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• Dario Figueroa

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Capítulo 2: Ondas electromagnéticas en medios dieléctricos

Ecuación de onda electromagnética en materiales “simples” Consideremos una región del espacio llena de un material “simple”, esto es: • Lineal: 𝜇𝜇 y 𝜀𝜀 son constantes

• Isotrópico: existe una simetría rotacional completa, es decir, no hay una dirección espacial predilecta • Homogéneo: existe una simetría traslacional en todas las direcciones, es decir, no hay posiciones especiales en el espacio • Libre de fuentes: la densidad de cargas, 𝜌𝜌, es cero

• No-conductor: la conductividad 𝜎𝜎 es cero, por lo tanto, la densidad de corriente J⃗ = 𝜎𝜎𝐸𝐸 también es nula En los futuros capítulos, con el estudio de medios conductores y con la introducción de técnicas numéricas, estas restricciones disminuirán

Ecuación de onda electromagnética en materiales “simples”

Las ecuaciones de Maxwell son:

𝜌𝜌 𝟎𝟎 𝛻𝛻 � 𝐸𝐸 = 𝜖𝜖 𝛻𝛻 � 𝐵𝐵 = 0

aislante sin carga

En materiales “simples”, las ecuaciones de Maxwell toman la forma:

𝛻𝛻 � 𝐸𝐸 = 0

𝛻𝛻 � 𝐵𝐵 = 0

𝜕𝜕𝐵𝐵 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝐸𝐸 𝛻𝛻 × 𝐵𝐵 = 𝜇𝜇𝜖𝜖 𝜕𝜕𝜕𝜕 Caso material simple

𝜕𝜕𝐵𝐵 𝛻𝛻 × 𝐸𝐸 = − 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝟎𝟎 𝜕𝜕𝐸𝐸 𝛻𝛻 × 𝐵𝐵 = 𝜇𝜇 J⃗ + 𝜇𝜇𝜖𝜖 𝜕𝜕𝜕𝜕 Caso material general

𝛻𝛻 × 𝐸𝐸 = −

𝟎𝟎 𝜕𝜕𝐵𝐵 2 𝛻𝛻 × 𝛻𝛻 × 𝐸𝐸 = 𝛻𝛻 𝛻𝛻 � 𝐸𝐸 − 𝛻𝛻 𝐸𝐸 = −𝛻𝛻 × 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝐵𝐵 2 Pero según la primera ecuación, 𝛻𝛻 � 𝐸𝐸 = 0, luego: 𝛻𝛻 𝐸𝐸 = 𝛻𝛻 × 𝜕𝜕𝜕𝜕

Tomando la tercera ecuación y usando identidad vectorial:

y tomando la derivada de la cuarta ecuación:

𝜕𝜕𝐵𝐵 𝜕𝜕 2 𝐸𝐸 𝛻𝛻 × = 𝜇𝜇𝜇𝜇 2 𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜕𝜕𝜕𝜕

Finalmente combinando las últimas dos ecuaciones:

𝛻𝛻 2 𝐸𝐸

𝜕𝜕 2 𝐸𝐸 − 𝜇𝜇𝜇𝜇 2 = 0 𝜕𝜕𝑡𝑡

Ecuación de onda electromagnética en materiales “simples” En materiales simples tenemos que el campo 𝐸𝐸 satisface: Siguiendo un procedimiento análogo para el campo 𝐵𝐵:

2 𝐸𝐸 𝜕𝜕 𝛻𝛻 2 𝐸𝐸 − 𝜇𝜇𝜇𝜇 2 = 0 𝜕𝜕𝑡𝑡

2 𝜕𝜕 𝐵𝐵 𝛻𝛻 2 𝐵𝐵 − 𝜇𝜇𝜇𝜇 2 = 0 𝜕𝜕𝑡𝑡

Estas ecuaciones describen ondas viajando a velocidad 𝑣𝑣:

Ecuaciones de onda para materiales simples

𝑣𝑣 =

1 𝜇𝜇𝜇𝜇

Experimentalmente (y teóricamente), se ha demostrado que 𝑣𝑣 es la velocidad de la luz en el material. Para el vacío, la velocidad es 𝑐𝑐 y está dada por: 𝑐𝑐 =

1 𝜇𝜇0 𝜀𝜀0

La luz es una onda electromagnética! Este fue uno de los grandes triunfos de la física del siglo 19, cuando Maxwell logró caracterizar estas ondas (entre estas características: su velocidad, estructura y forma de propagación, polarización, etc).

Soluciones monocromáticas de onda plana para la ecuación de onda se denomina operador Hertziano.

Para las ecuaciones de onda anteriores: Una solución para la ecuación de onda es:

2 𝜕𝜕 𝛻𝛻 2 − 𝜇𝜇𝜇𝜇 2 𝜕𝜕𝑡𝑡

𝐸𝐸(𝑟𝑟, ⃗ 𝑡𝑡)

𝐵𝐵(𝑟𝑟, ⃗ 𝑡𝑡)

=0

𝐸𝐸 𝑟𝑟, ⃗ 𝑡𝑡 = 𝐸𝐸0 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑘𝑘 � 𝑟𝑟⃗ + Φ0

donde 𝐸𝐸0 y 𝑘𝑘 son vectores constantes y 𝜔𝜔 y Φ0 son escalares constantes. La solución anterior corresponde al caso de una onda plana de frecuencia 𝜔𝜔. El hecho que la ecuación está definida para sólo una frecuencia, significa que la onda es monocromática.

El campo anterior será una solución válida de la ecuación de onda, si se cumple que:

𝜔𝜔2 𝑘𝑘

2

= 𝑣𝑣 2 =

1 𝜇𝜇𝜇𝜇

Esta ecuación es conocida como la relación de dispersión. Relaciona la frecuencia de la onda 𝜔𝜔 con el vector de onda 𝑘𝑘.

𝑑𝑑𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚!

Las ecuaciones de Maxwell imponen restricciones adicionales a esta solución...

𝑣𝑣𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒!

2 𝜕𝜕 El operador: 𝛻𝛻 2 − 𝜇𝜇𝜇𝜇 2 𝜕𝜕𝑡𝑡

Soluciones monocromáticas de onda plana para la ecuación de onda Escribiendo los vectores 𝐸𝐸0 y 𝑘𝑘 en términos de sus componentes cartesianos: 𝐸𝐸0 = 𝐸𝐸0𝑥𝑥 , 𝐸𝐸0𝑦𝑦 , 𝐸𝐸0𝑧𝑧 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘𝑥𝑥 , 𝑘𝑘𝑦𝑦 , 𝑘𝑘𝑧𝑧

𝑟𝑟⃗ = 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧

𝐸𝐸0 es la amplitud del campo eléctrico, 𝑘𝑘 es el vector de onda (normal al plano de la onda) y 𝑟𝑟⃗ es cualquier punto sobre la onda plana.

Para el campo calculado anteriormente, 𝐸𝐸 𝑟𝑟, ⃗ 𝑡𝑡 = 𝐸𝐸0 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑘𝑘 � 𝑟𝑟⃗ + Φ0 : 𝛻𝛻 � 𝐸𝐸 = 𝑘𝑘 � 𝐸𝐸0 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑘𝑘 � 𝑟𝑟⃗ + Φ0

Pero según Maxwell, para carga nula: 𝛻𝛻 � 𝐸𝐸 = 0

Esto se cumple para todas las posiciones 𝑟𝑟⃗ y tiempos t, si 𝑘𝑘 y 𝐸𝐸0 satisfacen: 𝑘𝑘 � 𝐸𝐸0 = 0

(también se cumple: 𝑘𝑘 � 𝐻𝐻0 = 0)

Soluciones monocromáticas de onda plana para la ecuación de onda Consideremos la solución anterior para la ecuación de onda:

𝐸𝐸 𝑟𝑟, ⃗ 𝑡𝑡 = 𝐸𝐸0 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑘𝑘 � 𝑟𝑟⃗ + Φ0

• Para un 𝑟𝑟⃗ fijo, la magnitud del campo 𝐸𝐸 varía sinusoidalmente, según 𝜔𝜔.

• Para un tiempo fijo 𝑡𝑡, la magnitud del campo 𝐸𝐸 varía sinusoidalmente en la dirección de 𝑘𝑘, según su longitud de onda λ = 2π/𝑘𝑘.

En planos perpendiculares a 𝑘𝑘, el campo tiene la misma fase (considere 𝑟𝑟⃗ → 𝑟𝑟⃗ + 𝑟𝑟′ ⃗ donde 𝑘𝑘 � 𝑟𝑟⃗ ′ = 0). Luego, el campo 𝐸𝐸 𝑟𝑟, ⃗ 𝑡𝑡 es una onda plana avanzando en la dirección de 𝑘𝑘. Dado que 𝑘𝑘 � 𝑟𝑟⃗ ′ = 0, el campo es perpendicular a la dirección del movimiento. Para el caso de propagación a lo largo de un eje (z) como en la figura, la onda es transversal y 𝑘𝑘 es paralelo a 𝑧𝑧.̂

Magnitud de campos eléctricos y magnéticos en ondas EM Análogamente al campo eléctrico, la solución equivalente para el campo magnético es:

𝐵𝐵 𝑟𝑟, ⃗ 𝑡𝑡 = 𝐵𝐵0 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑘𝑘 � 𝑟𝑟⃗ + Φ0

donde existen las mismas restricciones para 𝐸𝐸0 , 𝑘𝑘 y 𝜔𝜔.

A pesar del hecho que estas soluciones para 𝐸𝐸 y 𝐵𝐵 se han alcanzado vía desarrollos independientes, las ecuaciones de Maxwell nos dicen que los campos eléctricos y magnéticos no son independientes. En particular, se debe satisfacer: 𝜕𝜕𝐵𝐵 𝛻𝛻 × 𝐸𝐸 = − 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐸𝐸 𝛻𝛻 × 𝐵𝐵 = 𝜇𝜇𝜇𝜇 𝜕𝜕𝜕𝜕

Manipulando las ecuaciones anteriores encontramos que 𝑘𝑘, Φ0 y 𝜔𝜔 deben ser los mismos para 𝐸𝐸 y 𝐵𝐵 y además se debe satisfacer: 𝑘𝑘 × 𝐸𝐸0 = 𝜔𝜔𝐵𝐵0

𝑘𝑘 × 𝐵𝐵0 = −𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝐸𝐸0

𝑑𝑑𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚!

Forma de la onda electromagnética

Sin pérdida de generalidad, asumamos que 𝐸𝐸 tiene componente sólo en el eje 𝑦𝑦 :

𝐸𝐸𝑦𝑦 𝑧𝑧, 𝑡𝑡 = 𝐸𝐸0𝑦𝑦 cos 𝜔𝜔 𝑡𝑡 − 𝑧𝑧/𝑣𝑣 + 𝜙𝜙 , donde v es la velocidad de propagación.

(es decir hemos reemplazado 𝑘𝑘 por

Faraday: 𝛻𝛻 × 𝐸𝐸 = − Pero

𝜕𝜕𝐸𝐸𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑥𝑥

𝜔𝜔 𝑣𝑣

y 𝑟𝑟⃗ por 𝑧𝑧)

Si 𝐸𝐸 = 𝑗𝑗𝐸𝐸𝑦𝑦 ⇒

𝑖𝑖 𝜕𝜕 𝛻𝛻 × 𝐸𝐸 = 𝜕𝜕𝑥𝑥 0

𝜕𝜕𝐸𝐸𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑧𝑧

0

0 =−

𝜕𝜕 𝐵𝐵𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝐵𝐵𝑦𝑦

𝑗𝑗 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝐸𝐸𝑦𝑦

𝑘𝑘 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝐸𝐸𝑦𝑦 = 𝜕𝜕𝑧𝑧 𝜕𝜕𝑧𝑧 0

𝐵𝐵𝑧𝑧

𝐵𝐵𝑦𝑦 y 𝐵𝐵𝑧𝑧 son 0 !!

𝜕𝜕𝐸𝐸𝑦𝑦 𝜕𝜕𝐵𝐵𝑥𝑥 , e integrando 𝐵𝐵𝑥𝑥 respecto al tiempo: =− 𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜕𝜕𝑧𝑧

𝐵𝐵𝑥𝑥 = − � 𝐵𝐵𝑥𝑥 =

=

= 0, pues 𝐸𝐸 varía sólo en dirección 𝑦𝑦, luego

𝛻𝛻 × 𝐸𝐸 =

Lo que da:

𝜕𝜕𝐵𝐵 𝜕𝜕𝜕𝜕

2π 𝜆𝜆

𝜕𝜕𝐸𝐸𝑦𝑦 𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐸𝐸0𝑦𝑦 � sin 𝜔𝜔 𝑡𝑡 − 𝑧𝑧/𝑣𝑣 + 𝜙𝜙 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑧𝑧 𝑣𝑣

1 1 𝐸𝐸0𝑦𝑦 cos 𝜔𝜔 𝑡𝑡 − 𝑧𝑧/𝑣𝑣 + 𝜙𝜙 = 𝐸𝐸𝑦𝑦 𝑣𝑣 𝑣𝑣

⇒

𝐸𝐸𝑦𝑦 = 𝑣𝑣𝐵𝐵𝑥𝑥

Es decir, 𝐸𝐸 y 𝐵𝐵 están en fase en todo punto del espacio, son perpendiculares entre sí y el producto cruz de ellos (𝐸𝐸 × 𝐵𝐵) apunta a la dirección de propagación

0

𝜕𝜕𝐸𝐸𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑥𝑥

𝟎𝟎

En resumen… Los vectores 𝑘𝑘, 𝐸𝐸0 y 𝐵𝐵0 son mutuamente perpendiculares.

Las magnitudes de los campos eléctricos y magnéticos deben satisfacer: 𝐸𝐸0 1 = 𝑣𝑣 = 𝐵𝐵0 𝜇𝜇𝜇𝜇

En vacío,

𝐸𝐸0 1 = = 𝑐𝑐 𝐵𝐵0 𝜇𝜇0 𝜀𝜀0

con 𝑣𝑣: velocidad de fase

Magnitudes de ondas electromagnéticas IMPEDANCIA 𝜼𝜼 DEL MEDIO

La razón entre la amplitud del campo eléctrico (𝐸𝐸0 ) sobre la amplitud de la intensidad de campo magnético (𝐻𝐻0 ) se denomina impedancia 𝜼𝜼 del medio. Usando

𝐸𝐸0 𝐵𝐵0

=

1 𝜇𝜇𝜇𝜇

= 𝑣𝑣, tenemos:

Para el vacío,

𝐸𝐸0 𝜂𝜂0 = = 𝐻𝐻0

𝐸𝐸0 𝐸𝐸0 𝜇𝜇 = = 𝜂𝜂 = = 𝐻𝐻0 𝐵𝐵0 /𝜇𝜇 𝜇𝜇𝜇𝜇

𝜇𝜇 𝜀𝜀

𝜇𝜇0 constante universal = 376.7 Ω de la física 𝜀𝜀0

Índice de refracción, n (óptica) Es el cociente de la velocidad de la onda en vacío, sobre aquella de un determinado material (generalmente aislante y trasparente) Para la mayoría de los materiales trasparentes, 𝜇𝜇𝑟𝑟 ≈ 1 (𝜇𝜇 ≈ 𝜇𝜇0 ), luego:

𝑛𝑛 ≈ 𝜀𝜀𝑟𝑟

𝑐𝑐 𝑛𝑛 = = 𝑣𝑣

𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝜇𝜇𝑟𝑟 𝜀𝜀𝑟𝑟 𝜇𝜇0 𝜀𝜀0

Energía en campos EM: el teorema de Poynting Las ondas electromagnéticas transportan energía! (ej. Luz del sol)

El flujo de energía (energía cruzando una unidad de área por unidad de tiempo) está dada por el vector de Poynting: 𝑆𝑆⃗ = 𝐸𝐸 × 𝐻𝐻

𝑆𝑆⃗

𝑊𝑊 𝑚𝑚2

Esta definición viene del teorema de Poynting que se deriva a continuación.

Energía en campos EM: el teorema de Poynting Para derivar el teorema de Poynting, usamos la ecuaciones de Maxwell. Partimos con: Multiplicamos por 𝐻𝐻 a ambos lados:

Multiplicamos por 𝐸𝐸 a ambos lados :

Podemos escribir:

𝛻𝛻 × 𝐻𝐻 = J⃗ +

𝜕𝜕𝐷𝐷 𝜕𝜕𝑡𝑡

𝐸𝐸 � 𝛻𝛻 × 𝐻𝐻 = 𝐸𝐸 � J⃗ + 𝐸𝐸 �

identidad

𝜕𝜕𝐵𝐵 𝜕𝜕𝑡𝑡

(𝑒𝑒𝑒𝑒. 1)

𝜕𝜕𝐷𝐷 𝜕𝜕𝑡𝑡

(𝑒𝑒𝑒𝑒. 2)

𝐻𝐻 � 𝛻𝛻 × 𝐸𝐸 − 𝐸𝐸 � 𝛻𝛻 × 𝐻𝐻 = −𝐸𝐸 � J⃗ − 𝐸𝐸 �

1 𝜕𝜕 𝜀𝜀𝐸𝐸 2 + 𝜇𝜇𝐻𝐻2 = −𝛻𝛻 � 𝐸𝐸 × 𝐻𝐻 − 𝐸𝐸 � J⃗ 2 𝜕𝜕𝑡𝑡

Integrando sobre un volumen, se obtiene el teorema de Poynting: donde

𝜕𝜕𝐵𝐵 𝜕𝜕𝑡𝑡

𝐻𝐻 � 𝛻𝛻 × 𝐸𝐸 = −𝐻𝐻 �

y usando la 4ta ecuación de Maxwell:

Restando (𝑒𝑒𝑒𝑒. 1) y (𝑒𝑒𝑒𝑒. 2):

𝛻𝛻 × 𝐸𝐸 = −

𝑆𝑆⃗ = 𝐸𝐸 × 𝐻𝐻,

𝜕𝜕𝐷𝐷 𝜕𝜕𝐵𝐵 − 𝐻𝐻 � 𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜕𝜕𝑡𝑡

𝜕𝜕 � 𝑈𝑈𝐸𝐸 + 𝑈𝑈𝐻𝐻 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − � 𝑆𝑆⃗ � 𝑑𝑑𝐴𝐴⃗ − � 𝐸𝐸 � J⃗𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑉𝑉 𝐴𝐴 𝑉𝑉 𝑈𝑈𝐸𝐸 =

1 2 1 𝜀𝜀𝐸𝐸 y 𝑈𝑈𝐻𝐻 = 𝜇𝜇𝐻𝐻 2 2 2

Teorema de Gauss

Energía en campos EM: el teorema de Poynting En el teorema de Poynting, 𝜕𝜕 � 𝑈𝑈𝐸𝐸 + 𝑈𝑈𝐻𝐻 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − � 𝑆𝑆⃗ � 𝑑𝑑𝐴𝐴⃗ − � 𝐸𝐸 � J⃗𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑉𝑉 𝐴𝐴 𝑉𝑉

tasa de cambio de energía total en campo electromagnético dentro de V

flujo de energía en campo electromagnético a través de los límites de V

tasa a la cual el campo eléctrico ejerce trabajo sobre las cargas eléctricas dentro de V (pérdidas)

En el caso que el sistema tenga una fuente externa, esta se puede representar en forma equivalente a una fuente de voltaje en un circuito eléctrico, 𝐸𝐸𝑓𝑓 . Con esto y usando la ley de Ohm para el último término (J⃗ = 𝜎𝜎𝐸𝐸), obtenemos: Fuente externa

𝜕𝜕 J2 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝐸𝐸𝑓𝑓 � J⃗𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑈𝑈𝐸𝐸 + 𝑈𝑈𝐻𝐻 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 𝑆𝑆⃗ � 𝑑𝑑𝐴𝐴⃗ + � 𝜎𝜎 𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑉𝑉 𝑉𝑉 𝐴𝐴 𝑉𝑉

Densidad de Energía Las densidades de energía eléctrica y magnética son:

1 2 𝑈𝑈𝐸𝐸 = 𝜀𝜀𝐸𝐸 2

y

1 2 𝑈𝑈𝐻𝐻 = 𝜇𝜇𝐻𝐻 2

Dado que el promedio temporal del cuadrado del seno es: para una onda electromagnética (armónica), su valor RMS es:

𝑈𝑈𝐸𝐸

1 2 = 𝜀𝜀𝐸𝐸0 4

𝑦𝑦

𝑈𝑈𝐻𝐻

sin2 𝑥𝑥 =

1 2

1 2 1 𝐵𝐵02 = 𝜇𝜇𝐻𝐻0 = 4 4 𝜇𝜇

De esta manera, la razón entre las densidades promedio temporal de los campos eléctricos y magnéticos en una onda electromagnética es: 𝑈𝑈𝐸𝐸 𝐸𝐸02 = 𝜇𝜇𝜇𝜇 2 = 𝜇𝜇𝜇𝜇𝑣𝑣 2 = 1 𝑈𝑈𝐻𝐻 𝐵𝐵0

Habíamos visto que: 𝐸𝐸0 1 = = 𝑣𝑣 𝐵𝐵0 𝜇𝜇𝜇𝜇

Luego, la energía en una onda electromagnética es compartida en partes iguales entre los campos magnético y eléctrico

Flujo de energía e impedancia Como vimos, el vector de Poynting se define como: 𝐸𝐸 y la impedancia del medio: 𝜂𝜂 = 𝐻𝐻

𝐸𝐸 → 𝐻𝐻 = 𝜂𝜂

𝑆𝑆⃗ = 𝐸𝐸 × 𝐻𝐻

Este vector 𝑆𝑆⃗ nos da el flujo instantáneo de energía por unidad de tiempo (densidad de potencia) que cruza una superficie unitaria normal a la dirección del flujo. Como 𝐸𝐸 y 𝐻𝐻 son perpendiculares entre si y también a 𝑘𝑘 (vector de propagación de la onda), entonces: 𝐸𝐸 2 𝑆𝑆⃗ =

𝜂𝜂

𝑘𝑘� = 𝜂𝜂𝐻𝐻2 𝑘𝑘�

donde 𝑘𝑘� es un vector unitario en la dirección de 𝑘𝑘 y 𝜂𝜂 es la impedancia del medio ( 𝜂𝜂 = 𝜇𝜇/𝜀𝜀 ):

Nótese que el flujo de energía, al igual que la densidad de energía, depende del cuadrado de la intensidad del campo

Flujo de Energía Como el campo eléctrico varía sinusoidalmente en posición y tiempo y el flujo de la energía es proporcional al cuadrado del campo, tenemos que el flujo promedio (sobre el tiempo y posición) es: 𝐸𝐸02 𝑆𝑆⃗ = 𝑘𝑘� 2𝜂𝜂

1 recuerde que: sin 𝑥𝑥 = 2 2

Lo anterior puede ser escrito en términos de la densidad de energía promedio en la onda: 𝑆𝑆⃗ = 𝑈𝑈 𝑣𝑣⃗

donde 𝑣𝑣⃗ es el vector velocidad de la onda y Demostración: como

𝑈𝑈𝐸𝐸 =

𝑈𝑈 = 𝑈𝑈𝐸𝐸 + 𝑈𝑈𝐻𝐻 = 2 𝑈𝑈𝐸𝐸 = 2 𝑈𝑈𝐻𝐻

1 𝜀𝜀𝐸𝐸02 4

y

𝑈𝑈𝐻𝐻 =

𝐸𝐸02 4 1 4 1 𝜀𝜀 𝑆𝑆⃗ = 𝑘𝑘� = 𝑈𝑈𝐸𝐸 𝑘𝑘� = 𝑈𝑈𝐸𝐸 𝑘𝑘� = 2 𝑈𝑈𝐸𝐸 2𝜂𝜂 𝜀𝜀 2𝜂𝜂 𝜀𝜀 2 𝜇𝜇

1 𝜇𝜇𝐻𝐻02 4

=

1 𝐵𝐵02 4 𝜇𝜇

1 𝑘𝑘� = 𝑈𝑈 𝑣𝑣⃗ 𝜀𝜀𝜀𝜀

Notación compleja para ondas planas La identidad de Euler: 𝑒𝑒 j𝜙𝜙 = cos 𝜙𝜙 + j sin 𝜙𝜙 es muy usada en análisis armónico temporal. Una señal en régimen sinusoidal permanente puede ser representada por: Re 𝑉𝑉0 𝑒𝑒 j𝜙𝜙 = 𝑉𝑉0 cos 𝜙𝜙 = 𝑉𝑉0 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜃𝜃 = 𝑣𝑣(𝑡𝑡) ,

donde Re es la parte real de …

Podemos reescribir la ecuación usando el rotor de Euler: 𝑉𝑉0 𝑒𝑒 j 𝜔𝜔𝜔𝜔+𝜃𝜃 = 𝑉𝑉0 𝑒𝑒 j𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑒𝑒 j𝜃𝜃

En régimen sinusoidal permanente, el factor 𝑒𝑒 j𝜔𝜔𝜔𝜔 lo podemos reemplazar expresando la amplitud como un número complejo en valor RMS, es decir: 𝑉𝑉0 j𝜃𝜃 𝐕𝐕 = 𝑒𝑒 = 𝑉𝑉𝑒𝑒 j𝜃𝜃 (𝑉𝑉: módulo RMS; 𝐕𝐕: complejo RMS) 2

En el futuro usaremos frecuentemente esta notación en análisis armónico. En forma inversa, la señal real en el tiempo, tendrá la forma: En resumen, la correspondencia entre formalismos complejo y temporal es:

𝑉𝑉 2 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜃𝜃 𝑣𝑣 𝑡𝑡 instantáneo

𝑣𝑣 𝑡𝑡 = Re 𝐕𝐕 2𝑒𝑒 j𝜔𝜔𝜔𝜔 ⟷

𝐕𝐕𝑒𝑒 j𝜃𝜃

𝐕𝐕 complejo

Notación compleja para ondas planas El uso de esta notación posee ventajas importantes en nuestro curso. Por ejemplo, para el caso de la derivada de una señal en régimen sinusoidal permanente, 𝑑𝑑𝑣𝑣 𝑑𝑑 j𝜔𝜔𝜔𝜔 = Re j𝜔𝜔𝐕𝐕 2𝑒𝑒 j𝜔𝜔𝜔𝜔 = Re 𝐕𝐕 2 𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

Lo que significa que aplicar la derivada temporal a la cantidad instantánea, equivale a multiplicar su valor en el espacio complejo por j𝜔𝜔, es decir: 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

⟷

j𝜔𝜔𝐕𝐕

Ecuaciones de Maxwell en el dominio complejo 𝜌𝜌 𝜖𝜖 𝛻𝛻 � 𝐵𝐵 = 0 𝛻𝛻 � 𝐸𝐸 =

𝜕𝜕𝐵𝐵 𝛻𝛻 × 𝐸𝐸 = − 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝐷𝐷 𝛻𝛻 × 𝐻𝐻 = J⃗ + 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜌𝜌 𝛻𝛻 � 𝐄𝐄 = 𝜖𝜖 𝛻𝛻 � 𝐁𝐁 = 0

𝛻𝛻 × 𝐄𝐄 = −j𝜔𝜔𝐁𝐁

𝛻𝛻 × 𝐇𝐇 = J + j𝜔𝜔𝐃𝐃

Caracterización de ondas planas Asumiendo que la solución instantánea del campo 𝐸𝐸 propagándose por el eje z tiene la forma: 𝐸𝐸(𝑧𝑧, 𝑡𝑡) = 𝐸𝐸0 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝛽𝛽𝑧𝑧 − 𝜃𝜃0 𝑦𝑦�

donde, 𝛽𝛽 es el número de onda (o coeficiente de fase, rad/m) y está dado por: 𝛽𝛽 =

𝜔𝜔 2𝜋𝜋𝑓𝑓 2𝜋𝜋 = 𝜔𝜔 𝜇𝜇𝜇𝜇 = = 𝑣𝑣 𝑣𝑣 𝜆𝜆

aquí, 𝑣𝑣 es la velocidad de propagación de la onda Nota: previamente hemos usado el símbolo k para representar este valor.

𝜃𝜃0 es un valor de fase (constante y arbitrario)

y z

Polarización lineal de ondas armónicas planas Un campo eléctrico con una componente transversal en dirección y y con z es el eje de propagación, se puede representar por:

y

𝐸𝐸(𝑧𝑧, 𝑡𝑡) = 𝐸𝐸0 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝛽𝛽𝑧𝑧 − 𝜃𝜃0 𝑦𝑦�

z

Si la onda plana tiene dos componentes en los eje x e y de distinta amplitud pero en fase (𝜃𝜃0𝑥𝑥 = 𝜃𝜃0𝑦𝑦 = 𝜃𝜃0 ), entonces: 𝐸𝐸 𝑧𝑧, 𝑡𝑡 = 𝐸𝐸0𝑥𝑥 𝑥𝑥� + 𝐸𝐸0𝑦𝑦 𝑦𝑦� cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝛽𝛽𝑧𝑧 − 𝜃𝜃0

Esto se denomina polarización lineal

Polarización circular de ondas armónicas planas Cuando las amplitudes en ambos ejes transversales son iguales (𝐸𝐸0𝑥𝑥 = 𝐸𝐸0𝑦𝑦 ) y la fase entre ambas componentes es múltiplo de π/2, es decir, 𝜃𝜃0𝑥𝑥 − 𝜃𝜃0𝑦𝑦 = ±π/2+mπ, con m=1, 2, .. , dif. de fase de π/2 este caso se denomina polarización circular 𝐸𝐸 𝑧𝑧, 𝑡𝑡 = 𝐸𝐸0 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝛽𝛽𝑧𝑧 − 𝜃𝜃0𝑥𝑥 𝑥𝑥� + cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝛽𝛽𝑧𝑧 − 𝜃𝜃0𝑦𝑦 𝑦𝑦� En este caso se cumple:

𝐸𝐸𝑥𝑥

𝐸𝐸𝑥𝑥 𝐸𝐸0

2

𝐸𝐸𝑦𝑦 + 𝐸𝐸0

2

=1

𝐸𝐸𝑦𝑦

El caso más frecuente es el de polarización elíptica y ocurre cuando las amplitudes de las componentes ortogonales son distintas (𝐸𝐸0𝑥𝑥 ≠ 𝐸𝐸0𝑦𝑦 ) y su fase relativa no tiene restricción: 𝐸𝐸𝑥𝑥 𝐸𝐸0𝑥𝑥

2

𝐸𝐸𝑦𝑦 + 𝐸𝐸0𝑦𝑦

2

−2

𝐸𝐸𝑥𝑥 𝐸𝐸0𝑥𝑥

con Δ𝜃𝜃0 = 𝜃𝜃0𝑥𝑥 − 𝜃𝜃0𝑦𝑦

Demostrar que si Δ𝜃𝜃0 = 0, la polarización es lineal

𝐸𝐸𝑦𝑦 cos Δ𝜃𝜃0 = sin2 Δ𝜃𝜃0 𝐸𝐸0𝑦𝑦

Right Hand Circularly Polarized (RHCP)

Polarización de ondas armónicas planas: Ejercicios 1- Demostrar que el vector de campo eléctrico con polarización lineal en notación compleja, para una onda propagándose a lo largo del eje z, viene dado por: 𝐸𝐸 = 𝐸𝐸 𝑥𝑥� + 𝐸𝐸 𝑦𝑦� 𝑒𝑒 −j𝑘𝑘0 𝑧𝑧 1

2

2- Demostrar que el vector de campo eléctrico con polarización circular (RHCP) en notación compleja, para una onda propagándose a lo largo del eje z, viene dado por: 𝐸𝐸 = 𝐸𝐸0 𝑥𝑥� − j𝑦𝑦� 𝑒𝑒 −j𝑘𝑘0𝑧𝑧

3- Demostrar que el vector de intensidad de campo magnético con polarización circular (RHCP) en notación compleja, para una onda propagándose a lo largo del eje z, viene dado por: 𝐸𝐸0 𝐸𝐸0 𝐻𝐻 = 𝑧𝑧̂ × 𝑥𝑥� − j𝑦𝑦� 𝑒𝑒 −j𝑘𝑘0 𝑧𝑧 = 𝑦𝑦� + j𝑥𝑥� 𝑒𝑒 −j𝑘𝑘0𝑧𝑧 𝜂𝜂 𝜂𝜂 4- En base a las ecuaciones anteriores para 𝐸𝐸 y 𝐻𝐻, determine el valor de 𝐸𝐸 · 𝐻𝐻 para RHCP y LHCP

Ejemplos de Polarización de ondas Polarización por Grilla o Malla

Apuntando al horizonte

Apuntando a la vertical

Polarización Circular: Antireflexión

Polarización por Polaroid

Polarización por Scattering Scattering: Extracción de energía desde onda incidente y la subsecuente emisión de una parte de ella

Polarización en radares

Notación compleja para ondas planas Las ecuaciones para campos en materiales “simples” vistos previamente también se pueden representar en el dominio complejo. 𝐸𝐸: campo instantáneo

𝐄𝐄: campo complejo (RMS)

campo 𝐸𝐸 : campo 𝐵𝐵:

𝜕𝜕 2 𝐸𝐸 𝛻𝛻 𝐸𝐸 − 𝜇𝜇𝜇𝜇 2 = 0 𝜕𝜕𝑡𝑡 2

𝛻𝛻

2 𝐵𝐵

𝜕𝜕 2 𝐵𝐵 − 𝜇𝜇𝜇𝜇 2 = 0 𝜕𝜕𝑡𝑡

𝛻𝛻 2 𝐄𝐄 − 𝜇𝜇𝜇𝜇 j𝜔𝜔 � j𝜔𝜔 𝐄𝐄 = 𝛻𝛻 2 𝐄𝐄 + 𝜇𝜇𝜇𝜇𝜔𝜔2 𝐄𝐄 = 0 𝛻𝛻 2 𝐁𝐁 − 𝜇𝜇𝜇𝜇 j𝜔𝜔 � j𝜔𝜔 𝐁𝐁 = 𝛻𝛻 2 𝐁𝐁 + 𝜇𝜇𝜇𝜇𝜔𝜔2 𝐁𝐁 = 0

Usamos la definición anterior para el número de onda 𝛽𝛽 =

luego

𝛻𝛻 2 𝐄𝐄 + 𝛽𝛽 2 𝐄𝐄 = 0

𝛻𝛻 2 𝐁𝐁 + 𝛽𝛽 2 𝐁𝐁 = 0

𝜔𝜔 𝑣𝑣

= 𝜔𝜔 𝜇𝜇𝜇𝜇

Ecuaciones de Helmholtz

El vector de Poynting complejo El vector de Poynting complejo se define como: 𝐒𝐒⃗ = 𝐄𝐄 × Por qué conjugado?

𝐇𝐇 ∗

Por qué conjugado?

Supongamos que queremos calcular la potencia en un circuito eléctrico donde 𝑣𝑣 𝑡𝑡 = 𝑉𝑉 2 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜃𝜃 y 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝐼𝐼 2 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜓𝜓 .

La potencia instantánea es: 𝑃𝑃 𝑡𝑡 = 𝑣𝑣 𝑡𝑡 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 2𝑉𝑉𝐼𝐼 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜃𝜃 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜃𝜃 − 𝜙𝜙 donde 𝜙𝜙 = 𝜃𝜃 − 𝜓𝜓

integrado en 1 ciclo es 0

Usando identidades trigonométricas: 𝑃𝑃 𝑡𝑡 = 𝑉𝑉𝑉𝑉 cos 𝜙𝜙 + cos 2 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜃𝜃) − 𝜙𝜙 Se define la potencia compleja :

𝐏𝐏𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

Es decir, la potencia activa:

y la potencia reactiva:

= 𝐕𝐕 𝐈𝐈 = 𝑉𝑉𝑒𝑒 j𝜃𝜃 𝐼𝐼𝑒𝑒 j𝜓𝜓 ∗

∗

= 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑒𝑒 j(𝜃𝜃−𝜓𝜓) = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑒𝑒 j𝜙𝜙

= 𝑉𝑉𝑉𝑉 cos 𝜙𝜙 + j𝑉𝑉𝑉𝑉 sin 𝜙𝜙

Re 𝐏𝐏𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑉𝑉𝑉𝑉 cos 𝜙𝜙 Im 𝐏𝐏𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑉𝑉𝑉𝑉 sin 𝜙𝜙

El vector de Poynting sigue un procedimiento análogo. El conjugado refleja que la potencia depende de la diferencia de fase entre las variables

Dispersión Sabemos que las ondas planas se propagan a través de dieléctricos “simples” con velocidad 𝑣𝑣, dada por:

𝑐𝑐 1 𝑣𝑣 = = 𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑛𝑛

Por lo que si asumimos que la permitividad y permeabilidad del dieléctrico son constantes, la velocidad de fase es independiente de la frecuencia de la onda. Sin embargo, en dieléctricos reales, la velocidad de fase depende de la frecuencia de la onda (la permitividad y permeabilidad son funciones de la frecuencia, i.e. 𝜇𝜇 𝑓𝑓 , 𝜀𝜀(𝑓𝑓)). Este efecto es conocido como dispersión. Para explicar este fenómeno, se necesita un modelo mas complejo del dieléctrico que tome en cuenta las propiedades de las moléculas que forman el material. La dispersión se puede observar en experimentos muy conocidos, como la separación de la luz blanca al atravesar de un prisma. Aquí, el índice de refracción aumenta al aumentar la frecuencia de la onda (o disminuye al aumentar la longitud de onda). En el vidrio por ejemplo, la luz azul viaja mas lento que la luz roja y es refractada mas fuertemente por un prisma.

Dieléctricos reales Experimentalmente, se ha visto que las ondas que se propagan en dieléctricos a baja frecuencia, su velocidad es constante e igual a 𝑐𝑐/ 𝜀𝜀𝑟𝑟 , independiente de la frecuencia. Es decir, la teoría funciona.

hacia rojo, n baja

hacia azul, n crece

Sin embargo, cuando la frecuencia aumenta, el índice de refracción aumenta a un máximo para luego caer La caída en el índice de refracción generalmente ocurre en un rango de frecuencias angosto que se llama dispersión anómala. Esta dispersión está asociada con absorción de energía desde la onda por parte del medio

v > c ?!

ε complejo!! (próximos capítulos)

Indice de refracción en un campo eléctrico oscilatorio sector visible del humano

Cristales para visión humana

𝑣𝑣 =

𝑐𝑐 1 = 𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑛𝑛

Dieléctricos reales La mayoría de los materiales tienen varias regiones con dispersión anómala a lo largo del espectro. Muchos de ellos presentan absorción en el sector infrarrojo; casi todos los hacen en el sector ultravioleta y aquellos que absorben en el sector visible aparecen coloreados.

En el sector de los rayos X ( f > 1016 Hz ), la dispersión anómala no existe y el índice de refracción para la inmensa mayoría de dieléctricos es casi 1. Esto significa que no podemos hacer lentes o prismas para esas longitudes de onda. Como la absorción disminuye fuertemente, se evidencia que los rayos X son altamente penetrantes. En los rayos γ ( f > 1019 Hz ), todos los materiales dieléctricos son transparentes y no-refractantes.