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Capitulo 8: Campos Oscilantes 8.1 Movimiento de electrones en campos oscilantes Como las ecuaciones electrodinámicas y la de movimiento de los electrones son lineales en E, B, y la velocidad del electrón (v), vale el principio de superposición. Como cualquier campo periódico puede ser descompuesto en armónicos, es suficiente considerar un campo puramente sinusoidal. En el caso usual de movimiento no relativista, la fuerza magnética es mucho menor que la eléctrica. Además la amplitud de las oscilaciones electrónicas en la descarga es usualmente pequeña comparada con la longitud de onda (λ), por lo que supondremos que el electrón se mueve en presencia de un campo E = E0 sen(ωt), con E0 uniforme en el espacio. 8.1.1 Oscilaciones libres Supongamos ausencia de colisiones, lo que implica que la frecuencia de la onda es mucho mayor que la frecuencia de colisiones (ω >> νm). La ecuación demovimiento del electrón será entonces: Mdv /dt = -e E0 sen(ωt) ; dr/dt ≡ v con la solución: v = e/mω E0 cos(ωt) + v0 ;

r = e/mω2 E0 sen(ωt) + v0t + r0

(8.1)

la velocidad de oscilación y el desplazamiento son : u = e E0 /mω ; a = e E0/mω2

(8.2)

El desplazamiento está en fase con E, y la velocidad está desfasada en π/2. Este caso límite de oscilaciones sin colisiones ocurre a frecuencias ópticas, y también a frecuencias de microondas (µλ) a baja presión (p < 10 Torr). 8.1.2 El efecto de las colisiones En cada colisión se pierde la fase, y aparece un brusco cambio en la dirección del movimiento del electrón: después de cada colisión el electrón comienza a oscilar nuevamente con una nueva fase y un nuevo ángulo relativo a la dirección instantánea de la velocidad. Agregando la tasa de pérdida de momento a la ecuación de movimiento queda; Mdv /dt = -e E0 sen(ωt) – m νm v

(8.3)

cuyas soluciones, después de varias colisiones son: v = e/m(ω2+ νm2)1/2 E0 cos(ωt+ϕ) , ϕ = arctg(νm/ω) r = e/mω(ω2+ νm2)1/2 E0 sen(ωt+ϕ)

(8.4)

Comparando con el caso de las oscilaciones libres, u y a son ahora menores por el factor (1 + νm2/ω2)1/2 . Las (8.4) pueden ser descompuestas en términos proporcionales a E y dE/dt = ω E0 cos(ωt) : v = e/m(ω2+ νm2) (dE/dt - νm E) r = e/m(ω2+ νm2) (E - νm/ω2 dE/dt)

(8.5)

en el límite νm - eEo2/mω < sen ωt cos ωt > ≡ 0 El campo eléctrico "bombea" a los electrones una sola vez (cuando es "prendido"), los electrones adquieren la energía cinética de las oscilaciones libres (m u2/4 = e2Eo2/4mω2) y, a partir de entonces, la energía cinética oscila sin cambiar su promedio. En cambio, si hay colisiones, de acuerdo con (8.5): < - e E.v >= [e2Eo2/2m(ω2+νm2)] νm ≡ ∆ εE νm

(8.7)

y para obtener la energía media electrónica debe balancearse la energía ganada del campo con la perdida por colisiones elásticas e inelásticas con las partículas pesadas (al igual que en el caso d-c). Si con cada colisión el electrón pierde una fracción δ de su energía ε, entonces:

2

e 2 dε E = (∆εE - δε) νm = ( 2 dt m(ω +ν 2

2

donde E = ≡

E

2 m

)

- δε) νm

(8.8)

2 o

2

En condiciones estacionarias:

ε =

∆ε E

δ

2

⇒ε =

eE

2

(8.9)

mδ (ω +ν m ) 2

2

Si ω2 >νm), ε es independiente de νm y p, y la ley de similaridad será ε = h(E/ω). Si δ ≈ cte, ε ∝ (E/ω)2, lo que significa que para alcanzar una dada ε , entonces E ∝ ω. En la práctica, las avalanchas electrónicas requieren ε ~10 eν, y esto explica por qué la ruptura dieléctrica a frecuencias ópticas (ω ~ 1015 s-1) requiere campos enormes (E ~ 107 V/cm), que se consiguen sólo mediante la focalización de pulsos láser gigantes.

8.2 Interacción de ondas electromagnéticas con el estado ionizado

8.2.1 Ecuaciones básicas de la Electrodinámica de Medios Continuos En la sección anterior se ha desarrollado lo que sucede con los electrones de un gas ionizado en presencia de un campo eléctrico a-c. Ahora se verá un aspecto diferente de la interacción electrón-campo: el efecto del estado ionizado sobre el comportamiento de los campos a-c y la propagación de ondas electromagnéticas. Comenzaremos escribiendo las ecuaciones de Maxwell (unidades cgs). D = E + 4πP Campos: E, H, D, B; B = H + 4πM P, M Æ momentos eléctrico y magnético por unidad de volumen, respectivamente. Ec. Maxwell ∇ x H = 4π/c j + 1/c ∂D/∂t

(8.10)

∇ x E = -1/c ∂B/∂t ∇oB=0 ∇ o D = 4πρ

(8.11) (8.12) (8.13)

El sistema no está cerrado, pues j , P y M dependen de las propiedades del material. Si los campos son estáticos o varían lentamente en el tiempo, tanto la experiencia como la teoría indican una proporcionalidad entre j y P con E, y entre M y H. Esto se escribe como: j = σ E ; P = χe E ; M = χ H

(χe, χ son las susceptibilidades eléctrica y magnética) o

bien: j =σE ; D=εE ; B=µH

(8.14)

donde ε = 1+4πχe y µ = 1+4πχ son las permeabilidades eléctrica y magnética. Para gases y plasmas µ ≈ 1. Las (8.14) fallan en campos que varían rápidamente. Esto es debido a que los procesos que generan j y P poseen una cierta inercia. Por ejemplo, si un campo E que apunta en una cierta dirección es bruscamente invertido, la corriente continuará fluyendo por un cierto tiempo en la dirección original, hasta que las cargas sean llevadas al reposo, y finalmente invertida su dirección de movimiento. La obtención de las ecuaciones materiales que tienen en cuenta efectos de retardo, se ve facilitada porque el movimiento de las cargas está descripto por ecuaciones lineales en E, r, v. Como las ecuaciones de Maxwell también son lineales, todas las cantidades dependientes del tiempo pueden ser expendidas en series (o integrales) de Fourier. Como vale el principio de superposición, se puede operar sólo con componentes armónicos. La evolución de las cantidades armónicas está controlada por tres parámetros: amplitud, frecuencia y fase. El efecto del retardo está contenido en la relación entre esos parámetros (para las características del material) y el campo. Si Eω = Eωo sen(ωt), entonces jω(t ) = jω(t ) o sen (ωt+ϕω), en donde jω(t ) o y ϕω serán funciones de Eωo y ω. Las ecuaciones pueden darse en forma conveniente si se retienen los conceptos de conductividad y permitividad dieléctrica que son familiares al trabajar con campos estáticos. De hecho, la corriente total (t ) j ω está formada por una combinación de sen(ωt) y cos(ωt), que corresponde a una combinación lineal de E y ∂E/∂t. Retornando al concepto original de corriente de ε −1 ∂E/ ∂t), podemos conducción ( =σE ) y de corriente de polarización ( = ∂P/∂t = 4π rescribir la ecuación material (para una armónica) en la forma: ε −1 (t ) ∂ Eω/∂t , Eω = Eωo sen(ωt) j ω = σω Eω + ω (8.15) 4π A σω y Eω se las llama conductividad y permitividad dieléctrica de alta frecuencia del (t ) medio. Para calcularlas, basta usar la expresión general (8.5) en j = - ene v y comparar con (8.15). Sale inmediatamente:

σω =

e 2 neν m m(ω 2 + ν m2 )

εω = 1 -

4πe 2 ne m(ω 2 + ν m2 )

(8.16) (8.17)

Las (8.16) y (8.17) son de importancia fundamental para la física de interacción plasmaondas electromagnéticas. Nótese que el cociente de amplitudes entre la corriente de conducción y la de polarización está dada por: jcond ,o ε −1 ∂Eωo / ∂t = νm/ω = σω Eωo /  j pol ,o 4π

(8.18)

En el límite de muy baja frecuencia (o plasma muy colisional), en donde toda la corriente es de conducción se obtiene: e 2 ne (conductividad d-c) "ω→ο" → σω → mν m 4πe 2 ne (permitividad d-c) (8.19) mν m2 En el límite de alta frecuencia (o plasma sin colisiones), en donde toda la corriente es de polarización se obtiene: e 2 ne νm "ω→ ∞ " → σω → mω 2 4πe 2 ne → εω = 1 (8.19´) mω 2 Un aspecto llamativo de lo que se ha considerado es encontrar que ε > ω2 (ωo está normalmente en el rango de frecuencias ópticas), r es opuesto a E, y entonces P=-er es paralelo a E (el caso ω2>ωo2 resulta en lo que se conoce como dispersión anómala de la luz). En cambio, en un plasma, aparte del efecto de las colisiones, los electrones libres tienden a oscilar en fase con E, por lo que P es antiparalelo < E, y ε es menor que 1. 8.2.2 Propagación de Ondas Electromagnéticas con un Plasma Es conveniente aquí recurrir a la representación compleja de los campos, porque evita trabajar con combinaciones de senos y cosenos. Entonces, suprimiendo también el subíndice ω, E = Eo exp (-i ω t) (8.20) B = Bo exp (-i ω t)

De (8.10), (8.15) y (8.20) se obtiene: iωε iωε ′ 4πσ Eo ≡ Eo Eo ∇xBo = c c c donde, en analogía con los dieléctricos, se ha definido 4πσ ε′=ε+i

ω

(8.21)

(8.22)

usando la ley de Faraday (8.11) se tiene: ∇xEo= iω/c Bo

(8.23)

y combinando (8.21) con (8.23) ∇2Eo+

ε ′ω 2

Eo=0 c2 La (8.24) admite soluciones propagantes, E, B ∝ exp(-iωt + i k.r) Entonces de (8.10) y (8.11): kxB = -

(8.24)

ωε ′

E c kxE = ω/c B

(8.25)

La (8.25) implica que, si ε'≠0, k ⊥ B ⊥ E → ondas transversales Si, en cambio, ε'=0 → B=0, k//E → ondas puramente eléctricas longitudinales → "ondas de plasma" Nótese que la condición ε'=0, implica σ ≈ 0 ( o sea νm >νm, o de mω 2 eEo deriva ad ∼ si νm>>ω). La longitud de onda de la radiación es muy grande, y no mων m necesita ser considerada. Hay varios casos: 1) a