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• Alvaro Fernando Mejia

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Moisés Villena Muñoz

Números

5 5.1 CLASIFICACIÓN 5.2 NÚMEROS REALES • PROPIEDADES • OPERACIONES • EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Nuestra primera incursión con las Matemáticas es quizás cuando interaccionamos con los números. Si queremos contar, mencionar nuestra edad, nuestro peso, la cantidad de dinero que poseemos,..., necesariamente debemos recurrir a los números. Pero para estudios más formales, debemos definirlos, clasificarlos, estudiar sus propiedades…

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Moisés Villena Muñoz

Números

OBJETIVOS:

SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Clasifique a los números • Aplique las propiedades de las operaciones usuales, suma y producto, con números reales. • Defina operación binaria. • Aplique las propiedades de las operaciones binarias para determinar si una operación dada es binaria o no. • Aplique en ejemplos dados las propiedades conmutativas, asociativas, existencia del elemento idéntico, existencia del elemento inverso. • Construya ejemplos de operaciones binarias. • Simplifique expresiones numéricas y algebraicas, aplicando las leyes de los exponentes, radicales, producto notable, factorización.

5.1 CLASIFICACIÓN La clasificación de los números la observamos en el cuadro:

siguiente

    Positivos : Naturales : IN        Enteros : Z Cero : 0     −    negativos : Z      Racionales : Q   Re ales : IR    Fraccionarios +     COMPLEJOS : C  −             Irracionales : I +   −    + Im aginarios   −

Se podría decir que el conjunto universo de los números, es el de los números complejos C . Todo número complejo tiene la forma:

a + bi

Es decir, se compone de dos partes: 1. Parte real “ a ” 2. Parte imaginaria “ b ”

Si a = 0 tenemos a los números imaginarios. Si b = 0 tenemos a los números reales.

5.2 NUMEROS REALES: IR Los números reales están clasificados en dos grandes grupos: 1. Los números Racionales: Q . 2. Los números Irracionales: I . 92

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Números

5.2.1 NÚMEROS RACIONALES. Q Los números racionales son todos aquellos que pueden ser p expresados como una fracción , donde p ∧ q ∈ Z . q Por tanto a este conjunto pertenecen:  Los ENTEROS (Z ) . Estos números no tienen parte decimal, por ejemplo:

2=

4 10 6 = = = ... 2 5 3

 Los números que tienen una cantidad finita de decimales, por ejemplo:

31 10 523 5.23 = 100

3.1 =

 Los números que tienen una cantidad infinita de decimales periódicos, por ejemplo: a = 3.131313... b = 2.42535353... Para estos últimos números surge una pregunta ¿CUÁL ES LA FRACCIÓN CORRESPONDIENTE?. Para lo cual, tenemos la siguiente regla:

REGLA PARA CONVERTIR UN DECIMAL PERIÓDICO EN FRACCIÓN. 1. Identificar el primer período. 2. Encontrar dos números. Uno, cuyo punto decimal aparezca después del primer período y el otro, cuyo punto decimal aparezca antes del primer período.

93

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Números

3. Restar

estos

números.

Observe

que

el

número resultante es un entero. 4. Encontrar el número.

Bien, apliquemos la regla para convertir los dos últimos números anteriores en sus respectivas fracciones:

Ejemplo 1  Para el número a = 3.131313... los números a restar serían: por lo tanto

a=

100a = 313.131313... − a = 3.131313... 99a = 310.000000

310 99

Ejemplo 2 Para

el

número

 b = 2.42535353...

10000b = 24253.535353... − 100b = 242.535353... 9900b = 24011.00000

por lo tanto

los b=

números

a

restar

serían:

24011 9900

Finalmente hallemos la fracción equivalente para este otro número racional. Ejemplo 3  Si c = 3.0512512512... los números a restar serían:

lo tanto

c=

30482 9990

10000c = 30512.512512... − 10c = 30.512512... por 9990c = 30482.000000...

¿SE PUEDE SIMPLIFICAR? ¿CÓMO QUEDARÍA?

Si dividimos el numerador para el denominador de la fracción se obtiene el número en forma decimal. Ejercicios Propuestos 5.1 94

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Números

1. Obtenga la fracción equivalente, de ser posible, para los siguientes números: a) 2.02 b) 0.0101010101 c) 3.14161616

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Números

5.2.2 NÚMEROS IRRACIONALES I Son aquellos números que no pueden ser convertidos en fracción. Tienen una cantidad infinita de decimales no periódicos. Existen infinita cantidad de números irracionales, pero los típicos, usados frecuentemente, son:

e = 2.718281...

π = 3.1415926... 2 = 1.41421356... PREGUNTA: Los números

π 2 2 , , e ¿SON RACIONALES O IRRACIONALES? 2 2

etc.

¿POR QUÉ?

5.2.3 REPRESENTACIÓN Los números reales se pueden representar sobre la RECTA NUMÉRICA.

Se hace referencia a los enteros, pero esto no quiere decir que, a los otros números reales no se los pueda ubicar sobre la recta numérica, es cuestión de observarlos como decimales.

Ejercicio Propuesto 5.2 Ubique en la recta numérica los siguientes números: a) 3.14 b) 4 c) 7

5 6

d) −2.1 e) − 3 f) − 9

4

4

5.2.4 RELACIÓN DE ORDEN En la recta numérica, al ubicar un número cualquiera; los números que quedan a la izquierda serán menores que este número y los que quedan a la derecha serán mayores que este número.

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Números

Esquemáticamente sería:

Se puede decir que m > n ó lo que es lo mismo que n < m . Además, todos los números que están a la izquierda de m son menores que éste, y los que están a la derecha son mayores.

Ejercicios Propuestos 5.3 1.

Si Re = IR el conjunto de los números Reales; Q es el conjunto de los números Racionales; I es el conjunto de números irracionales; Z es el conjunto de los números enteros, entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA: b) (Q ∪ Z ) ∪ I = IR c) Q ∩ I = φ d) IR − I = Z a) IR ∩ I = I e) ( I ∩ Z ) ∪ Q = Q

2.

Si se consideran los siguientes conjuntos de números: N : Naturales IR : Reales Z : Enteros I : Irracionales Una de las siguientes proposiciones es INCORRECTA, identifíquela. b) I ∩ Q = IR c) Z ⊆ Q a) ( N ∪ Q ) ⊆ IR

Q : Racionales d) N ⊆ Z

e) N ⊆ (Q ∪ I ) 3.

Identifique ¿cuál de las proposiciones es FALSA?: a) Q ∩ I = φ

b) Q ∪ N = Q

c) ( N ∩ I )C = IR

d) IR − Q = I ∩ IR

e) Q − N = Q 4.

Dados N = números naturales, Z = números enteros, Q = números racionales,

I = números irracionales

y IR = números reales, entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA: a) N ⊂ IR b) Q ∩ I = φ c) ( N ∪ I ) ⊂ IR d) IR = (Q ∪ I ) e) N ⊂ Z ⊂ I ⊂ IR 5.

Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a) b)

4 = −2 siempre que −2π es un número racional.  10  5 +   = 3 ó (− 15)−2 es un número negativo.  5

(2e) es racional. e d) Si 1 es irracional, entonces −3 = 1 − 4 .

c)

El número

e)

Una de las proposiciones anteriores es falsa.

97

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Números

5.2.5 OPERACIONES Los números reales pueden ser operados, dando a lugar a otros números reales. Existen las operaciones convencionales como son la ADICIÓN y la MULTIPLICACIÓN (R ESTA Y DIVISIÓN)

5.2.5.1 ADICIÓN Sean a y b números reales, entonces la adición o suma de estos números se la denota como a + b y cumple con las siguientes PROPIEDADES: 1. a + b = b + a , CONMUTATIVA 2. a + (b + c) = (a + b) + c , ASOCIATIVA 3. a + 0 = a , donde 0 es llamado “IDÉNTICO ADITIVO” 4. a + (−a ) = 0 , donde − a es llamado “INVERSO ADITIVO DE a” La operación RESTA a − b se la considera como una suma de a con el inverso aditivo de b , es decir: a + (− b ) .

5.2.5.2 MULTIPLICACIÓN Sean a y b números reales, entonces la multiplicación de estos números se la denota como a ⋅ b y cumple con las siguientes PROPIEDADES: 1. a ⋅ b = b ⋅ a ; CONMUTATIVA 2. a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c ; ASOCIATIVA donde 1 es llamado “IDÉNTICO MULTIPLICATIVO” 3. a ⋅1 = a 1 4. a ⋅ ( ) = 1 donde 1 es llamado “INVERSO MULTIPLICATIVO DE a ” ( a ≠ 0 ) a a La operación DIVISIÓN a ÷ b se la considera como una multiplicación de a con el inverso multiplicativo de b , es decir:

1 a ⋅  , b

donde b ≠ 0 .

NOTA: La división entre cero no se define.

98

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Números

5.2.5.3 OPERACIONES BINARIAS Además de las operaciones anteriores, se pueden definir otras, ya no convencionales, sobre los números reales o sobre cualquier otro conjunto.

Sea

S

un

conjunto

cualquiera

y

sea

a ∈ S ∧ b ∈ S . Suponga que se define la operación

“ ∗ ”. Esta operación será BINARIA si y sólo si al par (a, b ) le asignamos un único elemento de S , es decir el resultado de

(a ∗ b ) debe ser un

elemento de S . Simbólicamente:

"∗": S × S  S (a, b )  a ∗ b

Ejemplo 1 Sea el conjunto S = IR y “ ∗ ” una operación definida de la siguiente manera: a ∗ b = a + 2b . Es decir que si a = 2 y b = 3 , entonces 2 ∗ 3 = 2 + 2(3) = 8 en otro caso, si a = −3 y b = 4 , entonces

(−3)∗ 4 = −3 + 2(4) = 5 . En fin, se podría establecer la correspondencia para cualesquiera dos elementos de S , no necesariamente diferentes.

Se puede observar que el resultado será siempre un número real, por tanto ésta es una operación binaria.

Ejemplo 2 En cambio , si tomamos al conjunto S = IR + y “ ∗ ” la operación definida de la siguiente manera: a ∗ b = a − 2b . NO ES BINARIA, porque si a = 2 y b = 4 entonces

2 ∗ 4 = 2 − 2(4) = −6 ∉ R +

Aunque no lo hemos mencionado, porque no era necesario, pero en el conjunto de las proposiciones, las operaciones lógicas de disyunción y conjunción son ejemplos de operaciones binarias. También lo serían las operaciones de Unión e Intersección sobre el Conjunto de todos los conjuntos.

Una

operación

Binaria

podría

cumplir

con

las

siguientes propiedades:

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Números

1. CONMUTATIVA si, 2.

∀a ∈ S , ∀b ∈ S [a ∗ b = b ∗ a ]

ASOCIATIVA si, ∀a ∈ S , ∀b ∈ S , ∀c ∈ S [a ∗ (b ∗ c ) = (a ∗ b ) ∗ c ]

3. PROPIEDAD DEL NEUTRO si, ∃n ∈ S , ∀a ∈ S [a ∗ n = a ] , n es llamado el elemento neutro, idéntico o nulo. 4.

PROPIEDAD DEL INVERSO si ∀a ∈ S , ∃I ∈ S [a ∗ I = n] , I es llamado el inverso de a.

Ejemplo 3 La operación binaria a ∗ b = a + 2b definida sobre S = IR . 1.

NO ES CONMUTATIVA, porque b ∗ a = b + 2a ≠ a ∗ b

2.

TAMPOCO ES ASOCIATIVA, porque

es diferente a

(a ∗ b )∗ c = (a + 2b )∗ c = a + 2b + 2c

a ∗ (b ∗ c ) = a ∗ (b + 2c ) = a + 2(b + 2c ) = a + 2b + 4c

3.

EL NEUTRO sería: ???????

4.

El INVERSO sería: ???????

Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos. Ejercicio Resuelto 1 Si “ ∗ ” es una operación binaria definida sobre Z de la manera a ∗ b = a 2 + b 2 − 2ab , identifique ¿cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA?: b) La operación “ ∗ ” es asociativa a) (2 ∗ 5) ∗ 3 = 6 d) La operación “ ∗ ” es conmutativa c) 0 ∗1 = 0 e) 2 ∗ 5 ≥ 2 ∗ 6 SOLUCIÓN: a)

Calculemos

(2 ∗ 5) ∗ 3 = (22 + 52 − 2(2)(5))∗ 3 = (9 ) ∗ 3 = 92 + 32 − 2(9 )(3)

más no 6 , por tanto esta opción es FALSA.

= 36

100

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Números b)

Para que la operación sea asociativa

(a ∗ b )∗ c = (a

(

)

+ b − 2ab ∗ c

2

2

= a + b − 2ab 2

2

(

)

2

(a ∗ b )∗ c = a ∗ (b ∗ c ) ,

(

)

entonces hallemos

+ c 2 − 2 a 2 + b 2 − 2ab c

a ∗ (b ∗ c ) = a ∗ b 2 + c 2 − 2bc

y

debe cumplir

(

)

= a 2 + b 2 + c 2 − 2bc

)

2

(

− 2a b 2 + c 2 − 2bc

)

los dos resultados anteriores son obviamente diferentes, por tanto esta opción también es FALSA.

c) 0 ∗ 1 = 0 2 + 12 − 2(0)(1) = 1 d)

mas no 0 como se indica, por tanto esta opción también FALSA

Para que la operación sea conmutativa debe cumplir que a ∗ b = b ∗ a , entonces como a ∗ b = a + b − 2ab y por tanto esta es la opción VERDADERA . 2

e)

2

como b ∗ a = b + a − 2ba la operación si es conmutativa, 2

2

Es FALSA ¿POR QUÉ?

Ejercicio Resuelto 2 Sea S = {∆, Ο, Π} un conjunto sobre el que se define una operación binaria representada en el siguiente cuadro: ∗ ∆ Ο Π

∆ Ο Π ∆

Ο Π ∆ Ο

SOLUCIÓN: Analicemos cada

“∗ ”

Entonces es FALSO que: a) Π ∗ (Ο ∗ ∆) = (Π ∗ Ο) ∗ ∆ b) El neutro de la operación es Π c) Π ∗ (Ο ∗ Ο) = ∆ d) Π ∗ (Ο ∗ ∆) = Ο e) La operación es conmutativa

Π ∆ Ο Π

opción:

a)

De acuerdo al cuadro Π ∗ (Ο ∗ ∆ ) = Π ∗ (Π ) = Π y como (Π ∗ Ο ) ∗ ∆ = (Ο ) ∗ ∆ = Π , por lo tanto esta opción es VERDADERA.

b)

De acuerdo al cuadro observamos que operando cada elemento del conjunto S con Π se obtiene los mismos elementos, por tanto este es el neutro, el idéntico o el nulo de la operación. Esta opción también es VERDADERA.

c)

Π ∗ (Ο ∗ Ο ) = Π ∗ (∆ ) = ∆ Esta opción también es VERDADERA.

d)

Π ∗ (Ο ∗ ∆ ) = Π ∗ (Π ) = Π que es diferente de Ο , por tanto esta es la opción FALSA.

e)

Es VERDADERA ¿POR QUÉ?

Ejercicios Propuestos 5.4 1.

2.

Sea la siguiente operación: * : Z × Z → Z , Entonces es VERDAD que: a) ∗ no es una operación binaria. c) La operación es conmutativa. e) ( 2 ∗ 1) ∗ 0 = 0 Sea

tal que

x * y = x2 + y

b) (1 ∗ 0) ∗ 2 = 1 ∗ (0 ∗ 2) d) La operación es asociativa.

S = {a, b, c} ; sobre este conjunto se define la operación binaria " ∆ " por medio de la tabla:

∆ a b c

a b b a

b a c b

c a

Identificar cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA: a) (a∆a ) = c

b c

b) c) d) e)

La operación binaria “ ∆ ” es conmutativa

(a∆a ) = [(b∆c)∆a ] (b∆b) = [(b∆c)∆c ] [(a∆b)∆(a∆c)] ≠ (c∆b)

101

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Números

102

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Números

5.2.6 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Los números reales pueden operarse para dar lugar a otros números. Combinando las operaciones para diversos números puede ser necesario expresarlas para luego obtener su resultado. Ejemplo 1 3

1− 4−

5 1+

4 3

Sin embargo en ocasiones pueden aparecer además letras y no sólo números. Estamos ante la presencia de una EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Debemos precisar compuesta por:

que

una expresión

algebraica simple está

Parte Literal

  3 a 2 bc 3 

Coeficiente

Término

Existen expresiones algebraicas compuestas por:  Sólo un término, se llaman MONOMIOS.  Dos términos, se llaman BINOMIOS.  Tres términos, se llaman TRINOMIOS.  Más de un término ó también n términos, se llaman POLINOMIOS.

103

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Números

5.2.6.1 FRACCIONES Ya hemos definido a los números fraccionarios, ahora puntualicemos definiciones sobre las fracciones algebraicas. Una fracción está compuesta por:

5.2.6.1.1

A Numerador → B Denominador

Operaciones

Usted puede realizar las siguientes operaciones con las fracciones: 1. SUMA:

A C AD + CB + = B D BD

A C AC 2. MULTIPLICACIÓN:    =  B  D 

3. DIVISIÓN:

BD

A B =  A  D  = AD C  B  C  BC D

No olvide que la división entre cero no está definida. Con estas operaciones, en ocasiones es necesario reducir una expresión algebraica a la mínima expresión.

Ejemplo 1 Si x ∈ IR ∧¬( x = 0 ) ∧¬( x = 1) , la siguiente expresión algebraica: 1 −

1 1

1− 1−

1 1−

se REDUCE a: a) x ( x − 1)

b) ( x − 1) / x

c) x

d) 1 / x

1 x

e) 1 + (1 x )

SOLUCIÓN: el objetivo es reducir la expresión dada a la más simple posible, para lo cual deberá ir realizándose las operaciones desde la más interna hasta la externa:

104

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Números 1

1−

1

= 1−

1

= 1−

1 1− 1 x 1− 1− 1− 1 x −1 x −1 1− x x 1 1 1 1 x −1 = 1− = 1− = = 1− = 1− 1 1 1+ x −1 x x 1− 1− x −1− x −1 x −1 x −1 1

1−

1

1−

1

Por tanto la RESPUESTA es la opción “b”.

Ejercicios Propuestos 5.5 1 x −1

x+ 1.

x

Si se simplifica la expresión

se obtiene:

1 x2

a)

b)

1

c) 1 x

x

w−

3.

u w

v u

b)

c)

x+2−

4.

a) 8 x + 5

5.

6.

b) 4 x

Al SIMPLIFICAR la expresión:

se obtiene: a)

2

se obtiene:

u +1 v

u v

d)

v w

e) 1

x −1

Al SIMPLIFICAR:

se obtiene:

u v w

1+

Al simplificar la expresión algebraica:

a)

e) x − x

x2

u

u−

2.

d) 1

x2 + 2 x−2 x− x +1

 a +1  ab + 1 +   a +1  ab + 1 − 

( a + b) (ab + 1)

c) 5 x − 1

d) 3 x + 2

e) x − 1

ab + a  −1 ab + 1  ab + a  +1 ab + 1 

b) a

c) a − b

d)

1 a

e) 1

1+ x 1− x − Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica: 1 − x 1 + x , se obtiene: 1 1 − 1+ x 1− x a) 1 b) 1 + x c) 1 − x d) −2 e) 2 Al SIMPLIFICAR la expresión:

a)

(x − 2)(x + 1)

2x ( x − 2 )(1 − x ) d) 2x

b) e)

( 2x

x−

1 1 1− x

(x − 2)(x + 1)

)÷ (

c)

x x − x +1 1− x

) Se obtiene:

(x + 2)(x − 1) 2x

x−2

105

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Números

5.2.6.2 EXPONENTES Existen expresiones algebraicas que poseen exponentes:

a n = a .a .a ...  a

donde

n veces

a ≡ base y n ≡ exponente

Entonces para simplificar estas expresiones habrá que hacer uso de las leyes de los exponentes, es decir: 1. a n .a m = a n + m an 2. = a n−m am 3. a n b n = (ab )n 4.

an  a  =  bn  b 

5.

(a )

n m

Además considere que:

1 = a −1 a a0 = 1

1.

n

2.

y

= a nm

5.2.6.2.1 Radicales (Exponentes Fraccionarios) Los exponentes fraccionarios, son no otra cosa que los radicales. 1

n

=na

Entonces:

a

a

donde a ≥ 0 cuando m

= n am =

n

n es par.

( a) n

m

La utilidad de esto último observamos en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1 Queremos calcular

5

3 8 3 = 85

, entonces es mejor observarlo como

(3 8 )5 = 25 = 32 .

Bien, analicemos los siguientes ejercicios.

106

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Números

Ejercicio Resuelto 1 Si a ∈ IR ∧ ¬(a = 0) , entonces la expresión:

    es equivalente a: a) 4

SOLUCIÓN:

a a 6

b) 2

−2

3

6

+

a5

3

c) 8

a

 3 2 2 a −1  3  a e) 2a

a

a2

a

1

2

d) 4a

a

Aplicando leyes de los exponentes, tenemos:

    

−2

a a 6

a5

3

6

+ 3

a 1

a2

a

2

1  3 2  12 − 2 3 a a 6 2 a a = + −1 5 2 1   3 a 3a 2 a 6     a

2  3  2a  − 13   a

1  − 16 a a 6 = 5 + 7  6 a 6   a

 −6 = a 6 

[ [

2  3  2a  − 13   a 3 −6  + a 6  2a 3 

]

= a −1 + a −1 2a

]

= 2a −1 2a =4

Por tanto la RESPUESTA es la opción “a”.

Ejercicio Resuelto 2 m

La expresión:

4 m 27 3 125 m 6 2 m m

8 39

es equivalente a: SOLUCIÓN:

tenemos:

a) 2 3 m

2m

3m

2 10 3m

b) 2

5 3m

c) 1

m

d) 3

e) 5

m

m

Descomponiendo las bases en sus factores primos y aplicando las leyes de los exponentes,

4 m 27 m

8

3

m

3

125 m 6 2 m

3m

9

2

3m

2 2m3

=

3m

103m

2 =

33

2 2 m 3 m 53m 2 2 m 3 2 m 2 m 33m 53m 23m 2

4 m 3m 3m

2 =1

4 m 3m 3m

=

(2 × 3)2 m 2 (5 × 2 )3m

3 53m 6m

3

3

5

5

Por tanto la RESPUESTA es la opción “c”.

Ejercicio Resuelto 3 3

La expresión: Se reduce a: SOLUCIÓN:

8 2 −3 8     16 32  +  

5

a) − 1

8

b) − 15

8

27 − 75 3

c) − 2

8

d)

1 8

e) 15

8

107

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Números

5

8 2 −3 8     16 32   

3

+

27 −

8 2 − 3 4× 2 =5   16 16 × 2 

   

8 2 −3 4 2   =5   16 16 2   

3

75

3

8 2 −6 2   =5    64 2  

3

+

3

9×3 −

+

25 × 3 3

9 3−

+

25 3 3

3 3 −5 3 3

3

 2 2   + −2 3 =5  64 2  3   3

 1   −2 = 5  32    3

1 =  −2 2 1 = −2 8 15 =− 8

Por lo tanto la respuesta es la opción “b”.

Ejercicios Propuestos 5.6 1

1.

Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica:

se obtiene:

2.

3

a a)   b

b) 3ab

ab

La siguiente expresión: m −1 m

a) m (ab )m −1

b)m (ab

)

c) m −1 (ab )m

Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión: 2

a)

m 3

b) m

5

−1

c) b 3

d) a 3 b 2

m n2 3

5 4n 6

d )m

1

(ab )

m3n m n 2

m2n c) m

m n3 −1

3 4n 4

e) m −1 (ab )

se obtiene:

d)

n 6 4.

e) b −1

es EQUIVALENTE a:

ab

3

3.

 3     27 −1 a −1b 2      1  −3    3a 3  b 5        

− e) m 4 n 6 3

1 1

5

5

m 4n 6 1 4 9 x2 y2 1 6 27 x 3 y 3 + 2 2 3 z z3

Al RESOLVER la siguiente expresión algebraica: se obtiene:

a) d)

5 3 3 xyz 6z 5 6 3 xyz 6z

b) e)

5 3 xyz 6z 5 4 3 xyz 6z

c)

5 8 3 xyz 6z

108

Moisés Villena Muñoz

Números −1

5.

6.

1   −  3 27 a b −3 a 3 b   Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica    −1 2 16a b    

a)

7.

2 a b 3

x x +1

)

(

2 a 3 b

3 2

c)

x x +1

b) −

−1

a b

se obtiene:

d)

3 b 2 a

d)

c) 4 −1

1 2+ x

e)

1 1− x

2

  se obtiene:   e) −4

d) 1

−1

+b y el resultado se lo multiplica con a+b 5ab + 2a − ( 4ab + 2a ) , entonces el resultado final es:

Si se SIMPLIFICA la expresión: a) 1

a

a

b) ab

3 a 2 b

+ 2 , se obtiene:

c) x − 1

b) −1

e)

−1

 a a +b b  a + b Si se SIMPLIFICA la expresión algebraica:  − ab    a+ b   a −b   a) 0

9.

b)

   2x −1    −x+ 2− x  Al SIMPLIFICAR la expresión  −1   x−2   + 2x      5x − 1  a)

8.

−1

 x −1 + y −1   y −1 + x −1  0 Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica:   +  + x −3 + y −3 − − 1 1  x − y   y −1 − x −1  se obtiene: 1 1 b) − c) ( x + y ) −1 + 1 d) 1 e) −1 a) ( x + y) ( x + y)

c) 1

d) a + b

la expresión

e) 2ab

−2

10. La expresión: a) 2

27

 1 5     2 −2 2   3 3 3 2 4 2 + 16

(

b) 4

9

)

se REDUCE a: c) − 2

d) − 4

27

9

e) 1 9

Para otros tipos de expresiones algebraicas es necesario emplear el producto notable y la factorización. 5.2.6.3 PRODUCTO NOTABLE Al realizar la multiplicación de ciertas expresiones típicas y observar sus resultados singulares nos lleva a proponer lo siguiente: 1.

(x + a )(x + b ) = x 2 + bx + ax + ab = x 2 + (a + b )x + ab 2 Si b = a tenemos ( x + a )( x + a ) = ( x + a ) = x 2 + 2ax + a 2 Observe también que ( x − a ) = x 2 − 2ax + a 2 2

109

Moisés Villena Muñoz

Números

Si b = −a tenemos ( x + a )( x − a ) = x 2 − a 2 2. Otros productos notables a considerar son:

(x − a )3 = x 3 − 3x 2 a + 3xa 2 − a 3

(x + a )3 = x 3 + 3x 2 a + 3xa 2 + a 3 5.2.6.4 FACTORIZACIÓN En el proceso de simplificar una expresión algebraica, reducirla a la mínima expresión, es necesario expresarla en factores. La factorización es el proceso contrario del producto notable. 5.2.6.4.1 Factor Común Cuando existe un factor común en todos los términos de la expresión. Ejemplo          6ab 2 c 3 + 6a 2 b 2 c 2 + 18a 3 bc 2 = 6abbc 2 + 6a abbc 2 + 6(3)a a 2 bc 2

(

)(

= 6abc 2 bc + ab + 3a 2

)

5.2.6.4.2 Diferencia de Cuadrados Del producto notable, tenemos que: a 2 − b 2 = (a − b )(a + b ) Ejemplo 1 ( x 2 − 9) = ( x + 3)( x − 3)

Ejemplo 2 5 x 4 − 80 y 4 = 5( x 4 − 16 y 4 ) = 5( x 2 + 4 y 2 )( x 2 − 4 y 2 ) = 5( x 2 + 4 y 2 )( x + 2 y )( x − 2 y )

110

Moisés Villena Muñoz

Números

Ejemplo 3 ( x 2 − 8) = ( x + 8 )( x − 8 )

Ejemplo 4 ( x − 5) =

(

x+ 5

)(

x− 5

)

5.2.6.4.3 Diferencia y Suma de Cubos DIFERENCIA

(a

3

− b 3 = (a − b) a 2 + ab + b 2

)

(

)

SUMA

(a

3

+ b 3 = (a + b) a 2 − ab + b 2

)

(

)

Demuestre que es verdad lo anterior.

5.2.6.4.4 Trinomios De acuerdo al producto notable

a + b )x + ab ( x + a) ( x + b) = x 2 + (   p

q

= x 2 + px + q Observamos que todo trinomio de la forma x + px + q puede y a ⋅b = q ser expresado como el producto (x + a )(x + b ) donde: a + b = p 2

Ejemplo Factoricemos el trinomio x − 5 x + 6 . 2

Será cuestión de encontrar dos números que sumados algebraicamente den −5 –5 y multiplicados, 6. Estos números son –3 y –2. Entonces:

x 2 − 5 x + 6 = (x − 3)(x − 2 )

NOTA: al primer factor le puede asignar el mismo signo del término lineal x , y al segundo factor el resultado de aplicar la ley de los signos, al signo del término lineal con el signo del término independiente.

111

Moisés Villena Muñoz

Números

5.2.6.4.4.1 Trinomio General Un trinomio de forma general mx 2 + px + q expresado en factores siguiendo el siguiente proceso:

puede

ser

1. Multiplicamos y dividimos para “ m ” m(mx 2 + px + q ) m 2 x 2 + pmx + mq = m m 2 (mx) + p (mx) + mq = m 2. Factorizamos el numerador para “ mx ” de la misma forma que el caso anterior.

Ejemplo (3 x) 2 + 11(3 x) + 18 3 (3/ x + 9/ )(3 x + 2) = 3/ = ( x + 3)(3 x + 2)

3 x 2 + 11x + 6 =

112

Moisés Villena Muñoz

Números

Ejercicio Resuelto 1  2 x 2 − 5 x − 3   x 2 + 6 x + 9   x 2 − 9     ÷  Al SIMPLIFICAR la expresión:  2     2   x − 9   1 + 2 x   x + 4 x + 3  se obtiene: a)

x−3 x +1

(2 x + 1)(x + 3)

b)

c)

x−3

x 2 + 3x − 9 x−3

d)

x+3 x−3

e)

(x + 1)(x + 3) x−3

SOLUCIÓN: Primero expresemos como factores los términos suceptibles de factorizar. (2 x − 6)(2 x + 1)  (x + 3)2  ( x + 3)( x − 3)  2 ÷   = ( x + 3)( x − 3)  (1 + 2 x)  ( x + 3)( x + 1)   

=

( x − 3)(2 x + 1)  ( x + 3)( x + 3) ( x + 1)  ( x + 3)( x + 1) ⋅   = ( x + 3)( x − 3)  (1 + 2 x) ( x − 3)  ( x − 3)

De acuerdo a este último resultado la respuesta es la opción “e”

Ejercicio Resuelto 2   3  1− 2  Al SIMPLIFICAR la expresión:  2 x + 2 x   2x + 5x − 3   2   x − x−6  x −1 1 a) b) c) x x x

−1

 2x − 1  ÷ 2  se obtiene:  x − 4x + 3  d)

x x −1

e) x − 1

SOLUCIÓN: Primero se expresa como factores los términos factorizables.

  3  1− 2  =  2 x + 2x   2x + 5x − 3    2  x − x−6     =    

−1

 2x − 1  ÷ 2   x − 4x + 3  −1

    . (x − 3)(x − 1)    (2 x − 1)    

x(x + 2 ) − 3 x(x + 2 ) (2 x + 6)(2 x − 1) 2 (x − 3)(x + 2)

 x2 + 2 x − 3    x(x + 2 )  =  (x + 3)(2 x − 1)   (x − 3)(x + 2)  

−1

•

(x − 3)(x − 1) (2 x − 1)

 (x + 3)(x − 1) (x − 3)(x + 2 )  = • (x + 3)(2 x − 1)   x(x + 2 )

−1

•

(x − 3)(x − 1) (2 x − 1)

−1

 (x − 1)(x − 3)  (x − 3)(x − 1) =  • (2 x − 1)  x(2 x − 1)  ( x(2 x − 1) x − 3)(x − 1) = • (x − 1)(x − 3) (2 x − 1) =x

De acuerdo a este último resultado la respuesta es la opción “c”

113

Moisés Villena Muñoz

Números

Por otro lado, tenemos:

(a

n

− b n = (a − b ) a n −1 + a n − 2 b + a n −3 b 2 + a n − 4 b 3 + ... + b n

)

(

)

(a

n

+ b n = (a + b ) a n −1 − a n − 2 b + a n −3 b 2 − a n − 4 b 3 + ... − b n

)

(

)

Sin embargo, factorizar el binomio de una forma u otra depende del ejercicio que se esté resolviendo. Ejemplo 1 x 6 − y 6 puede ser factorizado como diferencia de cuadrados o como diferencia de cubos o

usando la regla general. Es decir:

( ) ( ) = (x − y )(x + y ) = (x ) − (y ) = (x − y )(x + x y + y ) = (x − y )(x + x y + x y + x y + xy + y ) 2

1.

x 6 − y 6 = x3 − y 3

2.

x6 − y6

3.

x6 − y6

2 3

2

3

2 3

5

3

2

4

3

2

3

2

3

4

2

2

2

3

4

4

5

Ejemplo 2 En cambio, x 9 − y 9 puede ser factorizado sólo de dos formas, como diferencias de cubos o usando la regla general. Es decir:

( ) ( ) = (x 3

3

)(

x9 − y 9 = x3 − y 3

2.

x 9 − y 9 = (x − y ) x 8 + x 7 y + x 6 y 2 + x 5 y 3 + x 4 y 4 + x 3 y 5 + x 2 y 6 + xy 7 + y 8

3

− y 3 x 6 + x3 y 3 + y 6

)

1.

(

)

Ejercicio Resuelto Al SIMPLIFICAR la expresión: a) x 3 − y 3

x6 + x3 y3 + y 6 x9 − y9

b) x 2 + y 2

(x

6

− y6

)

c) x 3 + y 3

se obtiene : d) x 2 − y 2

e) x − y

SOLUCIÓN: Primero expresemos como factores los términos factibles de factorizar.

x 6 + x3 y 3 + y 6 x9 − y 9

(x

6

)

− y6 =

( ) ( )

x 6 + x3 y 3 + y 6  3 2 3 2 x − y  3 3  x3 − y 3 

( ) ( )

=

x 6 + x3 y 3 + y 6

(x − y )(x 3

3

6

+ x3 y 3 + y 6

) • (x − y )(x + y ) 3

3

3

3

= x3 + y 3 De acuerdo a este último resultado la respuesta es la opción “c”

114

Moisés Villena Muñoz

Números

Finalmente, para RACIONALIZAR una fracción, expresar la fracción sin radicales en el denominador, puede hacerse lo siguiente: Ejemplo 1 3

Si tenemos una fracción simple, como 3

por 2 es decir

2

•

2

2

=

, se puede multiplicar numerador y denominador

2

3 2 . 2

Ejemplo 2 Si la fracción presenta en el denominador suma o diferencia de radicales, multiplique tanto al numerador como al denominador por su conjugado (la suma o diferencia de los radicales presentes con signo contrario).

1 3− 5

3+ 5

•

=

3+ 5

3+ 5

(3)

2

−

( 5)

2

=

3+ 5 3+ 5 = 9−5 4

conjugado

Ejercicios Propuestos 5.7 1.

SIMPLIFICANDO la expresión algebraica a) x 2 + y 2

2.

b) y 2 − x 2

4.

(a

2

− 3a (3 + a )

Al SIMPLIFICAR la expresión:

a) x

b)

x−2 x −1

x −1 − y −1   se obtiene: x −1 + y −1 

(

e) 2 x 2 + y 2

)

d) (a − b )2

e) (a − b )

)

2  2 3    a − 3a   27 − a   9 − a 2   (a + 3)2 − 3a     

a 4 − 9a 2

b) a 3 − 3a 2

+

se obtiene:

c) a

(a

)

y

−1

d) x 2 − y 2

(a 2 − b 2 )−1 (a 3 − b 3 )(a + b)

(

a)

y −1

c) 2 xy

b) b

Al SIMPLIFICAR la expresión:

)

 x −1 + − x2   x −1 −

2

a 3 + a 2 b + ab 2

Al SIMPLIFICAR la expresión: a) (a + b )2

3.

(y

c)

2

+ 3a

(a

2

)

se obtiene:

2

+ 3a

(3 + a )

2 x2 − x − 6 x −1 2 (3x + 4) − x x+−22 x− x +1 3 c) cuando x = 2 4

)

d) a 3 + 3a 2

e)

3+ a a2

Se obtiene:

d)

5− x 2+ x

e) 2 cuando x = 1

115

Moisés Villena Muñoz

Números

5.

 x2 a − x + a+x   a2  a2 − a+x 

Al simplificar:

a) a + x 6.

d) x − a

b) 10

e) (a − x )−1

c)

x +1 10

e) (x + 1)

d) 10(x + 1)

4 3 2 Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica: x − x + x − x se obtiene:

1− x4

b) x + 1

Al SIMPLIFICAR la expresión:

(

a) a 2 − 2b 2

9.

c) (a − x )

x 2 − 2 x − 3 x − 4 x + 3 se obtiene: Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica 5 5 + x −1 x−3

a) x

8.

se obtiene:

b) a + x − 1

a) 2

7.

    [(a + x ) − 1](a + x )   a2 − x2   

(

)

c)

a 4 − 2a 2 b 2 + 4b 4

b) a 2 + 2b 2

)

a 6 + 8b 6 c)

d) −

x x +1

a−x b 2c

a+x bcd

a−x

b)

b 2c

1

d)

a 2 + 2b 2

c) 3 a + x

d)

a) a

b) b

a)

x3 + 5 x 2 2

6x + 7x − 3

13. SIMPLIFICANDO

x x+ y

b) −

2

a b

+ 5x2 y

se obtiene:

(2 x + 3)(3x − 1) x 2 y (x + 5)

(m3 + 8a3x3 ) a(m + 2ax) (m + 2ax )2 (− m2 + 2amx − 4a 2 x 2 )

se obtiene:

(2 x + 3)(3x − 1) x 2 (x + 5)

c) 8a3

(4 y2 − x2 ) (x + y ) x c)

3

1

se obtiene:

x3 y + 4 x 2 y xy − x + 4 y − 4 c)

)3

− 2b 2

e) (a + x ) 2

d)

6 x 2 y + 7 xy − 3 y xy − x + 5 y − 5

(a

1 2

 2    bcd b c  se obtiene:  a − x   

b a

d)

x3 y − x 2 y 2 − 2 xy3

y x + 2y

)

e)

b) a

a) m + 2ax

− 2b

e)

2 2

2

 a 2 − 1   2a  2   +   a 2 + 1   a 2 + 1   

b) (2 x + 3)(3 x − 1)

12. Al SIMPLIFICAR la expresión: −

a)

 a +b   a −b    −   2   2 

c) ab

11. Al SIMPLIFICAR la expresión

(a

1 2

bcd (a + x )

2

10. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica:

x x −1

se obtiene:

 3 a − ax 2 − a 2 x + x 3 Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión:   b5c 3d  a)

e)

x x +1

e)

(x

)

2

6x + 7x − 3

e) (m + 2ax )−1

d) a 2 se obtiene:

2x x + 2y

14. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica

d) −

2y x+ y

a 3 + 2a 2 b − ab 2 − 2b 3 2a 2 + 6ab + 4b 2

e)

x x− y

se obtiene:

116

Moisés Villena Muñoz

Números a+b 2

a)

b)

b−a 2

a − 2b 2

c)

d)

a + 2b 2

e)

a−b 2

15. ¿Cuál de las siguientes igualdades NO es identidad? a) (x + y )3 = x 2 (x + 3 y ) + y 2 ( y + 3 x )

b) x 2 − y 2 = (x − y )(x + y )

( a − b )( a + b )

c) (a − b ) =

(

d) (x + y ) = x 2 + 2 xy + y 2 4

e) (x − y )2 = x 2 − y (2 x + y )

)

2

16. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es FALSA? 2 2 a) 4(x − y ) + 4 + (x − y ) = (2 + x − y ) b)

6 x 2 − x − 2 = (3 x − 2 )(2 x + 1)

c)

20 − x − x 2 = (5 + x )(4 − x ) 2

1  1 = x +  9  3 3 3 2 2 e) x − y + x − y = (x − y ) x + xy + y + 1 x2 +

d)

)

(

5− 3

17. Al SIMPLIFICAR : a) 5

5+ 3

b) 8

)

(

+

5 + 3 Se obtiene: 5− 3

c) 4

d) 2

e) 1

18. Indicar ¿cual de las siguientes igualdades es FALSA? a)

1 3− 5

b) x 3 +

c)

=

8 x3

1 3 a −b

3+ 5 4

2  4    =  x +  x 2 − 2 + x   x2  =

3 2

a +b

a − b2 1 2 d) + = 2 −1 3 +1

2+ 3

e)( p + q )2 + 3( p + q ) − 4 = ( p + q + 4 )( p + q − 1)

19. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.

2

a)  x −1 + y −1  = x − 2 + y − 2;   



b) x − 4 + 3 = x −1 x −1 c) 2 = 2 + 2 ; x+ y x y d) 3 84

2 5 4

>

x + 1;

x≠0 x ≥ 0∧ x ≠1

x ≠ 0∧ y ≠ 0

5 6

e) x −1 + x = 1; x ≠ 0 20. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela. y x − x+ y x− y a) =x x y − x+ y x− y b)

3

x 2 + 4 x −1 − 5 x 0 = 4 , si x = 4

117

Moisés Villena Muñoz

Números

c)

20 − 2−2

2 − 2(2 )− 2

=

3 2 1

d) e)

 25 xy −1  2 5   = x4 y −2  16 x −3y −5  4   Marque esta casilla si todas las proposiciones anteriores son falsas.

21. Al SIMPLIFICAR la expresión a) x 2 y 2

x3 + y3 2 x 2 + xy − y 2

÷

x 3 y − x 2 y 2 + xy 3 2x3 y 2 − x 2 y 3

c) x + y

b) 1

22. En la expresión algebraica

d)

x5 − x 2 − x3 + 1

x2 − 1 entonces se obtiene como resultado: a) Un número entero positivo. b) Un número fraccionario menor que 1 . c) Un número fraccionario menor que −1 . d) Un número entero negativo. e) El número cero.

. Si se reemplaza a "

se obtiene:

1 xy

e) xy

x " por un número entero mayor que

1

Misceláneos 1.

Sea el conjunto

S = {∆, Ο,∗, ?}. Y la operación binaria “ ⊕ ” en

⊕ ∆ Ο ∗ ?

∆ ∆ ∗ Ο ∆

Ο ∗ Ο ∆ Ο

∗ Ο ∆ ∗ ∗

tal que

?

∆ Ο ∗ ?

Entonces es FALSO, que: a) La operación es conmutativa. b) El elemento neutro de la operación es “?” c) ∆ ⊕ Ο = ∗ ⊕ ∗ d) e) 2.

(Ο ⊕ ?) ⊕ ? = Ο (∗ ⊕ ∆ ) ⊕ Ο = ∗ ⊕ (∆ ⊕ Ο )

Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a)

Si Q ∩ I = R entonces

2 ∈Z

Q⊆Z oN ⊆R N ⊆I y Z ⊆Q d) Si N ⊆ Z entonces Q ⊆ R e) [(Q ∪ I = R ) ∧ (N ∪ Z = Z )] b)

c)

3.

Al SIMPLIFICAR

a)

x2 +1

x −1 − x +1 x −1 + x +1 b)

x2 −1

+ x ; se obtiene: c) x 2 +

x

d) x 2 −

x

e)

x2 −1 x

118

Moisés Villena Muñoz

Números

4.

1

1−

Si se SIMPLIFICA

, se obtiene:

1 2a − 1 3− 2a + 1 2a − 3 b) − 6a + 7 2−

a+7 6a + 3

a)

5.

1

Una EXPRESIÓN EQUIVALENTE para

9 + 3 12 − 3 2 7

a) d)

3

e)

d)

9 − 3 12 − 23 2 7 9

1

2

+ 12 1

7

2a + 3 6a + 7

e) 2a

, es:

3 +3 4

3

b)

9 − 3 12 + 23 2 7

2a + 3 7

c)

1

c)

9

1

2

− 12 7

1

1

2

2

2

2

x − 5x + 6 2

6.

Al SIMPLIFICAR

x 2 + 7 x − 8 ⋅ 1 ⋅ 3 + x , se obtiene: 8− x 3− x 9 − x2 64 − x 2

a)

7.

x−2

x−2 x −1

b) −

x − 4x + 3 2

512

b)256

c)260

  8. Al S IMPLIFICAR la expresión   x x  

( )

a) 9.

b) x

x

Sea el conjunto

(x − 2)(8 − x ) (x − 1)(3 + x )

2 n+ 2 + 2 n+ 4 + 2 n+6 2 n − 2 + 2 n − 4 + 2 n −6

El RESULTADO de simplificar a)

c) −

d)181

x x +1 

x x −1 

−1

x −1 x+2

e)

(x − 2)(8 − x ) x −1

, es:

e)502

x −2 x

  

 

d)

, es:

c) x

x −1

d) x

x

e) x

x +1

S = {1,2,3}. y sea “ ⊕ ” una operación en S, definida por la siguiente tabla:

⊕ 1 2 3

1 2 3 1

2 3 2 3

3 1 3 1

Entonces es VERDAD que: a) La operación ⊕ no es binaria. b) La operación es conmutativa. c) (2 ⊕ 3) ⊕ 1 ∉ S .

[

d) e)

]

La operación ⊕ tiene el elemento neutro.

[(1 ⊕ 2) ⊕ 3] = 2

10. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela: a)

2 ∈ IN

b)

O bien 0 ∈ Z o bien 0 ∈ IR

∧

c)

Si π ∈ I , entonces 3 ∉ Q 4

d)

0.2323... ∈ Q

e)

0.5 ∈ Q

∧

2 ∈Z

∨

( 3 + 2 )∈ Z

π ∉I 2

119

Moisés Villena Muñoz

Números

2 3 27 + 2 3 − 11. Al REDUCIR la expresión: a)

4+

3 2

2ab + b 2 a (a − b )

b)

c)1

m−n

13. Al SIMPLIFICAR la expresión

a a)

1

3 1+

1+

15. Sea la expresión

1 x d) − x

c) x − 2

7 x 2 − 7 y 2 + 11xy − 56 3 . Si x =

tiene un VALOR numérico igual a: a) 11 b)10 c)9

16. Al SIMPLIFICAR la expresión :

a)

(x

)

x −y 2

4 x 3 (x − y )

17. Sean los conjuntos

d)12

− 9 (x − y )

2

b)

m − a (a + n )

e)

se obtiene:

3 1−

b)2

x

1 −1+

1 x

1 se obtiene: n

−

2

d) 

+

1

e) 3 + 2 2

2

1 1 +  m−n a n

c) 

14. Al SIMPLIFICAR

a)

n

 1 1 − a m n

b)m-n

3+8 6 2

e) 2a + b

d)0

m

+

2

d)

a + b   a 2 − ab    se obtiene: a   b(2a + b ) 

 a + 2b

ab + b 2

3− 2 3

c)

12. Al SIMPLIFICAR la expresión:  −  a−b a)

se obtiene:

12 − 8 3+ 2 2

b)

6

+ 2

0.6 1 10

2

e)

1 2− 3

y y=

2 x

1 2+ 3

, entonces la expresión

e)13

×

4x 2 y 3 x − 27 3

4x3 x− y

(x

÷

y3

3

)

+ 3 x + 9 x (x + y ) 2

e) 4 x 3 (x + 3)

d) x + y

c)1

. Se obtiene:

R = Números Reales Q = Números Racionales I = Números Irracionales

Z = Números Enteros N = Números Naturales Entonces una de la siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela. b) R − Q = N c) Q ∪ Z ⊆ I a) (N ∩ Z ) ⊂ R d)

e) Z ⊆ (Q ∩ N )

I ∩Q = R

mn n 2

18. Al SIMPLIFICAR la expresión a)

8

19. Al SIMPLIFICAR la expresión a)

(

)

2 x(x − 1) x 2 + x + 1

se obtiene:

m mn

b) 8 m n

m

m

c)

8

m

d)

n

( )( ) (x − x)(x − 3)

2x 2 x3 −1 x 2 − 2x − 3

m

3

e) 3 m

se obtiene:

3

(

n 8

)

b) 2 x x 2 + x + 1

c) 2 x(x − 2 )

120

Moisés Villena Muñoz

Números

d)

(

)

2 x x 2 + x + 1 (x − 2 ) x +1

(

20. Al SIMPLIFICAR la expresión

a)

 x 4 − x 3 + x 2 − x   1  −1    1− x 4   − 1 − x  

x +1 x

b) −

x

 x−2

−

 x − x

4

b)2

22. Al SIMPLIFICAR la expresión

2x + 1 2x + 2

a)

b)

d) −

x+3 x 2 + 3x − 4

1 x −1

c)

x − x2 x +1

c)

21. Al SIMPLIFICAR la expresión  2 a)

)

e) 2 x(x + 2 ) x 2 + x + 1

+

se obtiene:

x x +1

e) −x − 1

[

]

x 2 + 12 x + 16  2  x (x − 1) se obtiene: x 4 + 3 x 3 − 4 x 2 

d) x − 1

e) x − 1

2

1

1− 2−

1 2x − 1 3− 2x + 1

1 + 2x 3

se obtiene:

c)1

d)

2x + 3 6x + 7

e) 2 x − 1

23. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:

x −1

a)

x −1

= (x − 1)

1

2

a a −a = a a −1 1 1 + = −1 p −q 1+ x 1 + x q− p 2

a

b) c)

m

n

d)

 1  1  x +   x −  y y x m+ n    = m n y m+ n 1  1  y+  y−  x  x 

e)

3

(0.004)4 (0.0036) = 4 × 10 −8 (120000)2

24. Al SIMPLIFICAR

a)

1 1     +   1+ 1  x − xy + x + 1 se obtiene:  y xy + y + 1 − 1 ÷     1 1 1 xy + 1  y+  1+   y+  xy x x     b) x

y

c) xy

( )

x + y − 4 xy

25. Al TRANSFORMAR la expresión a)

1

4

x−

1

4

y

b)

x+

d) y 2 x

y

c) x

1

4

−y

1

e) x 2 y

se obtiene:

4

d)

1

4

x+y

1

2

e)

x+y

1

4

26. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA. Identifíquela: a)

x+ y =

x+

b)

x x x =x 8,

1

y,

x > 0, y > 0 x>0

121

Moisés Villena Muñoz

Números

c)

3

85 < 15

1

d) e)

2− 7

4

16 81

12 x 2 y 2 + axy − 20a 2 = (3 xy − 4a )(4 xy + 5a )

27. Al SIMPLIFICAR la expresión

a)

 7 x 2 + 7 x + 7  4  x3 −1 ÷   2  2 7 x 3 +7  2 x − 2 x + 2  x − 1 

b) 2 x

2

28. Al SIMPLIFICAR la expresión:

a)

2 7 − 5 5

− 2 = −2 −

2

x −2 − 2(xy )−1 + y −2 y  x

b) 1

x

d) x − 1

c) 3

  

( )− 2x

−2

c)

+xy

se obtiene:

−1

e)

x2 −1 2

se obtiene:

0

x+ y

d)

x [x + 2 y ] 2

x− y

e) ( y − x )

2

x [x + 2 y ] 2

29. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a)

π ∈ I ∨ 0∈ N 2

b) R − Q = I ∪ φ

d)

(2π)2 ∈ Q

e)Si 1 ∈ I entonces −3 = 1−4

48 − 2

30. Al SIMPLIFICAR la expresión:

7 21 + 14 b) 2 7

c)

9+ 8

( )

21 − 14 7

d)

7− 2 7

e)

d)

a = c2 x2 − b c=

(a + b )

1

b) b = c x − a

10

a

5

b

3

a)

3

4 4

2 2

2

c2

3

9

a 2b 3 3

2

−

3

a 2b 3

a 2b 3 10

5

b) a 10 b 5

50 − 33. Si se SIMPLIFICA

2

a+b e) x 2 =

2

x

9

2− 3

c) b = c x − ac x + a

2 2

32. Al SIMPLIFICAR la expresión a)

1

a+b , entonces es FALSO, que. c

31. Sean a, b y c números reales para los cuales se define la expresión x = a)

2e ∈Q e

se obtiene:

1 4 14 − + 4 49 4 4 7

28 + 21 a)

4

c)

c) a 2 b 9

se obtiene: 1

1

d) a 3 b 2

1

1

e) a 2 b 3

9 2

2 se obtendrá: 1 2 − + 12 3 3

b)

2

c)

3 2

d)

2 3

e)

1 2

y 34. Al SIMPLIFICAR la expresión

x2 x 2 + 3 xy 2 x 2 + 5 xy − 3 y 2

÷

x3 − x 2 y

tenemos:

2 x 2 − 3 xy + y 2

122

Moisés Villena Muñoz

Números

a) y 2

b) x

  

35. Al SIMPLIFICAR la expresión  2 − p + a)

d)

c) p + 2

( ) SIMPLIFICAR

d)

la expresión

e)

x p a

 p   4  27 3  125 p 6 2 p     , p   3 p   3  2  3 p  8  9  10   

y2 x2

e)

x( p − 2) a

( )( )

p

36. Al

y2 x

2 p 2   4a + ap 2  se obtiene: ÷ 2 + p   p 2 x − 4 x 

b) p − 2

1

y x

c)

p ∈ IR

( )

y MULTIPLICARLA por

15 + 14 p − 8 p 2 , se obtiene como resultado: 4p +3 a)

c) (1 + p )

b) 4 p + 3

5−2p

d) (1 − p )

2

2

e) p

37. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a)

x8 − 6 x 4 y 4 + y 8 = ( x 4 − y 4 − 2 x 2 y 2 ) ( x 4 − y 4 + 2 x 2 y 2 )

b)

6 x 2 + 19 x − 20 = ( x + 4) (6 x − 5)

c)

x2 −

d)

18a 2 − 13a − 5 = (1 − a )(18a + 5)

e)

4a 4 + 8a 2b 2 + 9b 4 = 2a 2 + 2ab + 3b 2 2a 2 − 2ab + 3b 2

2 1  1 1 x+ = x− x−  3 9  3  3

(

+

+

)(

+

38. Sea la operación * : Ζ × Ζ → Ζ , tal que: a) * no es una operación binaria. b) (3 * 2) * (4 ) = 169 c) La operación no es Conmutativa. d) (1* 2 )*1 = 25 e)

)

x * y = x 2 + y 2 , entonces es VERDAD que:

(1*1) = 2

39. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:

(

)(

a)

x 2 − 23 x +

b)

6 x + 19 x − 20 =

c)

4−23 2 +3 4 1 = 3 10 2+ 2

d) e)

1 9

= x − 13 x − 13

3 +4 2 −5 8 2 3 5+ 2

(

=

)(

)

x +4 6 x −5

)

6 − 12 2

= 5 −2

   x −4 − y −4 x −2 − 1  1 1 − 40. Al SIMPLIFICAR la expresión  +  x −2 − y −2 x −2 − 1  y2   1 +  1− y2  a)

x2 + y2 + x2 y2 y2

b) 4 y 2

c)

    se obtiene:   

− x2 + y2 + x2 y2 x2

123

Moisés Villena Muñoz

Números

b)

2b 2

x2 + y 2 + x2 y 2

e)

x2

 1  m a 2   1 1  ÷  3n 2 a 3  41. Al SIMPLIFICAR la expresión  9nb  b − 12  a)

1

ma

1

b) m

2

42. Al SIMPLIFICAR la expresión

a)

x+ y

−2

se obtiene: 7

d) a + m

c) a 2

x−

    

e) ma 6

x2 + y2 y x3 + y3 se obtiene: ÷ 1 1 x2 − y2 − x y c) x − y

b) x

e) − x

d) x 2 + y 2

 2 x + 3 3x − 1  6 x − 6 y   − 3 x − 3 y x + y  7 ax − 11ay − 6a  se obtiene: 43. Al SIMPLIFICAR la expresión: x 2 − xy 2

a)

−

2(x + y ) a

b) −

2

x 2 − 2 xy + y 2 (x − y ) c) 2a

2(x − y ) a

d)

(x + y )

e) 2 x − 2 y

2a

x4 x3 x2

44. Al REDUCIR la expresión: a)

x

− 18

se obtiene:

x −1

b) x

− 12

c) x

−8

d) x

− 14

e) x

1 8

x + 2y x + y − x− y x 45. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica: se obtiene: 2x − y y + x − y 4x − y a)

1

b)

4 xy − y 2 x

c)

2

46. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica

a) −

x +1 x

b) x

x+ y x3 −1 x2 −1 d) −

c) 1

d)

x− y

e)

y (4 x − 1)

− ( x + 1) se obtiene: x x +1

e) −1

  2x + y x + 4y x −7y 47. Al simplificar la expresión  − 2 − 2 2 2 2 2 x − 4 xy + 3 y x − 5 xy + 6 y   x − 3 xy + 2 y se obtiene: a) d)

x− y x − 3y x− y y

b)

y

c)

(x − y )(x − 3 y )

x − 3y e) y

(  (x

x2

)( − y )(x

−1

(x − y )(x − 3 y ) y

) − x − y  . Se obtiene: ) 

 x 3 − y 3 x 2 + 2 xy + y 2

48. Al SIMPLIFICAR la expresión:  a) 0

b) x + y

2

2

2

c) xy

+ xy + y

2

d) 1

e) x + y − 1

124

Moisés Villena Muñoz

Números

49. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:

a c si ad = bc ; b, d ∈ IR + = b d b) Si a = b y c ∈ IR entonces ac = bc ; a, b ∈ IR

a)

−n

n

b a   =   ; a, b ∈ IR + , n ∈ IN a b a c ad + bc ; b, d ∈ IR + + = b d bd

c) d)

Si a > b y c ∈ IR entonces ac > bc ; a, b ∈ IR +

e)

1

50. Al RESOLVER

1+

a) 1

b)

c)

2

 xy + y 2 

a) x 2 ( x − y )

b)

1−

1 1+ 2

2 13

 x − xy 51. Al SIMPLIFICAR  ÷

c)

(x − y )2

   

−1

27 y 3 2x

13 5

d) x(x − y )

2

x 2 ( x − y)

e)

5 13

e)

y 2 ( x + y) x− y

se obtiene:

c) b

 (2 x )3 y −5 

b)

(x + y )2

(a + b )2

0 −2

3

d)

a 3 + a 2 b − ab 2 − b 3

 27 x y 53. Si se SIMPLIFICA la expresión   3y    2x 

13 2

 x 2 − 2 xy + y 2 ÷ se obtiene: x 2 + 2 xy + y 2  x 2 y + xy 2

b) a + b

a) 

1 4

x2 − y2

x 2 (x + y )

52. Al SIMPLIFICAR la expresión a) a

1

1−

1

se obtiene:

1

1−

1

1+ 1+

1

×

1

 27 x −1 y   4 x 2 y −2 

c)

3

d)

e) a − b

2

  se obtiene:  

y3 x

a−b a+b

d)

3

y3 2x

e)

3

27 y 3 x3

2 2 54. Si se define la operación binaria a * b = a + ab + b en el conjunto de los números naturales, entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela. a) a * b = b * a b) 4 * 6 = 76 c) d) e)

1 + (1*1) = 4 a *0 ≠ a

La operación binaria * es asociativa.

55. Al SIMPLIFICAR la expresión: a) y (x − y )

b) 2

2 x 3 − 2 x 2 y + 2 xy 2 x 3 y − xy 3 c)

2 x− y

÷

x3 + y 3 x 2 + 2 xy + y 2 d)

2 y

se obtiene: e)

2 y (x − y )

125