líquido lavador es igual al 25% del volumen de filtrado. 27. En la filtración de un jarabe muy viscoso a presión constante de halla que la velocidad de filtración puede mejorarse si la viscosidad del jarabe que pasa a través del filtro se reduce diluyéndolo con agua. La filtración de la mezcla a jarabe agua se lleva a cabo de acuerdo a la siguiente ecuación: dt/dV =  V/K donde: K = constante El efecto de la dilución en la viscosidad es el siguiente:  = SF-n S y n = constantes.  = viscosidad de la mezcla a jarabe-agua (cp) F = fracción en volumen del solvente en la mezcla. ensayos de laboratorio han determinado 

F

0.005 0.007 0.0108 0.020 0.056

1 (solvente solo) 0.8 0.6 0.4 0.2

Cuando se añade demasiado solvente, la viscosidad de filtración del jarabe disminuye realmente por cuanto el volumen total de líquido que debe filtrarse a fin de procesar una cantidad determinada de jarabe aumenta excesivamente. Si la cantidad de jarabe que debe filtrarse por ciclo es constante, cual es valor de F que proporciona el ciclo más corto?. -1.2

Log (U)

-1.4

Lo g(U )= -2. 2 99 93 - 1 .5 0 20 9 L og(F)

-1.6 -1.8 -2 -2.2 -2.4 -0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1 Lg(F)

Del intercepto

F

s = 10^(-2.29993) n = -1.50

Vs VT  VJ  VT VT

 = SF-n



(I)

 V 1.5 0.00  5 Vs   T  dt   V dV k 1.5

0.005  Vs    V  T   dVT k VT  dt

s = 0.005

reemplazando VS = VT - Vj 0.005  VT V  1.5 J    VT dVT k  VT  dt

dt

V dVT dV dt

0.005



T

 VJ 

1.5

VT

2.5

k

k VT  V J 1.5 VT 2.5 0.005



Si d(dV/dt) = 0 0

1.5 0.005 k

V

1.5

T

 VJ

1.51VT

2.5

 2.5VT 3.5 VT  V J 

T

 VJ



0.5

2.5

V

T

 2.5VT 3.5 VT  VJ  

1.5



V 3.5  V  V 0.5  VT J T 1.5    2.5 2.5   VT  V J 1.5 VT 



1.5

 VJ   2.5VT 1

T

1



V

VT

 VJ

  0.6VT

VS   0.6VT Donde: F

Vs VT  VJ  VT VT

F = 0,6



F

Vs 0.6VT  0.6  VT VT

1.5



7.5

BIBLIOGRAFIA

Coulson, J.M., Richardson, J.F., (1998). Chemical Engineering: Particle Technology And Separation Processes. Editorial The Bath Press, Cuarta Edición, Inglaterra. Geankoplis, C.J., (1998). Procesos De Transporte Y Operaciones Unitarias. Editorial CECSA, Tercera Edición, México.

McCabe, W.L., Smith, J.C., Harriott, P., (1991). Operaciones Unitarias En Ingeniería Química. Editorial McGraw-Hill, Cuarta Edición, España.