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• CamilaAndreaGrijalba

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CAPÍTULO 15

CARACTERÍSTICAS, APLICACIONES Y PROCESAMIENTO DE POLÍMEROS

SOLUCIONES DE PROBLEMAS

Comportamiento de Estrés-Deformación 15.1 A partir de los datos de tensión-deformación para poli(metacrilato de metilo) mostrados en la figura 15.3, determinar el módulo de elasticidad y la resistencia a la tracción a temperatura ambiente[20°C (68°F)], y comparar estos valores con los indicados en la Tabla 15.1. Solución De la figura 15.3, el módulo elástico es la pendiente en la región lineal elástica de la curva 20C, que es E=

tensión)

30 MPa 0 MPa = = 3.3 GPa (483, 000 psi) (deformación)9 103 0

El rango de valores citado en la Tabla 15.1 es de 2,24 a 3,24 GPa (325.000 a 470.000 psi). Por lo tanto, el valor trazado está un poco en el lado alto. La resistencia a la tracción corresponde a la tensión a la que termina la curva, que es de 52 MPa (7500 psi). Este valor se encuentra dentro del rango citado en la Tabla 15.1-48.3 a 72.4 MPa (7000 a 10,500 psi).

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

15.2

Calcular los módulos elásticos de los siguientes polímeros, cuyos comportamientos tensión-

deformación se pueden observar en el módulo "Ensayos de tracción" de Virtual Materials Science and Engineering (VMSE): a) polietileno de alta densidad, b) nylon y c) fenol-formaldehído (baquelita). ¿Cómo se comparan estos valores con los presentados en la Tabla 15.1 para los mismos polímeros? Solución El módulo elástico es la pendiente en la región elástica lineal (Ecuación 6.10) como E



2

1

Dado que todas las curvas tensión-deformación pasan por el origen, hacemos tomar 1 = 0 y 1 = 0. Determinaciones de 2 y 1 = 0. 2 son posibles moviendo el cursor a algún punto arbitrario en la región lineal de la curva y luego leyendo los valores

correspondientes en las ventanas "Stress" y "Strain" que se encuentran debajo del gráfico. (a)

Para el polietileno de alta densidad, seleccionamos 2 = 6,0 MPa con su correspondiente 2 = 0,0152.

Por lo tanto,

E=

2 2

1 1

6,0 MPa 0 MPa 0.0152 0

395 MPa ,395 GPa

El módulo elástico (promedio) para el polietileno de alta densidad que aparece en la Tabla 15.1 es de 1,08 GPa, que es significativamente superior a este valor. (b) Para el nylon, seleccionamos 2 = 24,3 MPa con su correspondiente 2 = 0,0085. Por lo tanto,

E=

24,3 MPa 0 MPa

2860 MPa ,86 GPa

El rango de módulo elástico para nylon 6,6 dado en la Tabla 15.1 es de 1,58 GPa a 3,80 GPa; por lo tanto, el valor para el nylon VMSE se encuentra dentro de este rango.

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(c) Para el fenol-formaldehído (baquelita), se seleccionó 2 = 33,0 MPa con su correspondiente 2 = 0,0068. Por lo tanto,

E=

2 2

1 1

33,0 MPa 0 MPa 0.0068 0

4850 MPa ,85 GPa

El rango de módulo elástico para el fenol-formaldehído indicado en la Tabla 15.1 es de 2,76 GPa a 4,83 GPa; por lo tanto, este valor para el fenol-formaldehído VMSE se encuentra justo por encima del valor máximo para este rango.

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15.3 Para el polímero de nylon, cuyo comportamiento ante las tensiones se puede observar en el módulo "Ensayos de tracción" de Virtual Materials Science and Engineering (VMSE), determine lo siguiente: (a) el límite elástico, y (b) la ductilidad aproximada, en porcentaje de elongación. ¿Cómo se comparan estos valores con los del material de nylon presentados en la Tabla 15.1? Solución (a) El límite elástico corresponde al primer máximo (un poco más allá de la región lineal-elástica inicial) de la curva tensión-deformación. Esta lectura en la ventana de tensiones situada debajo del gráfico a medida que se arrastra el punto del cursor a lo largo de la curva tensión-deformación es de 84 MPa. (b) El porcentaje aproximado de elongación corresponde a la deformación a la fractura multiplicada por 100 (es decir, 44,5%) menos la deformación elástica máxima (es decir, el valor de la deformación a la que termina la linealidad de la curva multiplicada por 100 (en este caso, alrededor del 4%); esto da un valor de alrededor de 40%EL.

Para el nylon 6,6, el rango de valores de límite elástico presentado en la Tabla 15.1 es de 44,8 MPa a 82,8 MPa; por lo tanto, el valor para el nylon VMSE está ligeramente por encima del valor superior. El rango de ductilidad para el nylon 6,6 es de 15%EL a 300%EL; por lo tanto, nuestro valor (40%EL) se encuentra dentro de este rango.

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15.4 Para el polímero de fenol-formaldehído (baquelita), cuyo comportamiento ante las tensiones puede observarse en el módulo "Ensayos de tracción" de Virtual Materials Science and Engineering (VMSE), determine lo siguiente: (a) la resistencia a la tracción, y (b) la ductilidad aproximada, en porcentaje de elongación. ¿Cómo se comparan estos valores con los del material fenol-formaldehído presentados en la Tabla 15.1? Solución (a) La resistencia a la tracción corresponde a la tensión a la que se produce la fractura. Esta lectura en la ventana de tensiones situada debajo del gráfico a medida que se arrastra el punto del cursor a lo largo de la curva tensión-deformación es de 52 MPa. (b) El porcentaje aproximado de elongación corresponde a la deformación a la fractura multiplicada por 100 (es decir, 1,29%) menos la deformación elástica máxima (es decir, el valor de la deformación a la que termina la linealidad de la curva multiplicada por 100 (en este caso, alrededor del 1%); esto da un valor de aproximadamente 0,3% ELE.

Para el fenol-formaldehído, el rango de valores de resistencia a la tracción presentado en la Tabla 15.1 es de 34,5 MPa para 62,1 MPa; por lo tanto, el valor para el material VMSE (52 MPa) se encuentra dentro de este rango. El rango de ductilidad del fenol-formaldehído es de 1.5%EL a 2.0%EL; por lo tanto, nuestro valor (0.3%EL) se encuentra por debajo del límite inferior.

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Deformación Viscoelástica 15.5 En sus propias palabras, describa brevemente el fenómeno de la viscoelasticidad.

La explicación de la viscoelasticidad se encuentra en la Sección 15.4.

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15.6 Para algunos polímeros viscoelásticos que se someten a pruebas de relajación del estrés, el estrés decae con tiempo según

t (t) = (0) exp    

(15.10)

 donde σ(t) y σ(0) representan las tensiones iniciales y temporales (es decir, tiempo = 0), respectivamente, y t y τ indican el tiempo transcurrido y el tiempo de relajación; τ es una característica constante independiente del tiempo del material. Un espécimen de algún polímero viscoelástico cuya relajación de tensiones obedece a la ecuación 15.10 fue súbitamente tirado en tensión a una tensión medida de 0.6; la tensión necesaria para mantener esta tensión constante fue medida en función del tiempo. Determine Er(10) para este material si el nivel de tensión inicial fue de 2,76 MPa (400 psi), que cayó a 1,72 MPa (250 psi) después de 60 s. Solución Este problema requiere una determinación del módulo de relajación de un material viscoelástico, cuyo comportamiento está de acuerdo con la Ecuación 15.10--es decir.., t (t) = (0) exp    

 

Queremos determinar (10), pero primero es necesario calcular a partir de los datos proporcionados en el planteamiento del problema. Así, resolviendo a partir de la expresión anterior, t= 60 s=

127 s (t) ln  (0 

1,72 MPa En   2,76 MPa

 



Por lo tanto,

(10) = (2,76 MPa) exp   

10 s

=2,55 MPa 

 Ahora, usando la Ecuación 15.1 Er (10)

=

10)

=

2.55 MPa

= 4.25 MPa (616 psi)

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15.7 En la figura 15.28, el logaritmo de Er(t) frente al logaritmo del tiempo se representa para el poliisobutileno a diversas temperaturas. Haga un gráfico de Er(10) versus temperatura y luego estime su Tg. Solución A continuación se representa el logaritmo de Er(10) en función de la temperatura.

La temperatura de transición del vidrio es la temperatura correspondiente a la abrupta disminución del log Er(10), que para este material de poliisobutileno es de aproximadamente -60C.

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15.8 Sobre la base de las curvas de la figura 15.5, haga un bosquejo esquemático de los diagramas de tiempo de deformación de los siguientes materiales de poliestireno a las temperaturas especificadas: (a) Amorfo a 120C (b) Reticulado a 150C (c) Cristalino a 230C (d) Reticulado a 50C Solución (a) El poliestireno amorfo a 120C se comporta como un material elástico (Figura 15.8, curva C); por lo tanto, el comportamiento en tiempo de deformación sería como el de la Figura 15.5c. (b) El poliestireno reticulado a 150C se comporta como un material viscoelástico (Figura 15.8, curva B); por lo tanto, el comportamiento en tiempo de deformación será el de la Figura 15.5c. (c) El poliestireno cristalino a 230C se comporta como un líquido viscoso (Figura 15.8, curva A); por lo tanto, el comportamiento en tiempo de deformación será el de la Figura 15.5d. (d) El poliestireno reticulado a 50C se comporta de manera vítrea (Figura 15.8, curva B); por lo tanto, el comportamiento en tiempo de deformación será el de la Figura 15.5b.

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15.9 a) Contrastar la manera en que se realizan los ensayos de relajación del estrés y de fluencia viscoelástica. (b) Para cada una de estas pruebas, cite el parámetro experimental de interés y cómo se determina. Solución (a) Las pruebas de relajación de esfuerzos se realizan sometiendo el material a un esfuerzo rápido y elástico en tensión, manteniendo constante el nivel de esfuerzo y midiendo luego el esfuerzo en función del tiempo. En los ensayos de fluencia viscoelástica, se aplica instantáneamente una tensión (normalmente de tracción) y se mantiene constante mientras se mide la deformación en función del tiempo. (b) Los parámetros experimentales de interés de los ensayos de relajación por estrés y de fluencia viscoelástica son el módulo de relajación y el módulo de fluencia (o de fluencia), respectivamente. El módulo de relajación es la relación entre la tensión medida después de 10 s y la deformación (ecuación 15.1); el módulo de fluencia es la relación entre la tensión y la deformación en un momento específico (ecuación 15.2).

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15.10 Haga dos gráficos esquemáticos del logaritmo del módulo de relajación frente a la temperatura de un polímero amorfo (curva C en la figura 15.8). (a) En uno de estos gráficos se demuestra cómo cambia el comportamiento con el aumento del peso molecular. (b) En el otro gráfico, indique el cambio de comportamiento con el aumento de la reticulación. Solución (a) Esta parte del problema requiere un diagrama de registro Er(10) versus temperatura que demuestre cómo cambia el comportamiento con el aumento del peso molecular. A continuación se presenta un diagrama de este tipo. El aumento del peso molecular aumenta las temperaturas de transición del vidrio y de fusión.

(b) Ahora se nos pide que hagamos un diagrama de registro Er(10) versus temperatura que demuestre cómo cambia el comportamiento con el aumento de la reticulación. A continuación se presenta un diagrama de este tipo. El aumento del grado de reticulación aumentará el módulo tanto en las regiones vidriosas como en las gomosas.

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Fractura de polímeros Consideraciones Mecánicas Misceláneas 15.11 Para los polímeros termoplásticos, cite cinco factores que favorecen la fractura frágil. Solución Para los polímeros termoplásticos, cinco factores que favorecen la fractura frágil son los siguientes: (1) una reducción de la temperatura, (2) un aumento de la velocidad de deformación, (3) la presencia de una muesca puntiaguda, (4) un aumento del espesor de la probeta, y (5) modificaciones de la estructura del polímero.

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15.12 (a) Comparar los límites de fatiga para el poliestireno (Figura 15.11) y el hierro fundido para el que se dan datos de fatiga en el Problema 8.20. b) Comparar la resistencia a la fatiga a 106 ciclos para el poli(tereftalato de etileno) (PET, Figura 15.11) y el latón rojo (Figura 8.34). Solución (a) Los límites de fatiga para el poliestireno y el hierro fundido son de 10,5 MPa (1500 psi) y 193 MPa (28.000 psi), respectivamente. (b) A 106 ciclos, la resistencia a la fatiga del PET y del latón rojo es de 15 MPa (2175 psi) y 115 MPa (16,700 psi), respectivamente.

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Deformación de polímeros semicristalinos 15.13 En sus propias palabras, describa los mecanismos por los cuales los polímeros semicristalinos (a) se deforman elásticamente y (b) se deforman plásticamente, y (c) por los cuales los elastómeros se deforman elásticamente.

(a) y (b) Los mecanismos por los cuales los polímeros semicristalinos se deforman elástica y plásticamente se describen en la Sección 15.7. c) La explicación del mecanismo mediante el cual los elastómeros se deforman elásticamente en la sección 15.9.

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Factores que influyen en las propiedades mecánicas de los polímeros semicristalinos Deformación de los elastómeros 15.14 Explique brevemente cómo cada uno de los siguientes factores influye en el módulo de tensión de un polímero semicristalino y por qué: (a) Peso molecular (b) Grado de cristalinidad (c) Deformación por dibujo (d) Recocido de un material no deformado f) Recocido de un material trefilado Solución (a) El módulo de tracción no está directamente influenciado por el peso molecular del polímero. (b) El módulo de tensión aumenta con el aumento del grado de cristalinidad de los polímeros semicristalinos. Esto se debe a la mejora de la unión secundaria entre cadenas que resulta de los segmentos de cadena alineados adyacentes a medida que aumenta el porcentaje de cristalinidad. Esta unión entre cadenas mejorada inhibe el movimiento relativo entre cadenas. (c) La deformación por estiramiento también aumenta el módulo de tracción. La razón de esto es que el dibujo produce una estructura molecular altamente orientada y un grado relativamente alto de enlace secundario entre cadenas. (d) Cuando un polímero semicristalino no deformado se recoce por debajo de su temperatura de fusión, el módulo de tensión aumenta. (e) Un polímero semicristalino estirado que está recocido experimenta una disminución en el módulo de tensión como resultado de una reducción en la cristalinidad inducida por la cadena, y una reducción en las fuerzas de unión entre cadenas.

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15.15 Explique brevemente cómo influye cada uno de los siguientes factores en la resistencia a la tracción o el límite elástico de un polímero semicristalino y por qué: (a) Peso molecular (b) Grado de cristalinidad (c) Deformación por dibujo (d) Recocido de un material no deformado Solución (a) La resistencia a la tracción de un polímero semicristalino aumenta con el aumento de peso molecular. Este efecto se explica por el aumento de los enredos de la cadena en pesos moleculares más altos. (b) El aumento del grado de cristalinidad de un polímero semicristalino conduce a una mejora de la resistencia a la tracción. Una vez más, esto se debe a la mejora de la unión entre cadenas y a las fuerzas; en respuesta a las tensiones aplicadas, los movimientos entre cadenas se inhiben. (c) La deformación por estiramiento aumenta la resistencia a la tracción de un polímero semicristalino. Este efecto se debe a la estructura de la cadena altamente orientada que se produce por el trefilado, lo que da lugar a mayores fuerzas de unión secundarias entre cadenas. (d) El recocido de un polímero semicristalino no deformado produce un aumento de su resistencia a la tracción.

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15.16 El butano normal y el isobutano tienen temperaturas de ebullición de -0,5 y -12,3°C (31,1 y 9,9°F), respectivamente. Explique brevemente este comportamiento sobre la base de sus estructuras moleculares, tal como se presenta en la Sección 14.2. Solución El butano normal tiene una temperatura de fusión más alta como resultado de su estructura molecular (Sección 14.2). Hay más de una oportunidad para que se formen los enlaces de van der Waals entre dos moléculas muy próximas entre sí que para el isobutano debido a la naturaleza lineal de cada molécula de butano normal.

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15.17 La resistencia a la tracción y el peso molecular medio para dos materiales de poli(metacrilato de metilo) son los siguientes: Resistencia a la tracción (MPa)

Número Promedio Peso molecular (g/mol)

107

40,000

170

60,000

Calcular la resistencia a la tracción con un peso molecular medio de 30.000 g/mol. Solución Este problema nos da las resistencias a la tracción y los pesos moleculares promedio asociados para dos materiales de poli(metacrilato de metilo) y luego nos pide que estimemos la resistencia a la tracción para M n = 30.000 g/mol. La ecuación 15.3 cita la dependencia de la resistencia a la tracción en M n . Por lo tanto, usando los datos proporcionados en el problema podemos establecer dos ecuaciones simultáneas a partir de las cuales es posible resolver para las dos constantes TS∞ y A. Estas ecuaciones son las siguientes: 107

MPa = TS

A 40.000 g / mol

170

MPa = TS

A 60.000 g / mol

Así, los valores de las dos constantes son: TS∞ = 296 MPa y A = 7,56 106 MPa-g/mol. La sustitución de estos valores en la Ecuación 15.3 para M n = 30,000 g/mol conduce a A TS = TS 30.000 g / mol ,56 106 MPa - g / mol = 296 MPa  30.000 g / mol

= 44 MPa

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15.18 La resistencia a la tracción y el peso molecular medio para dos materiales de polietileno son los siguientes sigue:

Resistencia a la tracción (MPa) 85

Número Promedio Peso molecular (g/mol)

150

28,500

12,700

Calcular el peso molecular medio necesario para obtener una resistencia a la tracción de 195 MPa. Solución Este problema nos da las resistencias a la tracción y los pesos moleculares promedio asociados para dos materiales de polietileno y luego nos pide que estimemos el M n que se requiere para una resistencia a la tracción de 195 MPa. La ecuación 15.3 cita la dependencia de la resistencia a la tracción en M n . Por lo tanto, usando los datos proporcionados en el problema podemos establecer dos ecuaciones simultáneas a partir de las cuales es posible resolver para las dos constantes TS∞ y A. Estas ecuaciones son las siguientes: A 85 MPa = TS 12, 700 g / mol 150

MPa = TS

A 28, 500 g / mol

Así, los valores de las dos constantes son: TS∞ = 202 MPa y A = 1,489 106 MPa-g/mol. Resolviendo para M n en la Ecuación 15.3 y sustituyendo TS = 195 MPa así como los valores anteriores para TS∞ y A conduce a A Mn= TS TS = 1.489 106 MPa - g / mol = 213, 000 g/mol 202 MPa 195 MPa

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15.19 Para cada uno de los siguientes pares de polímeros, haga lo siguiente: (1) indique si es posible o no decidir si un polímero tiene un módulo de tensión más alto que el otro; (2) si esto es posible, anote cuál tiene el módulo de tensión más alto y luego cite la(s) razón(es) de su elección; y (3) si no es posible decidir, entonces indique por qué. (a) Copolímero de acrilonitrilo-butadieno aleatorio con 10% de sitios posibles reticulado; copolímero de acrilonitrilo-butadieno alternado con 5% de sitios posibles reticulado. (b) Polipropileno ramificado y sintáctico con un grado de polimerización de 5000; polipropileno lineal e isotáctico con un grado de polimerización de 3000 (c) Polietileno ramificado con un peso molecular medio de 250.000 g/mol; poli(cloruro de vinilo) lineal e isotáctico con un peso molecular medio de 200.000 g/mol. Solución Para cada uno de los cuatro pares de polímeros, debemos hacer lo siguiente: (1) determinar si es posible o no decidir cuál tiene el módulo de tensión más alto; (2) si es así, anotar cuál tiene el módulo de tensión más alto y luego declarar las razones de esta elección; y (3) si no es posible decidir, entonces declarar por qué. (a) No, no es posible. El copolímero de acrilonitrilo-butadieno aleatorio tenderá a un grado más bajo de cristalinidad que el copolímero de acrilonitrilo-butadieno alterno, ya que los copolímeros aleatorios normalmente no cristalizan. Sólo sobre esta base, el material alterno tendría un módulo más alto en la medida en que el módulo de tracción aumenta con el grado de cristalinidad. Por otro lado, el copolímero aleatorio tiene un mayor grado de reticulación (10% frente a 5% para el copolímero alternante) y, sobre esta base, sólo tendría el módulo de tracción más alto: un aumento en la reticulación conduce a un aumento de E. Por lo tanto, esta determinación no es posible; con respecto al grado de cristalinidad, el material alternante tiene el E más alto, mientras que el copolímero aleatorio tendría un valor de E más alto sobre la base del grado de reticulación. (b) Sí, es posible. El polipropileno lineal e isotáctico tendrá un mayor módulo de tracción. Los polímeros lineales son más propensos a cristalizar que los ramificados. La probabilidad de cristalización tanto para el polipropileno sindiotáctico como para el isotáctico es aproximadamente la misma y, por lo tanto, el grado de cristalización no es un factor. Además, el módulo de tracción es relativamente insensible al grado de polimerización (es decir, al peso molecular); el hecho de que el PP ramificado tenga el mayor peso molecular no es importante. (c) No, no es posible. Los polímeros lineales tienen mayores grados de cristalización (y mayores módulos de tensión) que los polímeros ramificados; sobre esta base, el material de PVC debería tener el valor más alto de E. Por otro lado, el PVC tiene una estructura unitaria de repetición más compleja que el polietileno, lo que significa que, sobre esta base, el PE tendría un mayor grado de cristalinidad y también un mayor módulo de tensión. Además, el módulo de tensión es relativamente independiente del peso molecular promedio. Por lo tanto, esta determinación no es posible ya que no es posible determinar cuál de los dos materiales tiene el mayor grado de cristalinidad.

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

15.20 Para cada uno de los siguientes pares de polímeros, haga lo siguiente: (1) indique si es posible o no decidir si un polímero tiene una resistencia a la tracción más alta que el otro; (2) si esto es posible, anote cuál tiene la resistencia a la tracción más alta y luego cite la(s) razón(es) de su elección; y (3) si no es posible decidir, entonces indique por qué. (a) Poliestireno sindiotáctico con un peso molecular medio en número de 600.000 g/mol; poliestireno atáctico con un peso molecular medio en número de 500.000 g/mol (b) Copolímero de acrilonitrilo-butadieno aleatorio con 10% de sitios posibles reticulado; bloque de copolímero de acrilonitrilo-butadieno con 5% de sitios posibles reticulado. (c) Poliéster en red; polipropileno ligeramente ramificado Solución Para cada uno de los tres pares de polímeros, debemos hacer lo siguiente: (1) determinar si es posible o no decidir cuál tiene la mayor resistencia a la tracción; (2) si es posible, anotar cuál tiene la mayor resistencia a la tracción y luego indicar las razones de esta elección; y (3) si no es posible decidir, indicar por qué. (a) Sí, es posible. El poliestireno sintáctico tiene la mayor resistencia a la tracción. Los polímeros sindiotácticos son más propensos a cristalizarse que los atacantes; cuanto mayor es la cristalinidad, mayor es la resistencia a la tracción. Además, la sindiotáctica también tiene un mayor peso molecular; el aumento del peso molecular también aumenta la resistencia. (b) No, no es posible. El copolímero de acrilonitrilo-butadieno aleatorio tiene más reticulación; el aumento de la reticulación conduce a un aumento de la resistencia. Sin embargo, es muy probable que el material copolimérico en bloque tenga un mayor grado de cristalinidad; y el aumento de la cristalinidad mejora la resistencia. (c) Sí, es posible. El poliéster de red mostrará una mayor resistencia a la tracción. El movimiento relativo de la cadena es mucho más restringido que en el caso del polipropileno ligeramente ramificado, ya que hay muchos más de los fuertes enlaces covalentes para la estructura de la red.

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15.21 ¿Esperaría que la resistencia a la tracción del policlorotrifluoroetileno sea mayor, igual o menor que la de una muestra de politetrafluoroetileno con el mismo peso molecular y grado de cristalinidad? Por qué? Solución La fuerza de un policlorotrifluoroetileno que tiene la estructura de la unidad de repetición

será mayor que para un politetrafluoroetileno que tenga el mismo peso molecular y grado de cristalinidad. La sustitución de un átomo de flúor dentro de la unidad de repetición de PTFE por un átomo de cloro conduce a una mayor atracción entre cadenas y, por lo tanto, a un polímero más fuerte. Además, el poli(cloruro de vinilo) es más fuerte que el polietileno (Tabla 15.1) por la misma razón.

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15.22 Para cada uno de los siguientes pares de polímeros, trace y etiquete curvas esquemáticas de tensión-deformación en el mismo gráfico[es decir, trace diagramas separados para las partes (a), (b) y (c)]. (a) Polipropileno isotáctico y lineal con un peso molecular medio de 120.000 g/mol; polipropileno atáctico y lineal con un peso molecular medio de 100.000 g/mol (b) Poli(cloruro de vinilo) ramificado con un grado de polimerización de 2000; poli(cloruro de vinilo) fuertemente reticulado con un grado de polimerización de 2000 (c) Copolímero aleatorio de poli(estireno-butadieno) con un peso molecular medio numérico de 100.000 g/mol y 10% de los sitios disponibles reticulados y probados a 20C; copolímero aleatorio de poli(estirenobutadieno) con un peso molecular medio numérico de 120.000 g/mol y 15% de los sitios disponibles reticulados y probados a -85C. Pista: Los copolímeros de poli(estireno-butadieno) pueden presentar un comportamiento elastomérico. Solución (a) A continuación se muestran las curvas de tensión-deformación para los dos materiales de polipropileno. Estos materiales mostrarán el comportamiento tensión-deformación de un plástico normal, curva B en la Figura 15.1. Sin embargo, el isotáctico/lineal tendrá un mayor grado de cristalinidad (ya que es más probable que el isotáctico cristalice que el atactico/lineal), y por lo tanto, tendrá un mayor módulo de tensión y resistencia. Además, el isotáctico/lineal también tiene un mayor peso molecular, lo que también conduce a un aumento de la resistencia.

(b) A continuación se muestran las curvas de tensión-deformación para los dos materiales de cloruro de polivinilo. El PVC ramificado probablemente mostrará el comportamiento de tensión-deformación de un plástico, curva B en la Figura 15.1. Sin embargo, el PVC fuertemente reticulado tendrá indudablemente un módulo de tensión más alto, y también una resistencia más alta, y muy probablemente fallará de una manera quebradiza - como la curva A, Figura 15.1; estas son las características típicas de un polímero fuertemente reticulado.

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(c) A continuación se muestran las curvas de tensión-deformación para los dos copolímeros aleatorios de poli(estireno-butadieno). El copolímero ensayado a 20C presenta un comportamiento elastomérico (curva C de la figura 15.1), ya que se trata de un copolímero aleatorio ligeramente reticulado; además, la temperatura de ensayo es superior a su temperatura de transición vítrea. Por otro lado, dado que -85C está por debajo de la temperatura de transición vítrea del copolímero de poli(estireno-butadieno), el comportamiento tensión-deformación en estas condiciones es como la curva A de la figura 15.1.

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15.23 Enumerar las dos características moleculares que son esenciales para los elastómeros. Solución Dos características moleculares esenciales para los elastómeros son: (1) deben ser amorfas, con cadenas que estén extensivamente enrolladas y retorcidas en el estado sin tensión; y (2) debe haber alguna reticulación.

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15.24 ¿Cuál de los siguientes productos esperaría que fueran elastómeros y qué polímeros termoendurecibles a temperatura ambiente? Justifique cada opción. (a) Epoxi con estructura de red (b) Copolímero aleatorio de poli(estireno-butadieno) ligeramente reticulado que tiene una temperatura de transición del vidrio. de -50C

-

(c) Politetrafluoroetileno ligeramente ramificado y semicristalino con una temperatura de transición del vidrio de 1,5 ºC.

(d) Copolímero aleatorio de poli(etileno-propileno) altamente reticulado que tiene una transición de vidrio. temperatura de 0C (e) Elastómero termoplástico que tiene una temperatura de transición del vidrio de 75C Solución Esta pregunta nos pide que elijamos de una lista de materiales los que se esperaría que fueran elastómeros y los que serían polímeros termoendurecibles. (a) El epoxi que tiene una estructura de red será un polímero termoestable ya que tiene una estructura de red. No sería un elastómero ya que no tiene una estructura de cadena reticulada. (b) Un copolímero aleatorio de poli(estireno-butadieno) ligeramente reticulado que tiene una temperatura de transición de vidrio de -50C será un elastómero ya que 1) es un copolímero aleatorio, 2) está ligeramente reticulado y 3) se utiliza a una temperatura superior a su transición de vidrio. Estos tres criterios son requisitos para un elastómero. (c) El PTFE ligeramente ramificado y semicristalino no sería ni un elastómero ni un termoestable. No está reticulado ni tiene una estructura de red. (d) Un copolímero aleatorio de poli(etileno-propileno) fuertemente reticulado sería un termoestable en la medida en que está fuertemente reticulado. (e) Un elastómero termoplástico que tiene una temperatura de transición del vidrio de 75C no es ni un elastómero ni un termoestable. Al ser un termoplástico no es un termofijo. Además, la temperatura ambiente está por debajo de su temperatura de transición vítrea y, por lo tanto, no mostrará comportamiento elastomérico.

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15.25 Diez kilogramos de polibutadieno son vulcanizados con 4,8 kg de azufre. ¿Qué fracción de los posibles sitios de reticulación está ligada a reticulaciones de azufre, asumiendo que, en promedio, 4.5 átomos de azufre participan en cada reticulación? Solución Este problema nos pide que calculemos la fracción de posibles sitios de reticulación en 10 kg de polibutadieno cuando Se añaden 4,8 kg de S, suponiendo que, en promedio, en cada enlace reticulado participan 4,5 átomos de azufre. Dada la unidad de repetición de butadieno de la Tabla 14.5, podemos calcular su peso molecular de la siguiente manera: A(butadieno) = 4(AC) + 6(AH)

= (4)(12.01 g/mol) + 6(1.008 g/mol) = 54.09 g/mol Lo que significa que en 10 kg de butadieno hay

10.000 g. 54,09 g/mol

= 184.9 mol = nbuta.

Para el polibutadieno de vulcanización, hay dos posibles sitios de reticulación por unidad de repetición uno para cada uno de los dos átomos de carbono que están doblemente unidos.

Además, cada uno de estos enlaces

cruzados forma un puente entre dos unidades de repetición. Por lo tanto, podemos decir que hay el equivalente a un reticulado por unidad de repetición. Calculemos ahora el número de moles de azufre (nsulfur) que reaccionan con el butadieno, tomando la relación molar de azufre a butadieno, y luego dividiendo esta proporción entre 4,5 átomos por reticulación; esto da como resultado la fracción de posibles sitios que están reticulados. Así g= nsulfur =4800 149.7 mol 32,06 g / mol Y

sitios de fracción reticulados =

nsulf ur nbut a 4,5

=

149,7 mol 184.9 mol = 0.180 4.5

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15.26 Calcular el porcentaje en peso de azufre que debe añadirse para reticular completamente un copolímero de cloropreno acrilonitrilo alternante, suponiendo que en cada reticulación participan cinco átomos de azufre. Solución Para un copolímero de cloropreno acrilonitrilo alternante, se nos pide que calculemos el porcentaje de azufre en peso necesario para la reticulación completa, suponiendo que, en promedio, cinco átomos de azufre participan en cada reticulación. Las unidades de repetición de cloropreno y acrilonitrilo se muestran en la Tabla 14.5, de la cual puede observarse que hay dos posibles sitios de reticulación en cada unidad de repetición de cloropreno (un sitio en cada uno de los dos átomos de carbono que están doblemente enlazados), y que no hay sitios posibles para el acrilonitrilo; además, dado que se trata de un copolímero alternante, la proporción de unidades de repetición de cloropreno a acrilonitrilo es de 1:1. Por lo tanto, para cada par de unidades combinadas de repetición de cloropreno acrilonitrilo que se entrecruzan, se requieren diez átomos de azufre, o, para una entrecruzamiento completo, la proporción de azufre a (cloropreno acrilonitrilo) es de 5:1. Ahora, consideremos como base un mol de la unidad combinada de repetición de cloropreno acrilonitrilo. Para lograr una reticulación completa, se requieren cinco topos de azufre. Por lo tanto, para que podamos convertir esta composición en porcentaje de peso, es necesario convertir los lunares en masa. La unidad de repetición de acrilonitrilo consiste en tres átomos de carbono, tres átomos de hidrógeno y un átomo de nitrógeno; la unidad de repetición de cloropreno está compuesta de cuatro carbonos, cinco hidrógenos y un cloro. Esto da un peso molecular para la unidad de repetición combinada de m(cloropreno-acrilonitrilo) = 3(AC) + 3(AH) + AN + 4(AC) + 5(AH) + ACl

= 7(12.01 g/mol) + 8(1.008 g/mol) + 14.007 g/mol + 35.45 g/mol = 141.59 g/mol

O, en un mol de esta unidad de repetición combinada, hay 141.59 g. Además, para reticulación completa, 5.0 mol de se requiere azufre, que asciende a (5.0 mol)(32.06 g/mol) = 160.3 g. Por lo tanto, la concentración de S en porcentaje de peso de CS es de apenas

SC

=160

,3 g 160,3 g 100 = 53.1 % peso 141,59 g

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

15.27 La vulcanización del poliisopreno se realiza con átomos de azufre según la ecuación 15.4. Si se combina un 57% de azufre en peso con poliisopreno, ¿cuántos enlaces cruzados se asociarán con cada unidad de repetición de isopreno si se asume que, en promedio, seis átomos de azufre participan en cada enlace cruzado? Solución Este problema nos pide que determinemos cuántos enlaces cruzados se forman por unidad de repetición de isopreno cuando se añade un 57 % de azufre en peso. Si consideramos arbitrariamente 100 g del material vulcanizado, 57 g serán de azufre y 43 g de poliisopreno. A continuación, averigüemos cuántos lunares de azufre e isopreno corresponden a estas masas. El peso atómico del azufre es de 32,06 g/mol, y por lo tanto, g= # moles S =57 1.78 mol 32,06 g / mol

Ahora, en cada unidad de repetición de isopreno hay cinco átomos de carbono y ocho átomos de hidrógeno. Así, el peso molecular de un lunar de unidades de isopreno es

(5)(12.01 g/mol) + (8)(1.008 g/mol) = 68.11 g/mol

O bien, en 43 g de poliisopreno, el número de lunares es igual a g= # moles isopreno =43 0.631 mol 68,11 g / mol

Por lo tanto, la relación entre los lunares de S y el número de lunares de poliisopreno es la siguiente 1.78 mol :

1 = 2.82 :1

0,631 mol

Cuando todos los sitios posibles están reticulados, la relación entre el número de topos de azufre y el número de topos de isopreno es de 6:1; esto se debe a que hay dos sitios reticulados por unidad de repetición y cada reticulación se comparte entre unidades de repetición en cadenas adyacentes, y hay 6 átomos de azufre por reticulación. Finalmente, para determinar la fracción de sitios que están reticulados, simplemente dividimos la proporción real de azufre/isopreno reticulado por la proporción completamente reticulada. O, fracción de sitios de unidades de repetición entrecruzadas = 6 /1

2.82 /1

= 0.470

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15.28 Para la vulcanización del poliisopreno, calcule el porcentaje en peso de azufre que debe agregarse para asegurar que el 8% de los sitios posibles estén entrecruzados; suponga que, en promedio, tres átomos de azufre están asociados con cada entrecruzamiento. Solución Se nos pregunta qué porcentaje de peso de azufre debe añadirse al polisopreno para asegurar que el 8% de los sitios posibles estén entrecruzados, asumiendo que, en promedio, tres átomos de azufre están asociados con cada entrecruzamiento. La tabla 14.5 muestra la unidad de repetición para cis-isopreno. Para cada una de estas unidades hay dos posibles sitios de reticulación; un sitio está asociado con cada uno de los dos átomos de carbono que están involucrados en el doble enlace de la cadena. Dado que el 8% de los posibles emplazamientos están reticulados, por cada 100 unidades de repetición de isopreno, 8 de ellas están reticuladas; en realidad hay dos emplazamientos reticulados por unidad de repetición, pero cada uno de ellos está compartido por dos cadenas. Además, en el promedio asumimos que cada reticulación está compuesta de 3 átomos de azufre; por lo tanto, debe haber 3 8 ó 24 átomos de azufre agregados por cada 100 unidades de repetición de isopreno. En términos de lunares, es necesario añadir 24 lunares de azufre a 100 lunares de isopreno. El peso atómico del azufre es de 32,06 g/mol, mientras que el peso molecular del isopreno es de 1,5 g/mol. A(isopreno) = 5(AC) + 8(AH)

= (5)(12.01 g/mol) + (8)(1.008 g/mol) = 68.11 g/mol La masa de azufre añadida (mS) es mS = (24 mol)(32,06 g/mol) = 769,4 g

Mientras que para el isopreno mip = (100 mol)(68.11 g/mol) = 6811 g

O bien, la concentración de azufre en porcentaje en peso (Ecuación 4.3) es justo CS =mS

mS + mip

100 = 769

,4 g

100 = 10,1 % peso 769,4 g 6811 g

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15.29 Demostrar, de manera similar a la Ecuación 15.4, cómo puede ocurrir la vulcanización en un butadieno. de goma. Solución La reacción por la cual una goma de butadieno puede vulcanizarse es la siguiente:

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Cristalización 15.30 Determinar los valores de las constantes n y k (Ecuación 10.17) para la cristalización del polipropileno (Figura 15.17) a 160°C. Solución En este problema se nos pide que determinemos los valores de las constantes n y k (Ecuación 10.17) para la cristalización del polipropileno a 160C (Figura 15.17). Una manera de resolver este problema es tomar dos valores de recristalización porcentual (que es sólo 100y, Ecuación 10.17) y sus correspondientes valores de tiempo, y luego establecer dos ecuaciones simultáneas, a partir de las cuales se pueden determinar n y k. Para acelerar este proceso, reorganizaremos y haremos alguna manipulación algebraica de la Ecuación 10.17. En primer lugar, reorganizamos de la siguiente manera: 1 y exp kt n





Ahora tomando logaritmos naturales ln (1 y) kt n

O  ln (1 ) kt n

que también puede expresarse como 1 En 1 kt n     

Ahora tomando logaritmos naturales de nuevo, nos lleva a 

 In In ln ln k n ln t 1 y   

 que es la forma de la ecuación que usaremos ahora. De la curva 160C de la Figura 15.17, elijamos arbitrariamente dos por ciento de valores cristalizados de 20% y 80% (es decir, y1 = 0.20 e y2 = 0.80). El tiempo correspondiente

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son t1 = 3400 min y t2 = 6700 min (teniendo en cuenta que el eje temporal está escalado logarítmicamente). Así, nuestras dos ecuaciones simultáneas se convierten en   1 En ln En ln k En ln (3400)  1 0,20 

   1 En ln En ln k En ln (6700)  1 0,80   de los que se obtienen los valores n = 2,91 y k = 1,182 10-11.

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Temperaturas de fusión y de transición vítrea 15.31 Nombre el(los) siguiente(s) polímero(s) que sería(n) adecuado(s) para la fabricación de tazas para contener café caliente: polietileno, polipropileno, poli(cloruro de vinilo), poliéster PET y policarbonato. Por qué? Solución Esta pregunta nos lleva a nombrar cuáles, de varios polímeros, serían adecuados para la fabricación de tazas para contener café caliente. A su temperatura de transición vítrea, un polímero amorfo comienza a ablandarse. La temperatura máxima del café caliente es probablemente ligeramente inferior a 100C (212F). De los polímeros listados, sólo el poliestireno y el policarbonato tienen temperaturas de transición vítrea de 100C o superiores (Tabla 15.2), y serían adecuados para esta aplicación.

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15.32 De los polímeros listados en la Tabla 15.2, ¿cuál(es) polímero(s) sería(n) más adecuado(s) para su uso como bandeja de cubitos de hielo? Por qué? Solución Para que un polímero sea adecuado para su uso como bandeja de cubitos de hielo debe tener una temperatura de transición de vidrio por debajo de 0C. De los polímeros enumerados en el cuadro 15.2, sólo los polietilenos de baja y alta densidad, el PTFE y el polipropileno cumplen este criterio.

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Factores que influyen en las temperaturas de fusión y de transición vítrea 15.33 Para cada uno de los siguientes pares de polímeros, trace y etiquete las curvas esquemáticas de volumen específico versus temperatura en el mismo gráfico[es decir, haga diagramas separados para las partes (a), (b) y (c)]. (a) Polipropileno esférulitico, con un 25% de cristalinidad y un peso molecular medio de 75.000 g/mol; poliestireno esférulitico, con un 25% de cristalinidad y un peso molecular medio de 100.000 g/mol. (b) Copolímero de poli(estireno-butadieno) de injerto con 10% de los sitios disponibles reticulado; copolímero de poli(estireno-butadieno) aleatorio con 15% de los sitios disponibles reticulado (c) Polietileno con una densidad de 0,985 g/cm3 y un grado de polimerización de 2500; polietileno con una densidad de 0,915 g/cm3 y un grado de polimerización de 2000 Solución (a) A continuación se muestran las curvas específicas de volumen contra temperatura para los materiales de polipropileno y poliestireno. Dado que ambos polímeros son 25% cristalinos, exhibirán un comportamiento similar al de la curva B de la figura 15.18. Sin embargo, el poliestireno tendrá temperaturas más altas de fusión y transición vítrea debido al grupo lateral más voluminoso en su estructura de unidades de repetición, y debido a que tiene un peso molecular promedio más alto.

(b) A continuación se muestran las curvas específicas de volumen contra temperatura para el injerto y los copolímeros de poli(estireno-butadieno) aleatorios. Dado que estos materiales son injertos y copolímeros aleatorios, ambos serán altamente no cristalinos y, por lo tanto, mostrarán un comportamiento similar al de la curva A de la figura 15.18. Sin embargo, como el aleatorio tiene el mayor grado de reticulación, también tendrá la mayor temperatura de transición vítrea.

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(c) A continuación se muestran las curvas específicas de volumen contra temperatura para los dos materiales de polietileno. El polietileno con una densidad de 0.985 g/cm3 será altamente cristalino, y, por lo tanto, exhibirá un comportamiento similar a la curva C de la figura 15.18. Por otro lado, el otro material, de menor densidad, tendrá alguna ramificación y también será semicristalino; por lo tanto, su comportamiento será similar a la curva B de la figura 15.18. Además, la temperatura de fusión del material de mayor densidad será mayor, ya que tiene menos ramificaciones y un mayor grado de polimerización.

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15.34 Para cada uno de los siguientes pares de polímeros, haga lo siguiente: (1) indique si es posible o no determinar si un polímero tiene una temperatura de fusión más alta que el otro; (2) si es posible, anote cuál tiene la temperatura de fusión más alta y luego cite la(s) razón(es) de su elección; y (3) si no es posible decidir, entonces indique por qué. (a) Poliestireno isotáctico con una densidad de 1,12 g/cm3 y un peso molecular medio de 150.000 g/mol; poliestireno sindiotáctico con una densidad de 1,10 g/cm3 y un peso molecular medio de 125.000 g/mol (b) Polietileno lineal que tiene un grado de polimerización de 5,000; polipropileno lineal e isotáctico que tiene un grado de polimerización de 6,500 (c) Poliestireno ramificado e isotáctico con un grado de polimerización de 4.000; polipropileno lineal e isotáctico con un grado de polimerización de 7.500 Solución (a) Sí, es posible determinar cuál de los dos poliestirenos tiene la Tm más alta. El poliestireno isotáctico tendrá la temperatura de fusión más alta porque tiene una densidad más alta (es decir, menos ramificación) y también el mayor peso molecular promedio. (b) Sí, es posible determinar qué polímero tiene la temperatura de fusión más alta. El polipropileno tendrá el Tm más alto porque tiene un grupo lateral de fenileno voluminoso en su estructura de unidad de repetición, que está ausente en el polietileno. Además, el polipropileno tiene un mayor grado de polimerización. (c) No, no es posible determinar cuál de los dos polímeros tiene la temperatura de fusión más alta. El poliestireno tiene un grupo lateral más voluminoso que el polipropileno; en base a este efecto solamente, el poliestireno debería tener la mayor Tm. Sin embargo, el poliestireno tiene una mayor ramificación y un menor grado de polimerización; ambos factores conducen a una disminución de la temperatura de fusión.

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15.35 Haga un diagrama esquemático que muestre cómo el módulo de elasticidad de un polímero amorfo depende de la temperatura de transición vítrea. Supongamos que el peso molecular se mantiene constante. Solución Para un polímero amorfo, el módulo elástico puede mejorarse aumentando el número de enlaces cruzados (manteniendo constante el peso molecular); esto también mejorará la temperatura de transición vítrea. Por lo tanto, el comportamiento de la temperatura de transición módulo-vidrio aparecería como

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Fibras de elastómeros Aplicaciones Misceláneas 15.36 Explique brevemente la diferencia en química molecular entre los polímeros de silicona y otros materiales poliméricos. Solución La cadena troncal de la mayoría de los polímeros consiste en átomos de carbono que están unidos entre sí. Para los polímeros de silicona, esta cadena troncal está compuesta de átomos de silicio y oxígeno que se alternan en posiciones.

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15.37 Enumere dos características importantes de los polímeros que se van a utilizar en aplicaciones de fibra. Solución Dos características importantes para los polímeros que se van a utilizar en aplicaciones de fibra son: (1) deben tener altos pesos moleculares, y (2) deben tener configuraciones/estructuras de cadena que permitan altos grados de cristalinidad.

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15.38 Citar cinco características importantes para los polímeros que se van a utilizar en aplicaciones de película delgada. Solución Cinco características importantes para los polímeros que se van a utilizar en aplicaciones de capa fina son: (1) baja densidad; (2) alta flexibilidad; (3) alta resistencia a la tracción y al desgarro; (4) resistencia a la humedad/ataque químico; y (5) baja permeabilidad al gas.

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Polimerización 15.39 Citar las diferencias primarias entre las técnicas de polimerización por adición y por condensación. Solución Para la polimerización de adición, las especies de reactivos tienen la misma composición química que las especies de monómeros en la cadena molecular. Este no es el caso de la polimerización por condensación, en la que hay una reacción química entre dos o más especies de monómeros que producen la unidad repetidora. A menudo existe un subproducto de bajo peso molecular para la polimerización por condensación; esto no se encuentra en la polimerización por adición.

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15.40 (a) ¿Cuánto glicol de etileno debe añadirse a 47,3 kg de ácido tereftálico para producir una estructura de cadena lineal de poli(tereftalato de etileno) según la ecuación 15.9? b) ¿Cuál es la masa del polímero resultante? Solución (a)

Este problema nos pide que determinemos cuánto glicol de etileno debe añadirse a 47,3 kg de ácido

tereftálico para producir una estructura de cadena lineal de poli(tereftalato de etileno) de acuerdo con la Ecuación 15.9. Puesto que las fórmulas químicas se proporcionan en esta ecuación, podemos calcular los pesos moleculares de cada uno de estos materiales de la siguiente manera: MW(etilenglicol) = 2( AC) + 6( AH) + 2( AO) = 2 (12.01 g/mol) + 6 (1.008 g/mol) + 2 (16.00 g/mol) = 62.07 g/mol

MW(ácido tereftálico) = 8( AC) + 6( AH) + 4( AO) = 8 (12.01 g/mol) + 6 (1.008 g/mol) + 4 (16.00 g/mol) = 166.13 g/mol 47.300 g. La masa de 47,3 kg de ácido tereftálico es igual a 47.300 g o = 284.72 mol. Ya que, de acuerdo con 166,13 g / mol Ecuación 15.9, cada mol de ácido tereftálico utilizado requiere un mol de etilenglicol, que es equivalente a (284.72 mol) (62.07 g/mol) = 17,673 g = 17.673 kg. (b) Ahora se nos pide la masa del polímero resultante. En la medida en que se emite un mol de agua por cada unidad de repetición producida, esto corresponde a 284,72 moles o (284,72 mol) (18,02 g/mol) = 5130 g o 5,130 kg ya que el peso molecular del agua es de 18,02 g/mol. La masa de poli(tereftalato de etileno) es sólo la suma de las masas de los dos materiales reactivos[calculada en la parte (a)] menos la masa de agua liberada, o bien masa[poli(tereftalato de etileno)] = 47.300 kg + 17.673 kg .130 kg = 59.843 kg

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15.41

El nylon 6,6 puede formarse por medio de una reacción de polimerización por condensación en la

que la hexametilendiamina[NH2-(CH2)6-NH2] y el ácido adípico reaccionan entre sí con la formación de agua como subproducto. ¿Qué masas de diamina hexametilénica y ácido adípico son necesarias para producir 37,5 kg de nylon 6,6 completamente lineal (Nota: la ecuación química para esta reacción es la respuesta a Concept Check 15.12.)? Solución Este problema nos obliga a calcular las masas de hexametilenodiamina y ácido adípico necesarias para obtener 37,5 kg de nylon 6,6 completamente lineal. La ecuación química para esta reacción es la respuesta a la comprobación de concepto 15.12, que es la siguiente:

A partir de esta ecuación podemos calcular los pesos moleculares de estas moléculas. MW(adípica) = 6( AC) + 10( AH) + 4( AO) = 6 (12.01 g/mol) + 10 (1.008 g/mol) + 4 (16.00 g/mol) = 146.14 g/mol

MW(hexametileno) = 6( AC) + 16( AH) + 2( AN) = 6 (12.01 g/mol) + 16 (1.008 g/mol) + 2 (14.01 g/mol) = 116.21 g/mol

MW(nylon) = 12( AC) + 22( AH) + 2( AN) + 2( AO) Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

= 12 (12.01 g/mol) + 22 (1.008 g/mol) + 2 (14.01 g/mol) + 2 (16.00 g/mol)

= 226.32 g/mol

La masa de 37,5 kg de nylon 6,6 es igual a 37.500 g o m(nylon) =

37, 500 g=

165.7 mol

226,32 g / mol

Dado que, de acuerdo con la ecuación química dada anteriormente, cada mol de nylon 6,6 que se produce requiere un mol de ácido adiposo y hexametileno diamina, con dos mol de agua como subproducto. Las masas correspondientes a 165,7 moles de ácido adípico y hexametileno diamina son las siguientes:

m(adípica) = (165.7 mol)(146.14 g/mol) = 24, 215 g = 24.215 kg

m(hexametileno) = (165.7 mol)(116.21 g/mol) = 19, 256 g = 19.256 kg

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Aditivos de polímeros 15.42 ¿Cuál es la distinción entre colorantes de tintes y pigmentos? Solución La distinción entre colorantes de colorantes y pigmentos es que un colorante se disuelve en el interior y se convierte en parte de la estructura del polímero, mientras que un pigmento no se disuelve, sino que permanece como una fase separada.

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Técnicas de conformado para plásticos 15.43 Citar cuatro factores que determinan qué técnica de fabricación se utiliza para formar materiales poliméricos. Solución Cuatro factores que determinan qué técnica de fabricación se utiliza para formar los materiales poliméricos son: (1) si el polímero es termoplástico o termoendurecible; (2) si es termoplástico, la temperatura de ablandamiento; (3) la estabilidad atmosférica; y (4) la geometría y tamaño del producto terminado.

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15.44 Técnicas de compresión, inyección y transferencia de contraste que se utilizan para formar materiales plásticos. Solución Esta pregunta requiere que comparemos las técnicas de moldeo de polímeros. Para el moldeo por compresión, tanto el calor como la presión se aplican después de que el polímero y los aditivos necesarios se sitúan entre los miembros del molde. Para el moldeo por transferencia, los materiales sólidos (normalmente de naturaleza termoestable) se funden primero en la cámara de transferencia antes de ser forzados a entrar en la matriz. Y, para el moldeo por inyección (normalmente utilizado para materiales termoplásticos), las materias primas son impulsadas por un pistón a través de una cámara de calentamiento, y finalmente dentro de la cavidad de la matriz.

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Fabricación de fibras y películas 15.45 ¿Por qué los materiales de fibra que son fundidos, hilados y luego estirados, deben ser termoplásticos? Cite dos razones. Solución Los materiales de fibra que son hilados por fusión deben ser termoplásticos porque: (1) Para que se puedan fundir, deben ser capaces de formar un líquido viscoso cuando se calientan, lo que no es posible en el caso de los termoestables. (2) Durante el estirado, la elongación mecánica debe ser posible; en la medida en que los materiales termoendurecibles son, en general, duros y relativamente frágiles, no se alargan fácilmente.

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15.46 ¿Cuál de las siguientes películas delgadas de polietileno tendría las mejores características mecánicas? (1) formado por soplado, o (2) formado por extrusión y luego laminado? Por qué? Solución De los dos polímeros citados, el que se formó por extrusión y luego se laminó tendría la mayor resistencia. Tanto los materiales soplados como los extruidos tendrían una resistencia aproximadamente comparable; sin embargo, la operación de laminación serviría además para mejorar la resistencia del material extruido.

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PREGUNTAS DE DISEÑO

lentes.

15.D1 a) Enumerar varias ventajas y desventajas del uso de materiales poliméricos transparentes para gafas

(b) Cite cuatro propiedades (además de ser transparentes) que son importantes para esta aplicación. (c) Observe tres polímeros que pueden ser candidatos para lentes de gafas, y luego tabule los valores de la variable propiedades indicadas en la parte (b) para estos tres materiales. Solución (a)

Varias de las ventajas de usar materiales poliméricos transparentes para lentes de gafas son: tienen

densidades relativamente bajas y, por lo tanto, son livianas; son relativamente fáciles de rectificar para obtener los contornos deseados; son menos propensos a romperse que las lentes de vidrio; son posibles lentes envolventes para la protección durante las actividades deportivas; y filtran más radiación ultravioleta que las lentes de vidrio. La principal desventaja de este tipo de lentes es que algunos son relativamente blandos y se rayan con facilidad (aunque se pueden aplicar recubrimientos antiarañazos). Las lentes de plástico no son tan estables mecánicamente como el vidrio y, por lo tanto, no son tan precisas desde el punto de vista óptico. (b) Algunas de las propiedades que son importantes para los materiales de lente de polímero son: deben ser relativamente duras para resistir el rayado; deben ser resistentes a los impactos; deben ser resistentes a los astillamientos; deben tener un índice de refracción relativamente alto de tal manera que las lentes delgadas puedan ser rectificadas para personas muy miopes; y deben absorber proporciones significativas de todo tipo de radiación ultravioleta, la cual puede dañar los tejidos oculares. (c) De los polímeros discutidos en este capítulo y en el Capítulo 14, los candidatos probables para lentes son el poliestireno, el poli(metacrilato de metilo) y el policarbonato; estos tres materiales no se cristalizan fácilmente y, por lo tanto, normalmente son transparentes. El policarbonato es el más superior de los tres, previa consulta de la resistencia a la fractura (Tabla B.5 del Apéndice B). Comercialmente, los dos materiales de lente de plástico de elección son el policarbonato y el carbonato de alilo diglicol (que tiene el nombre comercial CR-39). El policarbonato es muy resistente a los impactos, pero no tan duro como el CR-39. Además, el PC viene en grados de índice de refracción normal y alto.

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15.D2 Escribir un ensayo sobre los materiales poliméricos que se utilizan en el envasado de productos alimenticios y bebidas. Incluya una lista de las características generales necesarias de los materiales que se utilizan para estas aplicaciones. Ahora cite un material específico que se utiliza para cada uno de los tres tipos diferentes de envases y la justificación de cada elección. Solución Hay tres requisitos principales para los materiales poliméricos que se utilizan en el empaque de productos alimenticios y bebidas; estos son: (1) suficiente resistencia para incluir resistencia a la tracción, al desgarro y al impacto; (2) protección de la barrera, es decir, resistencia a la permeación por oxígeno, vapor de agua y dióxido de carbono; y (3) no ser reactivo con el contenido de alimentos/bebidas; tales reacciones pueden comprometer la integridad del material de empaque, o pueden producir subproductos tóxicos. Por lo que se refiere a la resistencia, el poli(tereftalato de etileno) (PET o PETE) y el polipropileno orientado (OPP) tienen una alta resistencia a la tracción, el polietileno lineal de baja densidad (LLDPE) y el polietileno de baja densidad (LDPE) tienen una alta resistencia al desgarro, mientras que los polímeros que tienen la mejor resistencia al impacto son el PET y el poli(cloruro de vinilo) (PVC). En relación con las características de barrera, los copolímeros de etileno y alcohol vinílico (EVOH) y poli(cloruro de vinilideno) (PVDC) son relativamente impermeables al oxígeno y al dióxido de carbono, mientras que el polietileno de alta densidad (HDPE), PVDC, polipropileno y LDPE son impermeables al vapor de agua. Los polímeros más comunes son relativamente no reactivos con los productos alimenticios y se consideran seguros; las excepciones son el acrilonitrilo y los plastificantes utilizados en los materiales de PVC. La estética de los polímeros de envasado también es importante en la comercialización de productos alimenticios y bebidas. Algunos serán de colores, muchos están adornados con impresiones, otros necesitan ser transparentes y claros, y muchos necesitan ser resistentes a las rozaduras. Sobre la base de la discusión anterior, a continuación se presentan ejemplos de polímeros que se utilizan para aplicaciones específicas: PET(E) para envases de refrescos; PVC para envases de cerveza; Films LDPE y HDPE para el envasado de pan y productos de panadería.

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15. D3 Escribir un ensayo sobre la sustitución de componentes metálicos de automóviles por polímeros y

materiales compuestos. Aborde los siguientes temas: (1) ¿Qué componentes de automoción (por ejemplo, cigüeñal) utilizan actualmente polímeros y/o compuestos? (2) Específicamente, ¿qué materiales (por ejemplo, polietileno de alta densidad) se están utilizando actualmente? (3) ¿Cuáles son las razones de estas sustituciones? Solución Las principales razones por las que la industria automotriz ha reemplazado los componentes metálicos de los automóviles por polímeros y materiales compuestos son: los polímeros/compuestos (1) tienen densidades más bajas y permiten una mayor eficiencia en el consumo de combustible; (2) pueden producirse a costos más bajos pero con características mecánicas comparables; (3) son en muchos entornos más resistentes a la corrosión; (4) reducen el ruido; y (5) son aislantes térmicamente y, por lo tanto, reducen la transferencia de calor. Estos reemplazos son muchos y variados. Varios son los siguientes: La fascia del parachoques está moldeada de un polipropileno modificado con elastómeros. Las consolas aéreas están hechas de poli(óxido de fenileno) y policarbonato reciclado. Las cubiertas de los balancines están moldeadas por inyección de un compuesto de nylon 6,6 reforzado con fibra de vidrio y mineral. Los reactores convertidores de par, las salidas de agua, las poleas y los pistones de freno, están hechos de compuestos fenólicos termoestables que están reforzados con fibras de vidrio. Los colectores de admisión de aire están fabricados en nylon 6,6 reforzado con fibra de vidrio.

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CAPÍTULO 16

COMPOSITIVOS

SOLUCIONES DE PROBLEMAS

Compuestos de partículas grandes 16.1

Las propiedades mecánicas del aluminio pueden mejorarse incorporando partículas finas de óxido

de aluminio (Al2O3). Dado que los módulos de elasticidad de estos materiales son, respectivamente, 69 GPa (10

106

psi) y 393 GPa (57 106 psi), trazar el módulo de elasticidad frente al porcentaje de volumen de Al2O3 en Al de 0 a 100 % vol%, utilizando expresiones de ligazón superior e inferior. Solución A continuación se muestra el módulo elástico frente al porcentaje de volumen de Al2O3, en el que se incluyen las curvas límite superior e inferior; estas curvas se generaron utilizando las ecuaciones 16.1 y 16.2, respectivamente, y utilizando los módulos de elasticidad para aluminio y Al2O3 que se dieron en el planteamiento del problema.

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16.2 Estime los valores máximos y mínimos de conductividad térmica para un cermet que contiene partículas de carburo de titanio (TiC) de 85 vol% en una matriz de cobalto. Supongamos conductividades térmicas de 27 y 69 W/m-K para el TiC y Co, respectivamente. Solución Este problema requiere los valores máximos y mínimos de conductividad térmica para un cermet TiC-Co. Usando una forma modificada de la Ecuación 16.1, la conductividad térmica máxima kmax se calcula de la siguiente manera kmax = kmVm + k pVp = kCoVCo + kTiCVTiC

= (69 W/m - K)(0,15) + (27 W/m - K)(0,85) = 33,3 W/m - K Usando una forma modificada de la Ecuación 16.2, la conductividad térmica mínima kmin será kmin =kCokTiC VCokTiC VTiCkCo =(69 W/m - K)(27 W/m - K) (0,15)(27 W/m - K) 0,85)(69 W/m - K)

= 29,7 W/m-K

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16.3 Debe prepararse un compuesto de partículas de tungsteno en una matriz de cobre. Si las fracciones de volumen de tungsteno y cobre son 0.60 y 0.40, respectivamente, estime el límite superior para la rigidez específica de este compuesto teniendo en cuenta los datos que siguen. Gravedad Específica

Módulo de elasticidad (GPa)

Cobre

8.9

110

Tungsteno

19.3

407

Solución Dados los módulos elásticos y las gravedades específicas para el cobre y el tungsteno, se nos pide que estimemos la parte superior de la estructura. para rigidez específica cuando las fracciones de volumen de tungsteno y cobre son 0.60 y 0.40, respectivamente. Allí son dos enfoques que pueden aplicarse para resolver este problema. El primero es estimar tanto los límites superiores del módulo elástico[Ec(u)] como la gravedad específicac) para el compuesto, usando expresiones de la forma de la Ecuación 16.1, y entonces toma su proporción. Usando este enfoque Ec(u) = ECuVCu + EWVW

= (110 GPa)(0.40) + (407 GPa)(0.60)

= 288 GPa

Y

c

= CuVCu + WVW

= (8.9)(0.40) + (19.3)(0.60) = 15.14

Por lo tanto Rigidez específica = Ec

(u) 288 GPa

19.0 GPa

c15 .14

Con el método alternativo, se calcula la rigidez específica, empleando de nuevo una modificación de la Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

ecuación 16.1, pero utilizando el producto de fracción de volumen y rigidez específica para ambos metales, como se indica a continuación:

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Rigidez específica =

ECu Cu

= 110 GPa 8.9

(0.40) +

V+

EW

V

CuW W

407 GPa

(0.60) = 17.6 GPa 19.3

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

16.4 (a) ¿Cuál es la distinción entre cemento y concreto? (b) Citar tres limitaciones importantes que restringen el uso del concreto como material estructural. (c) Explique brevemente tres técnicas que se utilizan para reforzar el hormigón por armadura. Solución (a) El concreto consiste en un agregado de partículas que son unidas entre sí por un cemento. (b) Tres limitaciones del hormigón son: (1) es un material relativamente débil y quebradizo; (2) experimenta expansiones térmicas relativamente grandes (contracciones) con cambios de temperatura; y (3) puede agrietarse cuando se expone a ciclos de congelación y descongelación. (c) Tres técnicas de refuerzo de refuerzo son: (1) refuerzo con alambres de acero, varillas, etc.; (2) refuerzo con fibras finas de un material de alto módulo; y (3) introducción de tensiones compresivas residuales mediante pretensado o postesado.

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Compuestos reforzados por dispersión 16.5

Citar una similitud y dos diferencias entre el endurecimiento por precipitación y el fortalecimiento

por dispersión. Solución La similitud entre el endurecimiento por precipitación y el fortalecimiento por dispersión es el mecanismo de fortalecimiento, es decir, los precipitados/partículas obstaculizan efectivamente el movimiento de dislocación. Las dos diferencias son: (1) el efecto de endurecimiento/fortalecimiento no se retiene a temperaturas elevadas para el endurecimiento por precipitación - sin embargo, se retiene para el fortalecimiento por dispersión; y (2) la resistencia se desarrolla mediante un tratamiento térmico para el endurecimiento por precipitación - tal no es el caso para el fortalecimiento por dispersión.

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

Influencia de la longitud de la fibra 16.6 Para algunas combinaciones de matriz de fibra de vidrio con epoxi, la relación crítica entre la longitud de la fibra y el diámetro de la fibra es de 50. Usando los datos de la Tabla 16.4, determine la fuerza de adhesión de la matriz de fibra. Solución Este problema requiere que, para una combinación de matriz de fibra de vidrio y epoxi, se determine la fuerza de unión entre la fibra y la matriz de fibra si la relación crítica entre la longitud de la fibra y el diámetro de la fibra es de 50. Por lo tanto, debemos resolver para c en la Ecuación 16.3. Desde que lc se obtiene que = 3,45 GPa de la Tabla 16.4, y que = 50, entonces fd

d

= (3,45 103 MPa cf 2 l  

11

= 34,5 MPa







Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

16.7 (a) Para un compuesto reforzado con fibra, la eficiencia de la armadura η depende de la longitud de la fibra l según l 2x l donde x representa la longitud de la fibra en cada extremo que no contribuye a la transferencia de carga. Haga una trama de η versus l a l = 40 mm (1,6 pulg.) suponiendo que x = 0,75 mm (0,03 pulg.). (b) ¿Qué longitud se requiere para una eficiencia de 0.80 de refuerzo? Solución (a) A continuación se presenta el gráfico de la eficiencia de la armadura en comparación con la longitud de la fibra.

(b) Esta parte del problema requiere la longitud requerida para una eficiencia de 0.80 de refuerzo. Resolviendo para l a partir de la expresión dada

l= 

2x 

 O, cuando x = 0,75 mm (0,03 pulg.) y = 0,80, entonces l=

(2)(0.75 mm) 1  0.80

= 7.5 mm (0.30 in.)

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

Influencia de la orientación y concentración de las fibras 16.8 Se producirá un compuesto continuo y alineado reforzado con fibras compuesto de 30 % vol. de fibras de aramida y 70 % vol. de una matriz de policarbonato; las características mecánicas de estos dos materiales son las siguientes: Módulo de elasticidad [GPa (psi)]

Resistencia a la tracción[MPa (psi)]

131 (19 × 1063600) 2.4 (3.5 × 10565)

Fibra de aramida Policarbonato

(520,000) (9425)

Además, la tensión en la matriz de policarbonato cuando fallan las fibras de aramida es de 45 MPa (6500 psi). Para este compuesto, calcule (a) la resistencia a la tracción longitudinal, y (b) el módulo longitudinal de elasticidad Solución Este problema nos obliga a calcular la resistencia a la tracción longitudinal y el módulo elástico de un compuesto de policarbonato reforzado con fibra de aramida. (a) La resistencia a la tracción longitudinal se determina utilizando la ecuación 16.17 como (1 V + V clff f

= (45 MPa)(0.70) + (3600)(0.30)

= 1100 MPa (160, 000 psi)

(b) El módulo elástico longitudinal se calcula utilizando la ecuación 16.10a como Ecl = EmVm + E f V f

= (2.4 GPa)(0.70) + (131 GPa)(0.30) = 41 GPa (5.95 106 psi) Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

16.9 ¿Es posible producir un compuesto continuo y orientado de matriz de fibra de aramida y epoxi con módulos de elasticidad longitudinal y transversal de 57.1 GPa (8.28

106

psi) y 4.12 GPa (6 105 psi),

respectivamente? ¿Por qué o por qué no? Supongamos que el módulo de elasticidad del epoxi es de 2,4 GPa (3,50 105

psi). Solución Este problema nos obliga a determinar si es posible producir un compuesto de matriz epoxi de fibra de

aramida continua y orientada con módulos de elasticidad longitudinal y transversal de 57,1 GPa y 4,12 GPa, respectivamente, dado que el módulo de elasticidad del epoxi es de 2,4 GPa. Además, de la Tabla 16.4 el valor de E para las fibras de aramida es de 131 GPa. El enfoque para resolver este problema es calcular los valores de Vf tanto para casos longitudinales como transversales usando los datos y las ecuaciones 16.10b y 16.16; si los dos valores de Vf son los mismos entonces esto compuesto es posible. Para el módulo longitudinal Ecl (utilizando la ecuación 16.10b), Ecl = Em(1 V fl) + E f V fl 57,1 GPa = (2,4 GPa)(1 V fl) + (131 GPa)V fl Resolviendo esta expresión para Vfl (es decir, la fracción de volumen de las fibras para el caso longitudinal) se obtiene Vfl = 0.425. Ahora, repitiendo este procedimiento para el módulo transversal Ect (usando la Ecuación 16.16) f

Ect

4,12 GPa =

=EmE (1 V ft) E f V ft Em (2,4 GPa)(131 GPa)

(1 V ) (131 GPa) V (2.4 GPa) ft ft

Resolviendo esta expresión para Vft (es decir, la fracción de volumen de las fibras para el caso transversal), conduce a Vft = 0.425. Por lo tanto, dado que Vfl y Vft son iguales, el compuesto propuesto es posible.

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16.10

Para un compuesto continuo y orientado reforzado con fibra, los módulos de elasticidad en las

direcciones longitudinal y transversal son 19.7 y 3.66 GPa (2.8

106

y 5.3 105 psi), respectivamente. Si la fracción

volumétrica de las fibras es de 0,25, determinar los módulos de elasticidad de las fases de la fibra y de la matriz. Solución Este problema nos obliga a calcular los módulos elásticos de las fases de fibra y matriz para un compuesto continuo y orientado reforzado con fibra. Podemos escribir expresiones para los módulos elásticos longitudinales y transversales usando las ecuaciones 16.10b y 16.16, como Ecl = Em(1 V f) + E f V f 19,7 GPa = Em (1 ,25) + E f (0,25)

Y f

Ec t

=EmE (1 V f) E f V f Em

3,66 GPa =Em

Ef (1 ,25)E f ,25Em

Resolver estas dos expresiones simultáneamente para Em y Ef conduce a

Em

Ef

= 2.79 GPa (4.04 105 psi) = 70.4 GPa (10.2 106 psi)

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

16.11 (a) Verificar que la Ecuación 16.11, la expresión para la relación de carga de la matriz de carga de fibra (Ff/Fm), sea válida. (b) ¿Cuál es la relación Ff/Fc en términos de Ef, Em y Vf? Solución (a) Para mostrar que la relación en la Ecuación 16.11 es válida, comenzamos con la Ecuación 16.4-es decir, Fc Fm Ff

que pueden ser manipulados a la forma Ff

Fc

=1+ FmFm o Ff = FmFm

Fc

1

Para la deformación elástica, combinando las ecuaciones 6.1 y 6.5 =F

=

E

A

o

F = AE Podemos escribir expresiones para Fc y Fm del formulario anterior como Fc = AcEc Fm = AmEm que, cuando se sustituye en la expresión anterior por Ff/Fm, da como resultado Ff =Acción 1 FmAm Em

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

Pero, Vm = Am/Ac, que, al reordenarse, da Ac 1 AmVm

que, cuando se sustituye en la expresión anterior, conduce a Ff =Ec 1 FmEmVm También, de la Ecuación 16.10a, Ec = EmVm + EfVf, que, cuando se sustituye Ec en la expresión anterior, produce FfEmVm E f V f = FmEmVm

=

EmVm E f V f EmVm EmVm

 1

=

EfVf EmVm

el resultado deseado. (b) Esta parte del problema nos pide que establezcamos una expresión para Ff/Fc. Determinamos esta relación de manera similar. Ahora Fc = Ff + Fm (Ecuación 16.4), o división por Fc lleva a

1=

Ff + Fm Fc Fc

que, tras la reorganización, da Ff =1 FcFc

Fm

Ahora, la sustitución de las expresiones en parte (a) por Fm y Fc que resultaron de la combinación de las Ecuaciones 6.1 y 6.5 resulta en Ff =1

AmEm = 1 AmEm FcAcEc AcEc

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Puesto que la fracción de volumen de las fibras es igual a Vm = Am/Ac, entonces la ecuación anterior puede ser escrita en la forma Ff

VmEm =1 FcEc

Y, finalmente, la sustitución de la Ecuación 16.10(a) por Ec en la ecuación anterior conduce al resultado deseado como sigue: Ff

VmEm =1 FcVmEm V f E f VmEm V f E f VmEm

=

VmEm V f E f





VfEf VmEm V f E f VfEf

(1 V f) Em V f E f

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16.12 En un compuesto de nylon 6,6 reforzado con fibra de vidrio continuo y alineado, las fibras deben soportar el 94% de una carga aplicada en dirección longitudinal. (a) Usando los datos proporcionados, determine la fracción de volumen de fibras que se requerirá. (b) ¿Cuál será la resistencia a la tracción de este compuesto? Supongamos que la tensión de la matriz en caso de fallo de la fibra es de 30 MPa (4350 psi). Módulo de elasticidad [GPa (psi)]

Resistencia a la tracción [MPa (psi)]

72,5 (10,5 × 1063400)

Vidriofiber Nylon6,6

3.0 (4.35 ×

(490.000)

10576

)

(11,000)

Solución (a) Dados algunos datos para un compuesto de nylon 6,6 reforzado con fibra de vidrio continuo y alineado, se nos pide que calculemos la fracción de volumen de las fibras que se requieren de tal manera que las fibras soporten el 94% de una carga aplicada en la dirección longitudinal. De la Ecuación 16.11 Ff

EfVf fVf =E = FmEmVm Em (1 V f)

Ahora, usando los valores para Ff y Fm de la declaración del problema Ff

0,94 = = 15,67 Fm0.06

Y cuando sustituimos los valores dados para Ef y Em en la primera ecuación nos lleva a Ff

72,5 GPa)V f = 15,67 =( Fm(3.0 GPa)(1 V f)

Y, resolviendo para los rendimientos de Vf, Vf = 0,393.

(b) Ahora se nos pide la resistencia a la tracción de este compuesto. De la ecuación 16.17, (1 V + V clff f

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

= (30 MPa)(1 ,393) + (3400 MPa)(0,393)

= 1354 MPa (196,400 psi) ya que los valores para 3400 MPa) y ' (30 MPa) se dan en la declaración del problema. fm

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

16.13 Supongamos que el compuesto descrito en el Problema 16.8 tiene un área de sección transversal de 320 mm2 (0,50 pulg. 2) y está sujeto a una carga longitudinal de 44.500 N (10.000 lbf). (a) Calcule la relación de carga de la matriz de fibra. (b) Calcule las cargas reales que soportan tanto las fases de fibra como las de matriz. (c) Calcular la magnitud de la tensión en cada una de las fases de la fibra y de la matriz. (d) ¿Qué tensión experimenta el compuesto? Solución El problema estipula que el área de la sección transversal de un compuesto, Ac, es de 320 mm2 (0,50 pulg. 2), y la carga longitudinal, Fc, es de 44.500 N (10.000 lbf) para el compuesto descrito en Problema 16.8. Además, para esto compuesto Vf = 0,3 Vm = 0,7 Ef =

131 GPa

Em =

2,4 GPa

(a) En primer lugar, se nos pide que calculemos la relación Ff/Fm. Según la ecuación 16.11 Ff

E f V f = (131 GPa)(0.30) = = 23.4 FmEmVm (2,4 GPa)(0,70)

O bien, Ff = 23.4Fm (b) Ahora, se requieren las cargas reales transportadas por ambas fases. De la Ecuación 16.4 Ff + Fm = Fc = 44, 500 N

23.4Fm + Fm = 44, 500 N

lo que lleva a Fm = 1824 N (410 lbf) Ff = Fc Fm = 44, 500 N 1824 N = 42, 676 N (9590 lbf)

(c) Para calcular la tensión en cada una de las fases, primero es necesario conocer las áreas de la sección transversal tanto de la fibra como de la matriz. Éstos se determinan como

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

Af

= V f Ac = (0,30)(320 mm2) = 96 mm2 (0,15 pulg. 2)

Am

= Vm Ac = (0,70)(320 mm2) = 224 mm2 (0,35 pulg. 2)

Ahora, las tensiones se determinan usando la Ecuación 6.1 como Ff

m

, 676 N= = Ff =42 445 106 N/m2 = 445 MPa (63, 930 psi) fAf (96 mm2)(1 m /1000 mm)2

=

Fm =1824 N= 8.14 106 N/m2 = 8.14 MPa (1170 psi) Am (224 mm2)(1 m /1000 mm)2

(d) La tensión en el compuesto es la misma que la tensión en cada una de las fases de la matriz y de la fibra; la aplicación de la Ecuación 6.5 tanto a la matriz como a las fases de la fibra conduce a m

=

m

Em

f

= fE

f

=

8 ,14 MPa=

3,39 10-3

2,4 103 MPa MPa= =445 3,39 10-3 131 103 MPa

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

16.14 Un compuesto continuo y alineado reforzado con fibras con un área de sección transversal de 1130 mm2 (1,75 pulg. 2) se somete a una carga de tracción externa. Si las tensiones soportadas por las fases de fibra y matriz son 156 MPa (22,600 psi) y 2.75 MPa (400 psi), respectivamente, la fuerza soportada por la fase de fibra es 74,000 N (16,600 lbf) y la deformación longitudinal total es 1.25 10-3, determine (a) la fuerza sostenida por la fase matricial (b) el módulo de elasticidad del material compuesto en la dirección longitudinal, y (c) los módulos de elasticidad para las fases de fibra y matriz. Solución (a) Para esta parte del problema se nos pide que calculemos la fuerza sostenida por la fase matricial. Primero es necesario calcular la fracción de volumen de la fase matriz, Vm. Esto puede lograrse determinando primero Vf y luego Vm a partir de Vm = 1 - Vf. El valor de Vf se puede calcular desde entonces, a partir de la definición de tensión (Ecuación 6.1), y realizando Vf = Af/Ac como Ff

por: akallabeth@TheSubFactory = Ff =Traducido V f Ac fAf

O, resolver para Vf V=Ff ff

f Ac

=74

(156

106 N / m2

, 000 N= 0.420 )(1130 mm2)(1 m /1000 mm)2

También Vm = 1 V f

= 1 ,420 = 0,580

Y, una expresión para m análoga a la de f arriba es Fm

= Fm =Fm Vm mAm Ac

De la cual Fm = Vm m Ac = (0.580)(2.75 106 N/m2

)(1.13 10-3 m2) = 1802 N (406 lbf)

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

(b) Ahora se nos pide que calculemos el módulo de elasticidad en la dirección longitudinal. Esto es posible Fm Ff = = dándose cuenta (de la Ecuación 6.1). Así  (de la Ecuación 6.5) y que c Ac de que Ec Fm Ff E = c 

c

Ac

 Fm Ff



Ac

N 74, 000 N= =1802 53.7 109 N/m2 = 53.7 GPa (7.77 106 psi) (1,25 103)(1130 mm2)(1 m /1000 mm)2

(c) Finalmente, es necesario determinar los módulos de elasticidad para las fases de fibra y matriz. Esto es posible asumiendo la ecuación 6.5 para la fase de la matriz, es decir,.., E= m m m

y, puesto que se trata de un estado isostático, m = c = 1,25 10-3. Así

=

Em

= 2,75 106 N / m2 1.25 10 3 c m

= 2,2 109 N/m2

= 2.2 GPa (3.2 105 psi)

El módulo elástico para la fase de la fibra puede calcularse de manera análoga: f E= = ff f

= 156 106 N / m2 1,25 103 c f

= 1.248 1011 N/m2

= 124.8 GPa (18.1 106 psi)

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16.15 Calcule la resistencia longitudinal de un compuesto de matriz epoxi-fibra de carbono alineado que tenga una fracción de volumen de 0,25 de fibras, suponiendo lo siguiente: (1) un diámetro promedio de fibra de 10 10-3 mm (3,94 10-4 pulg.), (2) una longitud promedio de fibra de 5 mm (0,20 pulg.), (3) una resistencia a la fractura de la fibra de 2,5 GPa (3,625 105 psi), (4) una fibra una resistencia a la adhesión de la matriz de 80 MPa (11.600 psi), (5) una tensión de la matriz en caso de fallo de la fibra de 10,0 MPa (1450 psi) y (6) una resistencia a la tracción de la matriz de 75 MPa (11.000 psi). Solución Primero es necesario calcular el valor de la longitud crítica de la fibra usando la Ecuación 16.3. Si la longitud de la fibra es mucho mayor que lc, entonces podemos determinar la resistencia longitudinal usando la Ecuación 16.17, de lo contrario, el uso de es necesaria la Ecuación 16.18 o la Ecuación 16.19. Así, de la Ecuación 16.3

lc =

f

= c

(2,5 103 MPa)(10 103 mm) 2 (80 MPa)

= 0,16 mm

En la medida en que l >> lc (5.0 mm >> 0.16 mm), entonces el uso de la Ecuación 16.17 es apropiado. Por lo tanto, (1 V + V clff f

= (10 MPa)(1 - 0.25) + (2.5 103 MPa)(0.25)

= 633 MPa (91,700 psi)

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

16.16 Se desea producir un compuesto de matriz epoxi-fibra de carbono alineado con una resistencia a la tracción longitudinal de 750 MPa (109.000 psi). Calcule la fracción de volumen de las fibras necesarias si (1) el diámetro y la longitud promedio de la fibra son de 1,2 10-2 mm (4,7 10-4 pulg.) y 1 mm (0,04 pulg.), respectivamente; (2) la resistencia a la fractura de la fibra es de 5000 MPa (725.000 psi); (3) la resistencia a la adhesión de la matriz de fibra es de 25 MPa (3625 psi); y (4) la tensión de la matriz en caso de falla de la fibra es de 10 MPa (1450 psi). Solución Primero es necesario calcular el valor de la longitud crítica de la fibra usando la Ecuación 16.3. Si la longitud de la fibra es mucho mayor que lc, entonces podemos determinar Vf usando la Ecuación 16.17, de lo contrario, usar la Ecuación 16.18 o La ecuación 16.19 es necesaria. Así,

lc =

d (5000 MPa)(1.2 102 mm) 2 (25 MPa) 2 c f

=

= 1,20 mm

En la medida en que l < lc (1.0 mm < 1.20 mm), entonces se requiere el uso de la Ecuación 16.19. Por lo tanto, 

= lc

V+ ' (1 V

cd' df

750 MPa =

(1,0 103 m) (25 MPa) (V 0.012

10 m

) + (10 MPa)(1 V f)

Resolver esta expresión para Vf lleva a Vf = 0.357.

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

16.17 Calcule la resistencia a la tracción longitudinal de un compuesto de matriz de epoxi-fibra de vidrio alineado en el que el diámetro y la longitud promedio de la fibra son de 0,010 mm (4 10-4 pulg.) y 2,5 mm (0,10 pulg.), respectivamente, y la fracción volumétrica de las fibras es de 0,40. Supongamos que (1) la fuerza de adhesión de la matriz de fibra es de 75 MPa (10.900 psi), (2) la fuerza de fractura de las fibras es de 3500 MPa (508.000 psi), y (3) la tensión de la matriz en caso de fallo de la fibra es de 8,0 MPa (1160 psi). Solución Primero es necesario calcular el valor de la longitud crítica de la fibra usando la Ecuación 16.3. Si la longitud de la fibra es mucho mayor que lc, entonces podemos determinar usando la Ecuación 16.17, de lo cl

contrario, el uso de cualquiera de las Ecuaciones 16.18 o 16.19 es necesario. Así,  lc =

f

= c

(3500 MPa)(0,010 mm) = 0,233 mm (0,0093 pulg.) 2 (75 MPa)

En la medida en que l > lc (2,5 mm > 0,233 mm), pero como l no es mucho mayor que lc, es necesario utilizar la ecuación 16.18. Por lo tanto, lc cdf



f



+ ' (1 V  2



m

f

 0,233 mm = (3500 MPa)(0,401  + (8,0 MPa)(1 ,40)  2)(2,5 mm) 

 

= 1340 MPa (194,400 psi)

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

16.18 (a) A partir de los datos de los módulos de elasticidad de la Tabla 16.2 para los compuestos de policarbonato reforzado con fibra de vidrio, determine el valor del parámetro de eficiencia de la fibra para cada una de las fibras de 20, 30 y 40 vol%. (b) Estimar el módulo de elasticidad para 50 % vol% de fibras de vidrio. Solución (a) Esta parte del problema requiere el cálculo de los valores del parámetro de eficiencia de la fibra. De la Ecuación 16.20

Ecd

= KE f V f

+ EmVm

Resolviendo esta expresión para K produce K = Ecd EmVm EfVf

= Ecd Em

(1 V f)

EfVf

Para las fibras de vidrio, Ef = 72,5 GPa (Tabla 16.4); utilizando los datos de la Tabla 16.2, y tomando un promedio de los valores extremos de Em valores dados, Em = 2.29 GPa (0.333 106 psi). Y, para Vf = 0,20

K=

5.93 GPa 2.29 GPa)(1 .2) = 0.283 (72.5 GPa)(0.2)

Para Vf = 0.3 K=

8.62 GPa 2.29 GPa)(1 .3) = 0.323 (72.5 GPa)(0.3)

K=

11.6 GPa 2.29 GPa)(1 .4) = 0.353 (72.5 GPa)(0.4)

Y, para Vf = 0,4

(b) Para 50 vol% de fibras (Vf = 0.50), debemos asumir un valor para K. Puesto que está aumentando con Vf, estimemos que aumenta en la misma cantidad que al pasar de 0.3 a 0.4, es decir, en un valor de 0.03. Por lo tanto, asumamos un valor para K de 0.383. Ahora, de la Ecuación 16.20

Ecd

= KE f V f

+ EmVm

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

= (0.383)(72.5 GPa)(0.5) + (2.29 GPa)(0.5) = 15.0 GPa (2.18 106 psi)

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La fase de la fibra La fase de la matriz 16.19 Para un compuesto reforzado con fibra de matriz polimérica, (a) Enumere tres funciones de la fase matricial. (b) Comparar las características mecánicas deseadas de las fases de la matriz y de la fibra. (c) Cite dos razones por las que debe haber una fuerte unión entre la fibra y la matriz en su interfaz. Solución (a) Para los compuestos reforzados con fibra de matriz de polímero, tres funciones de la fase de matriz de polímero son: (1) para unir las fibras de modo que la tensión aplicada se distribuya entre las fibras; (2) para proteger la superficie de las fibras de ser dañadas; y (3) para separar las fibras e inhibir la propagación de la grieta. (b) La fase matricial debe ser dúctil y suele ser relativamente blanda, mientras que la fase de la fibra debe ser rígida y fuerte. (c) Debe haber un fuerte vínculo interfacial entre la fibra y la matriz con el fin de: (1) maximizar la transmisión de tensión entre la matriz y las fases de la fibra; y (2) minimizar la extracción de la fibra y la probabilidad de fallo.

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

16.20 a) ¿Cuál es la distinción entre las fases matriz y dispersa en un material compuesto? b) Contrastar las características mecánicas de la matriz y de las fases dispersas de los materiales compuestos reforzados con fibras. Solución (a) La fase matricial es una fase continua que rodea a la fase dispersa no continua. (b) En general, la fase matriz es relativamente débil, tiene un bajo módulo elástico, pero es bastante dúctil. Por otro lado, la fase de la fibra es normalmente bastante fuerte, rígida y quebradiza.

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

Compuestos de matriz polimérica 16.21 (a) Calcular y comparar las resistencias longitudinales específicas de los compuestos epóxicos reforzados con fibra de vidrio, fibra de carbono y fibra de aramida en la Tabla 16.5 con las siguientes aleaciones: acero inoxidable martensítico templado (315C) 440A, acero al carbono plano normalizado 1020, aleación de aluminio 2024-T3, latón de corte libre trabajado en frío (temperatura HO2) C36000, aleación de magnesio laminada AZ31B y aleación de titanio templada Ti-6Al-4V. b) Comparar los módulos específicos de los mismos tres compuestos epoxídicos reforzados con fibras con las mismas aleaciones metálicas. Las densidades (es decir, gravedades específicas), resistencias a la tracción y módulos de elasticidad para estas aleaciones metálicas se pueden encontrar en las Tablas B.1, B.4 y B.2, respectivamente, en el Apéndice B. Solución (a) Esta parte del problema requiere que calculemos las resistencias longitudinales específicas de los compuestos epóxicos reforzados con fibra de vidrio, fibra de carbono y fibra de aramida, y que luego comparemos estos valores con las resistencias específicas de varias aleaciones metálicas. La resistencia específica longitudinal del material epóxico reforzado con fibra de vidrio (Vf = 0,60) de la Tabla 16.5 es simplemente la relación entre la resistencia a la tracción longitudinal y la gravedad específica, según se indica a continuación 1020 MPa = 486 MPa 2.1

Para el epoxi reforzado con fibra de carbono 1240 MPa = 775 MPa 1.6

Y, para el epoxi reforzado con fibra de aramida 1380 MPa = 986 MPa 1.4

Ahora, para las aleaciones metálicas utilizamos los datos que se encuentran en las Tablas B.1 y B.4 del Apéndice B (usando los valores de densidad de la Tabla B.1 para las gravedades específicas). Para el acero martensítico templado 440A 1790 MPa = 229 MPa 7.80 Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

Para el acero al carbono plano 1020 normalizado, la relación es de

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

440 MPa = 56 MPa 7.85

Para la aleación de aluminio 2024-T3 485 MPa

= 175 MPa

2.77

Para el C36000 de latón (trabajado en frío) 400 MPa = 47 MPa 8.50

Para la aleación de magnesio AZ31B (laminada) 290 MPa

= 164 MPa

1.77

Para la aleación de titanio recocida Ti-6Al-4V 900 MPa

= 203 MPa

4.43

(b) El módulo específico longitudinal es sólo la relación de gravedad del módulo de tracción longitudinal específico. Para el epoxi reforzado con fibra de vidrio, esta relación es de 45 GPa = 21,4 GPa 2.1

Para el epoxi reforzado con fibra de carbono 145 GPa = 90.6 GPa 1.6

Y, para el epoxi reforzado con fibra de aramida 76 GPa = 54.3 GPa 1.4

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

Los módulos específicos para las aleaciones metálicas (tablas B.1 y B.2) son los siguientes: Para el acero martensítico templado 440A 200 GPa

= 25.6 GPa

7.80

Para el acero al carbono plano 1020 normalizado 207 GPa = 26,4 GPa 7.85

Para la aleación de aluminio 2024-T3 72.4 GPa

= 26.1 GPa

2.77

Para el latón trabajado en frío C36000 97 GPa

= 11.4 GPa

8.50

Para la aleación de magnesio laminada AZ31B 45 GPa = 25.4 GPa 1.77

Para la aleación de titanio Ti-6Al-4V 114 GPa

= 25.7 GPa

4.43

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

16.22 (a) Enumere cuatro razones por las que las fibras de vidrio se utilizan más comúnmente para el refuerzo. (b) ¿Por qué es tan importante la perfección superficial de las fibras de vidrio? (c) ¿Qué medidas se toman para proteger la superficie de las fibras de vidrio? Solución (a)

Las cuatro razones por las que las fibras de vidrio se utilizan más comúnmente para el refuerzo se

enumeran al principio de la Sección 16.8 bajo "Compuestos de Polímeros Reforzados con Fibra de Vidrio (GFRP, Glass Fiber-Reinforced Polymer) Composites". (b) La perfección superficial de las fibras de vidrio es importante porque las fallas o grietas superficiales actúan como puntos de concentración de tensiones, lo que reducirá drásticamente la resistencia a la tracción del material. (c) Se debe tener cuidado de no frotar o desgastar la superficie después de que las fibras se dibujan. Como protección de la superficie, las fibras recién estiradas se recubren con una película protectora de la superficie.

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

16.23 Citar la distinción entre carbono y grafito. Solución El "grafito" es carbono cristalino con la estructura que se muestra en la figura 12.17, mientras que el "carbono" estará formado por algún material no cristalino, así como por áreas de desalineación cristalina.

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16.24 (a) Citar varias razones por las que los compuestos reforzados con fibra de vidrio se utilizan ampliamente. (b) Citar varias limitaciones de este tipo de compuestos. Solución (a) Las razones por las que los compuestos reforzados con fibra de vidrio se utilizan ampliamente lo son: (1) las fibras de vidrio son muy baratas de producir; (2) estos compuestos tienen resistencias específicas relativamente altas; y (3) son químicamente inertes en una amplia variedad de ambientes. (b) Varias limitaciones de estos compuestos son: (1) se debe tener cuidado al manipular las fibras en la medida en que son susceptibles a daños en la superficie; (2) carecen de rigidez en comparación con otros materiales compuestos fibrosos; y (3) están limitadas en cuanto al uso de la temperatura máxima.

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Compuestos híbridos 16.25 a) ¿Qué es un compuesto híbrido? (b) Enumere dos ventajas importantes de los compuestos híbridos sobre los compuestos de fibra normales. Solución (a) Un compuesto híbrido es un compuesto que se refuerza con dos o más materiales de fibra diferentes en una sola matriz. (b) Dos ventajas de los compuestos híbridos son: (1) mejores combinaciones de propiedades en general, y (2) las fallas no son tan catastróficas como con los compuestos de una sola fibra.

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16.26 (a) Escriba una expresión para el módulo de elasticidad para un compuesto híbrido en el que todas las fibras de ambos tipos estén orientadas en la misma dirección. (b) Utilizando esta expresión, calcular el módulo longitudinal de elasticidad de un compuesto híbrido consistente en fibras de aramida y vidrio en fracciones de volumen de 0,30 y 0,40, respectivamente, dentro de una matriz de resina de poliéster[ Em = 2,5 GPa (3,6 105 psi)]. Solución (a) Para un compuesto híbrido que tenga todas las fibras alineadas en la misma dirección Ecl = EmVm + E f 1V f 1 + E f 2V f 2

en el que los subíndices f1 y f2 se refieren a los dos tipos de fibras. (b) Ahora se nos pide calcular el módulo elástico longitudinal para un compuesto híbrido de fibra de vidrio y aramida. De la Tabla 16.4, los módulos elásticos de las fibras de aramida y vidrio son, respectivamente, 131 GPa (19 106 psi) y 72.5 GPa (10.5 106 psi). Así, de la expresión anterior Ecl = (2.5 GPa)(1.0 .30 .40) + (131 GPa)(0.30) + (72.5 GPa)(0.40)

= 69.1 GPa

(10.0 106 psi)

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16.27

Derivar una expresión generalizada análoga a la Ecuación 16.16 para el módulo de elasticidad

transversal de un compuesto híbrido alineado que consiste en dos tipos de fibras continuas. Solución Este problema nos pide que derivemos una expresión generalizada análoga a la Ecuación 16.16 para el módulo de elasticidad transversal de un compuesto híbrido alineado que consiste en dos tipos de fibras continuas. Denotemos los subíndices f1 y f2 para los dos tipos de fibra, y los subíndices m , c, y t para la matriz, compuesto, y dirección transversal, respectivamente. Para el estado isostático, las expresiones análogas a las ecuaciones 16.12 y 16.13 son c=m=f1=f2

Y = mVm + f 1V f 1 + f 2V f 2

c

Puesto que = /E (Ecuación 6.5), haciendo sustituciones de la forma de esta ecuación en la expresión anterior se obtiene   +  Vm =Vm Ef Vf Ect Em 1

1

+

 Ef Vf2 2

Así 1

=

=

+Vf2 Vm V f 1 + ECTEMa f 1 Ef2

VmE f 1E f 2 V f 1EmE f 2 V f 2EmE f 1 EmE f 1E f 2

Y, finalmente, tomar el recíproco de esta ecuación lleva a f 1E f 2

Ect

=EmE VmE f 1E f 2 V f 1EmE f 2 V f 2EmE f 1

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Procesamiento de compuestos reforzados con fibra 16.28 Describa brevemente los procesos de pultrusión, bobinado de filamentos y fabricación de preimpregnados; mencione las ventajas y desventajas de cada uno. Solución Los procesos de pultrusión, bobinado de filamentos y fabricación de preimpregnados se describen en la Sección 16.13. Para la pultrusión, las ventajas son: el proceso puede ser automatizado, las tasas de producción son relativamente altas, una amplia variedad de formas con secciones transversales constantes son posibles, y se pueden producir piezas muy largas. La principal desventaja es que las formas se limitan a las que tienen una sección transversal constante. En el caso del bobinado de filamentos, las ventajas son: el proceso puede automatizarse, es posible una variedad de patrones de bobinado y se ofrece un alto grado de control sobre la uniformidad y orientación del bobinado. La principal desventaja es que la variedad de formas es algo limitada. Para la producción de preimpregnados, las ventajas son: no es necesario añadir resina al preimpregnado, la disposición de la capa en relación con la orientación de las capas individuales es variable, y el proceso de colocación puede ser automatizado. Las principales desventajas de esta técnica son que el curado final es necesario después de la fabricación, y los preimpregnados termoestables deben almacenarse a temperaturas subambientales para evitar el curado completo.

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Paneles sándwich de compuestos laminares 16.29 Describa brevemente los compuestos laminares. ¿Cuál es la razón principal para fabricar estos materiales? Solución Los compuestos laminares son una serie de láminas o paneles, cada uno de los cuales tiene una dirección preferida de alta resistencia. Estas láminas se apilan y luego se cementan de tal manera que la orientación de la dirección de la alta resistencia varía de capa a capa. Estos compuestos se construyen para tener una resistencia relativamente alta en prácticamente todas las direcciones dentro del plano del laminado.

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16.30 (a) Describa brevemente los paneles sándwich. (b) ¿Cuál es la razón principal para fabricar estos compuestos estructurales? (c) ¿Cuáles son las funciones de las caras y del núcleo? Solución (a) Los paneles sándwich están formados por dos caras exteriores de un material de alta resistencia que están separadas por una capa de un material central menos denso y de menor resistencia. (b) La razón principal para fabricar estos compuestos es para producir estructuras con alta resistencia en el plano, alta rigidez al cizallamiento y bajas densidades. (c) Las caras funcionan para soportar la mayoría de las tensiones de tracción y compresión en el plano. Por otro lado, el núcleo separa y proporciona un soporte continuo para las caras, y también resiste deformaciones por cizallamiento perpendiculares a las caras.

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PROBLEMAS DE DISEÑO

16. D1 Los materiales compuestos se utilizan ahora ampliamente en equipos deportivos.

(a) Enumere por lo menos cuatro implementos deportivos diferentes que estén hechos o contengan materiales compuestos. (b) Para uno de estos implementos, escriba un ensayo en el que haga lo siguiente: (1) Citar los materiales que se usan para las fases matriciales y dispersas y, si es posible, las proporciones de cada fase; (2) anotar la naturaleza de la fase dispersa (es decir, fibras continuas); y (3) describir el proceso por el cual se fabrica el implemento. Solución Dado que hay una serie de implementos deportivos diferentes que emplean materiales compuestos, no se intentará dar una respuesta completa a esta pregunta. Sin embargo, una lista de este tipo de equipo deportivo incluiría esquís y bastones de esquí, cañas de pescar, palos de salto, palos de golf, palos de hockey, bates de béisbol y softball, tablas de surf y botes, remos y remos, componentes de bicicleta (cuadros, ruedas, manillares), canoas y raquetas de tenis y racquetbol.

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Influencia de la orientación y concentración de las fibras 16.D2 Está deseado para producir un alineado y continuo fiber-reinforced epoxy composite habiendo un máximo de 50 vol% fibras. Además, se requiere un módulo longitudinal mínimo de elasticidad de 50 GPa (7.3

106

psi), así como una resistencia mínima a la tracción de 1300 MPa (189,000 psi). De vidrio E, carbono (módulo estándar PAN) y materiales de fibra de aramida, ¿cuáles son posibles candidatos y por qué? El epoxi tiene un módulo de elasticidad de 3.1 GPa (4.5

105

psi) y una resistencia a la tracción de 75 MPa (11,000 psi). Además,

asuma los siguientes niveles de tensión en la matriz epoxi en caso de fallo de la fibra: Vidrio E: 70 MPa (10.000 psi); carbono (módulo PAN estándar)-30 MPa (4350 psi); y aramida: 50 MPa (7250 psi). Otros datos de fibra se encuentran en las Tablas B.2 y B.4 del Apéndice B. Para las fibras de aramida y carbono, utilizar las resistencias medias calculadas a partir de los valores mínimos y máximos indicados en el Cuadro B.4. Solución Para resolver este problema, queremos hacer cálculos de módulo elástico longitudinal y de resistencia a la tracción asumiendo 50 vol% de fibras para los tres materiales de fibra, para ver cuáles cumplen con los criterios estipulados[es decir, un módulo elástico mínimo de 50 GPa (7.3 106 psi), y una resistencia a la tracción mínima de 1300 MPa (189,000,000 psi)]. Por lo tanto, es necesario usar las ecuaciones 16.10b y 16.17 con Vm = 0.5 y Vf = 0.5, Em = 3.1 GPa, y 75 MPa. m

Para vidrio, Ef = 72,5 GPa y = 3450 MPa. Por lo tanto, f

Ecl = Em(1 V f) + E f V f = (3.1 GPa)(1 .5) + (72.5 GPa)(0.5) = 37.8 GPa (5.48 106 psi)

Dado que este valor es inferior al mínimo especificado (es decir, 50 GPa), el vidrio no es un candidato aceptable. Para el carbono (módulo estándar PAN), Ef = 230 GPa y = 4000 MPa (el promedio del rango de f

en la Tabla B.4), por lo tanto, de la Ecuación 16.10b Ecl = (3.1 GPa)(0.5) + (230 GPa)(0.5) = 116.6 GPa (16.9 106 psi)

que es mayor que el mínimo especificado. Además, de la Ecuación 16.17 =

Õ(1 V

)+V

clff f Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

= (30 MPa)(0.5) + (4000 MPa)(0.5) = 2015 MPa (292, 200 psi)

que también es mayor que el mínimo (1300 MPa). Por lo tanto, el carbono (módulo estándar PAN) es un candidato. Para la aramida, Ef = 131 GPa y = 3850 MPa (el promedio del rango de valores en la Tabla B.4), por lo tanto f

(Ecuación 16.10b) Ecl = (3.1 GPa)(0.5) + (131 GPa)(0.5) = 67.1 GPa (9.73 106 psi)

cuyo valor es mayor que el mínimo. Además, de la Ecuación 16.17

clm=

’ (1

Vf )

+ V ff

= (50 MPa)(0.5) + (3850 MPa)(0.5) = 1950 MPa (283, 600 psi)

que también es mayor que el valor mínimo de resistencia. Por lo tanto, de los tres materiales de fibra, tanto el carbono (módulo estándar PAN) como la aramida cumplen ambos criterios mínimos.

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

16.D3 Se desea producir un epoxi continuo y orientado reforzado con fibra de carbono que tenga un módulo de elasticidad de al menos 83 GPa (12

106

psi) en la dirección de alineación de la fibra. La gravedad

específica máxima permitida es de 1,40. Dados los siguientes datos, ¿es posible una composición de este tipo? ¿Por qué o por qué no? Supongamos que la gravedad específica compuesta puede ser determinada usando una relación similar a la Ecuación 16.10a.

GravedadEspe cífica

Módulo de elasticidad [GPa (psi)]

Carbonofiber

1.80

260 (37 × 106)

Epoxy

1.25

2.4 (3.5 × 105)

Solución Este problema nos pide que determinemos si es posible o no producir un epoxi continuo y orientado reforzado con fibra de carbono que tenga un módulo de elasticidad de al menos 83 GPa en la dirección de alineación de la fibra, y una gravedad específica máxima de 1,40. Primero calcularemos la fracción de volumen mínimo de fibras para dar el módulo elástico estipulado, y luego la fracción de volumen máximo de fibras posible para obtener la gravedad específica máxima permitida; si hay una superposición de estas dos fracciones de volumen de fibras, entonces tal compuesto es posible. Con respecto al módulo elástico, a partir de la ecuación 16.10b Ecl = Em (1 V f) + E f V f 83 GPa = (2.4 GPa)(1 V f) + (260 GPa)(V f) Resolución para rendimientos de Vf Vf = 0.31. Por lo tanto, Vf > 0,31 para dar el módulo elástico mínimo deseado. Ahora, después de considerar la gravedad específica (o densidad), empleamos la siguiente forma modificada de la Ecuación 16.10b c = m(1 V f) + f V f

1.40 = 1.25(1 V f) + 1.80 (V f) Y, resolviendo para Vf a partir de esta expresión da Vf = 0,27. Por lo tanto, es necesario que Vf < 0,27 para que la gravedad específica compuesta sea inferior a 1,40. Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

Por lo tanto, tal compuesto no es posible ya que no hay superposición de las fracciones de volumen de fibra según lo calculado usando los dos criterios estipulados.

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

16.D4 Se desea fabricar un poliéster continuo y alineado reforzado con fibra de vidrio con una resistencia a la tracción de al menos 1400 MPa (200.000 psi) en la dirección longitudinal. La máxima gravedad específica posible es 1.65. Utilizando los datos siguientes, determine si tal composición es posible. Justifique su decisión. Supongamos un valor de 15 MPa para la tensión en la matriz en caso de fallo de la fibra. Gravedad Específica

Resistencia a la tracción [MPa (psi)]

Fibra de vidrio

2.50

3500 (5 × 105)

Poliéster

1.35

50 (7.25 × 103)

Solución Este problema nos pide que determinemos si es posible o no producir un poliéster continuo y orientado reforzado con fibra de vidrio con una resistencia a la tracción de al menos 1400 MPa en la dirección longitudinal, y una gravedad específica máxima de 1,65. Primero calcularemos la fracción de volumen mínimo de fibras para dar la resistencia a la tracción estipulada, y luego la fracción de volumen máximo de fibras posible para obtener la gravedad específica máxima permitida; si hay una superposición de estas dos fracciones de volumen de fibras, entonces tal compuesto es posible. Con respecto a la resistencia a la tracción, de la ecuación 16.17 (1 V + V clff f

1400 MPa = (15 MPa)(1 V f) + (3500 MPa) (V f) Resolución para rendimientos de Vf Vf = 0.397. Por lo tanto, Vf > 0.397 para dar la mínima resistencia a la tracción deseada. Ahora, después de considerar la gravedad específica (o densidad), empleamos la siguiente forma modificada de la Ecuación 16.10b: c = m(1 V f) + f V f

1.65 = 1.35(1 V f) + 2.50 (V f) Y, resolviendo para Vf a partir de esta expresión da Vf = 0,261. Por lo tanto, es necesario que Vf < Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

0,261 para que la gravedad específica compuesta sea inferior a 1,65.

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

Por lo tanto, tal compuesto no es posible ya que no hay superposición de las fracciones de volumen de fibra según lo calculado usando los dos criterios estipulados.

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

16.D5 Es necesario fabricar un compuesto de matriz de fibra de carbono epoxi alineado y discontinuo con una resistencia a la tracción longitudinal de 1900 MPa (275.000 psi) utilizando una fracción de volumen de 0,45 fibras. Calcule la resistencia a la fractura de la fibra requerida suponiendo que el diámetro y la longitud promedio de la fibra son 8 10-3 mm (3,1 10-4 pulg.) y 3,5 mm (0,14 pulg.), respectivamente. La fuerza de adhesión de la matriz de fibra es de 40 MPa (5800 psi), y la tensión de la matriz en caso de fallo de la fibra es de 12 MPa (1740 psi). Solución En este problema, para un compuesto de matriz epoxi-fibra de carbono alineado y discontinuo con una resistencia a la tracción longitudinal de 1900 MPa, se nos pide que calculemos la resistencia a la fractura de la fibra requerida, teniendo en cuenta lo siguiente: el diámetro medio de la fibra (8,0 10-3 mm), la longitud media de la fibra (3,5 mm), la fracción volumétrica de las fibras (0,45), la resistencia de la unión de la matriz de fibra (40 MPa) y la tensión de la matriz en caso de fallo de la fibra (12 MPa). Para empezar, puesto que el valor de es desconocido, el cálculo del valor de lc en la Ecuación 16.3 no es f posible, y, por lo tanto, no podemos decidir cuál de las ecuaciones 16.18 y 16.19 usar. Por lo tanto, es necesario sustituir lc en la Ecuación 16.3 por la Ecuación 16.18, resolver para el valor de , y luego, usando este valor, resolver para lc f

desde la Ecuación 16.3. Si l > lc, usamos la Ecuación 16.18, de lo contrario se debe usar la Ecuación 16.19. Nota: f los parámetros en las ecuaciones 16.18 y 16.3 son los mismos. Dándose cuenta de esto, y sustituyendo lc en la

Ecuación 16.3 en La ecuación 16.18 lleva a V1

lc



+ ' (1 V = V

f + 



 V)

f f

ff f 1 

m

d 4 cl

 m

f



 f+2V f'

= V f

' 

f4 dcl

m

mf

Esta expresión es una ecuación cuadrática en la que lo desconocido es lo desconocido. Reorganización en una forma f más conveniente conduc ea

2

Vfd





(V

)+ c l 

f4

' (1

V

)=0



ff cdf

 O Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

a2+b+c=0 f

f

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

dónde

a=

= 

(0.45)(8 10 6 m) (4)(40 MPa)(3,5 103 m)

Vfd 4 c l

= 6,43 10-6 (MPa)-1

4,29 108 (psi1



 Además, b = V f = ,45

Y

c = ' (1 V cdf

= 1900 MPa 12 MPa)(1 .45) = 1893.4 MPa (274, 043 psi)

Ahora resolviendo la ecuación cuadrática anterior para los rendimientos f

 =

0.45 =

=1

 

b2 4ac

f2a

(0,45) 24) 6,43 106 (MPa1 (1893,4 MPa) (2) 6,43 106 (MPa1



0.4500 0.3943 

0.4500  0.3922 .286 105MPa 8



.58 108psi 





Esto produce las dos posibles raíces como 

0.4500  0.3922 ) = 10 5 .286

f1(



0.4500  0.3922 )= .286 10 5

f1(

MPa = 65, 500 MPa (9.84 106 psi)

MPa = 4495 MPa (650, 000 psi)

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

Al consultar las magnitudes de varias fibras y bigotes en la Tabla 16.4, sólo () es f

f

razonable. Ahora, usando este valor, calculemos el valor de lc usando la Ecuación 16.3 para determinar si el uso de la Ecuación 16.18 en el tratamiento anterior era apropiado. Así  lc =

f

= c

(4495 MPa)(0,008 mm) = 0,45 mm (0,0173 pulg.) (2)(40 MPa)

Puesto que l > lc (3.5 mm > 0.45 mm), nuestra elección de la Ecuación 16.18 fue efectivamente apropiada, y  f MPa (650.000 psi).

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.

16.D6 Se debe diseñar un eje tubular similar al que se muestra en la Figura 16.11 que tenga un diámetro exterior de 80 mm (3,15 pulg.) y una longitud de 0,75 m (2,46 pies). La característica mecánica de mayor importancia es la rigidez a la flexión en términos del módulo longitudinal de elasticidad. La rigidez debe especificarse como deformación máxima admisible en la flexión; cuando se somete a flexión en tres puntos, como se muestra en la figura 12.32, una carga de 1000 N (225 lbf) debe producir una deformación elástica de no más de 0,40 mm (0,016 pulg.) en la posición del punto medio. Se utilizarán fibras continuas orientadas paralelamente al eje del tubo; los posibles materiales de fibra son el vidrio y el carbono en grados de módulo estándar, intermedio y alto. El material de la matriz debe ser una resina epoxi, y la fracción de volumen de la fibra es de 0,35. (a) Decidir cuál de los cuatro materiales de fibra son posibles candidatos para esta aplicación, y para cada candidato determinar el diámetro interior requerido de acuerdo con los criterios anteriores. (b) Para cada candidato, determine el costo requerido y, sobre esta base, especifique la fibra que sería la menos costosa de usar. Los datos de módulo elástico, densidad y costo para la fibra y los materiales de la matriz están contenidos en la Tabla 16.6. Solución (a) Esta parte del problema requiere una determinación de cuál de los cuatro tipos de fibra es adecuada para un eje tubular, dado que las fibras deben ser continuas y estar orientadas con una fracción de volumen de 0,35. Utilizando la

ecuación 16.10 es posible resolver el módulo elástico del eje para cada uno de los tipos de fibra. Por

ejemplo, para vidrio (utilizando los datos de los módulos de la Tabla 16.6) Ecs Em (1 V f) E f V f (2,4 GPa)(1,00 ,35) 72,5 GPa)(0,35) 26,9 GPa Este valor para Ecs así como los calculados de manera similar para las tres fibras de carbono se enumeran en la Tabla 16.D1. Tabla 16.D1 Módulo elástico compuesto para cada tipo de fibra de vidrio y tres tipos de fibra de carbono para Vf = 0,35

Tipo de fibra

Ecs (GPa)

Vidrio

26.9

Módulo estándar de carbono

82.1

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Módulo de carbono intermedio

101.3

Módulo de alto contenido de carbono

141.6

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Ahora es necesario determinar, para cada tipo de fibra, el diámetro interior di. El reordenamiento de la Ecuación 16.23 de tal manera que di es la variable dependiente conduce a

di =

 4  0



4FL3

1/4



3Ey

Los valores di pueden calcularse sustituyendo en esta expresión los datos Ecs del cuadro 16.D1 por los siguientes

F = 1000 N L = 0,75 m y = 0,4 mm d0 = 80 mm Estos datos di se tabulan en la primera columna de la Tabla 16.D2. Por lo tanto, los cuatro materiales son candidatos para esta aplicación, y el diámetro interior de cada material se indica en la primera columna de esta tabla.

Tabla 16.D2 Diámetro interior del tubo, volumen total y costos totales de fibra, matriz y costos totales de tres compuestos de fibra de carbono y epoxi-matriz

Diámet ro interior

Volu men total

Tipo de fibra

(mm)

(cm3)

Cost o de la fibra ($)

Costo de la Matri z ($)

Cost e total

Vidrio

70.2

867

1.64

3.86

5.50

Módulo estándar de carbono

77.2

259

9.79

1.15

10.94

Carbono--intermedio módulo

77.7

214

12.81

0.95

13.76

Carbono - alto módulo

78.4

149

23.47

0.66

24.13

($)

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(b) También se incluye en la Tabla 16.D2 el volumen total de material requerido para el eje tubular para cada tipo de fibra; para estos cálculos se utilizó la Ecuación 16.24. Dado que Vf = 0,35, 35% este volumen es fibra y el el otro 65% es de matriz epoxi. En la forma del Ejemplo de Diseño 16.1, se determinaron las masas y los costos de la fibra y los materiales de la matriz, así como el costo total del compuesto. Estos datos también se incluyen en la Tabla 16.D2. Aquí se puede observar que la fibra de vidrio produce el compuesto menos costoso, seguido por los materiales de fibra de carbono estándar, intermedios y de alto módulo.

Extractos de este trabajo pueden ser reproducidos por los instructores para su distribución sin fines de lucro, con fines de prueba o de instrucción, únicamente a los estudiantes inscritos en los cursos para los cuales se ha adoptado el libro de texto. Cualquier otra reproducción o traducción de este trabajo más allá de lo permitido por las Secciones 107 o 108 de la Ley de Derechos de Autor de los Estados Unidos de 1976 sin el permiso del propietario de los derechos de autor es ilegal.