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CAPITULO 7 FLUJO DE VAPOR EN LAS CORONAS ALABEADAS 7-1 ECUACIONES PRINCIPALES DE MOVIMIENTO DEL FLUIDO COMPRIMIDO La transformación de la energía en el escalón de la turbina se debe al paso del flujo de vapor por las paletas directrices fijas y por las receptoras rotatorias de la turbina. En el flujo se producen pérdidas que reducen el rendimiento de la turbina. La tarea que se plantea ante un ingeniero que proyecta la turbina consiste en organizar el flujo de tal manera que las pérdidas sean mínimas asegurando un alto rendimiento de la máquina. Las leyes de corriente del fluido comprimido tienen una gran importancia para el estudio de los procesos térmicos de la turbina, y se exponen detalladamente en los cursos de dinámica de los gases. En el capítulo presente se analizan sólo algunas ecuaciones principales, indispensables para el cálculo térmico de la turbina: para determinar las dimensiones fundamentales de sus canales y su rendimiento, así como para la evaluación crítica de los fenómenos que tienen lugar durante el empleo de la turbina. A fin de obtener ecuaciones suficientemente simples, que puedan aplicarse en los cálculos ingenieriles, se debe basarlas en varias hipótesis simplificadoras. En particular, se estudia el flujo de vapor estacionario unidimensional, es decir, se supone que los parámetros del flujo en cualquier punto invariables en el tiempo, cambiando sólo al pasar de una sección a otra.

81 Esta hipótesis no es exacta. En realidad, el flujo sufre perturbaciones periódicas en el escalón de la turbina. Las paletas receptoras que están fijadas en la llanta del disco y giran junto con éste, pasan alternadamente ora frente a la parte central de los canales entre las paletas directrices, ora cruzando la huella que se forma detrás de los bordes de escape de las paletas precedentes. De esta manera, el flujo contornea la paleta receptora a velocidad que cambia periódicamente. A fin de simplificar, en la primera aproximación se supone que el flujo de vapor es estacionario ,y se tiene en cuenta por separado el efecto perturbador condicionado por la irregularidad del flujo de vapor. La condición de que el flujo es estacionario tampoco se observa en los casos especiales del funcionamiento de la turbina, por ejemplo, al variar rápidamente el paso del vapor por la turbina y al cambiar los parámetros iniciales o finales del vapor. Para muchas tareas prácticas que han de resolverse al calcular la turbina, se pueden utilizar ecuaciones de corriente unidimensional deducidas suponiendo que las variaciones de los parámetros y de la velocidad del flujo en el canal se operen en una sola dirección. En varios casos es necesario analizar un flujo bidimensional y, a veces, tridimensional en el escalón. En los casos, en que el análisis teórico todavía no puede proporcionar una determinación segura del carácter verdadero de la corriente, viene en ayuda el experimento que permite combinar el aparato matemático simplificado con los coeficientes experimentales, obteniendo de esta manera un resultado suficientemente fidedigno. Para los cálculos de la corriente del líquido comprimido, en adelante se utilizan

82 siguientes ecuaciones: 1) ecuación de estado; 2) ecuación de continuidad; 3) ecuación de cantidad de movimiento; 4) ecuación de conservación de la energía. ECUACION DE ESTADO Para el gas perfecto, la ecuación de estado tiene la forma: pv = RT,

(108)

donde R es la constante de los gases perfectos. Para el vapor recalentado, esta ecuación no es precisa, puesto que el coeficiente R depende de la presión y de la temperatura. Con una precisión mucho mayor se observa la dependencia i

k pv  const , k 1

(109)

de la que se deduce que a la línea de la entalpía constante le corresponde el producto constante pv. A veces el vapor, cuyas propiedades satisfacen a la ecuación (109), se llama «perfecto». Al suponer que la expansión del vapor se produce sin pérdidas ni intercambio. de calor con el medio ambiente, este proceso se llama isoentrópico y el cambio del estado del vapor se subordina a la ecuación isoentrópica: pvtk  const ,

(110)

donde el índice t caracteriza en este caso el volumen específico del vapor cuando. el

83 proceso es isoentrópico, es decir, en la línea S = S0 = const. El exponente isoentrópico k, para el vapor de agua recalentado cambia dentro de los límites k = 1.26—1.33, y por término medio se toma k = 1.3; para el vapor saturado seco k = 1,135. La precisión insuficiente que se logra al utilizar las fórmulas citadas y el hecho de que durante la expansión del vapor, el proceso pasa frecuentemente de la zona del vapor recalentado a la del húmedo, cuando el cálculo por las fórmulas no es seguro, obligan a usar tablas del vapor de agua. Además, se emplean también ampliamente en los cálculos diversos diagramas del vapor de agua, en particular el iS. Al mismo tiempo se debe tener en cuenta que la precisión de los cálculos mediante el diagrama iS depende de la escala en que está trazado y de los límites del cambio del estado. Si es necesario determinar el cambio del estado con pequeñas desviaciones de éste, podrá resultar más fidedigno un cálculo analítico.

Ecuación de continuidad Supongamos que por el canal (fig. 15) pasa el vapor, y que su corriente es estacionaria. Además, supongamos que el eje del canal es próximo al rectilíneo y que su sección transversal es invariable o cambia paulatinamente. En la misma figura está representada la distribución de las velocidades en la sección transversal del canal. Mientras que en la parte central de la sección del flujo (dentro de los límites del tramo b), la velocidad se mantiene más o menos constante e igual a c1 , en la capa

84 pegada a las paredes del canal, las velocidades del flujo cambian de cero (directamente junto a la pared) a c1 . La zona del flujo contigua a las paredes fijas se llama capa límite. Analizando la corriente en los límites del tramo del canal representado en la fig. 15, separemos junto al punto A en la sección O —O un área elemental dF0

Fig. 15.

Esquema del

flujo en el

canal y la

distribución

de las

velocidades

en las secciones transversales del canal.

y designemos con c0 el vector de velocidad normal a ésta. Si el volumen específico en el punto A se designa con v0, el consumo de masa del vapor por segundo a través del

c0 área dF0 de la sección O—O constituirá dG0 = v 0 dF0 . Sumando los consumos

elementales de vapor en toda la sección O—O, hallemos el consumo de vapor total por segundo que corre en unidad de tiempo a través de la sección F0:

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G0 

c0 dF0 v ( F0 ) 0



Razonando de la misma manera respecto al consumo de vapor que abandona el tramo analizado del canal por la sección 1—1, hallemos: G0 

c1 dF1 v ( F1 ) 1



(111)

Siendo el movimiento estacionario, el consumo de vapor por segundo a través del sector analizado del canal es constante y, por consiguiente, G0 = G1 ó c0 dF0  v ( F0 ) 0



c1 dF1 v ( F1 ) 1



(112)

La suma de los consumos elementales de vapor por la sección transversal del canal puede representarse como producto F1

c1med v1med

c1 dF1 v ( F1 ) 1



donde clmed y vlmed son las magnitudes medias por el consumo de la velocidad y del volumen específico del vapor. En la mayoría de los casos prácticos, los cálculos se llevan a cabo a base de los valores medios clmed y vlmed . Omitiendo en adelante el subíndice «med», escribamos la ecuación de continuidad en forma F0

o

c0 c  F1 1 v0 v1

86

G=F

c  const. v

(113)

El logaritmo de esta igualdad se escribirá así: ln G = ln F + ln c — ln v . Diferenciando esta expresión, obtendremos: dF dc dv   0 F c v

(114)

dF dv dc   F v c

(115)

La última ecuación demuestra que el incremento del área de la sección transversal del canal se determina por la suma de los incrementos de la velocidad de salida y del volumen específico que depende del cambio termodinámico del estado durante la salida. Ecuación de cantidad de movimiento Analicemos el tramo de un canal rectilíneo con la sección transversal que cambia paulatinamente, representado en la fig. 15. Separemos dentro del canal un tubo de corriente determinado por las secciones f0 a la entrada y f1 a la salida del tramo analizado del canal. Recordemos que llámase tubo de corriente la superficie separada en el flujo por hilos de la corriente, es decir, por líneas a lo largo de las cuales el vector de velocidades sigue la dirección tangente a éstas. Analizando la masa del vapor que llena el sector separado del tubo de corriente dm, escribamos la ecuación de fuerzas que actúan sobre esta masa. Si se designa con p0 la presión en la sección f0, a distancia dx en la sección f1 la

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presión será igual a P0 +

p dx. Las fuerzas de presión que obran sobre la generatriz x

del tubo de corriente se equilibran recíprocamente. En el flujo real se deben tener en cuenta las fuerzas de resistencia que el medio exterior transmite a la generatriz del tubo de corriente y que son dirigidas contra .el movimiento. Designemos la fuerza de resistencia elemental con dR1. Entonces se puede escribir: f 0 p0  f1 ( p 0 

p dc dx)  dR1  dm , x d

(116)

donde dc / d es la aceleración de la masa del vapor dm. En el caso de que la sección del tubo de corriente separado cambia suavemente, a medida de reducción de dx, la superficie f0  f1  f, de modo que la igualdad (116) puede escribirse de otra manera:  f

p dc dx  dR1  dm x d

Dividiendo ambas partes por dm y notando que dm = f v

(117) dx , hallamos: v

p dc R , x d

(118)

donde R = dR1/dm es la fuerza de resistencia relacionada a 1 kg de masa del vapor corriente. Observemos que en el caso general, la derivada total del cambio de la presión con el tiempo en alguna sección del flujo rectilíneo se expresa: dp p p dx   d x x d

88 En el movimiento estacionario analizado, el cambio local de la presión con el tiempo

es igual a cero:

p dp p dx dp p   = 0, de modo que y por consiguiente,  d x d dx x

De esta manera, la ecuación (118) puede escribirse así:  vdp  Rdx 

o puesto que c =

dx dc, d

dx , entonces d

-vdp—Rdx=cdc

(119)

Esta expresión es la ecuación de cambio de la cantidad de movimiento (ecuación de impulsos) en el flujo unidimensional. Integrando esta ecuación en el tramo final del recorrido de vapor, pasemos de la ecuación de cantidad de movimiento al caso particular de la ecuación de conservación de la energía: p

x

0 1 c12  c 02   vdp  Rdx 2 p1 x0

(120)

Aquí el primer miembro de la igualdad es el incremento de la energía cinética del flujo que es igual a la diferencia entre el trabajo de expansión del vapor al salir (el primer término del segundo miembro de la igualdad) y el trabajo de las fuerzas de rozamiento (el segundo término del segundo miembro). Para hallar el incremento de la energía cinética, hay que integrar el segundo miembro de la igualdad, lo que es posible si se conoce la ley de cambio del estado v = f (p) y

89 la ley de cambio de las fuerzas de resistencia R = f (x). Esta tarea se resuelve con una facilidad singular si el proceso es isoentrópico, es decir, sin pérdidas ni intercambio de calor con el medio ambiente. En este caso R = 0. y la ecuación de cambio del estado es isoentrópica (110): p1v1kt  p 0 v0k  pvtk  const. p  Hallando de esta expresión vt  v0  0   p 

1/ k

y sustituyendo en la expresión bajo el

signo de integral (120), obtendremos: 1 c12t  c 02  v0 p0 k 2

p0

p

1   k

dp 

p1

k 1    p1  k  k k    p 0 v0 1     p 0 v0  p1v1t   p    k 1 k 1 0      

(121)

Se debe tener en cuenta que la deducción de las ecuaciones analizadas se ha realizado para el tubo de corriente que se apoya en las áreas elementales f0 y f1 (véase la fig.15). La deducción puede aplicarse a la sección total del canal, pero en este caso c, v y p son las velocidades medias por la sección y los parámetros medios del estado del flujo corriente. Ecuación de conservación de la energía Apliquemos la ecuación de conservación de la energía al flujo de vapor estacionario. Supongamos que el vapor pasa por cualquier sistema, representado convencionalmente en la fig. 16

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Fig. 16. Sistema arbitrario por el que pasa el flujo de vapor.

El consumo de masa del vapor por segundo es G. Supongamos que dentro de los límites del sistema, el vapor recibe el calor Q y simultáneamente en unidad de tiempo entrega al medio exterior el trabajo P. La ecuación de conservación de la energía se expresa por la igualdad de las sumas de todos los tipos de energía que recibe el sistema y que éste entrega. Designando con índice O los parámetros medios del vapor en la sección O—O al entrar, y con índice 1, los parámetros del vapor en la sección 1—1 al salir del sistema, y analizando la cantidad de vapor que ha pasado por el sistema durante el tiempo dT, escribamos la suma de todos los tipos de energía recibida: u0Gd +

c 02 Gd + p0F0 dx0 + Qd , 2

donde u0 es la energía interna de 1 kg de masa del vapor suministrado; c 02 / 2 , la energía cinética de 1 kg de masa del vapor suministrado, que se desplaza a velocidad c0 p0F0dx0 , el trabajo del vapor, al desplazarse por el tramo dx0 ; Qd , la cantidad de

91 calor que recibe el sistema durante el tiempo d . De la misma manera anotemos la suma de todos los tipos de energía entregada por el sistema analizado: u1G d +

c12 G d + p1F1 dx1+ Pd , 2

donde P es el trabajo entregado en unidad de tiempo. Igualando estas dos expresiones y dividiéndolas por G d , hallamos: u0 

c02 p0 F0 dx0 Q c 2 p F dx P    u1  1  1 1 1  2 G d G 2 G d G

(122)

Teniendo en cuenta que según la ecuación de continuidad Fc/v = G, dx0 / d = c0, dx1/d = c1 y designando con Q/G = q la cantidad de calor suministrado a 1 kg de vapor que fluye, y con P/G=L el trabajo que desarrolla 1 kg de éste, escribamos la ecuación (122) de la siguiente manera: c02 c2 u 0  p 0 v0   q 0  u1  p1v1  1  L1 2 2

(123)

o, puesto que la suma u + pv = i es la entalpía del vapor, i0 

c02 c2  q0  i1  1  L1 2 2

(124)

Esta expresión es la ecuación de conservación de la energía para el movimiento estacionario del vapor es válida tanto si la corriente de vapor en el sistema se acompaña de pérdidas (R  O) como si se lleva a cabo sin éstas (R = O) La ecuación (124) puede representarse en forma diferencial de la siguiente manera: di + c dc — dq + dL = 0

(125)

92 Las ecuaciones obtenidas permiten resolver varias tareas prácticas de cálculo de canales. Utilicemos la ecuación (124) y supongamos que el vapor pasa por el canal, en el cual no hay intercambio de calor con el medio exterior. Hallemos el incremento de la energía cinética durante la expansión del vapor: c12  c 02  i0  i1 2

(126)

De este modo, el cambio de la energía cinética del flujo de vapor es determinado por la variación de la entalpía. Teniendo en cuenta la igualdad (109), se puede anotar la fórmula (126) así: c12  c02 k  ( p 0 v0  p1v1 ) 2 k 1

(127)

donde para el flujo real, a diferencia de las fórmulas (121) deducidas en el supuesto de que el proceso es isoentrópico, v1 corresponde al verdadero estado del vapor al final de la expansión (fig.17 ). Para usar la igualdad (126), no es obligatorio conocer la ley de cambio de las pérdidas R = f (x) y la de cambio del estado v = f (p), sino que es suficiente tener sólo los valores de las entalpías al comienzo y al final del proceso. De esta manera, en el caso de ausencia del intercambio de calor con el ambiente exterior (el proceso adiabático), el incremento de la energía cinética se determina sólo por los estados inicial y final del vapor y no depende de la ley de cambio de las pérdidas (en el proceso de expansión). Si la entalpía del vapor disminuye como resultado de la expansión, la energía cinética del flujo crece y la velocidad c1 al salir de la corona de paletas se hace, mayor que la velocidad c0 al entrar en ésta. Semejante flujo se llama convergente.

93 Si durante la expansión del vapor, su entalpía no varía, es decir, i1 = i0 , lo que tiene lugar, por ejemplo, en el caso de estrangulación del vapor, la velocidad del flujo de vapor sigue constante: c1 = c0 . Por último, es posible el caso de que la entalpía del vapor al salir del canal es mayor que al entrar en éste. El crecimiento de la entalpía es posible (si no hay intercambio de calor con el medio ambiente ) si la velocidad al final del proceso resulta menor que al principio. Semejante flujo se llama divergente. Conociendo las entalpías i0 e i1 , se puede calcular la variación de la energía cinética, y conociendo c0 es posible determinar también la velocidad al salir del canal. Analicemos diferentes casos de empleo de las ecuaciones halladas para el cálculo del canal.

Fig. 17. Proceso de expansión del canal es isoentrópico. Conociendo la presión vapor en el canal, representado en el diagrama iS. Resolviendo la ecuación (126) para c1 hallamos: c1 

2(i0  i1 )  c02

(128)

94 donde i se mide en J / kg, y e, en m/s. La entalpía i0 del vapor suministrado se halla directamente en el diagrama iS (fig.17). Si también está dada la entalpía i1 al final del proceso de expansión, la fórmula (128) permite también hallar la velocidad del vapor. Supongamos que el flujo es sin pérdidas ni intercambio de calor con el medio ambiente, entonces el proceso de expansión del vapor en el canal es isoentrópico. Conociendo la presión p1 del vapor al salir del canal y trazando en el diagrama iS (fig. 17) la línea isoentrópica A — B, hallamos i1t y, por consiguiente, también la velocidad c1t en el caso de expansión isoentrópica. El canal, en el que el flujo se acelera suavemente se llama canal de tobera o simplemente tobera. Si dado el consumo de vapor G es necesario determinar la sección de salida de la tobera, entonces según el estado del vapor en el punto B hay que hallar el volumen específico v1t al final de la expansión, y, aplicando la ecuación de continuidad, calcular el área de la sección: F1 = G

v1t c1t

De la fórmula (121) obtendremos para cl proceso isoentrópico

c12 t c02 k  ( p0 v0  p1v1 )  2 k 1 2

(129)

De esta manera, la energía cinética del flujo se determina por el cambio de los parámetros termodinámicos y por la energía cinética inicial. En el caso de que la

95 2

magnitud c 0 / 2 es pequeña y puede despreciarse, la velocidad del flujo es sólo la función de los parámetros termodinámicos, y la ecuación (129) se simplifica. Si no se ruede despreciar la energía cinética inicial, es posible suponer que ésta surgió como resultado de la expansión isoentrópica del vapor de algunos parámetros ficticios p 0 , v 0 , con los cuales la velocidad inicial era igual a cero, a los parámetros.