• Author / Uploaded
• Ayrton Medina Panez

Citation preview

Flujo Adiabático

9- 35

A FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL Es el más elemental de los flujos compresibles; su simplicidad, de análisis lo convierte en un instrumento sumamente útil. Un flujo se puede considerar unidimensional cuando la rapidez de cambio de las propiedades del fluido en una dirección perpendicular a la línea de corriente es despreciable, comparada con la rapidez de cambio de tales propiedades en la dirección de la corriente. Cuando la transferencia de calor puede ser considerado despreciable, el flujo se denomina adiabático. Si los efectos de fricción y arrastre son relativamente pequeños, el flujo puede ser considerado también como reversible, y se denomina flujo isentrópico. El flujo isentrópico define las condiciones ideales a utilizar en la computación de las eficiencias en los diferentes dispositivos de flujo, como son las toberas y los difusores. 9.3

FLUJO CON AREA VARIABLE

RESERVORIO

1

CONDUCTO FLUJO COMPRESIBLE

A mínima

AMBIENTE

2

A

As

Po

pB

To

TB x

m

o

B

Vo = 0

p, T, 

DATOS CONOCIDOS

m

DATOS CONOCIDOS

V, M,  Fig. 9.13

Conducto de área variable A

(x).

Conociendo las propiedades del reservorio y las del medio ambiente a donde descarga, se desea determinar las condiciones del flujo en una sección cualquiera del conducto: presión, temperatura, densidad, velocidad, flujo másico, número de mach, así como la eficiencia del dispositivo utilizado.

Flujo compresible

9- 36

9.3.1 FLUJO ADIABÁTICO IRREVERSIBLE Considere una expansión adiabática o una compresión adiabática desde la sección 1 a la sección 2. El estado de estancamiento y el estado crítico correspondiente a la sección 1 se obtiene trazando una vertical, que representa un proceso isentrópico, de manera que po1 sería su presión de estancamiento y el área crítica A*1, sería el área en la cual se alcanzaría el estado crítico a partir del punto 1. Igual significado para po2 y A*2. po2 p0 T p01 0 To

p1

1

p

A

A1 *

2

p2

A2*

A*

T* p*

p1*

p2* S

S1

S

Fig. 9.1.4 Proceso adiabático:

S2 (a) Expansión adiabática.

En una sección A, cualquiera, del proceso de (1) a (2): k 1

 po  k   To k 1  1 M2    o  T 2     p  El flujo másico en dicha sección cualquiera: m

m

M

KRT A 

po po

To To

K R To

po M A

p po

To T

p R T

 m

k 1

[]

=VA

[]

Flujo Adiabático

i)

9- 37

Si se conoce el área A y la presión p: 𝑝𝑜

𝑘−1 𝑘

𝑀= √ [ ( ) 𝑝

De la ecuación ():

2

− 1]

𝑘−1

𝑘−1

√

𝑇𝑜 𝑇

=

𝑝𝑜 2 𝑘 (𝑝)

En la ecuación ():

𝐾 𝑚̇ = √ 𝑅 𝑇𝑜

𝐾 𝑚̇ = √ 𝑅 𝑇𝑜

2 𝑝𝑜 𝑝𝑜 𝐴 √ [ ( ) 𝑘−1 𝑝

2 𝑝𝑜 𝑝𝑜 𝐴 √ [ ( ) 𝑘−1 𝑝

𝑘−1 𝑘

𝑘−1 𝑘

𝑝 𝑝𝑜

− 1]

𝑝𝑜 ( ) 𝑝

− 1]

− (𝑘+1) 2 𝑘

− (𝑘+1) 𝑘

−2

𝐾 𝑚̇ = √ 𝑅 𝑇𝑜

2 𝑝𝑜 𝑘 𝑝𝑜 𝑝𝑜 𝐴 √ [ ( ) − ( ) 𝑘−1 𝑝 𝑝

𝐾 𝑚̇ = √ 𝑅 𝑇𝑜

2 𝑝 𝑘 𝑝 𝑝𝑜 𝐴 √ [ ( ) − ( ) 𝑘−1 𝑝𝑜 𝑝𝑜

𝐾 𝑚̇ = √ 𝑅 𝑇𝑜

𝑘−1 𝑘

𝑝𝑜 2 ( ) 𝑝

2

2

(𝑘+1) 𝑘

2 𝑝 𝑘 𝑝 𝑝𝑜 𝐴 √ ( ) [ 1 − ( ) 𝑘−1 𝑝𝑜 𝑝𝑜

]

]

(𝑘−1) 𝑘

]

Para M = 1 y A = A* = A G: De (a):

O

𝑝 𝑝𝑜

= (

𝑚̇ = √

2 𝑘+1

)

𝐾 𝑅 𝑇𝑜

𝑘 𝑘−1

𝑚̇ = √

𝐾

∗

𝑝𝑜 𝐴

𝑅 𝑇𝑜

𝑝𝑜 𝐴∗ (

2 𝑘+1

)

√ (

𝑘+1 2 (𝑘−1)

2 𝑘+1

)

𝑘+1 (𝑘−1)

Flujo compresible

9- 38

ii)

Si se conoce el área A y el número de Mach: k



To  T  k  1 To  To       T T T  T   0

p po

 ( k  1) 2 ( k  1)

 ( k  1)

K R To

  Se obtiene: m

k 1   po A M 1  M 2 2  

2 ( k  1)

[ 9.32 ]

Esta ecuación muestra que para un número de mach dado, el flujo es proporcional a su presión de estancamiento e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su temperatura de estancamiento, por esta razón los datos de prueba de flujo sobre compresores, turbinas y realmente sobre cualquier paso de flujo el cual opera sobre un amplio rango de niveles de presión y temperatura,

 To / po como variable de flujo. De esta son usualmente ploteadas con m manera el resultado de una prueba dada, llega a ser aplicable para operación en niveles de temperatura y presión diferentes a las condiciones originales de prueba. m To  A po

 k 1  M 1  M2 2  

K R

 ( k 1) 2 ( k 1)

 0,10

0,001

M 0,10

1,0

10

Fig. 9.15 Flujo másico Considerando el peso molecular del gas w = R / R, de (  ) se obtiene:

m A

To

1

p

w



k

M

R

1

k 1 M2 =  2

Aplicando la ecuación anterior (9.32) a las condiciones críticas:  ( k  1)

m 

K R To

k 1   po A * 1  2  

2 ( k  1)

[ 9.33 ]

Flujo Adiabático

9- 39

Igualando (9.32) y (9.33), se obtiene:

k 1    A 1  2    A * M 1 k 1 M 2   2 

 ( k 1) 2 ( k 1)

k 1

A  A*

k 1   M 2  2 (k 1) 1  2   k 1   2  

1 M

[ 9.34 ]

Esta ecuación está representada en la Figura 9.12, donde se observa que la selección de A, determina un valor único de M siempre que Mach en la garganta sea uno. Aplicando la ecuación (9.33) al estado 1 y 2 del proceso adiabático, e igualando, resulta: po1  A*1 = po2  A*2

[ 9.35 ]

Mediante esta ecuación, se puede determinar las propiedades en cualquier punto del flujo adiabático. Así:

A2 po2  po1

A*1 A*2



A*2 A1 x A1 A2 * A1

[ 9.36 ]

Si se conocen po2 / po1; A1 / A2 y M1, se pueden determinar el resto de propiedades del flujo en el estado 2. Con M1, en la ecuación ( 9.34 ) se obtiene A1 / A*1. Con A1 / A*1 , en la ecuación ( 9.36 ) se obtiene A2 / A*2 . Nuevamente ( 9.34 ) para obtener M2 . Con M2 se puede determinar el resto de propiedades en el estado o sección 2. Para un punto cualquiera del flujo adiabático, se puede formar una relación que sea función del número de Mach local. Así:

p A 1   po A *  k 1 2  M  1  2  

k k 1

k 1 2   1  M  1  2    k 1 M    2 

k 1 2( k 1)

Flujo compresible

9- 40

p A 1   po A *  k 1 2  M  1  2   p A 1   po A *  k 1  M2 1  2  

Finalmente:

p A 1   po A * M

k k 1  k 1 2( k 1)

 1  1   M  k 1  2

1 2

k 1 2( k 1)

   1 1    k 1  M    2      

k 1 2( k 1)

1 k 1

k  1 2   k  1  k 1  M   1   2    2 

[ 9.37 ]

que normalmente se encuentra tabulada en las tablas de flujo isentrópico. Volviendo la atención a la ecuación [9.33]:  ( k  1)

m 

k 1   po A * 1  2  

K R To

2 ( k  1)

El flujo másico es el flujo másico máximo que el conducto de área variable descarga al medio ambiente. 𝑚̇ √̇ 𝑇𝑜 𝑚á𝑥 𝐴∗

𝑝𝑜

T

= √

𝐾 𝑅

𝑘−1 [1+ ] 2 po2

p0

p01

− (𝑘+1) 2 (𝑘−1)

To

p2

2 p

p1

1 A1*

A2*

A*

T* p*

p1 *

S1

p2* S S

S2

Fig. 9.1.4 Proceso adiabático: ( b) Compresión adiabática

Flujo Adiabático

9- 41

EJEMPLO 9.11: Determinar una expresión para el cálculo del cambio de entropía en función de las presiones de estancamiento. SOLUCION T ds = dh - dp / 

De la 1ra. Y 2da. Ley de la termodinámica:

So2 –So1 = S2 – S1 = ∆S

de la Figura 9.14 :

dSo = ds dho = 0; ho = constante To dso = - dpo / o Ecuación del gas ideal : y

o

. To = po / R

dso = - R ( dpo / po ) So2 –So1 = - R Ln ( po2 / po1 ) = ∆S

También:

po. e

-S/R

= constante

EJEMPLO 9.12: Aire fluye isentrópicamente a través de un ducto circular de área variable. En el punto donde D1 = 34,4 cm, se tiene V1 = 184 m / s, p1 = 574,263 kPa y T1 = 200º C. a. Calcular po, To, o, M, A*, correspondiente al estado 1. b. Calcular el número de Mach, la presión estática en un punto aguas abajo donde D2 = 29,8 cm, si V2 es subsónica y si V2 es supersónica. SOLUCION a) En la sección 1 :

1 

574 263Pa  4, 2303 kg / m3 287,13 J / kg  K x 473K

C1  20,045 473  436 m / s M1 

V1 184   0, 422 C1 436

Usando la relación isentrópica:

To k 1  1 M T 2

2

 po     p 

k 1 k

 o      

k 1

Flujo compresible

9- 42

se tiene: k 1 k

  To k 1 po1  1 0, 422 2    473 2  574, 263 KPa 

   o1  3   4, 2303 kg / m 

k 1

To = 489,85 K Po1 = 649,094 KPa  1 = 4,6171 kg / m 3

A  A*

Usando la ecuación:

Con M1 = 0,422, se obtiene: A1 

Como

 4

k 1 k 1   M 2  2 (k 1) 1  2

1 M

A1 A1*

  

k 1 2

  

()

= 1,52314

A1*  0,0610 m2

→

(0,344) 2  0, 09294 m 2

b) 1

2

1

m

2

m

x

A1 = 0,09294 m2

A1 = 0,09294 m2

A2 = 0,06975 m2

A2 = 0,06975 m2

V2

V2



subsónica



x

supersónica

Se observa que el valor del área A2 = 0,06975 m2, se encuentra en la parte convergente del conducto así como en parte divergente:

Caso de flujo subsónico:

A2 A* En (  ):



0, 06975  1,1434 0, 0610 M 2 = 0,0642

Flujo Adiabático

9- 43

0,4 1,4

 649, 094     p 2 

luego:

 1  0, 2  0, 642 

2

p2 = 491,931 KPa

Caso de flujo supersónico: A2 *

A



0, 06975  1,1434 0, 0610

En (  ):

M 2 = 1,449

 649,094     p 2 

luego:

0,4 1,4

 1  0, 2 1, 449 

2

p2 = 190,276 KPa

9.3.2 FLUJO ADIABATICO REVERSIBLE ( FLUJO ISENTROPICO UNIDIMENSIONAL )

Ecuaciones básicas p/ = RT=

constante.

Ecuación de continuidad:

m  1 V1 A1  2 V2 A2   V A 

constante

Ecuación de energía:

V12 V22 V2 ho  h1   h2   h  constante 2 2 2

Ecuación de impulso:

p1 A1  m V1  p2 A2  m V2  p A  m V  constante

Ecuación de estado para un gas ideal:

Proceso isentrópico:

p



k

 cons tan te



p1



k 1



p2



k 2

constante Segunda ley de la termodinámica:

S1 = S2 = constante

Ahora, para un gas ideal: h  Cp T 

K p k 1 



p

k



Flujo compresible

9- 44

La ecuación de energía queda: p1 V2 p2 V2 K K  1   2 k  1 1 2 k  1 2 2

V22  V12 p p K  ( 1 2 ) 2 k 1 1  2

de la ecuación de continuidad :

y

V2 

V1 

1 1  ( A2 / A1 ) 2 ( 2 / 1 ) 2

proceso isentrópico:

A2 A1

2 V 1 2

p2 1  2 K p1  1    k  1 1  p1 2 

1 / 2  ( p1 / p2 )1/ k k 1  2 K p1  k 1  ( p2 / p1 )  k  1 1  

V2  fc

donde

fc 

1 1  ( A2 / A1 )2 ( 2 / 1 ) 2

es un factor de corrección por aproximación de velocidad. Considerando p/  =R T y condiciones de estancamiento para el punto 1: V = 0; A1  ∞

y V 2 = Vs, velocidad en cualquier sección del conducto, se

tiene que fc = 1 y

V

k 1  2 K R To  k 1  ( p / p )   o k 1  

[9.38]

Flujo Adiabático

9- 45

po 2K k  1 o

V

k 1   k 1  ( p / p )   o  

El flujo másico por unidad de área: 1 m G   V  o ( p / po ) k V A

G  o

2 K RTo k 1

2 k 1   k k ( p / p )  ( p / p )   o o  

[9.39]

Es decir G = G (K, R, To, po, , p)  G = G ( p ) 9.3.2.1

Flujo másico máximo

Para condiciones de reservorio fijadas, G depende de la relación de presiones y tiene un valor máximo para: 2 k dG 2 k 1 0 ( p / po) k  ( p / po) k d ( p / po) k k

1

k



p 2 k 1  ( ) p0 k 1

Para:

[9.40] K

p/po

Aire

1,4

0,5283

Gases en turbina a gas

1,402

0,5279

Vapor sobrecalentado

1,30

0,5457

Vapor saturado

1,135

0,5774

* Vapor húmedo

1,035 + 0,1 x

* Ecuación de Zeuner, válido para pequeñas diferencias de presión entre la entrada y la salida de la tobera. Reemplazando en [9.39]:

Gmax  o

 2 2K R To ( ) k 1  k  1

2 k 1

2  ( ) k 1

k 1 k 1

  

Flujo compresible

9- 46

Gmax  o

2K R 2 To ( ) k 1 k 1

Gmax  o

2K R 2 To ( ) k 1 k 1

2 k 1

Gmax  o

Como.

C* 

2 Co ( ) k 1

2 k 1

2   1  ( k  1 ) 

2 k 1

 k 1   k  1 

1 k 1

2 Co k 1

0 2 k 1  ( ) * k 1 1

G max = * c* = G*

[9.41]

O sea que en una expansión isentrópica, el estado en que se alcanza G màx es el estado crítico.

Aplicando la ecuación de conservación de masa:

m  Gmax A *  G A es evidente que dentro del conducto de área variable, G tendrá su máximo valor en aquella sección donde el área tenga su mínimo, o sea en la garganta, donde reinan las condiciones críticas. Luego:

A min = A* = A G

[9.42]

En conclusión, para que se esté produciendo la máxima descarga, se requiere que se alcance las condiciones críticas en la garganta

Graficando la ecuación ( 9.39 ), la gráfica teórica sería una parábola, pero como para p / po < p* / po el flujo es sónico en la garganta, la onda (señal enviada) creada por una disminución de presión de descarga que viaja con velocidad sónica no puede alcanzar al reservorio y transmitir el mensaje de variar el flujo

Flujo Adiabático

9- 47

másico; y este último, permanece constante ( recta horizontal en el gráfico ), por lo que se dice que el flujo está chocado y alcanzó su máxima descarga.

G Real G máx

Ecuación [9.39]

0

p*/po

1

p/po

Fig. 9.16 : Variación de flujo másico por unidad de área en un flujo isentrópico

Volviendo la atención a la ecuación (9.39):

G  o

2 k 1   k k ( p / p )  ( p / p )   o o  

2 K RTo k 1

k

Con

 0 = po / R To y m G max  max  A*

p 2 k 1  ( ) p0 k 1 k 1

k 2 k 1 ( ) R k 1

p0 T0

se obtiene:

Gmax

T0  p0

mmax A*

T0  p0

k 1

k 2 k 1 ( ) R k 1

[9.43]

Para un gas dado, el máximo flujo másico depende solamente de la relación

po/ To . Si po se duplica, el flujo máximo se duplica, en cambio, si To se duplica Gmàx se reduce en aproximadamente 29%.

Flujo compresible

9- 48

Para aire : k = 1,4, R = 287 J / kg – K T0  0, 0404  p0

Gmax

T0 p0

m A*

[9.44]

Esta ecuación permite establecer el valor del área de garganta ( A* ) para descargar flujo másico máximo cuando las condiciones de estancamiento po, To están dadas. Caso de tanques y reservorios.

P. 9.013: Se desea expansionar isentropicamente aire desde un reservorio que se encuentra a po = 200 kPa y To = 500 K, a través de un conducto convergente divergente circular hasta un número de Mach de salida Ms = 2,5. Si el gasto es de 3 kg / s, calcular: a. El diámetro del conducto en la garganta. b. Las propiedades del flujo en la sección de salida: p, T, V y A. po=200 KPa

T a. Cálculo del diámetro en la garganta: DG Como se trata de un conducto de sección transversal circular, en la garganta se tiene:

AG 

 D G2

500 k=To

[f]

4

Como en la salida se tiene Ms = 2,5; en la garganta se han alcanzado las condiciones críticas, es decir M = 1,0 y AG = A*.

p*

AG

ps As

Ms = 2,5

S

EL flujo másico. m    VA , está dado por:

K m R mmax

p  k 1 2  M A o 1  M  2 To  

K  R

p  k 1  A* o  To  2 

( k 1) 2 ( k 1)

( k 1) 2( k 1)

( ) ( )

..........

Para aire:

mmax A*

To  po

k 1

k  2    R  k 1

k 1

 0,040418

Reemplazando valores: 500 K 3 kg / s  0, 040418 A* 200 000 Pa

A* = 0,0082985 m

2

DG = 10,28 cm

(9.44)

Flujo Adiabático

9- 49

b. Como se conoce el número de Mach en la salida, utilizando la ecuación () , se determina As = 0,021880676 m2

1, 4

3 kg / s 

2,5 AS

J 287,13 kg / K

200 000 Pa  1, 4  1  1 2,5 2   2 500 K  

(1,41) 2(1,41)

( )

As = 0,021880676 m2

y

To p  k 1  1 Ms 2   o  Ts 2  ps 

usando:

k 1 k

 200  500   1  0,2 (2,5) 2   Ts  ps 

k 1 k

pS =

11,706 kPa. Ts = 222,22 K Cs = 298,812 m / s

M

V Vs  2,5  C 298,8

 Vs  747, 03 m / s

P. 9.014: Aire a condiciones de p = 8 bar y T = 1100 K ingresa a un conducto y se expande adiabáticamente y politrópicamente con n = 1,3 hasta la presión de 3,5 bar. Calcular la temperatura, la velocidad y el número de Mach en la sección de salida.

Solución 1

n = 1,3

T

2

To 1

3 kg / s

p2S = p2

p1 = 8 bar T1 = 1100 K

p2 = 3,5 bar

2 2s

S

Proceso politrópico de (1) a (2); y la ecuación de estado:

p



n

 constante n

  p T    1    1  2  p2   2   p 2 T1  p1

n



p    2  T1  p1 

T2

n 1 n

   2 1

Reemplazando valores en (b):

 3,5    1100  8  T2

1,3  1 1,3n

T2 = 908,95 K

   

n1

(b)

Flujo compresible

9- 50

La ecuación de energía: ho  h1  Gas ideal:

V V1  h2  2  constante 2 2

h = Cp T

V2 V1  T2   constante(a) 2 Cp 2 Cp V2 V1 To  1100 K   908,95 K  2 Cp 2 Cp To  T1 

No considerando la velocidad de ingreso a la turbina (V1): También

C2 = 20,045

T2

V2 = 619,53 m / s:

= 604,33 m / s

619,53 = 1,025 604,33 se trata de un flujo supersónico en la salida del conducto.

y

9.3.2.2

9.3.2.1 9.3.4

M2 =

EFECTO DE LA VARIACIÓN DE ÁREA EN LOS FLUJOS SUBSÓNICOS Y SUPERSÓNICOS

LA FUNCION IMPULSO FLUJO EN TOBERAS Y DIFUSORES Ya està màs adelante.

Los conductos en los cuales la velocidad se incrementa, se denominan toberas; y cuando es la presión la que se incrementa, se denominan difusores.

Flujo Adiabático

9.3.3

9- 51

LA FUNCIÓN IMPULSO 2 1

p1 T1 V1

x

p2 T2 V2

En problemas relacionados con propulsión de cohetes es conveniente el empleo de una cantidad denominada función impulso, definida por: I=pA+AV2

[9.50]

Empleando la ecuación de momentum, se tiene: I = ( pA + A V2)

2

- ( pA + A V2) 1

[9.51]

Donde I es la fuerza externa que actúa sobre el conducto para equilibrar la fuerza o empuje producido por la corriente fluida entre las secciones (1) y (2). En este caso I actúa en dirección contraria al flujo.

9- 52

Flujo compresible

Flujo Adiabático

9- 53

9.3.4 FLUJO REAL EN TOBERAS Y DIFUSORES Se han determinado ecuaciones que permiten calcular la sección de garganta de un conducto de área variable que produzca el paso de un flujo de masa especificado, desde unas condiciones de estancamiento a la presión ambiente de un modo isentrópico. Sin embargo, en el caso real existe rozamiento que impedirá trabajar a la tobera en la forma descrita. Este comportamiento isentrópico requiere una corrección (que es pequeña), proveniente de la evidencia experimental desarrollada en varios tipos de toberas o difusores. 9.3.4.1. TOBERAS Se define como un conducto de área variable que, permite a un fluido expansionarse desde alta presión a baja presión; es decir, hay un incremento de velocidad en la dirección del flujo a costa de disminuir la presión. Desde el punto de vista de energía, aquí se convierte energía térmica en energía cinética. 𝑉2 ℎ𝑜 = ℎ + 2

h po1

po2 ho

ec1

1

ℎ𝑜 = ℎ +

h1

𝑉2 2

ec2 ec2S h2

2

h2s p2

2s S

Fig. 9.19 Eficiencia de una tobera Como medida de los efectos de rozamiento en una tobera se usa la eficiencia de la tobera, definida como la relación de la energía cinética real, que sale de la tobera por unidad de masa de flujo, a la energía cinética teórica por unidad de masa de flujo que podía ser alcanzada en una expansión isentrópica para iguales condiciones de entrada y presión de salida.

Flujo compresible

9- 54

De la figura 9.19, se tiene:

 tob

ec 2 V /2 h  h2  ec 1 ho  h2   22   1  0,90 á 0,99 ec 1 ho  h2 s h1  h2 s  ec 1 V2 s / 2 2

Usualmente la energía cinética inicial es relativamente pequeña, de manera que puede no considerarse sin incurrir en error apreciable; es decir ec1 = 0 y: hreal h h  tob  1 2  [9.53] h1  h2 s hs Se define como coeficiente de velocidades a la relación:

 veloc 

 tob

V2  V2 s

[9.54] 2

V2 / 2   Cp T1  T2 s 2





[9.55]

Como la diferencia entre el proceso real y el proceso ideal son los efectos disipativos (irreversibilidades por fricción, choque, etc.), una medida de estos efectos es la diferencia h2 - h2s, que se puede interpretar como la reconversión irreversible de energía mecánica en energía térmica; estos efectos se toman en cuenta definiendo el grado de recalentamiento “y” , dado por :

y 

h2  h2 S h1  h2 S



1

 tob

[9.56]

Así mismo se define el coeficiente de descarga de la tobera:

m r m real Cd   m i sen t m s

[9.57]

Los efectos de rozamiento están limitados, principalmente a la zona divergente de la tobera, y así se usará las formulas anteriores para corregir el área de salida. La geometría restante es fruto de la experiencia generalmente. La parte convergente es corrientemente arbitraria, mientras que la zona divergente tiene una forma que es un acuerdo entre los dos efectos. Una longitud corta implica que el flujo tendrá una componente de la velocidad apreciable en dirección normal a la línea central; esto tiene como consecuencia una pérdida de empuje y por consiguiente no es deseable. En el caso de una sección divergente larga existe menos divergencia, pero hay una desventaja, que tendrá una mayor cantidad de rozamiento en la pared.

Flujo Adiabático

9- 55

9.3.4.2. DIFUSOR Se denomina así al conducto de área variable que comprime a un flujo, convirtiendo su energía cinética en energía de presión. Esto es preciso en los motores a chorro, en los que el aire que ingresa debe ser frenado para lograr una parte de la alta presión necesaria en el motor y permitir a un compresor trabajar adecuadamente para desarrollar un posterior incremento de presión. El difusor es menos efectivo en su comportamiento que una tobera, debido a que existen capas límites más gruesas como resultado del gradiente desfavorable de presión, que producen mayores efectos de rozamiento.

h po1

po2 ho, To ec2

h2

ec2S

2

2s

ec1

h2s p2s

h1

p1

1 S

Fig. 9.19 Eficiencia de un difusor

 Dif 

h S 2



V1 / 2

h 2S  h 1 h 2  h1

 0,75

[9.58]

Usado en túneles aerodinámicos y compresores. La relación de presiones de estancamiento:

 Dif



pO 2 pO 2 S



pO 2

[9.59]

pO 1

El porcentaje de recuperación estática:

C



p2S p 2 S  p1

[9.60]

Usado en difusores de entrada supersónica para motores a chorro o estatorreactores.

9- 56

Tobera de cohete

Fuente: José Agüera Soriano 2012

Fuente: José Agüera Soriano 2012

Flujo compresible

Flujo Adiabático

Fuente: José Agüera Soriano 2012

Fuente: José Agüera Soriano 2012

9- 57

9- 58

Flujo compresible

Flujo Adiabático

9- 59

9.015 : Gas (k= 1,4; R= 287 J/kg-K) a condiciones de temperatura T= 720 °C y presión pabs = 2,5 bar ingresa a la tobera de una turbina a gas. La tobera a la salida tiene un área de 0,014 m² y una presión pabs = 1 bar. Si el 96% del salto isentrópico se convierte en energía cinética: a. Calcular: El flujo másico (kg/h). El número de Mach en la salida de la tobera. b. Calcular el salto de entropía que se produce en la tobera Solución

T

K = 1,4

po1

po2

O1

R = 287 J/kg-K

O2

To ec1

1 T1

993 K

ec2

p1 = 2,5 bar

ec2S p2 = 1,0 bar

T2

2

T2s p2s

2s S

p1 = 2,5 bar

p2 = 1,0 bar

T1 = 993 K

A2 = 0,014 m2

 tob = 0,96 a. El flujo másico:

  m

 1 V1 A 1   2 V2 A 2 ..................[a]

Cálculo de las propiedades del flujo en la sección 2: Sin considerar la energía cinética inicial (ec1):

 tob



gas ideal: h = Cp T , con Cp constante, se tiene:

 tob



T1  T2 T1  T2 s

[b]

h1  h2  h1  h2 s

hreal hs

Flujo compresible

9- 60

No se conocen T2 ni T2s. k 1

Proceso isentrópico:

 p T1   1 T2 s  p 2s

 k  

[c]

1, 4  1

En [b]:

993  2,5  1,4    T2 s  1  993  T2 0,96  993  764, 28



T2 S = 764,28 K

T2 = 773,43 k C2 = 20,045 √ 773,43 = 557,46 m/ s  = 100 000 Pa/ (287 x 773,43) = 0,04505 kg/m3 V2 To  T  Energía: 2 Cp 993  773, 43 

V2 2 1004,5

V2 = 664,17 m /s Reemplazando [a]:

m   0,04505 kg / m3  664,17 m / s  0,014 m2  4,188 kg / s m   15 080 kg / h

S = - R Ln ( po 2 / po 1 )

b . El salto de entropía:

k  1

Proceso isentrópico:

To2 T2

 p o2      p2 

[c]

k

1, 4  1

993  po   2 773, 43  1 

1, 4



po2 = 2,398 bar

S = - 287 x Ln (2,398 / 2,50 ) = 11,95 J / kg - K P. 9.016: Para un difusor de eficiencia constante  determinar una expresión para determinar: a. La presión de salida del difusor en función de la eficiencia, presión y número de Mach en la entrada. b. La eficiencia del difusor en función de la presión de estancamiento en la entrada y salida del difusor.

Flujo Adiabático

9- 61

9- 62

Aplicación: autos de carrera.

Flujo compresible

Flujo Adiabático

9- 63

9.4 LA ONDA DE CHOQUE NORMAL Una pequeña perturbación se propaga en un fluido a la velocidad del sonido, cuando se encuentran ondas más fuertes, que ocasionan cambios rápidos y severos de las propiedades del flujo de una pequeña región del flujo, se dice que se ha formado una onda de choque. En la práctica se puede crear grandes perturbaciones de presión, utilizando un diafragma de acero dentro de un tubo. Cuando la presión es lo suficientemente alta, el diafragma estalla y el choque se propaga a través del tubo. La velocidad de propagación de esta onda de presión es superior a la velocidad del sonido.

Figura Onda de choque generada en un tubo de choque mediante el movimiento de un pistón que se desplaza con una velocidad Vp, en el interior de un gas inicialmente estacionario. En la región sombreada se representa el fluido que está entre la onda de choque y el pistón y que se desplaza con la misma velocidad del pistón

La onda de choque es de un espesor muy pequeño, lo cual hace difícil su estudio, requiriendo entre otras cosas la utilización de la termodinámica de los no equilibrios. En este capitulo se hará un estudio para relacionar las propiedades del flujo antes y después de la onda de choque. Onda de Choque

px Tx

Vx

Vy

x

py Ty

y

Fig. 9.21 Onda de choque normal estacionaria Considere un flujo permanente y uniforme, las variables del flujo antes de la onda de choque se designan por el subíndice “ x ” y con el subíndice “ y ” las variables del flujo después del choque. El proceso de flujo que se produce a

Flujo compresible

9- 64

través de la onda de choque es no isentrópico debido a los efectos de fricción y conducción de calor dentro del choque mismo. Ecuaciones aplicables: Continuidad :

 m  G  A

Impulso :

p X   X VX2  pY  Y VY2

Energía :

V X2 ho  hX   2

Gas ideal :

p  R T

Entropía :

Sy – Sx  0

 X V X   Y VY = constante

VY2 hY  = constante 2

h  Cp T

Sy  Sx  Cv Ln [

p2   2    p1  1 

k 1

]

Considerando que son conocidas las condiciones del flujo antes del choque, las condiciones del flujo después del choque: Ty, py, y, Vy, Sy pueden ser determinadas de estas cinco ecuaciones.

9.4.1. LÍNEA DE FANNO Y LÍNEA DE RAYLEIGH Si se considera un valor de Vy, de la ecuación de continuidad se obtiene y; de la ecuación de energía se obtiene hy; de la ecuación del gas ideal se obtiene Ty, py; finalmente de la ecuación de entropía se obtiene Sy. Repitiendo los cálculos para otros valores de Vy se obtiene, en un diagrama h-s, una curva denominada línea de Fanno. Tomando un valor particular de Vy, de la ecuación de continuidad se obtiene y; de la ecuación de impulso se obtiene py; de la ecuación del gas ideal se obtiene Sy. Repitiendo estos cálculos para otros valores de Vy, se obtiene, en un diagrama h – S, una curva denominada línea de Rayleigh. h h0

Y

ONDA DE CHOQUE

X

FANNO

RAYLEIGH

S

Flujo Adiabático

9- 65

Fig. Línea de Fanno y línea de Rayleigh. La parte inferior de las dos curvas corresponde a una condición en la que M > 1 y la porción superior señala las condiciones en que M < 1. Se demuestra que los puntos de máxima entropía de estas líneas son A y B donde M = 1. Los puntos de intersección de la línea Fanno y la línea Rayleigh constituyen una solución para el conjunto de las ecuaciones dadas. Se observa que el estado inicial “X” es un estado supersónico y el estado final “y” es un estado de flujo subsónico.

9.4.2. RELACIÓN DE PROPIEDADES Como el flujo es adiabático:

Toy = Tox, de manera que

k 1 k 1 M X2 )  To y  T y ( 1  M Y2 ) 2 2

To x  Tx ( 1 

k 1 M X2 2 k 1 1 M Y2 2

1

Ty  Tx

[9.61]

Es conveniente establecer relaciones para las características de flujo a través de la onda de choque sólo en función del número de Mach inicial. De la ecuación de estado y de continuidad: Ty  Tx

py px

py x  y px

Ty  Tx

py

M

px

M x Cx

y

Cy

Vy Vx 

py

My

Ty

px

Mx

Tx

De donde:

py px



Mx My

k 1 2 MX 2 k 1 2 1 MY 2 1

Examinando la ecuación de cantidad de movimiento:

p X   X VX2  pY  Y VY2

[9.62]

Flujo compresible

9- 66

Gas ideal:

 V2 

p M 2 K RT  k p M 2 RT

p x ( 1  k M x2 )  p y ( 1  k M y2 )

py



px

1 k M x2 1  k M y2

[9.63]

Igualando las ecuaciones (9.62) y (9.63) :

Mx

k 1 2 k 1 2 MX M Y 1 MY 2 2  k 1 2 k 1 2 1 MX 1 MY 2 2 1

M y2 

M x2 

2 k 1

2k M x2  1 k 1

[9.64]

Sustituyendo el valor de My en (9.63), y en (9.61), se obtienen: py px



Ty  Tx

2k k 1 M 12  k 1 k 1

 k 1    2k ] M12  [ ] M12  1   1 [ 2    k 1  (k  1)2 [ ] M12 2 (k  1)

[9.65]

[9.66]

La relación de densidades, en términos del número de Mach inicial, se puede encontrar a partir de la ecuación de estado: p / R Ty y  y  x px / R Tx

p y Tx x  px Ty y

Vy x 2  1    1 1  2  Vx y k 1  Mx 

[9.67]

La relación de presiones de estancamiento es una medida de la irreversibilidad del proceso de choque.

Flujo Adiabático

9- 67

poy  pox

poy / py pox / px

poy  pox

py px

k 1 2  1 My py  2  px  1  k  1 M 2 x 2 

    

k k 1

Introduciendo la ecuación (9.65) y (9.64), se obtiene;

poy  oy   pox  ox

k k 1

 k 1 2   2 Mx   k 1 2  1 Mx  2  

 2k k 1  2  k 1 M x  k 1   

1 k 1

[9.68]

El cambio de entropía:  S  So  0  Sy  Sx  S0 y  S0 x  0  S   R Ln ( poy / pox)

Sy  Sx  R

k 1 2   1 2 M x k Ln  k 1 2 k 1  Mx 2 

   2k 1 k 1  Ln  M x2   k  1   k 1  k 1 

[9.69]

La gráfica de esta ecuación se encuentra en la figura 9.23, donde: Para M > 1 M < 1

Sy – Sx > 0 Sy – Sx < 0, contra la segunda ley de la Termodinámica.

Conclusión : El estado inicial de un choque normal será siempre supersónico. Por otro lado, de la ecuación (9.64):

M y2 

M x2 

2 k 1

2k M x2  1 k 1 2

Como Mx > 1 siempre, resulta que M y < 1 Conclusión: El estado final de un choque normal será siempre subsónico.

Flujo compresible

9- 68

oo (+)

(Sy - Sx) / k

Zona posible de choque

(0) 1

2

Mx

(-)

Fig. 9.23 Ecuación (9.69)

En esta gráfica puede verse que el número de Mach inicial Mx es mayor, mayores son los cambios de las propiedades y características del flujo a través de la onda de choque. En estas curvas puede verse que después de la onda de choque existe una temperatura mayor, una presión no perturbada mayor y una presión de estancamiento menor.

RELACION RANKINE -HUGONIOT

Flujo Adiabático

9- 69

EJEMPLO 9.18:

Un tubo de pitot en una corriente supersónica produce una onda de choque, como se muestra en el esquema. Considerando que la prueba es a 0° el ángulo de ataque, y que la onda de choque producida es normal al flujo, y que la prueba está diseñada para medir la presión estática después del choque py. a. Encuentre una expresión para evaluar el número de Mach de la corriente supersónica Mx, en términos de poy, py. b. Conocida Toy, determine la velocidad del flujo antes y después del choque.

My < 1

Mx > 1

py

poy

Considerando flujo isentropico antes y después del choque:

 poy / py 

k 1 k 1 2 1 My k 2

Mx 2  My 2 

[1]

2 k 1

2k Mx 2  1 k 1

[

2]

Flujo compresible

9- 70

EJEMPLO 9.19 : Una explosión en aire, k = 1.4 produce una onda de choque esférica que se propaga radialmente en aire en calma y en condiciones normales. En el instante mostrado en la figura, la presión detrás de la onda es 1380 KPa. a. Calcule la velocidad C de la onda de choque. b. Calcule la velocidad V del aire justo detrás de la onda de choque.

v C

1380 Kpa PUM

Flujo Adiabático

9- 71

9.05.-FUNCIONAMIENTO DE LAS TOBERAS

Una nota sobre chorros libres Se considera chorro libre a un fluido que fluye desde un conducto hacia una zona relativamente grande que contiene fluido, el cual tiene una velocidad respecto al chorro que es paralela a la dirección del flujo en el chorro. En el caso de un fluido que sale de una tobera a la atmósfera con flujo subsónico; se demuestra que la presión de salida ps, para tales flujos, debe de ser la atmósfera que lo rodea.

Vch pa

ps Figura Nº 9.26 : Descarga de chorro subsónico Si ps > pa :

Tendría lugar a una expansión lateral del chorro. Este hecho disminuiría la velocidad del chorro, de acuerdo con la teoría del flujo isentrópico, y, por consiguiente caería necesariamente la presión en el chorro, agravando más la situación. Una continuación de éste efecto seria catastrófico.

Si ps < pa :

Tendría lugar una contracción del chorro de acuerdo con la teoría del flujo isentrópico, y un incremento de velocidad. Esto produciría una disminución posterior en la presión del chorro, agravando de nuevo la situación.

Está claro de que cualquiera de las dos suposiciones nos lleva a esperar una INESTABILIDAD en el flujo del chorro. Puesto que se observa que el chorro subsónico es estable, se puede concluir que la presión del chorro debe ser igual a la presión que lo rodea: ps = pa. Sin embargo, si el chorro emerge supersónicamente, la presión de salida no necesita ser igual a la presión de los alrededores. La presión de salida se ajusta a la presión exterior, mediante una sucesión de ondas de choque y ondas de expansión oblicuas , para el caso bidimensional o de ondas cónicas similares en el caso simétrico tridimensional.

9.5.1.-TOBERA CONVERGENTE Considere que el conducto convergente tiene una área de ingreso bastante grande, sección “o”, y descarga a través de la Sección “s” a un ambiente que se encuentra a la presión pB (denominada contrapresión).

Flujo compresible

9- 72

0

S

B

Vo = 0

m

p0 =Const.

m

pS

To = Const

pB

Constante.

p/po 1,0

O

1 p*/po

I

22 3 II

O

x Figura Nº 9.27 : Tobera subsónica

REGIMEN I

REGIMEN II

1 3

2

pS / po

m To AS po

p*/po

3

2

1

0

p*/po

pB / po

1

0

Figura Nº 9.28 : Funcionamiento de la tobera subsónica

pB / po

1

Flujo Adiabático

9- 73

Los valores de presión y temperatura en la sección “o”, serán constantes, mientras que la presión de contrapresión PB será variable mediante una válvula. Analizaremos el efecto de la variación de pB sobre la distribución de presión a lo largo de la tobera. O: La presión pB es igual a po. La presión a lo largo del conducto es igual a po . M=o

pB = po

m

=0

ps=pB

1: Al disminuir ligeramente PB con respecto a Po., se tiene un flujo a lo largo del conducto, con características subsónicas. MS < 1

< p*/ po< PB / Po pB/po

Una explicación: Cuando se establecen condiciones sónicas en la garganta, el fluido en ésta región se está moviendo corriente abajo, tan veloz como la propagación de la presión puede moverse corriente arriba. De aquí que, las variaciones de presión resultantes de adicionales descensos de la presión posterior (pB) no puedan “comunicarse” hacia arriba a través de la garganta, la cual está actuando como una barrera. Por ello en éstas condiciones no pueden producirse cambios delante de la garganta . Cuando pB se reduce de nuevo, la presión del chorro continua permaneciendo en la presión critica en la salida de la tobera; existe ahora una diferencia de presión entre el chorro y los alrededores, condición solamente posible en un chorro libre cuando el flujo tiene un Mach igual o mayor que la unidad. Tiene lugar en el chorro un ajuste a la presión ambiente por medio de una serie de ondas de expansión. Los descensos posteriores de presión, producen solamente un aumento de la intensidad de las ondas de expansión Se observa de este modo, que una tobera convergente puede actuar como una válvula de corte, permitiendo solamente un cierto flujo másico máximo, para un conjunto dado de condiciones de estancamiento (po, To); como se vió al analizar la ecuación (9.44)

Flujo compresible

9- 74

RESUMEN:

Régimen I

Régimen II

pB / po > p* /po

pB / po < p*/ po

ps / po = pB / po

ps / po = p*/ po

m = f (po, To) < m máx

m = m máx

EJEMPLO 9.020: El aire de un tanque a 120 kPa y 300 K se descarga a la atmosfera (p atm) a través de una tobera convergente que tiene un área de salida igual a 5 cm 2.

a. Determine la descarga del aire en kg/h, cuando la presión atmosférica: p atm es igual a 101,325 kPa. b. Determine el flujo másico de aire que se descarga si la presión atmosférica es de 100 kPa, 90 kPa, 80 kPa y 70 kPa. c. Determine el flujo másico máximo que puede descargar la tobera, y cuál es la presión atmosférica que hace posible esta descarga máxima. d. Determine la presión patm, si se quiere una descarga de aire igual a 0,125 kg / s. e. Demuestre que el empuje de un motor cohete en el vacío viene dado por:

E

po As (1  k Ms 2 ) (1 

k 1 Ms 2 ) 2

k k 1

Donde, As es el área de salida; Ms es el número de Mach en la salida; po es la presión de remanso (estancamiento) en la cámara de combustión

NOTE: que la temperatura de estancamiento no afecta al empuje.

Flujo Adiabático

9- 75

PROBLEMA:

TOBERA CONVERGENTE

OBJETIVO:

Determinar las propiedades del flujo en la sección de salida Determinar el flujo másico que descarga la tobera Determinar la fuerza del chorro subsónico

DATOS: Fluido:

R=

287,13 J / kg K

k=

1,4

A= po = To = Vo =

120 KPa 300 k 0

o =

1,3931 kg/m3

5 cm

m

2

pB =

101,325 KPa

ps = Ts = s = Flujo Adiabático Reversible 273 =1+

Ts ANÁLISIS

k-1

Ms

2

=

2

120

ps

=

1,3931

s

CÁLCULOS

ps/po = pB/po = 0,84438 p*/po =

0,528282

(ps > p* =>) Descarga subsónica Ms = 0,4976 ps = 101,33 KPa Ts = 285,85 K Ts =

12,845 °C

Cs =

338,98 m/s

Vs =

168,67 m/s

rs =

1,2345 kg / m 3

El flujo másico. 0,1041 kg/s La fuerza del chorro: F=

0 +

17,5609

17,561 N

RESPUESTA El flujo másico que descarga la tobera es de: La fuerza del chorro:

0,1041 kg/s 17,5609 N

Flujo másico máximo

Flujo compresible

9- 76

p atm [kPa] m [kg/s] I [N]

100

95

90

85

80

75

70

65

60

55

50

0,1070 0,1163 0,1237 0,1295 0,1339 0,1371 0,1390 0,1399

0,14 0,14 0,14 18,052 19,788 21,323 22,641 23,728 24,654 25,127 25,392 25,41 25,41 25,41

para p atm