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• Juan Bautista Mercado Pérez

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127

CAPITULO 7

OPERADORES DIFERENCIALES

GRADIENTE

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7.1

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Las leyes físicas que rigen el comportamiento mecánico y termodinámico de los medios continuos se pueden formular como ecuaciones diferenciales parciales. Lo mismo podemos decir sobre las leyes de Maxwell del electromagnetismo y las de la mecánica cuántica en la representación de Schródinger. En estas ecuaciones diferenciales figuran ciertas combinaciones especiales de las derivadas de los campos físicos, las cuales conocemos con los nombres de gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano. El estudio de estos operadores diferenciales es el objetivo del presente capítulo.

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Consideremos el siguiente problema: dado un campo tensorial Tij...n(x, y, z) y un punto P(xo, yo, zo) de su dominio, ¿cuál es la tasa de variación del campo con la distancia medida lo largo de una dirección cualquiera del infinito de direcciones que emanan de P? (Fig.l). La respuesta la proporciona el cálculo diferencial. Consideremos por A simplicidad un campo escalar (p(x, y, z) y / denotemos el valor de 9 en el punto P / , -• mediante cualquiera de las notaciones P

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q>(xo,yo,zo)

d c p ^ l dx + f ^ ax

Formalmente pondremos