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IND – 411 ESTADISTICA INFERENCIAL Docente: Ing. Marcelino Aliaga L.

CAP. 1 INTRODUCCION A LOS MODELOS ECONOMETRICOS

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Capitulo 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES Objetivo.Introducir al alumno en los conceptos básicos sobre las variables aleatorias discretas y continuas, las distribuciones de probabilidad, las medidas numéricas de las variables aleatorias y la utilización de estas distribuciones para resolver problemas prácticos. ESTADISTICA INFERENCIAL

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Cap. 1: Contenido Analítico 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9.

Introducción Conceptos Básicos Variables Aleatorias Multidimensionales Distribución de Probabilidades Conjuntas y Acumuladas de Variables Aleatorias Discretas y Continuas Distribuciones Marginales Distribuciones Condicionales Distribución Uniforme Distribución Polinomial Momentos Potenciales Ordinarios

ESTADISTICA INFERENCIAL

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Cap. 1: Contenido Analítico 1.10. Momentos Potenciados Centrados 1.11. Función Generatriz de Momentos 1.12. Función Característica 1.13. Independencia 1.14. Regresión y Coeficiente de Correlación 1.15. Covarianza y Matriz de Covarianza 1.16. Variables Aleatorias con Distribución Idéntica 1.17. Funciones Lineales de Variables Aleatorias

ESTADISTICA INFERENCIAL

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1.1. Introducción La Estadística se puede definir:

CIENCIA

ENCARGADA

• Reunir • Organizar • Presentar • Analizar • Interpretar datos

CON EL FIN DE OBTENER

• INDICES • INDICADORES • ESTADIGRAFOS • ESTIMADORES • MEDIDAS RESUMEN • MEDIDAS DE CONCLUSION

“La Estadística es la ciencia que estudia como debe emplearse la información y dar una guía de acción en situaciones practicas que envuelven incertidumbre” ESTADISTICA INFERENCIAL

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.1. Introducción El proceso de investigación estadística consiste en: PROBLEMA TOMA DE DATOS ORGANIZACIÓN DE DATOS ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN CONCLUSIONES Y DECISIONES

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.1. Introducción Estadística Descriptiva.- Es la parte de la estadística encargada de extraer y organizar los datos procedentes de un determinado conjunto de observaciones, mediante: • El cálculo e interpretación de los estadígrafos de posición como: media aritmética, mediana y moda. • El cálculo e interpretación de los estadígrafos de dispersión: rango, varianza y desviación estándar. • El cálculo e interpretación de los estadígrafos de asimetría y apuntamiento. • La representación gráfica de los datos. ESTADISTICA INFERENCIAL

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.1. Introducción Estadística inferencial.- Es la parte de la estadística que trata de estimar las características poblacionales desconocidas, examinando la información obtenida de una muestra, de una población. POBLACION

Calculo Probalilidades

Inferir Resultados MUESTRA

MUESTRA

Toma de Muestra

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ESTIMACION Muestreo

CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.1. Introducción PROCESO CLAVE DE LA INFERENCIA ESTADISTICA

muestra

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CONCLUSIONES

ESTUDIO ESTADISTICA INFERENCIAL

Población

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.1. Introducción Proceso Inferencial:

Calculo de Probabilidades

Muestreo INFERENCIA ESTADISTICA

POBLACION

MUESTRA

PARAMETRO

ESTADISTICO

ESTIMACION

DOCIMA DE HIPOTESIS

MODELO ESTADISTICO

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CONTROL

PREDICCION

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TOMA DE DECISIONES

CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.2. Conceptos Básicos Experimento Aleatorio (E).Es un proceso perfectamente entendido cuyo resultado se puede observar; pero por el contrario, su valor no se puede determinar anticipadamente. Espacio Muestral (S, Ω, U).Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

•Espacio Discreto.- Si es numerable. •Espacio Continuo.- Si no es numerable ESTADISTICA INFERENCIAL

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.2. Conceptos Básicos Evento o Suceso (e).- Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Suceso Elemental.- es cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio; es decir, un suceso elemental consta de un solo elemento del espacio muestral. Suceso Compuesto.- Es el que consta de dos o mas sucesos elementales.

Suceso Seguro.- Es aquel que ocurre siempre. Suceso Imposible.- Es aquel que no ocurre nunca. ESTADISTICA INFERENCIAL

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.2. Conceptos Básicos

m p(A) = lím n → n ESTADISTICA INFERENCIAL

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1.2. Conceptos Básicos iii) Basado en la Verosimilitud.- La probabilidad de ocurrencia de un evento A es la verosimilitud (grado de verdad) que se le asigna a dicho evento. Por lo tanto, un mismo evento puede tener mas de una probabilidad. p(A) = ? iv) Basado en una Función Real Valorada.- La probabilidad de un evento P(A), se define como la función P que asigna a cada evento A del espacio muestral S un valor numérico P(A), verificando que mínimamente se cumplan los siguientes Axiomas de Kolmogórov: P(A)=# ESTADISTICA INFERENCIAL

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.2. Conceptos Básicos 1) No negatividad: p(A) ≥ 0 2) Normalización: p(Ω) = 1 3) Aditividad: p(A ∪ B) = p(A) + p(B), Si A ∩ B = Ø Teoremas Complementarios a los Axiomas: i. ii. iii. iv. v. vi. vii.

p(Ø) = 0 0≤p(A)≤1 p(AՍB)=p(A)+p(B)-p(AՌB) p(Ac )= 1 - p(A) Si A  B  p(A)  p(B) Si A  B  P(B-A) = p(B) - p(AB) p(Ai)   p(Ai)

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.3. Variables Aleatorias Multidimensionales i) Se denomina variable aleatoria X a la función que asocia a cada resultado del espacio muestral S de un experimento aleatorio E un valor numérico real. S=Ω

X :S →

S1

e → X (e )

S2 S3

X(Si)

S4

R

4 ….. 1 0 2132 43 ……. ESTADISTICA INFERENCIAL

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.3. Variables Aleatorias Multidimensionales Ejemplo.- Un experimento consiste en lanzar 3 monedas.

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.3. Variables Aleatorias Multidimensionales Características: 1. Dominio.2. Rango.3. Variable Discreta.4. Variable Continua.Si A es un subconjunto de X, entonces la: P(A)=P(X=A) = P(s ϵ Ω/X(s) ϵ A) La función de X(s) caracteriza a la probabilidad p. ESTADISTICA INFERENCIAL

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.3. Variables Aleatorias Multidimensionales Propiedades: 1. Si X es una variable aleatoria definida sobre S, y c es una cte. Cualquiera; c·X es una v. a. sobre el mismo espacio. 2. Si X e Y son dos v. a., su suma X+Y y su producto X·Y son también variable aleatoria. 3. En general, cualquier función medible de v. a. es también una variable aleatoria. ESTADISTICA INFERENCIAL

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.3. Variables Aleatorias Multidimensionales ii) Una variable aleatoria bidimensional (X, Y) es una aplicación del espacio muestral S en R2=R×R X •Y

S → • =  w → ( X ( w),Y ( w)) 2

Sea E un experimento aleatorio y S un espacio muestral asociada a él. Sean X: S→R, Y: S→R, que a cada resultado w ϵ S le asigna el par de números reales (x, y). Entonces (X, Y) son v. a. bidimensionales.

Por lo tanto, cada componente de la variable aleatoria bidimensional es una variable aleatoria unidimensional. ESTADISTICA INFERENCIAL

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.3. Variables Aleatorias Multidimensionales Ejemplo.- Un experimento consiste en lanzar una moneda 3 veces. Si las variables aleatorias se definen como X=“Numero de caras en las tres tiradas” e Y=“Diferencia en valor absoluto entre el numero de caras y el sello en las tres tiradas”.

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.3. Variables Aleatorias Multidimensionales iii) En el caso multidimensional, si se tiene: →

X = (X1 , X 2 ,.......,X n ) Es un vector que pertenece al espacio muestral S cuyas funciones también están definidas en S; entonces el vector X recibe el nombre de variable aleatoria multidimensional X 1 • X 2 •...• X n

S →  •  • ....•  =  w → ( X 1 ( w), X 2 ( w).....X n ( w)) ESTADISTICA INFERENCIAL

n

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1.4.1. Distribución de Probabilidad Conjunta i) Caso Discreto Bi-variante.- Sean X e Y variables aleatorias discretas. Su función de masa conjunta (cuantía), es la función p(x, y) que expresa la probabilidad simultanea de que X tome el valor x e Y tome el valor y: p(x, y) = P(X = x, Y = y)

Propiedades: a) p(x, y) = P(X = x, Y = y)  0 x, y b)  p(x, y) = 1 x ESTADISTICA INFERENCIAL

y

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1.4.1. Distribución de Probabilidad Conjunta ii) Caso Discreto Multivariante.- Sea X = (x1 , x 2 ,.....,x n ) un vector aleatorio discreto. Su función de masa conjunta (cuantía), es la función p(x1, x2,…….., xn) que expresa la probabilidad simultanea de que X1 tome el valor x1, X2 tome el valor x2,……, Xn tome el valor xn: p(x1, x2,…….., xn) = P(X1=x1, X2=x2,……, Xn=xn) Propiedades: a) p(x1 , x 2 ,.....,x n ) = P(X1 = x1 , X 2 = x 2 ,.....,X n = x n )  0 x i b)  ...... p(x1 , x 2 ,.....,x n ) = 1 x1

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x2

xn

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.4.1. Distribución de Probabilidad Conjunta Ejemplo.- Se lanzan dos dados y se definen las variables aleatorias suma (S) y diferencia en valor absoluto (D) de los resultados. a) Encontrar la distribución conjunta. b) Las distribuciones marginales. c) La distribución de la diferencia entre los dados condicionada a que la suma sea 8. d) Ambas variables son independientes?.

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1.4.1. Distribución de Probabilidad Conjunta iii) Caso Continuo Bi-variante.- Sean X e Y variables aleatorias continuas. Su función de densidad conjunta f(x, y), es la función que debe cumplir con las siguientes propiedades:

a) f(x, y)  0 x, y b)



f(x, y)dydx = 1 

RxRy ESTADISTICA INFERENCIAL

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.4.1. Distribución de Probabilidad Conjunta iv) Caso Continuo Multivariante.- Sea X = (x1 , x 2 ,.....,x n ) un vector aleatorio continuo. Su función de densidad conjunta f(x1, x2,…….., xn), es la función que debe cumplir con las siguientes propiedades:

a) f(x1 , x 2 ,.......xn )  0 x i b)

 

......  f(x1 , x 2 ,.......xn )dx n .......dx2dx1 = 1

R x1 R x 2 ESTADISTICA INFERENCIAL

R xn CELD@

CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.4.1. Distribución de Probabilidad Conjunta Ejemplo.- Sean X e Y dos variables aleatorias continuas con función de densidad conjunta: x+y

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

0

e. o. l.

f(x, y) =

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1.4.2. Distribución de Probabilidad Acumulada i) Caso Discreto Bi-variante.- Para cualquier variable aleatoria bidimensional discreta (X, Y), se define la función de distribución acumulada bidimensional como: x

y

t1

t2

a

b

x

y

P(x, y) = p(X  x, Y  y) =  p(t1 , t 2 )

En particular: P(a, b) = p(X  a, Y  b) =  p(x, y)

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1.4.2. Distribución de Probabilidad Acumulada ii) Caso Discreto Multivariante.- Para cualquier vector aleatorio multidimensional discreto X = (x1 , x 2 ,.....,x n ) , se define la función de distribución acumulada multidimensional como: P(x1 , x 2 , .......,x n ) = p(X1  x1 , X 2  x 2 ,.......,X n  x n ) x1

x1

xn

t1

t2

tn

P(x1 , x 2 , .......,x n ) =   ....... p(t1 , t 2 ,........,t n )

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1.4.2. Distribución de Probabilidad Acumulada iii) Caso Continuo Bi-variante.- Para cualquier variable aleatoria bidimensional continua (X, Y), se define la función de distribución acumulada bidimensional como: x y

F(x, y) = f(X  x, Y  y) =

  f(t , t 1

2

)dt 2 dt1

- -

Propiedades:

a) F(-,-) = F(-, y) = F(x, - ) = 0 b) F(, ) = 1 2 c) f(x, y) = F(x, y) xy

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1.4.2. Distribución de Probabilidad Acumulada iv) Caso Continuo Multivariante.- Para cualquier vector aleatorio multidimensional continuo X = (x1 , x 2 ,.....,x n ) , se define la función de distribución acumulada multidimensional como: F(x1 , x 2 , .......,x n ) = f(X1  x1 , X 2  x 2 ,.......,X n  x n ) F(x1 , x 2 , .......,x n ) =

x1 x 2

  ...... f(t , t 1

- -

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xn

2

,......,t n )dt n ......dt2 dt1

-

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1.5. Distribuciones Marginales i) Caso Discreto Bi-variante.- Sean (X, Y) v. a. b. con distribución de cuantía conjunta p(x, y); entonces, la función de probabilidad marginal de X, Y esta definida como :

p1 (x) = p x (x) =  p(x, y) y

p 2 (y) = p y (y) =  p(x, y) x

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1.5. Distribuciones Marginales ii) Caso Discreto Multivariante.- Sea p(x1, x2, …….., xn) una función de cuantía n-dimensional, se define la función de probabilidad marginal para cualquier subconjunto de variables (xi1, xi2, ……., xit) como:

pi1,i2,......,it (xi1 , x i2 ,......,x it ) =  ...... p(x1 , x 2 ,.......,x n ) x1

x2

xn

Donde la suma se extiende a todos los valores excepto los elementos del subconjunto (xi1, xi2, ……., xit) ESTADISTICA INFERENCIAL

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.5. Distribuciones Marginales iii) Caso Continuo Bi-variante.- Sean (X, Y) v. a. b. con función de densidad conjunta f(x, y); entonces, la función de probabilidad marginal de X, Y esta definida como:

f1 (x) = g x (x) =  f(x, y)dy Ry

f 2 (y) = h y (y) =  f(x, y)dx Rx

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.5. Distribuciones Marginales iv) Caso Continuo Multivariante.- Sea f(x1, x2, …….., xn) una función de densidad n-dimensional, se define la función de probabilidad marginal para cualquier subconjunto de variables (xi1, xi2, ……., xit) como: f i1,i2,......,it (xi1 , x i2 ,......,x it ) =

  ......  f(x , x 1

R X1 R X2

2

,.......,x n )dx n .......dx2 dx1

R Xn

Donde la integral se extiende a todos los valores excepto los elementos del subconjunto (xi1, xi2, ……., xit) ESTADISTICA INFERENCIAL

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1.6. Distribuciones Condicionales i) Caso Discreto Bi-variante.- Sean (X, Y) v. a. b. con distribución de cuantía conjunta p(x, y) y cuantías marginales px(x),py(y); entonces, la función de probabilidad condicional de X, Y esta definida como :

p(x, y) p(X = x, Y = y) p(x y) = p(X = x Y = y) = = p y (y) p y (Y = y) p(x, y) p(X = x, Y = y) p(x y) = p(X = x Y = y) = = p y (y) p y (Y = y) ESTADISTICA INFERENCIAL

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1.6. Distribuciones Condicionales ii) Caso Discreto Multivariante.- Sea p(x1, x2, …….., xn) una función de cuantía n-dimensional de X = (x1 , x 2 ,.....,x n ) , se define la función de probabilidad condicional para dos subconjuntos disjuntos de variables (xi1, xi2, ……., xis) y (xj1, xj2, ……., xjt) como:

p(x1 , x 2 ,...xn ) p(x i1 , x i2 ,...xis x j1, x j2 ,...xjt ) = p x j1, x j2 ,...x jt (x j1, x j2 ,...xjt ) ESTADISTICA INFERENCIAL

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1.6. Distribuciones Condicionales iii) Caso Continuo Bi-variante.- Sean (X, Y) v. a. b. con distribución de densidad conjunta f(x, y) y densidades marginales fx(x), fy(y); entonces, la función de probabilidad condicional de X, Y esta definida como :

f(x, y) f(x y) = f y (y) f(x, y) f(y x ) = f x (x) ESTADISTICA INFERENCIAL

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.6. Distribuciones Condicionales iv) Caso Continuo Multivariante.- Sea f(x1, x2, …….., xn) una función de densidad n-dimensional de X = (x1 , x 2 ,.....,x n ) , se define la función de probabilidad condicional para dos subconjuntos disjuntos de variables (xi1, xi2, ……., xis) y (xj1, xj2, ……., xjt) como:

f(x1 , x 2 ,...xn ) f(x i1 , x i2 ,...xis x j1, x j2 ,...xjt ) = f x j1, x j2 ,...x jt (x j1, x j2 ,...xjt ) ESTADISTICA INFERENCIAL

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1.7. Distribución Uniforme 1 a) f(x) = b-a

axb

1 b) f(x, y) = Area

a  x  b, c  y  d

1 c) f(x, y, z) = Volumen

a  x  b, c  y  d, e  z  f

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1.8. Distribución Multinomial Esta asociada con las pruebas repetidas de un suceso con mas de dos resultados posibles. En general, suponemos que hay k resultados posibles de un suceso aleatorio y designamos las probabilidades respectivas de estos resultados p1, p2,……, pk; entonces, debe verificarse que: n! p(X1 = x1 , X 2 = x 2 ,......,X k = x k ) = p1x1 p 2x 2 .......pkx k x1!, x 2!,...xk ! k

x

i

=n

i ESTADISTICA INFERENCIAL

k

 p(X ) = 1

E[X i ] = npi

i

V[X i ] = npi (1 − pi )

i

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.9. Momentos Potenciales Ordinarios i) Valor Esperado.- Mide el rendimiento o el valor que esperamos en promedio de los valores correspondientes a todos los resultados posibles ponderada por las función de probabilidad. Sea g(x1,x2,……, xn) una función de las variables aleatorias que tienen función de probabilidad: p(x1,x2,……, xn) (f (x1,x2,……, xn)). Entonces, se define el valor esperado como: Eg(x1 , x 2 ,......,x n ) =  ...... g(x1 , x 2 ,......,x n )p(x1 , x 2 ,......,x n ) x1

Eg(x1 , x 2 ,......,x n ) =

xn

  ........ g(x , x 1

R1 R 2 ESTADISTICA INFERENCIAL

x2

2

,......,x n )f(x1 , x 2 ,......,x n )dx n ......dx2 dx1

Rn

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.9. Momentos Potenciales Ordinarios Propiedades del Valor Esperado: i. ii. iii. iv. v. vi.

_EkX  = kEX  _Ek  = k _EaX + b = aEX  + b _EX + Y = EX  + EY  _EX - Y = EX- EY _EXY  = EXEY

ESTADISTICA INFERENCIAL

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.9. Momentos Potenciales Ordinarios ii) Valor Esperado Condicional.- Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional o dos subconjuntos aleatorios multidimensional. Se define el valor esperado condicional como:

EX/Y =  xp(x y) x

EX/Y =

 xf(x

y)dx

Rx

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.9. Momentos Potenciales Ordinarios iii) Momentos Ordinarios Bivariantes.- Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional, y (r, s) números naturales. Se llama momento de orden (r, s) al valor, cuando existe (es decir si la suma que lo define o la integral que converge):



mrs = E Xr Ys



m rs =  x r ys p(x, y) x

m rs =

y

  x y f(x, y)dydx r

s

RxRy ESTADISTICA INFERENCIAL

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.9. Momentos Potenciales Ordinarios iv) Momentos Ordinarios Multivariantes.- Sea un vector aleatorio multidimensional, X = (X 1 , X 2 ,......, X n ) y (r1 , r2 ,......, rn ) números naturales. Se llama momento ordinario multivariante al valor, cuando existe (es decir si la suma que lo define o la integral que converge):



mr1r2 ......rn = E X1r1 Xr22 ......Xrnn



m r1r2 ......rn =  ...... x1r1 x r22 ......xrnn p(x1 , x 2 ,......,x n ) x1

m r1r2 ......rn =

x2

  ........ x R1 R 2

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xn r1 1

r2 2

rn n

x ......x f(x1 , x 2 ,......,x n )dx n ......dx2 x1 )

Rn CELD@

CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.10. Momentos Potenciales Centrados i) Momentos Centrados Bivariantes.- Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional, y (r, s) números naturales. Se llama momento centrado de orden (r, s) al valor, cuando existe (es decir si la suma que lo define o la integral que converge):



μ rs = E (X - X ) (Y - Y ) r

s



μ rs =  (x - x ) (y - y ) p(x, y) r

x

μ rs =

s

y

  (x - x ) (y - y ) f(x, y)dydx r

s

RxRy ESTADISTICA INFERENCIAL

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CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

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1.10. Momentos Potenciales Centrados ii) Momentos Centrados Multivariantes.- Sea un vector aleatorio multidimensional, X = (X 1 , X 2 ,......, X n ) y (r1 , r2 ,......, rn ) números naturales. Se llama momento centrado multivariante al valor, cuando existe (es decir si la suma que lo define o la integral que converge):



μ r1r2 ......rn = E (X1 − X1 ) (X 2 − X2 ) ......(X n − Xn ) r1

r2

rn



μ r1r2 ......rn =  ...... (x1 − x1 ) (x 2 − x 2 ) ......(x n − x n ) p(x1 , x 2 ,......,x n ) r1

x1

μ r1r2 ......rn =

x2

r2

rn

xn

1 2 n ( ) ( ) ( ) ........ x − x x − x ...... x − x f(x1 , x 2 ,......,x n )dx n ......dx2 x1 ) n n   1 1 2 2

r

R1 R 2 ESTADISTICA INFERENCIAL

r

r

Rn CELD@

CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

49

IND - 411

1.11. Función Generatriz de Momentos Se define como:





M x, y (t, μ ) = E e tx +μy =  e tx +μy p(x, y) x



  e

M x, y = E e tx +μy =

y tx + μy

f(x, y)dydx

RxRy





M x1 ,x 2 ,......,x n (t1 , t 2 ,......,t n ) = E e t1x1 + t 2 x 2 +......+ t n x n = ...... e t1x1 + t 2 x 2 +......+ t n x n p(x1 , x 2 ,......,x n ) x1 x 2



xn



M x1 ,x 2 ,......,x n (t1 , t 2 ,...,t n ) = E e t1x1 + t 2 x 2 +......+ t n x n =   ...  e t1x1 + t 2 x 2 +......+ t n x n f(x1 , x 2 ,...,x n )dx n ...dx2 x1 ) R1 R 2 ESTADISTICA INFERENCIAL

CELD@

Rn CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

50

IND - 411

1.11. Función Generatriz de Momentos Propiedades: i. Si M _ x (t ) es la f.g.m. de x; además si a y b son constantes ≠ 0, entonces: at t M x +a (t ) = e M x  ; → b  0 b b b

ii. Si existe una f.g.m. infinitamente derivable, entonces se tiene:  r +s m rs =

ESTADISTICA INFERENCIAL

t μ r

s

M x, y (t, μ )l t =0,μ =0

CELD@

CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

51

IND - 411

1.12. Función Característica Se define como:





φ x, y (t, μ ) = E ei(tx +μy ) =  ei(tx +μy )p(x, y) x



  e

φ x, y = E e i(tx +μy ) =

y i(tx + μy )

f(x, y)dydx

RxRy





φ x1 ,x 2 ,......,x n (t1 , t 2 ,......,t n ) = E ei(t1x1 + t 2x 2 +......+ t n x n ) = ...... ei(t1x1 + t 2 x 2 +......+ t n x n ) p(x1 , x 2 ,......,x n ) x1 x 2



xn



φ x1 ,x 2 ,......,x n (t1 , t 2 ,...,t n ) = E ei(t1x1 + t 2 x 2 +......+ t n x n ) =   ...  ei(t1x1 + t 2 x 2 +......+ t n x n ) f(x1 , x 2 ,...,x n )dx n ...dx2 x1 ) R1 R 2 ESTADISTICA INFERENCIAL

CELD@

Rn CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

52

IND - 411

1.13. Independencia Se dice que dos variables (X,Y) son independientes si se verifica que las siguientes propiedades: i. ii. iii. iv. v. vi.

_p(x, y) = px (x)py (y) f(x, y) = f1 (x)f 2 (y) p(y x ) = p y (y) _p(x y ) = p x (x) f (y x ) = f 2 (y) _f (x y ) = f1 (x) _Ex, y = Ex Ey _Mx + y (t ) = Mx (t )My (t ) _Vx + y = Vx  + Vy

ESTADISTICA INFERENCIAL

CELD@

CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

53

IND - 411

1.14. Covarianza Para dos variables (X,Y) se define la covarianza como: Cov(X,Y) = E( X − μ X )(Y − μY ) Cov(X,Y) = EXY  − EX EY 

Propiedades: i. Si X,Y son independientes  _ Cov( X , Y ) = 0 ii. _VX + Y = VX + VY  2Cov (X, Y ) iii. _μ11 = m11 − m10 m01 iv. _ Cov( X , Y ) =  V X V Y  ESTADISTICA INFERENCIAL

CELD@

CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

54

IND - 411

1.15. Matriz de Covarianza

 La matriz de covarianza para un vector X = (X 1 , X 2 ,......, X n )  Se define como: V X = E ( X-μ)( X-μ)T

 

V11 V  V X =  21    Vn1

 

V12 V22  Vn 2

ESTADISTICA INFERENCIAL

... ... ... ...





V1n   11   V2 n   21 =       Vnn   n1

CELD@

 12  22 

 n2

... ... ... ...

 1n    2n 

    nn 

CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

55

IND - 411

1.16. Medida de Asociación Lineal i. Regresión.- Se define la regresión de una variable X sobre otra Y al valor medio de la primera condicionada a un cierto valor de la segunda: E y x  = 1 (x) = a + bx Ex y  = 2 (y) = c + dy

20

m01 = a + bm10

m11 = am10 + bm20

ESTADISTICA INFERENCIAL

CELD@

11 ˆ b=

11 aˆ = m01 − m10 20

CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

56

IND - 411

1.16. Medida de Asociación Lineal ii. Correlación.- Se define como la medida de la asociación existente entre (x,y); mediante el siguiente coeficiente: Cov( x, y ) 11 = = V xV  y   20 02 -1

ρ ρ ρ ρ ρ

= ˃ = ˂ =

-0,5

0

0,5

1

1 Directamente proporcional perfecto. 0 Directamente proporcional. 0 Incorrelación. 0 Inversamente proporcional. -1 Inversamente proporcional perfecto.

ESTADISTICA INFERENCIAL

CELD@

CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

57

IND - 411

1.17. Media y Varianza de Variables Aleatorias Propiedades:

i. ii. iii. iv. v. vi.

_EX  Y = EX  EY _VX  Y = VX + VY  Cov(X, Y) _EX1 + X 2 + ...... + X n  = EX1  + EX 2  + ...... + EX n  _EX1 − X 2 − ...... − X n  = EX1  − EX 2  − ...... − EX n  _VX1 + X 2 + ...... + X n  = VX1  + VX 2  + ...... + VX n  _VX1 - X 2 − ...... − X n  = VX1  + VX 2  + ...... + VX n 

ESTADISTICA INFERENCIAL

CELD@

CAP. 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

58