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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL CLASE II -521 INGENIERIA ECONOMICA

CATEDRATICO: M:SC. ING. JEFREY ALVARADO P.

RESUMEN DE CONTENIDO CAPITULO 4 : TASA DE INTERES NOMINAL Y EFECTIVA

Última revisión 19/05/2017

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CAPÍTULO 4 – COMBINACIÓN DE FACTORES DE INGENIERÍA ECONOMICA Objetivo – realizar cálculos de naturaleza económica de tasa de interés compuesto y flujos de efectivo para periodos de capitalización diferentes a un año, periodos semestrales, trimestrales y mensuales.

4.1 FORMULAS PARA LAS TASAS DE INTERES NOMINAL Y EFECTIVA Tasa de interés nominal (se relaciona con la tasa de interés simple) La tasa de interes nominal y efectiva se aplica cuando se calcula el interes compuesto mas de una vez al año. Ejm: Tasa de interes del 1% mensual, se toman en cuenta la tasa de interes nominal y efectiva. Los proyectos de ingenieria, se financian a traves de deuda y de capital propio. Los intereses por prestamos, hipotecas, bonos y acciones se basan en tasas de interes compuesto para periodos mas frecuentes que un año. Igual sucede en la administracion de nuestras finanzas personales. r: la tasa de interes nominal, es una tasa de interes que no considera la capitalizacion de intereses. 𝑟 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑠 La ecuacion se aplica para calcular el valor equivalente de r para cualquier periodo menor o mayor. Tasa nominal, se puede fijar para cualquier periodo: 1 año. 6 meses, 1 trimestre, 1 mes, 1 semana, 1 dia, etc. La tasa de interes nominal r=1.5 % mensual, tiene el siguiente valor equivalente a las siguientes tasas en diferentes periodos. Periodo 2 años 1 año Semestral Mensual Semanal

n (mes) 24 12 6 1 0.231

Tasa de interes equivalente r= 36% por un periodo de 2 años r= 18% por un periodo de 1 año r= 9% por un periodo de 6 meses r= 1.5% por un periodo de 1 mes r= 0.346% por un periodo de 1 semana

Ninguna de las tasas nominal hacen mencion de la frecuencia de composicion. Tasa de interes efectiva: (se relaciona con la tasa de interes compuesto) Es la tasa real aplicable a un periodo de tiempo establecido. La tasa de interes efectiva toma en cuenta la acumulacion de interes durante el periodo de la tasa nominal correspondiente. Se expresa como tasa anual efectiva ia (periodo de 1 año), pero se puede utilizar cualquier periodo como base.

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La frecuencia de capitalizacion de la tasa efectiva se incluye en el enunciado de la tasa nominal. Si la frecuencia de capitalizacion no se menciona, se considera que es la misma que el periodo de r, en cuyo caso la tasa nominal = tasa anual efectiva, r=ia. # 1

Enunciado de la Tasa nominal 4% anual, compuesto mensualmente

2

12% anual, compuesto trimestralmente

3

9% anual, compuesto diariamente

4

3% cuatrimestral, compuesto mensualmente

5

6% semestral, compuesto semanalmente

6

3% trimestral, compuesto diariamente

Frecuencia de capitalizacion Composicion mas frecuente que el periodo establecido Composicion mas frecuente que el periodo establecido Composicion mas frecuente que el periodo establecido Composicion mas frecuente que el periodo establecido Composicion mas frecuente que el periodo establecido Composicion mas frecuente que el periodo establecido

En todos los ejemplos anteriores el periodo de tiempo en el que se expresa el interes es mayor que la frecuencia de capitalizacion. Los valores de las tasas de interes efectivas no seran los mismos durante todos los periodos como consecuencia de las diferentes frecuencias de capitalizacion. Para tomas en cuenta debidamente el valor del dinero en el tiempo, todas las formulas de interes, factores, valores tabulados y relaciones de hoja de calculo deben incluir la tasa de interes efectiva. Por tanto, es primordial determinar la tasa de interes efectiva antes de realizar los calculos del valor del dinero en el tiempo para un estudio de ingenieria economica. Esto se aplica cuando se presentan los flujos efectivo en intervalos de tiempos distintos a un año.

Tasa de interes nominal es la misma tasa porcentual anual (TPA) Tasa de interes efectiva es el mismo rendimiento porcentual anual (RPA)

Siempre hay dos unidades de tiempo asociadas con el enunciado de una tasa de interes: Periodo de tiempo (t): es el periodo de tiempo en el que se expresa el interes nominal . Esta es la t del enunciado de r% por periodo de tiempo t; ejm: 1% mensual. La unidad de tiempo mas comun es 1 año, sino se especifica se supone que es 1 año.

Periodo de capitalizacion o composicion (PC): unidad de tiempo mas corta durante la que se paga o gana interes, se identifica por el termino capitalizacion o composicion, en el enunciado de la tasa Última revisión 19/05/2017

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r% por periodo de tiempo t compuesto m-mente. Ejm: 1% anual compuesto mensualmente, si no se especifica se supone que es de 1 año.

Frecuencia de composicion: numero de veces que la capitalizacion m ocurre dentro del periodo de tiempo t. si los periodos de capitalizacion PC y periodo de tiempo t son los mismos, la frecuencia de capitalizacion es 1, ejm: 1% mensual compuesto mensualmente. Simbolos r t PC m

8% anual, capitalizable mensualmente 8% 1 año Mensualmente 12 veces

6% anual, capitalizable semanalmente 6% 1 año Semanalmente 52 veces

En los capitulos anteriores todas las tasas de interes tenian valores t= 1 año y m= 1 vez al año. Esto significa que la tasa de interes nominal era igual a la tasa de interes efectiva. Formula de la tasa de interes efectiva sobre el periodo de capitalizacion Se utiliza para expresar la tasa efectiva sobre la misma base de tiempo que el periodo de composicion. 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑃𝐶 =

𝑟% 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡 𝑟 = 𝑚 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑡 𝑚

Ejm: 9% anual, compuesto mensualmente r= 9%, t= 1 año, PC= mensual y m= 12 veces 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 =

9% = 0.75% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12

Ejemplo 4.1 A veces no es evidente determinar si la tasa de interes establecida es nominal o efectiva, eso depende de como se exprese el enunciado de la tasa de interes, para ello existen 3 formas: # 1

2

Formato enunciado Tasa de establecida, establecido Tasa establecida

del Ejm del enunciado

Que dice de la tasa efectiva?

interes 8% anual compuesto Tenemos que calcular la tasa PC trimestralmente efectiva efectiva Tasa efectiva de 8.243% La tasa efectiva anual con periodo de directamente composicion trimestral

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se

utiliza

4

3

Tasa de establecida, establecido

interes 8% anual o 2% trimestral PC no

La tasa nominal = tasa efectiva solo para el periodo establecido.

4.2 TASA DE INTERES EFECTIVAS ANUALES El periodo fundamental t sera de 1 año y el periodo de composicion puede ser cualquier periodo menor a 1 año. Estas son las tasas mas empleadas en la industria y los negocios. La simbologia para representar la tasa de interes nominal y efectiva anual son: r= tasa de interes nominal anual m= numero de periodos de capitalizacion o composicion por año. i= tasa de interes efectiva por periodo de composicion (PC) = r/m ia= tasas de interes efectiva anual

Formula para la tasa de interes anual efectiva ia o tasa de interes anual efectiva para cualquier numero de periodos de composicion m, cuando i es la tasa para un periodo de composicion. 𝑖𝑎 = (1 + 𝑖)𝑚 − 1 Formula para calcular la tasa de interes efectiva por periodo de capitalizacion 1

𝑖 = (1 + 𝑖𝑎 )𝑚 − 1 Formula para tasa anual nominal r utilizando la definicion i 𝑟% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = (𝑖% 𝑝𝑜𝑟 𝑃𝐶)(𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑃𝐶 𝑝𝑜𝑟 𝑎ñ𝑜) = 𝑖 ∗ 𝑚

Ejm: Tasa nominal de 6% anual compuesta trimestralmente, su tasa anual efectiva seria: 𝑖𝑎 = (1 + 0.06)4 − 1 = 6.136% Ejm: 4.2 Jacki obtuvo una nueva tarjeta de credito con un banco nacional (MBNA), con una tasa establecida de 18% anual y periodo de composicion mensual. Para un saldo de $1000 al principio del año, calcule la tasa anual efectiva y el adeudo total al banco MBNA despues de 1 año, tomando en cuenta el hecho de que no se efectua ningun pago durante el año. r= 18% anual compuesto mensualmente, t= 1 año, PC= mensual, m= 12 veces

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Paso 1. Calcula la tasa efectiva por perido de capitalizacion (tasa efectiva mensual) 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 =

18% = 1.5% 12

Paso 2. Calcular la tasa de interes anual efectiva ia 𝑖𝑎 = (1 + 𝑖)𝑚 − 1 𝑖𝑎 = (1 + 0.015)12 − 1 = 1.19562 − 1 = 0.19562 ∗ 100% = 19.562% Paso 3. Calcular el adeudo total al final del año. Si el saldo de $1000 no se reduce durante el año, entonces 𝑎𝑑𝑒𝑢𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃(1 + 𝑖𝑎 ) 𝑎𝑑𝑒𝑢𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = $1000(1 + 0.19562) = $1195.62 Jacki pagara 19.562% o $195.62 de interes + $1000 de saldo, por pedir prestado $1000 en el banco durante 1 año. Ejm: Para una tasas de 18% anual, capitalizada en diversos periodos, determine la tasas de interes anuales efectivas durante los siguientes periodos de composicion. PC

M

Anual

1

Semestral

2

Trimestral

4

Mensual

12

Semanal

52

Tasa de interes por PC, i 18% 𝑖= = 18% 1 18% 𝑖= = 9% 2 18% 𝑖= = 4.5% 4 18% 𝑖= = 1.5% 12 18% 𝑖= = 0.3461% 52

Tasa anual efectiva ia 𝑖𝑎 = (1 + 0.18)1 − 1 = 0.18 ∗ 100% = 18% 𝑖𝑎 = (1 + 0.09)2 − 1 = 0.1881 ∗ 100% = 18.81% 𝑖𝑎 = (1 + 0.045)2 − 1 = 0.1925 ∗ 100% = 19.25% 𝑖𝑎 = (1 + 0.015)12 − 1 = 0.1956 ∗ 100% = 19.56% 𝑖𝑎 = (1 + 0.003461)52 − 1 = 0.1968 ∗ 100% = 19.68%

Cuando el resultado de ia, no es un entero, por consiguiente el valor del factor de ingenieria economica no puede obtenerse directamente de las tablas de factores de interes. Por tanto el valor del factor se puede determinar mediante las siguientes tres alternativas: Opcion 1. Se lleva acabo la interpolacion lineal entre dos tasas tabuladas. Opcion 2. Se utiliza la formula del factor sustituyendo i por ia. (Aplica en ejm resueltos a mano) Opcion 3. Se crea una hoja de calculo utilizando ia o i =r/m en las funciones. (aplica en ejm resueltas en computadora)

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4.3 TASAS DE INTERES EFECTIVAS PARA CUALQUIER PERIODO Al considerar los conceptos de tasas de interes anual efectiva y nominal, se debe considerar el periodo de composicion (PC) en el que se acumula interes y los periodos de pago (PP) o frecuencia en la que se realizan los pagos (credito) o se reciben ingresos (certificados de deposito), conocido como periodo de transaccion de flujo de efectivo. Ejm 1: Si una compañía deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de interes nominal de 14% anual, con un periodo de composicion semestral, el periodo de pago es 1 mes, mientras que el periodo de composicion es de 6 meses. Figura 4.3

Ejm 2: Si una persona deposita dinero cada año en una cuenta de ahorro con un interes compuesto trimestral, PP = 1 año y el PC = trimestral. Evaluacion de flujos de efectivo que se presentan con mayor frecuencia que la anual, PP < 1 año, en las formulas se debe utilizar la tasa de interes efectiva durante el PP. Formula de la tasa de interes efectiva para cualquier tasa nominal por periodo de pago 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 = (1 +

𝑟 𝑚 ) −1 𝑚

r= tasas de interes nominal por periodo de pago (PP) m= numero de periodos de composicion por periodo de pago (PC por PP) Ahora una tasa nominal r% anual (o cualquier otro periodo) se puede convertir en una tasa efectiva i para cualquier periodo, tomando como base el periodo de pago (PP). Ejm 4.4 Un ingeniero esta evaluando 3 propuestas de ventas. Las 3 incluyen las tasas de interes siguientes: Propuesta 1: 9% anual, compuesto trimestralmente Propuesta 2: 3% trimestral, compuesto trimestralmente Propuesta 3: 8.8% anual, compuesto mensualmente

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La empresa hara pagos semestrales, el ingeniero quiere determinar las tasa de interes efectivas ( anuales y durante el periodo de pago de 6 meses) a. Determine la tasa efectiva de cada propuesta si se haran pagos semestrales. b. Cuales son las tasas anuales efectivas? c. Que propuesta incluye la tasa anual efectiva mas baja? Propuesta 1 r= 9% anual PP = semestral PC= trimestral m= 2 veces (2 PC en 1 PP)

Determine la tasa de interes efectiva por PP Tasa 9% anual, PC trimestral

Determine la tasa de interes efectica anual Tasa 9% anual, PC trimestral

Paso 1. Determine la r% semestral

Paso 1. Determine la r% semestral

r% anual= r% PP semestral=

r% anual=

9% 4.5%

9%

Paso 2. Determinar iefectiva PC trimestral

Paso 2. Determinar iefectiva PC trimestral

itrimestral

itrimestral

2.25%

2.25%

Paso 3. Determinar iefectiva PP semestral

Paso 3. Determinar iefectiva anual

isemestral

ianual

4.55%

9.31%

Propuesta 2 r= 3% trimestral PP = semestral PC= trimestral m= 2 veces

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Tasa 3% trimestral, PC trimestral Paso 1. Determine la r% semestral

Tasa 3% trimestral, PC trimestral Paso 1. Determine la r% anual

r% trimestrall= r% anual=

r% trimestrall= r% anual=

3% 12.00%

3% 12.00%

Paso 2. Determinar iefectiva PC trimestral

Paso 2. Determinar iefectiva PC trimestral

itrimestral

itrimestral

3.00%

3.00%

Paso 3. Determinar iefectiva PP semestral

Paso 3. Determinar iefectiva anual

isemestral

ianual

6.09%

12.55%

Propuesta 3 r= 8.8% anual PP = semestral PC= mensualmente m= 6 veces Tasa 8.8% anual, PC mensual Paso 1. Determine la r% semestral

Tasa 8.8% anual, PC mensual Paso 1. Determine la r% anual

r% anual=

r% anual=

8.8%

8.80%

Paso 2. Determinar iefectiva PC trimestral

Paso 2. Determinar iefectiva PC trimestral

imensual

imensual

0.733%

0.73%

Paso 3. Determinar iefectiva PP semestral

Paso 3. Determinar iefectiva anual

isemestral

ianual

4.48%

9.12%

Tabla Resumen de Resultados # 1 2 3

Tasa de interes i Efectiva PP 9% 4.55% 3% 6.09% 8.80% 4.48%

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ianual 9.31% 12.55% 9.12%

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c. La propuesta # 3, incluye la tasa anual efectiva menor de 9.16%, que equivale a una tasa semestral efectiva del 4.48%.

4.4 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: COMPARACION ENTRE LA DURACION DEL PERIODO DE PAGO Y DEL PERIODO DE CAPITALIZACION (PP VERSUS PC) A continuacion se describen los procedimientos para determinar los valores correctos de i y n, para los factores de ingenieria economica y las soluciones en hoja de calculo.

Paso 1 Comparar la duracion del PP y la duracion del PC, Paso 2 Identificar la serie de flujos de efectivo con pagos unicos (P y F) o con una serie (A. G o g).

Cuando solo existen pagos unicos, no hay periodo de pago definido en si por los flujos de efectivo, la duracion del PP queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de interes. Ejm: si la tasa de interes es de 8% semestral, compuesto trimestralmente, el PP es semestral y el PC es trimestral. PP > PC. Casos que se presentan son: Caso 1 Seccion 4.5 – PP = PC Caso 2 Seccion 4.6 – PP > PC Caso 3 Seccion 4.7 – PP < PC

En el caso 1 y 2 las formulas para determinar los valores de i y n son las mismas. La tecnica que toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo es la misma, por tanto solo cuando se presentan flujos de efectivo se determina el efecto de la tasa de interes o sea durante cada PP. Ejm:Si los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses (PP semestral), y el interes tiene un periodo de capitalizacion trimestral (PC trimestral). Despues de 3 meses no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto de la composicion trimestral. Sin embargo en el mes 6 es necesario considerar los intereses acumulados durante los dos periodos de composicion trimestrales anteriores.

4.5 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS UNICOS CON PP ≥ PC Cuando existen flujos de efectivo de pago unico,existen 2 formas correctas de determinar i y n para los factores P/F y F/P: Última revisión 19/05/2017

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Metodo 1: el valor del factor se puede buscar directamente en la tablas de interes de los factores del libro ya que el valor i y n es un numero entero. Metodo 2: requiere calcular la formula para el factor, ya que la tasa de interes efectiva que resulta no es un valor entero. Cuando el problema se resuelve usando hojas de calculo cualquier metodo es aceptable, pero el metodo 1 es mas facil. Sirve para calcular el P o F cuando se solicita un prestamo o cuando se quiere invertir en un Certificado de Deposito en el banco. P seria la cantidad presente del prestamo o principal ( En el caso del certificado de deposito seria el monto a invertir durante un periodo de tiempo) F seria la cantidad total del pago del prestamo (En el caso del certificado de deposito seria la cantidad final generada despues de un periodo de tiempo) Procedimiento del metodo1 1. Se determina la tasa de interes efectiva durante el periodo de composicion PC 2. Se iguala el numero de periodos de composicion entre P y F o se calcula el total de periodos del PC durante el periodo t entre P y F. 3. Se calcula el valor de las cantidades unicas P o F usando el factor P/F o F/P P = F(P/F, i% efectiva por PC, n numero total de periodos) F = P(F/P, i% efectiva por PC, n numero total de periodos)

Ejm: La tasa de la tarjeta de credito es una tasa efectiva de 15% anual, compuesta mensualmente. PC es mensualmente, calcular P o F a lo largo de un periodo de duracion de 2 años. Se calcula la tasa efectiva mensual 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 =

15% = 1.25% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12

Luego se calcula el total de periodos del PC durante la duracion de tiempo entre P y F. 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 12 ∗ 2 = 24 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 Luego los valores de i efectiva y periodos se utilizan para el calculo de los factore P/F o F/P. debido a que son valores con numeros enteros, podemos encontrar los factores en las tablas de interes para factores economicos en el libro. Factor P/F = 0.7422 Factor F/P = 1.3474 Procedimiento del metodo 2

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1. Determine la tasa de interes efectiva para el periodo t de la tasa nominal 2. n es el numero total de periodos entre P y F utilizando el mismo periodo t 3. Se calcula el valor de las cantidades unicas P o F usando el factor P/F o F/P P = F(P/F, i% efectiva para el periodo t, n numero total de periodos) F = P(F/P, i% efectiva para el periodo t, n numero total de periodos)

Ejm: La tasa de la tarjeta de credito de 15% anual, compuesta mensualmente. PC es mensualmente, calcular P o F a lo largo de un periodo de duracion de 2 años. Periodo t = 1 año, r= 15%, PC = mensualmente, n= 2 periodos de 1 año 1. Calcular la tasa efectiva anual 𝑖% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = (1 +

0.15 12 ) − 1 = 16.076 12

2. Determinar el numero de periodos t entre P yF n= 2 años 3. Se calcula el valor de las cantidades unicas P o F usando el factor P/F o F/P Aplicando la formula del factor P/F, se encuentra (P/F, 16.075%, 2) = 0.7422 Formula del Factor P/F 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟

𝑃 1 1 =[ ]=[ ] = 0.7422 𝑛 (1 + 𝑖) (1 + 0.16075)2 𝐹

Ejemplo 4.6

4.6 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: SERIES CON PP ≥ PC El procedimiento del metodo 2 es el que se aplica cuando se incluyen series gradiente o uniformes en la sucesion de flujos de efectivo, salvo que PP ahora queda definido por la frecuencia de los flujos de efectivo y la unidad de tiempo de la tasa de interes efectiva se expresa de acuerdo con el mismo periodo que n. Ejm: Si los flujos de efectivo o pagos son trimestrales, el PP es de 1 trimestre y los flujos de efectivo son trimestrales. El valor n es igual al numero total PP = trimestres. Si PP= 1 trimestre entonces en 5 años n=20 trimestres. Cuando los flujos de efectivo implican a una serie (A, G o g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de capitalizacion. Última revisión 19/05/2017

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 

Se calcula la tasa de interes efectiva i por periodo de pago Se determina n como el numero total de periodos de pago.

Al hacer los calculos de equivalencia para series, solo estos valores de i y n se pueden usar en las tablas de interes, formulas de factores y funciones de hoja de calculo.

Ejm: Valores de n e i, donde PP= PC o PP>PC Serie de flujo de Tasa de interes efectivo o pagos $500 semestralmente 16% anual, durante 5 años compuesto mensualmente $75 mensualmente 24% anual compuesto durante 3 años semestralmente $180 trimestralmente 5% trimestral durante 15 años Incremento de $25 mensualmente 1% mensual durante 4 años $5000 trimestralmente 1% mensual durante 6 años

X/Y

P/A

Notacion estandar

P=$500(P/A, 8%, 10)

F/A

F=$75(F/A, 2%, 36)

F/A

F=$180(F/A, 5%, 60)

P/G

P=25(P/G,1%,48)

A/P

A=$5000(A/P, 3.03%, 24)

Ejemplo 1: Un ingeniero de control de calidad pago $500 semestrales en los pasados 7 años por el contrato de mantenimiento del software de una LAN. Cual es la cantidad equivalente despues del ultimo pago, si estos fondos se obtienen de un consorcio que ha estado reembolsando 20% de intereses anuales con composicion trimestral? A=$500 PP= semestral Periodo de tiempo es 7 años Numero de periodos n= 14 semestres i= 20% anual con composicion trimestral PC= trimestral i= 10% semestral

Procedimiento

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1. Como el PP>PC, se calcula la tasa de interes efectiva por PP= semestre 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = (1 +

0.10 2 ) 2

− 1 = 10.25%

2. Determinar el numero total de periodos de PP 𝑛 = 2 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 ∗ 7 𝑎ñ𝑜𝑠 = 14 𝑃𝑃

3. Calcular F/A F= $500(F/A, 10.25%, 14) F= $500 (28.4891) = $14244.50 El diagrama de flujo de efectivo seria

Ejemplo 2 Usted desea adquirir un automovil y obtiene un prestamo por $12,500 al 9% anual, compuesto mensualmente. Los pagos deben efectuarse mensualmente durante 4 años. Determine el pago mensual. P=$12,500 i= 9% anual, compuesto mensualmente inominal = 0.75% mensual PP= mensual Periodo de tiempo = 4 años n= 48 meses PC= mensual

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4. Como el PP=PC, se calcula la tasa de interes efectiva por PP= mensual 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = (1 + 0.0075)1 − 1 = 0.0075 * 100% =0.75% mensual 5. Determinar el numero total de periodos de PP 𝑛 = 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 ∗ 4 𝑎ñ𝑜𝑠 = 48 𝑃𝑃

6. Calcular F/A A= $12,500(A/P, 0.75%, 48) A= $12,500 (0.02489) = $311.12

4.7 RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS UNICOS Y SERIES CUANDO PP < PC Cuando existen ocurrencias de flujos de efectivo entre puntos de capitalizacion, es necesario decidir como se va a manejar la capitalizacion interperiodica. Para ello existen 2 politicas: Politica 1: los flujos de efectivo entre periodo no ganan intereses. Politica 2: los flujos de efectivo entre periodos ganan interes compuesto. En este caso los flujos de efectivo no se trasladan,

En el caso de la politica de no intereses interperiodicos, se considera que los flujos de efectivo de depositos (flujos de efectivo negativos) se realizan al final del periodo de capitalizacion, asi mismo se considera que los retiros de efectivo se hacen al inicio. En la politica 1, dentro del marco temporal de un periodo de capitalizacion, no hay ninguna ventaja en intereses si se efectuan pagos anticipados. Ejm: Si se tiene un interes compuesto trimestral, los depositos mensuales se trasladan al final del trimestre (no se obtienen intereses interperiodicos) y todos los retiros de efectivo (se trasladan al principio (no se pagan interes durante todo el trimestre). El procedimiento anterior afecta la distribucion de los flujos de efectivo antes de que se aplique la tasa de interes efectiva trimestral para calcular P,F o A. Esta situacion conlleva a que el PP=PC,

Ejemplo 4.10 Rob es el ingeniero de coordinacion de obra en Alcoa Aluminum, donde se encuentra una mina en renovacion, en la cual un contratista local ha instalado un nuevo equipo de refinamiento de materiales, Rod desarrollo el diagrama de flujo de efectivo de la Figura 4.10 a en unidades $1000 desde la perspectiva del proyecto. El diagrama incluye los pagos al contratista que Rob autorizo para Última revisión 19/05/2017

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el año en curso y los anticipos aprobados por las oficinas centrales de Alcoa. Rob sabe que la tasa de interes sobre proyectos de campo de equipo como estos es de 12% anual, compuesto trimestralmente, y que Alcoa no va a insistir en la capitalizacion interperiodica de los intereses. Se encontraran o no las finanzas del proyecto de Rob en numeros rojos al final del año? Por cuanto? El valor Futuro F despues de 4 trimestres se calcula de la siguiente manera: Trimestres 0 1

2

3

4

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Flujo de efectivo $ -150.00 $

-200.00

$ $

-75.00 -100.00

$ $ $ $

90.00 120.00 -50.00 45.00

Paso 1. Elaborar un diagrama de los flujos de efectivo actuales

Diagrama de flujo de efectivo

La figura refleja el traslado de los flujos de efectivo. El valor futuro despues de 4 trimestres F a una tasa de interes efectiva trimestral de 12%/4= 3%.

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Paso 2. Aplicación de la Politica 1 La siguiente figura muestra la aplicación de la politica 1 en la cual todos los flujos de efectivo negativos (pagos al contratista) trasladados al final del trimestre respectivo y todos los flujos de efectivo positivos (ingresos de las oficinas centrales) trasladados al principio del trimestre respectivo. Trimestres

n

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

2

3

4

Flujo de Flujo de efectivo (Flujo de efectivo efectivo (+) P ) Salidas neto Entradas $ -150,000.00 $ -150,000.00 $-150,000.00

$

-200,000.00

$

200,000.00 $-194,174.76

$

-175,000.00 $ 90,000.00 $

85,000.00 $ -80,120.65

F

$165,000.00 $ -165,000.00 $ 150,998.37

$

-50,000.00

$

50,000.00 $ -44,424.35 $-357,600.00

Paso 3. Elaborar un nuevo diagrama de flujo de efectivo para mostrar la nueva redistribucion.

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Diagrama de flujo de efectivo

Paso 4. Calculo del Valor futuro Una vez que se aplico la politica 1 y se redistribuyeron los flujos de efectivo, procedemos a calcular el valor de F al 3% trimestral.

PT = $ 317,721.39 𝐹𝑇 , 3%, 4) 𝑃

𝐹𝑇 = $ 317,721.39 (

= $ -357,598.22

Rob concluye que las finanzas del proyecto en la obra se encontraran en numeros rojos por alrededor de $357,598 al final del año.

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Politica 2 - Cuando existe capitalizacion interperiodica Si PP