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Sistemas de ecuaciones-Ejercicios

APLICACIÓN DE METODOS NUMERICOS A INGENIERIAS CAPITULO III SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIOS PARA LA SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES Ejercicio Nº 1: Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

3 x1  2 x 2  18  x1  2 x 2  2 Encontrar la solución mediante el método gráfico Ejercicio Nº 2. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

4 x1  9 x 2  2 x3  5

2 x1  4 x 2  6 x3  3 Resolver mediante el método de la regla de Cramer. x1  x 2  3 x3  4 Ejercicio Nº 3. Sea el siguiente sistema de ecuaciones: 3x1  2 x 2  18

 x1  2 x 2  2 Resolver mediante el método de eliminación a) Verificar si tiene solución b) Resolver para X1 y X2 c) Verificar los resultados Ejercicio Nº 4. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

4 x1  9 x 2  2 x3  5

2 x1  4 x 2  6 x3  3 Resolver mediante el método simple de Gauss. x1  x 2  3 x3  4 Ejercicio Nº 5. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

2 x 2  3x3  8

4 x1  6 x 2  7 x3  3 Resolver mediante el método simple de Gauss 2 x1  x 2  6 x3  5 Ejercicio Nº 6. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

1.0000 x1  1.0000 x 2  1.0000 0.0003x1  3.0000 x 2  2.0001

Resolver mediante el método simple de Gauss

Ejercicio Nº 7. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

10 x1  x 2  5 x3  1

 20 x1  3 x 2  20 x3  2 Resolver mediante el método simple de Gauss 5 x1  3 x 2  5 x3  6 Ejercicio Nº 8. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

4 x1  9 x 2  2 x3  5

2 x1  4 x 2  6 x3  3 Resolver mediante el método de Gauss-Jordan x1  x 2  3 x3  4 Ing. Héctor G. Bolaños Sosa

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Ejercicio Nº 9. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

2 x 2  3 x3  8

4 x1  6 x 2  7 x3  3 Resolver mediante el método de Gauss-Jordan 2 x1  x 2  6 x3  5 Ejercicio Nº 10. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

3 x1  0.1x 2  0.2 x3  7.85

0.1x1  7 x 2  0.3 x3  19.30 Resolver mediante el método de Gauss-Jordan 0.3 x1  0.2 x 2  10 x3  71.40 Ejercicio Nº 11. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

10 x1  x 2  5 x3  1

 20 x1  3 x 2  20 x3  2 Resolver mediante el método de Gauss Jordan 5 x1  3 x 2  5 x3  6 Ejercicio Nº 12. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

4 x1  9 x 2  2 x3  5

2 x1  4 x 2  6 x3  3 Resolver mediante el método de LU x1  x 2  3 x3  4 Ejercicio Nº 13. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

3x1  0.1x 2  0.2 x3  7.85

0.1x1  7 x 2  0.3x3  19.30 Resolver mediante el método de LU 0.3x1  0.2 x 2  10 x3  71.40 Ejercicio Nº 14. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

10 x1  x 2  5 x3  1

 20 x1  3 x 2  20 x3  2 Resolver mediante el método de LU 5 x1  3 x 2  5 x3  6 Ejercicio Nº 15.-Sea la siguiente sistema de ecuaciones: x1  x 2  3x3  4

4 x1  9 x 2  2 x3  5 Resolver mediante el método de Gauss-Seidel 2 x1  4 x 2  6 x3  3 Ejercicio Nº 16.-Sea la siguiente sistema de ecuaciones: 4 x1  x 2  1

 x1  4 x 2  x3  1 Resolver mediante el método de Gauss-Seidel  x 2  4 x3  x 4  1  x3  4 x 4  1

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APLICACIÓN DE METODOS NUMERICOS A MATERIALES CAPITULO III APLICACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES 1. Problema Nº 01. Balance de materia un reactor La educación de balance es : Acumulación= Entrada – Salida Si la acumulación es cero; entonces el sistema queda establecido: Entrada = Salida Sea el siguiente reactor, que tiene 2 entradas de flujos con concentraciones diferentes y una salida con una concentración desconocida.

C1= 25 mg/m3

Q3 = 3.5 m3/min C3=??

Q2 = 1.5 m3/min C2= 10 mg/m3

Las razones de flujo de masa son: Tubería 1 : Q1C1  2 * 25  50 mg/min Tubería 2 : Q2 C 2  1.5 * 10  15 mg/min Tubería 3 : Q3C3  3.5 * C1 El balance en estado estacionario será:

Q1C1  Q2 C 2  Q3 C3 50  15  3.5C3 C 3  18.6 mg/min 2. Problema Nº 02. Balance de materia de un conjunto de reactores Sea el conjunto Q15=3

Q55=2

R5 Q54=2 Q25=1

Q01=5 C01=10

R1

Q21=3

R2

Q24=1

R4

Q44=11

Q23=1 Q31=1

R3 Q03=8 C03=20

Q34=8

Donde el caudal Q está en m3/min y la concentración C, en mg/m3 Se deberá determinar las concentraciones en cada reactor, y establecer una tabla: Solución

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1. Balances a) Reactor Nº R1 Q01C 01  Q31C 31  Q12 C12  Q15 C15

5 * 10  C 3  3C1  3C1 6C1  C 3  50 b) Reactor Nº R2: Q12 C12  Q23C 23  Q24 C 24  Q25 C 25

 3C1  3C 2  0 c) Reactor Nº R3: Q03C 03  Q23C 23  Q31C31  Q34 C 34  C 2  9C3  160 d) Reactor Nº R 4: Q24 C 24  Q34 C 34  Q54 C54  Q44 C 44 C 2  8C 3  11C 4  2C5  0 e) Reactor Nº R 5: Q25 C 25  Q15 C15  Q54 C 54  Q55 C55 3C1  C 2  4C5  0 Balance final y verificación Reactor Entrada (mg/min) R1 R2 R3 R4 R5

Salida (mg/min)

3. Balance de materia Realizar los mismos cálculos que el problema Nº 02, pero cambie C01 = 20 y C03=6 4. Si la entrada al reactor R1 en el problema Nº 02; se disminuye en 25%. ¿cuál es el % de cambio en la concentración de los reactores R2 y R3? 5. Vuelva a calcular las concentraciones si los flujos se han cambiado a: Q01 = 5 Q31 = 2 Q15 = 3 Q55 = 4 Q12 = 4 Q03 = 10

para los cinco reactores del problema Nº 02, Q25 = 3 Q54 = 2 Q24 = 0

Q23 = 1 Q34 = 9

6. Determinación de temperaturas en placas. Flujo de calor bidimensional. Sea la siguiente placa de un determinado metal el cual tiene la siguiente distribución de temperaturas.

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500

T2

T1

100

100 T3

T4

100

Las ecuaciones obtenidas mediante el método de las diferencias finitas queda establecido según: T2  100  500  T3  4T1  0 100  T1  500  T4  4T2  0 T4  100  T1  100  4T3  0 100  T3  T2  100  4T4  0 7. Cálculo de estructuras Sean las fuerzas sobre una estructura estáticamente determinada. F. son fuerzas (tensión o compresión) de los elementos de la estructura. Las reacciones externas ( H2, V2, V3) son las fuerzas que caracterizan como interactúa la estructura con la superficie de soporte. El apoyo en el nodo 2; puede transmitir fuerzas horizontal y vertical El apoyo en el nodo 3; puede transmitir fuerza vertical La carga externa es 1000 Lb, que se distribuye a lo largo de varios elementos de la estructura. El diagrama se muestra a continuación: 1000 Lb 1 90 F1

H2

30

F3

60

3

2 V2

V3

Solución: 1. Fuerzas en cada nodo quedan establecidas según:

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F1,v 1 F1

F1,h F3

F2,v

F3 F3,v

F1

3 F2

H2

F3,h

F2,h

2 V2

V3

a) Para el nodo 1:

F F

H

 0   F1 cos 30  F 3 cos 60  F1, h

V

 0   F1sen30  F 3sen60  F1,v

b) Para el nodo 2:

F F

H

 0  F 2  F1 cos 30  F2, h  H

V

 0  F1sen30  F2,v  V 2

c) Para el nodo 3:

F F

H

 0   F 2  F 3 cos 60  F3, h

V

 0  F 3sen60  F3,v  V 3

Notas: Fi,h: fuerza horizontal externa que se aplica al nodo i. Fi,v: fuerza vertical externa que se aplica al nodo i. F1,v = -1000 lbs F1,h = 0 F2,v = 0 F2,h = 0 F3,h = 0 F3,v = 0

Las ecuaciones establecidas son 0.866 F1  0.5 F 3  0 0.5 F1  0.866 F 3  1000  0.866 F1  F 2  H 2  0  0 .5 F 1  V 2  0 F 2  0 .5 F 3  0  0.866 F 3  V 3  0

8. Balance de materia Realizar los mismos cálculos que el problema Nº 02, pero cambie C01 = 20 y C03=6

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9. Si la entrada al reactor R1 en el problema Nº 02; se disminuye en 25%. ¿cuál es el % de cambio en la concentración de los reactores R2 y R3? 10. Vuelva a calcular las concentraciones si los flujos se han cambiado a: Q01 = 5 Q31 = 2 Q15 = 3 Q55 = 4 Q12 = 4 Q03 = 10

Ing. Héctor G. Bolaños Sosa

para los cinco reactores del problema Nº 02, Q25 = 3 Q54 = 2 Q24 = 0

Q23 = 1 Q34 = 9

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