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• Robert Taylor

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1. C´ alculo vectorial e integral 1. Si descomponemos un vector r en sus componentes paralela y perpendicular a otro vector q, demu´estrese que la componente perpendicular a q se puede escribir como: q × (r × q) q2 2. Demostrar las siguientes relaciones vectoriales: a. b. c. d.

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0 (a × b) × (c × d) = [d · (a × b)] c − [c · (a × b)] d (a × b) · (c × d) = (a · c) (b · d) − (a · d) (b · c) a × [a × (a × b)] = a2 (b × a)

e. [(a × b) × (b × c)] · (c × a) = [c · (a × b)]2

3. Si r es el vector posici´on y a es un vector constante, demostrar que: a. b. c. d. e.

f. ∇ × (a × r/r3 ) = 3 r−5 (a · r) r − r−3 a g. ∇ (ln r) = r−2 r h. ∇ (rn ) = rn−2 r i. ∇ [f (r)] = r−1 [df /dr] r

∇×r=0 ∇ · (a × r) = 0 ∇ × (a × r) = 2 a ∇2 (ln r) = r−2 (r 6= 0) ∇ · [(a · r) r] = 4a · r

4. a. Si V es un campo escalar tal que ∇2 V = 0 y a es un vector constante, demostrar que: ∇ (a · ∇V ) + ∇ × (a × ∇V ) = 0.

b. Si V (r) = r−1 sin kr, demostrar que: ∇2 V + k 2 V = 0.

5. Teniendo en cuenta los significados de la δ de Kronecker y de ε, s´ımbolo de Levi-Civita, probar las siguientes identidades: δij δij δii δjj εijk εijl εijk εklm

=3 =9 = 2δkl = δil δjm − δim δjl

εijk εijk = 6 εijk δij = 0 εijk εklm εlmn εnij = 12

6. Determinar el ´angulo que forman las siguientes superficies en el punto P(2, −2, 1): r2 = 9

x + y + z2 = 1

y

7. a. Sea A el vector de posici´on de un punto P fijo en el espacio, y r el vector de posici´on de un punto variable Q. Demostrar que el producto escalar definido por: A · r = A2 , es la ecuaci´on de un plano perpendicular a A que pasa por P. b. Demostrar que cuando r y v = dr/dt son ambos funciones expl´ıcitas del tiempo, entonces se cumple que: Ä ä d [r × (v × r)] = r2 a + (r · v) v − v 2 + r · a r dt c. Demostrar que, siendo r el vector de posici´on, se cumple: Z

(2r · r˙ + 2˙r · ¨r) dt = r2 + r˙ 2 + cte

d. Demostrar que, siendo r el vector de posici´on y C un vector constante, se cumple: Z ñ

e. Calcular la integral:

R

r × ¨rdt.

r rr˙ r˙ − 2 dt = + C r r r ô

8. Dos cilindros definidos por x2 + y 2 = a2 y x2 + z 2 = a2 se cortan. Demostrar que el volumen encerrado por el corte vale V = 16a3 /3.

z

x 2 + z 2 = a2 x 2 + y 2 = a2 z y dx dy

x 9. a. Dar una interpretaci´on f´ısica de la integral doble definida por: R (x2 + y 2 ) dxdy. Calcular esa integral para la regi´on del plano xy limitada por las curvas y = x2 , x = 2 e y = 1. RR

b. Hallar el volumen de la regi´on limitada por los planos: z = x + y, z = 6, x = 0, y = 0 y z = 0. Dibujarla. 2 2 2 c. Interpretar f´ısicamente la integral triple: on R (x + y + z ) dxdydz. Calcularla para la regi´ espacial R limitada por los planos x + y + z = a (a > 0), x = 0, y = 0 y z = 0. Dibujarla.

RRR

d. Hallar el volumen y el centro de masa de la regi´on R limitada por el cilindro parab´olico z = 4 − x2 y los planos x = 0, y = 0, y = 6 y z = 0, suponiendo la densidad constante e igual a ρ. Dibujarla. y z

(2, 4) R y = x2

z =x+y

R

dx dy y

(1, 1) y = 1

x

x O

z=6

x=1 x=2 z

z

z = 4 − x2

z =a−x−y dx dy dz R x

R y

y x

2. Coordenadas curvil´ıneas 1. Representar el vector A = z i − 2x j + y k en coordenadas cil´ındricas y esf´ericas, y obtener sus componentes. 2. Representar el vector A = 2y i − z j + 3x k en coordenadas cil´ındricas y esf´ericas, y obtener sus componentes. 3. Siendo (u1 , u2 , u3 ) las l´ıneas coordenadas de un sistema curvil´ıneo ortogonal, demostrar que {∂r/∂u1 , ∂r/∂u2 , ∂r/∂u3 } y {∇ u1 , ∇ u2 , ∇ u3 } son dos sistemas de vectores rec´ıprocos, es decir, que cumplen la relaci´on: ∂r/∂ui · ∇ uj = δij .

4. Hallar el cuadrado del elemento de l´ınea en coordenadas cil´ındricas y esf´ericas, y determinar los factores de escala hi . Obtener tambi´en el elemento de volumen en ambos sistemas.

5. Hallar las expresiones del gradiente y de la laplaciana de una funci´on escalar φ(r), y de la divergencia y del rotacional de una funci´on vectorial A(r), en coordenadas cil´ındricas y esf´ericas. 6. H´allense las componentes de los vectores velocidad y aceleraci´on de un punto en coordenadas cil´ındricas y esf´ericas. Expr´esese, as´ı mismo, la energ´ıa cin´etica en ambos sistemas de coordenadas curvil´ıneas ortogonales. 7. Expresar en coordenadas cartesianas rectangulares los siguientes lugares geom´etricos expresados en coordenadas cil´ındricas: a. ρ = 4, z = 0 b. ρ = 4

c. ϕ = π/2 d. ϕ = π/3, z = 1

3. Mec´ anica vectorial 1. Desmostrar que si las fuerzas internas entre dos part´ıculas derivan de un potencial Vij , para que ´estas cumplan la ley de acci´ on-reacci´ on en su forma fuerte dicho potencial ha de ser de la forma: Vij = Vij (|ri − rj |) = Vij (rij ) 2. Si un proyectil se mueve de forma que su distancia d al punto de lanzamiento aumenta continuamente, determinar el ´angulo m´aximo sobre la horizontal bajo el cual tuvo lugar el lanzamiento (sup´ongase que no hay resistencia del aire). y

y d

v0

P x

O

θ

O

P

D α

β = −α

xP

xQ x Q

3. El m´aximo alcance de un proyectil cuando se dispara hacia abajo en un plano inclinado es el doble del m´aximo alcance que se obtiene cuando es disparado hacia arriba en el mismo plano inclinado. Determinar el ´angulo que forma el plano inclinado con la horizontal. 4. Un ca˜ n´on se coloca a los pies de una colina a modo de plano inclinado de pendiente α. Se lanza un proyectil hacia arriba de la colina, formando un ´angulo θ con el plano inclinado. Probar que para que el proyectil impacte horizontalmente con la colina habr´a de cumplirse que: −1

θ = tan

Ç

sin 2α 3 − cos 2α

y

å

y v0

h

θ α

v0 π/4

x

x1

d

x2

x

5. Se dispara un proyectil con una velocidad v0 tal que pasa por dos puntos situados ambos a la altura h sobre el plano horizontal. Demostrar que cuando el ca˜ n´on se ajusta para m´aximo alcance, la distancia horizontal entre ambos puntos es: d=

v0 » 2 v0 − 4gh g

6. Se dispara un proyectil desde el origen de coordenadas con una velocidad inicial v0 en una direcci´on que forma un ´angulo α con la horizontal. Calcular el tiempo necesario para que el proyectil cruce la recta que pasa por el origen y forma un ´angulo β < α con la horizontal (no hay rozamiento). Calcular as´ı mismo la distancia medida sobre la recta y el ´angulo α que hace esta distancia m´axima. 7. El alcance horizontal de un proyectil de velocidad inicial v0 que forma un ´angulo α con la horizontal es: R = (2 v02 sin α cos α)/g. Probar que las expresiones del alcance y alcance m´aximo del mismo proyectil medido ahora a lo largo de un plano inclinado un ´angulo β sobre la horizontal, con el que la velocidad inicial forma un ´angulo θ, est´an dados, respectivamente, por: D=

2 v02 sin θ cos(θ + β) g cos2 β

DM =

v02 g (1 + sin β)

8. Una part´ıcula de masa m se desliza hacia abajo sobre un plano inclinado un ´angulo θ bajo la influencia de la gravedad. Si al movimiento se le opone una fuerza de m´odulo f = kmv 2 , demostrar que el tiempo necesario para que se desplace una distancia x desde el reposo es: cosh−1 ekx t= √ k g sin θ Si en lugar de dejarlo resbalar por el plano lo lanzamos hacia arriba con una velocidad inicial v0 , obtener la distancia que recorre a lo largo del mismo hasta pararse y comenzar a resbalar hacia abajo. ¿Existe alguna velocidad finita v0 que haga m´axima esta distancia? 9. Una part´ıcula cae desde una gran altura hacia la Tierra partiendo del reposo. Sin tener el cuenta la resistencia del aire, demostrar que se precisan aproximadamente los 9/11 del tiempo total de ca´ıda para recorrer la primera mitad de la distancia. 10. Una part´ıcula de masa m cae verticalmente desde una altura h en un medio viscoso que opone a su movimiento una fuerza proporcional a la velocidad, de forma que F = −kmv, siendo k positivo. Al mismo tiempo que se deja caer la primera part´ıcula, se lanza hacia arriba, seg´ un la misma vertical, una segunda part´ıcula igual a la anterior, con una velocidad v0 . Calcular el tiempo que tardar´an en encontrarse y la altura a la que se produce el encuentro. Considerando h y k como datos, ¿qu´e valor m´ınimo ha de tener la velocidad v0 para que se produzca el encuentro? ¿Echa en falta ”algo” en la expresi´on del tiempo para el encuentro? Interpr´etelo.

h

z

z

v0 = 0 −kmz˙ z˙ < 0 mg

h

z

v0 = 0 −kmz˙ 2 z˙ mg

z˙ −kmz˙ 2 −mg v0

z˙ > 0 −kmz˙ −mg v0

h

z

11. Se lanza verticalmente hacia arriba una part´ıcula con velocidad inicial v0 . Demostrar que si sobre ella act´ ua una fuerza resistente proporcional al cuadrado de la velocidad instant´anea, entonces la velocidad de la part´ıcula cuando vuelva a pasar por su posici´on inicial ser´a, siendo vf la velocidad l´ımite: v0 vf »

v02 + vf2

12. Una gota de agua cae dentro de la atm´osfera y penetra en una nube donde va adquiriendo masa a una velocidad proporcional a su secci´on transversal (la gota es esf´erica). Sup´ongase que la gota tiene un radio inicial r0 y una velocidad inicial v0 . Si no existe fuerza resistente, demostrar que: a) el radio aumenta linealmente con el tiempo; b) cuando r0 sea despreciable, la velocidad dentro de la nube aumentar´a linealmente con el tiempo. 13. Un centro de fuerzas atrae a una part´ıcula seg´ un la ley F = −k 2 m/x3 . Demostrar que el tiempo necesario para que la part´ıcula llegue al centro de fuerzas, partiendo desde el reposo, desde una distancia s es s2 /k. m O

F

x s

14. Un punto M describe una par´abola de v´ertice S, foco F y ecuaci´on en polares r = p/ (1 + cos θ), de forma que el ´area SFM sea proporcional al tiempo. Determinar la velocidad y aceleraci´on de M.

v M r θ F p/2 S

15. Un punto M describe la elipse de ecuaciones (en param´etricas): x = a cos u, y = b sin u, siguiendo la ley: u − ε sin u = kt (ε = c/a, a2 = b2 + c2 ). Determinar la hod´ografa del movimiento y el vector aceleraci´on del punto M. 16. Si la masa residual (masa muerta) de un cohete sin carga u ´til ni combustible es una fracci´on λ de la masa muerta m´as combustible en el despegue, demostrar que la masa inicial para acelerar una carga m a la velocidad vf en el espacio libre (no hay fuerzas externas actuantes) es: M = Mu

1−λ −λ

e−vf /u

siendo u (constante) la velocidad de los gases respecto al cohete. Encontrar la expresi´on correspondiente a un cohete de dos etapas, produciendo cada etapa el mismo impulso de velocidad. ¿Qu´e velocidad l´ımite podr´ıa alcanzar si λ = 0.15 y u = 2.5 km/s para un cohete de una sola etapa? ¿Qu´e n´ umero m´ınimo de etapas ser´a necesario para alcanzar la velocidad de escape del Sistema Solar (segunda velocidad c´osmica, 11.2 km s−1 )? ¿Qu´e masa en el despegue es necesaria para, en este caso, transportar una carga u ´til de 100 kg? 17. La propulsi´on de los cohetes se debe a la reacci´on de los gases expelidos por su cola. Como estos gases proceden de una reacci´on qu´ımica de los combustibles transportados por el cohete, la masa de ´este disminuir´a a medida que se vaya consumiendo aqu´el. Demu´estrese que la ecuaci´on del movimiento de un cohete proyectado verticalmente en un campo gravitatorio uniforme, despreciando la resistencia atmosf´erica, es: dm dv − mg m = −u dt dt donde m es la masa del cohete en un instante t, y u es la velocidad de los gases expulsados con relaci´on al mismo (habitualmente constante). Int´egrese esta ecuaci´on para obtener v = v(m), suponiendo que la p´erdida de masa se efect´ ua a un ritmo constante. Demu´estrese que si el cohete sale del reposo, con u = 2073 m s−1 , y si el ritmo de p´erdida de masa por segundo es de 1/60 de la inicial (valores caracter´ısticos de una V-2), la raz´on del peso del combustible al del cohete vac´ıo habr´a de ser de 300 : 1. 18. Encontrar la velocidad en funci´on del tiempo de un cohete que se mueve verticalmente hacia arriba en un campo gravitacional constante de valor g, siendo la velocidad de salida de los gases respecto al cohete u, suponiendo que la p´erdida de masa del cohete por unidad de tiempo es constante y de valor α kg/s. La masa inicial del cohete es M . ¿Cu´al es la distancia que recorre el cohete en un tiempo t?¿Cu´al es la altura m´axima que alcanza y cu´anto tiempo tarda en alcanzar la misma? 19. Una part´ıcula tiene una velocidad inicial v0 hacia el Norte en un punto de la superficie de la Tierra cuya colatitud es λ, y se mueve sin rozamiento en un plano horizontal. Demostrar que la part´ıcula describir´a una trayectoria circular. Encontrar el radio de la trayectoria y el tiempo que invierte la part´ıcula en dar una vuelta completa. [Nota: Considerar la latitud constante durante todo el movimiento].

v0

N

z y x

ω λ

20. Un punto material parte de una posici´on P situada a una altura h por encima de la superficie de la Tierra cuya colatitud es λ. Determinar el movimiento subsiguiente empleando un sistema de referencia inercial, demostrando que se conserva el momento cin´etico del punto material respecto al centro de la Tierra y comprobar que el resultado coincide con el que se obtuvo empleando un sistema de giratorio. Como aplicaci´on num´erica, comprobar que, si h = 100 m y λ = 45◦ , el punto material alcanzar´a la superficie terrestre a unos 15 mm al Este de la plomada suspendida en P. 21. Una locomotora se mueve hacia el Norte en un punto de la Tierra cuya colatitud es λ, a lo largo de una v´ıa recta y horizontal con una velocidad v constante. Demostrar que la relaci´on de fuerzas en los dos railes es de aproximadamente: 4ωhv N2 ∼ cos λ =1+ N1 ga donde h es la altura del centro de gravedad sobre los ra´ıles, cuya separaci´on es 2a. ¿Cu´al de los ra´ıles experimenta una fuerza mayor? Como aplicaci´on num´erica, considere un vag´on del ferrocarril metropolitano de Bilbao, cuyos datos se expresan en la figura adjunta. Cuando circula entre las estaciones de San Mam´es y Deusto, al pasar bajo la r´ıaä va en direcci´on aproximadamente Norte, a la velocidad m´axima a la que circular´a Ä v = 72 km h−1 . ¿Cu´al es la fuerza de reacci´on en cada ra´ıl? z Fco y

v ω λ z y x

mg h N1 α

N2 α 2a

metro bilbao

m = 3.5 × 104 kg v = 20 m · s−1 h = 1.5 m a = 0.5 m ω = 7.27 × 10−5 s−1 λ = 47◦

4. Principios variacionales 1. Una boya marina est´a constituida por un cilindro y dos conos id´enticos cuyas bases coinciden con las bases del cilindro. ¿Qu´e relaci´on ha de existir entre las dimensiones de los constituyentes (radio y altura del cilindro, y altura de los conos) para que, dado un volumen determinado de la boya, se consiga una superficie exterior m´axima? h

H r

2. Una boya marina est´a constituida por un cilindro y dos conos id´enticos cuyas bases coinciden con las bases del cilindro. ¿Qu´e relaci´on ha de existir entre las dimensiones de los constituyentes (radio y altura del cilindro, y altura de los conos) para que, dado una superficie exterior determinada de la boya, se consiga una boya de volumen m´aximo? 3. Utilizando principios variacionales, hallar la ecuaci´on de la curva de longitud m´ınima entre dos puntos A y B del plano. 4. Utilizando principios variacionales, hallar la ecuaci´on de la curva del plano Oxy tal que, pasando por los puntos A y B del mismo genera en su revoluci´on alrededor del eje Oy una superficie geom´etrica de ´area m´ınima. y A x

ds

x

B

5. Utilizando principios variacionales, probar que la distancia m´as corta entre dos puntos A y B de la superficie de un cilindro de revoluci´on se obtiene a lo largo de un arco de h´elice. 6. Pru´ebese que las geod´esicas de una superficie esf´erica son c´ırculos m´aximos, es decir, circunferencias cuyo centro coincide con el de la esfera. 7. En la secci´on 2.2 del texto Mec´ anica Clasica, de H. Goldstein, se trata de hallar una funci´on R y = y(x) que haga estacionaria una integral definida de la forma xx12 F (x; y, y 0 )dx, donde y 0 = dy/dx. Pru´ebese que si F = F (x; y, y 0 , y 00 ) y en los extremos son nulas las variaciones de y e y 0 , la correspondiente ecuaci´on de Euler-Lagrange que cumplir´a la trayectoria real es ahora: d2 dx2

Ç

∂F ∂ y 00

å

d − dx

Ç

∂F ∂ y0

å

+

∂F =0 ∂y

8. Se emplea la expresi´on Mec´ anica Generalizada para designar la variedad de Mec´anica Cl´asica en la cual la Lagrangiana contiene derivadas de qi respecto al tiempo de orden superior al primero. Aplicando los m´etodos del c´alculo de variaciones, demostrar que si hay una Lagrangiana de la forma L = L (t; qi , q˙i , q¨i ), donde el par´ametro descriptor de la trayectoria es el tiempo t, y se cumple el

Principio de Hamilton con la variaci´on cero de qi y q˙i en los puntos terminales, las ecuaciones correspondientes de Euler-Lagrange ser´an: d2 dt2

Ç

∂L ∂ q¨i

å

d − dt

Ç

∂L ∂ q˙i

å

+

∂L =0 ∂qi

i = 1..n

Apliquemos este resultado a la Lagrangiana: L = − m2 q q¨ − k2 q 2 . movimiento? 9. Probar que si la funci´on F en la integral la integral es extremal si:

Rb a

¿Reconoce las ecuaciones del

F (x; y, y 0 )dx no depende expl´ıcitamente de x, entonces

F − y0

∂F = cte ∂y 0

10. Dejamos caer un cuerpo bajo la acci´on de la gravedad, con velocidad inicial nula y en un sin rozamiento. Experimentalmente se mide que en los dos primeros segundos ha recorrido pero no conocemos cu´al es la forma funcional que liga a la distancia recorrida s con el tiempo condiciones ecperimentales se˜ naladas se cumplen si s y t se encuentran relacionadas de una siguientes maneras: 1 1 s = gt3 [g = 10] s = gt s = gt2 2 4 (g con las dimensiones adecuadas a cada caso). Si se supone la lagrangiana conocida, probar R valor m´ınimo para la integral de acci´on I = tt12 Ldt se obtiene para el segundo de los casos.

medio 20 m, t. Las de las

que el

11. Sup´ongase»que experimentalmente se sabe que una part´ıcula ha descendido una distancia y0 en un tiempo t0 = 2y0 /g, pero no se conoce el tiempo que toma en recorrer otras distancias. Sup´ongase, adem´as, que se conoce la Lagrangiana del problema, pero en vez de resolver la ecuaci´on del movimiento para y en funci´on de t, se sospecha que su forma funcional es: y = at + bt2 . Si las constantes a y b se ajustan siempre de modo que el tiempo de ca´ıda y0 est´a dado por t0 , demu´estrese directamente que R la integral 0t0 Ldt es extremal para valores reales de los coeficientes s´olo cuando a = 0 y b = g/2.

12. Un proyectil de masa m se lanza horizontalmente con una velocidad inicial v0 y se mueve en un campo gravitatorio vertical de intensidad constante g. Se determina que el camino real viene dado por el conjunto de las dos ecuaciones siguientes: x = v0 t, y = 21 gt2 . En estas condiciones, el proyectil pasa por el punto P(a, b) . Supongamos ahora que el proyectil pasaäpor el mismo punto Ä b x/a P pero siguiendo el camino, variado del anterior: x = v0 t, y = e−1 e − 1 . Demostrar que la integral de acci´on vale:

R t2 =a/v0 t1 =0

Ldt =

mv0 a 2

+

R t2 =a/v0

Ldt t1 =0 mgab 0.689 v0 .

=

mv0 a 2

+ 23 mgab para el camino real, mientras que para el variado: v0

O

x r v

P(a, b) y 13. Una masa m unida a un muelle de constante k oscila linealmente sobre un plano horizontal sin rozamiento seg´ un la ley x = A sin ωt, con ω = (k/m)1/2 . Suponiendo un camino variado representado por x =RA sin ωt + ε sin 2ωt, con ε constante y muy peque˜ no, demostrar que para el camino real la t =π/2ω integral t12=0 δLdt = 0 (en un cuarto de oscilaci´on completa), mientras que para el camino variado la misma integral vale 3mπ ω ε2 /8.

5. Est´ atica anal´ıtica 1. Una varilla uniforme AB de longitud l y masa m tiene su extremo A apoyado en una pared vertical lisa y el otro extremo B unido al punto O de la pared mediante un hilo inextensible y sin masa de longitud L. Si el plano OAB es vertical y perpendicular a la pared, demostrar, utilizando el principio de los trabajos virtuales, que en la posici´on de equilibrio se cumple: √ √ 4 l 2 − L2 4 l 2 − L2 √ √ sin α = sin β = 3L 3l Utilice el m´etodo de los multiplicadores indeterminados de Lagrange para llegar al mismo resultado anterior, adem´as de obtener como subproducto del proceso las fuerzas generalizadas de ligadura que mantienen al sistema en la posici´on de equilibrio e interpretarlas. x

O α

l, m

β

O

Q

2θ G1 R θ θ

L l

2l, 2m

z

P(xG , yG )

x

P

θ

G2 θ

A B

y

2. Utilizando el Principio de los trabajos virtuales, calcular la posici´on de equilibrio del sistema de la figura, formado por dos barras articuladas de masas m y 2m y de longitudes respectivas l y 2l. 3. Utilizando el Principio de los trabajos virtuales, obtener la posici´on de equilibrio del sistema constitu´ıdo por dos bolas asimiladas a puntos, de masas 2m y m, unidas por un sedal inextensible, si la pista es lisa y es liso tambi´en el borde por donde pasa el sedal. Utilizar, as´ı mismo, el Teorema de Torricelli para llegar al mismo resultado. Por u ´ltimo, utilice el m´etodo de los multiplicadores indeterminados de Lagrange para obtener, adem´as de la posici´on de equilibrio, la tensi´on que soporta el sedal. z

z

B x

O θ

m1

ϕR θ 2m A

C m

A

2γ R G1 γ θ

O ϕ

γ G2

l, m2 N θ ϕ

B

P

4. Consideremos un cuenco semiesf´erico de radio R en el que colocamos una varilla de longitud l (2R < l < 4R). Las masas del cuenco y la varilla son, respectivamente, m1 y m2 . El conjunto est´a apoyado en un suelo horizontal. No hay rozamiento entre la varilla y el cuenco, ni entre el cuenco y el suelo. Encontrar la posici´on de equilibrio del sistema utilizando procedimientos de la Mec´anica Anal´ıtica. Apl´ıquese al caso particular de m1 = m2 = m y l = 3R. 5. Una varilla de masa m y longitud AB = 2l se puede mover apoyada sobre un clavo horizontal O, estando su otro extremo sobre una curva r = r(θ) contenida en un plano vertical que pasa por O. Encontrar la ecuaci´on de la curva para la que la varilla se encuentra en equilibrio indiferente (no hay rozamiento y la u ´nica fuerza exterior es la gravitatoria). Dato: OH = h.

A m, 2l O θ h

z

x a

m B

G r

θ l−r C 3m ϕ

r A

B

x

30◦

z 6. Una varilla lisa y fija forma un ´angulo de 30◦ con la horizontal. Un peque˜ no anillo de masa m puede deslizar sin rozamiento por la varilla y a su vez soporta una cuerda que tiene un extremo fijo en el suelo mientras del otro cuelga una part´ıcula de masa 3m. Utilizar procedimientos de la Est´atica Anal´ıtica (el Principio de los trabajos virtuales y el Teorema de Torricelli) para obtener el ´angulo θ en la posici´on de equilibrio. 7. Uno de los extremos de una varilla uniforme de longitud 3L y masa m se encuentra apoyado en una pared vertical lisa, mientras que el otro est´a atado por medio de una cuerda de longitud L a un punto fijo O. Si la distancia entre O y la pared es 2L, y la varilla y la cuerda est´an en el mismo plano vertical, obtener el ´angulo de equilibrio θ utilizando los m´etodos de la Mec´anica Anal´ıtica. Obtener as´ı mismo la tensi´on de la cuerda y la reacci´on de la pared utilizando el procedimiento de los multiplicadores de Lagrange. Por u ´ltimo, resolver el problema por el m´etodo tradicional vectorial. z

L O L ϕ A

M

z

B

x m, 3L

θ

G 2L

N

m A

R

P

θ

m

P

B O

L

L/ 4

z

x

Q m A

θ

B O

8. Una semiesfera maciza de masa m y radio R tiene pegada una part´ıcula de la misma masa m en un punto de la circunferencia de su base, y el conjunto se encuentra en equilibrio sobre un plano horizontal. ¿Cu´al es el ´angulo θ el la posici´on de equilibrio? 9. La estructura de la figura est´a colocada en un plano vertical, y consta de dos varillas sin masa de longitud L, unidas por un hilo de la misma longitud. Un disco de masa m y radio R = L/4 se apoya sobre las dos varillas en la forma indicada (no hay articulaci´on en el punto de cruce de las dos varillas). Utilice procedimientos anal´ıticos para averiguar si existe alg´ un ´angulo θ no trivial para que exista equilibrio. Utilice tambi´en procedimientos anal´ıticos para averiguar la tensi´on en la cuerda en esa posici´on de equilibrio.

6. Ecuaciones de Lagrange y Hamilton 1. Obtener las ecuaciones del movimiento de un p´endulo matem´atico constitu´ıdo por una part´ıcula puntual de masa m suspendida de un punto fijo por un hilo inextensible y sin masa de longitud l, y que oscila en un plano vertical bajo la acci´on de la gravedad. Utilizar el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange para obtener la tensi´on del hilo. Aplicarlo al caso de peque˜ nas oscilaciones. 2. Una masa puntual 2m desliza sin rozamiento sobre la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo is´osceles de cateto a y masa m, que a su vez descansa sobre uno de sus catetos en una superficie horizontal lisa. Obtener las ecuaciones del movimiento de la masa y del tri´angulo usando el formalismo de: a) Lagrange, b) Hamilton. Obtener el tiempo que tarda la masa puntual en llegar al suelo si en el instante inicial se encuentra en reposo en el v´ertice superior del tri´angulo.

3. Un disco de masa 2m y radio R rueda sin deslizar sobre la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo is´osceles de cateto a y masa m, que a su vez descansa sobre uno de sus catetos en una superficie horizontal lisa. Obtener las ecuaciones del movimiento de la masa y del tri´angulo usando el formalismo de: a) Lagrange, b) Hamilton. Obtener el tiempo que tarda el disco en tocar al suelo si en el instante inicial se encuentra en reposo y en posici´on tangente a la hipotenusa en el v´ertice superior del tri´angulo. 4. En el sistema de la figura adjunta, la part´ıcula de masa m desliza sin rozamiento por la diagonal del marco vertical de masa m, el cual, a su vez, puede deslizar sin rozamiento sobre el plano horizontal. Si la part´ıcula parte desde el reposo del extremo A de la diagonal, ¿cu´al ser´a la velocidad del centro de masa del marco cuando la part´ıcula pasa por el centro de la diagonal AB?

5. Un anillo de masa m est´a sujeto a uno de los extremos de una varilla uniforme de longitud L y masa 2m. Todo ello cuelga de un alambre rectil´ıneo, liso y horizontal, que pasa a trav´es del anillo. Se desplaza la varilla en el plano vertical que contiene al alambre, de manera que forme un ´angulo α con la direcci´on vertical, y se le deja libremente sin ning´ un impulso inicial. A. Utilizando los m´etodos de la Mec´anica de Newton: 1. Hallar la frecuencia angular ω de las peque˜ nas oscilaciones de la varilla. 2. Hallar la amplitud de las oscilaciones del anillo en el alambre.

3. Calcular la reacci´on del alambre sobre el anillo, y demostrar que, en funci´on del ´angulo θ que forma la varilla con la direcci´on vertical en un instante t, ´esta puede escribirse de la siguiente forma: R = 3mg

cos2 θ − 2 cos α cos θ + 2 1 + sin2 θ

Ä

ä2

B. Utilizando m´etodos exclusivos de la Mec´anica Anal´ıtica, resolver el mismo problema. 6. Las masas m1 y m2 est´an constre˜ nidas a moverse en un plano vertical Oxy, tal que m1 que desliza sin rozamiento a lo largo del alambre horizontal Ox y m2 a lo largo del alambre vertical Oy, tambi´en sin rozamiento. Ambos alambres se cruzan en O, pero en ese punto est´an tan cerca el uno del otro que se pueden considerar que son coincidentes, condici´on que se establece para garantizar que sea posible que la part´ıcula sobre el alambre horizontal pueda desplazarse sin problemas a izquierda y derecha del punto O. Ambas masas est´an conectadas por una cuerda sin masa e inextensible de longitud l. Las condiciones iniciales para m1 son: t = 0 → x10 = l, x˙ 10 = 0, y para m2 : t = 0 → y20 = 0, y˙ 20 = 0. Encontrar las ecuaciones del movimiento del sistema. En el caso particular de que m1 = m2 = m, obtener la tensi´on de la cuerda en funci´on del ´angulo θ, as´ı como el per´ıodo del movimiento.

7. Un disco de radio R y sin masa tiene incrustada una part´ıcula de masa m a una distancia R/2 del centro. El disco se abandona desde el reposo en la posici´on indicada en la figura, y rueda sin deslizar sobre el plano inclinado. Encontrar: a) θ˙ en funci´on de θ; b) el valor de θ para el que la velocidad de la part´ıcula es moment´aneamente constante. 8. Un aro circular de radio a y masa M puede girar libremente alrededor de un di´ametro vertical. Cuando el aro est´a girando con la velocidad angular ω0 , una cuenta de masa m comienza a deslizar sin rozamiento desde su punto m´as alto, partiendo del reposo. a) Escribir la funci´on langrangiana del sistema; b) Obtener las ecuaciones diferenciales del movimiento, obteniendo las integrales primeras, si las hubiere; c) Encontrar la velocidad angular a la que girar´a el aro cuando la cuenta pase por el punto diametral horizontal A (θ = π/2); d) Encontrar la velocidad de la cuenta respecto al aro cuando pase por ese mismo punto. [Dato: Momento de inercia del aro respecto al eje de giro: Ie = 21 M a2 ].

9. Una varilla de masa m y longitud l est´a conectada por medio de un pivote en su extremo inferior a un bloque de masa m que puede deslizar sin rozamiento sobre un plano horizontal. a) Usando x y θ

como coordenadas generalizadas, obtener las ecuaciones diferenciales del movimiento; b) Suponiendo que inicialmente el sistema est´a en reposo con θ0 = 0 y que la varilla, tras perturbarla muy levemente, cae hacia la derecha, obtener θ˙ en funci´on de θ; c) Encontrar la fuerza que ejerce el bloque sobre la varilla cuando θ = π/2. 10. Una part´ıcula de masa m y carga q est´a ensartada en una circunferencia de radio R por la que puede moverse sin rozamiento. En la parte inferior de la circunferencia y fijada a ella, se encuentra otra part´ıcula de la misma carga q. Hallar, en funci´on del par´ametro C, la coordenada de equilibrio θ y la frecuencia de las peque˜ nas oscilaciones que la part´ » ıcula ejecuta alrededor de la misma al apartarla ligeramente y soltarla a continuaci´on. [Datos: C = 3 K q 2 /8mgR2 , K = 1/4πε0 = Cte.Electrost´atica].

11. Una part´ıcula de masa m que se mueve sobre un plano horizontal liso est´a unida a otra part´ıcula de igual masa por medio de un hilo inextensible y sin masa que pasa a trav´es de un orificio sin rozamiento O, tal como se indica en la figura. La segunda part´ıcula tiene u ´nicamente movimiento vertical y en el instante inicial la primera part´ıcula est´a a la distancia r0 del orificio, con velocidad exclusivamente transversal de valor r0 ω0 . A. Utilizar las reglas, leyes y principios de la Mec´anica de Newton para encontrar el m´ınimo valor de r y la m´axima tensi´on del hilo durante el movimiento. B. Utilizar el formalismo de Lagrange, con el m´etodo de los multiplicadores indeterminados, para resolver el mismo problema. [Dato: r0 ω02 = g/3]. 12. Una part´ıcula de masa m desliza sin rozamiento a lo largo de una pista horizontal de ecuaci´on r = r0 e−aθ (espiral logar´ıtmica). Si su velocidad inicial es v0 para t = 0, encontrar la velocidad de la part´ıcula y la fuerza de reacci´on de la pista para un tiempo t cualquiera.

13. Una part´ıcula de masa m est´a incrustada a una distancia R/4 del centro de un disco circular de radio R y sin masa, que rueda sin deslizar por el interior de la superficie de un cilindro circular de radio 3R, cuya generatriz es horizontal. El disco se abandona desde el reposo en la posici´on que se indica en la figura (θ0 = π/3 rad), y rueda debido a la gravedad, ocurriendo todo el movimiento en el mismo plano vertical. Encontrar: a) la m´axima velocidad de la part´ıcula durante el movimiento resultante; b) la fuerza de reacci´on que act´ ua sobre el disco en el punto de contacto con la superficie cil´ındrica, cuando pasa por la posici´on inferior. 14. Un cono de altura h, con base circular de radio R, homog´eneo y de masa M , puede girar libremente alrededor de su eje geom´etrico vertical sobre cojinetes sin rozamiento. Una part´ıcula de

masa m parte del v´ertice O del cono y desliza hacia abajo sin rozamiento a lo largo de una ranura trazada sobre su superficie. Esta ranura es tangente al c´ırculo de la base, de modo que la part´ıcula abandona el cono horizontalmente. Si la part´ıcula y el cono estaban inicialmente en reposo, determinar la velocidad angular del cono, despu´es de que la part´ıcula lo abandona. [Dato: Momento de inercia 3 M R2 ]. del cono alrededor de su eje de simetr´ıa: Ieje = 10

15. Un cilindro homog´eneo de masa M y radio R puede girar sin rozamiento alrededor de un eje vertical, que coincide con su eje de simetr´ıa. En su superficie lateral se ha hecho un peque˜ no canal siguiendo una trayectoria en h´elice de paso k. A lo largo de este canal desliza sin rozamiento una part´ıcula de masa m. Encontrar el movimiento del sistema si inicialmente la part´ıcula est´a en reposo en la parte m´as alta del cilindro. Encontrar as´ı mismo el tiempo que tarda la part´ıcula en realizar el primer giro completo respecto del cilindro. 16. a) Usar las ecuaciones de Lagrange para determinar las ecuaciones del movimiento de una part´ıcula sobre la que act´ ua una fuerza F respecto a un sistema cartesiano de coordenadas S 0 que gira con velocidad angular constante ω respecto a un sistema inercial S, donde el eje de giro coincide con el eje com´ un Oz ≡ Oz 0 .

b) En la hip´otesis de que la fuerza F deriva de un potencial V , demostrar que las ecuaciones del movimiento de la part´ıcula en el referencial S 0 pueden ser tomadas como las ecuaciones del movimiento de una part´ıcula en un sistema de coordenadas fijo (inm´ovil) sobre la que actuara, adem´as de la fuerza proviniente del potencial V , otra fuerza derivable de un potencial generalizado U dependiente de las velocidades, que actuar´ıa de generador de las fuerzas ”centr´ıfuga” y de Coriolis.

17. Una part´ıcula de carga q se mueve en un campo electromagn´etico definido por los vectores de campo el´ectrico E y de campo magn´etico B, ´o, equivalentemente, por el potencial escalar Φ(r, t) y el potencial vector A(r, t), donde E = −∇Φ − ∂A/∂t y B = ∇ × A. Demostrar que las componentes generalizadas de la fuerza electromagn´etica que act´ ua sobre la part´ıcula se pueden obtener a partir del potencial generalizado definido por U = qΦ − qv · A.

7. Cinem´ atica y din´ amica relativista 1. Dos sucesos tienen lugar en el mismo sitio en un sistema de referencia y se encuentran separados por un intervalo de tiempo de 4 s. ¿Cu´al es la separaci´on espacial entre estos dos sucesos en un sistema inercial en el que los sucesos se encuentran separados por un intervalo de tiempo de 6 s.? ¿Cu´al es la velocidad de este segundo sistema referencial respecto al primero? 2. Dos sucesos tienen lugar en el mismo instante en un sistema inercial S y est´an separados por una distancia de 1 km seg´ un el eje de las x. ¿Cu´al es la diferencia de tiempos entre estos dos sucesos medida en un sistema S0 que se mueve a velocidad constante seg´ un el eje de las x y en el cual la separaci´on espacial resulta ser de 2 km al medirla? 3. Un observador no posee una visi´on completa de lo que sucede en todo punto de su sistema de referencia en un instante dado; tan s´olo conoce aquello que sucede en ese instante en el punto donde se encuentra. Supongamos que una barra de un metro de longitud dirigida seg´ un la direcci´on del eje x se mueve seg´ un ese mismo eje con una velocidad v = 0.8c, y que su centro de gravedad pasa por el origen en t = 0. Supongamos que un observador est´a situado en el punto x = 0, y = 1 m. a) ¿En qu´e punto del sistema de referencia del observador se encuentran los puntos extremos de la barra en t = 0? b) ¿Cu´ando ve el observador que el punto medio de la barra pasa por el origen? c) ¿En d´onde aparentan estar los extremos en ese instante? (Scott&Viner, Am.J.Phys., 33, 534 (1965)). 4. Nuestra galaxia mide de extremo a extremo cerca de 105 a˜ nos-luz, y las part´ıculas conocidas con 19 mayor energ´ıa poseen una energ´ıa de unos 10 eV. ¿Cu´anto tiempo tardar´a un prot´on que posea esta energ´ıa en atravesar la galaxia si el tiempo se mide en el sistema en reposo de: a) la galaxia, b) la part´ıcula? [Energ´ıa en reposo del prot´on: 938 MeV]. 5. Un cohete espacial de longitud propia l0 marcha a velocidad constante v relativa a un sistema S. La punta del cohete (A0 ) pasa por el punto A de S en el instante t = t = 0 y en ese instante se emite una se˜ nal luminosa desde A0 hasta B0 (cola del cohete). a) ¿Cu´anto tardar´a la se˜ nal en alcanzar la cola en t´erminos del tiempo del cohete?, b) ¿En qu´e instante medido en S alcanza la se˜ nal la cola del cohete?, c) ¿En qu´e instante medido en S pasa la cola del cohete por el punto A? v B0

A0 A

6. Los mesones π con carga son producidos en choques de alta energ´ıa entre protones y neutrones. Se desintegran en su propio sistema en reposo seg´ un la ley: N (t) = N0 2−t/τ , donde τ es la vida media y vale 2 · 10−8 s. Se produce una nube de piones en el blanco de un acelerador y se observa que dos tercios de ellos sobreviven a una distancia de s = 30 m contada a partir del blanco. ¿Cu´al es la energ´ıa de los piones, expresada en t´erminos de su energ´ıa en reposo? 7. A las doce del mediod´ıa, un cohete espacial pasa frente a la Tierra con una velocidad de 0.8c. Los observadores de la nave y los de la Tierra est´an de acuerdo en que, efectivamente, es mediod´ıa. a) A las 12:30 PM seg´ un un reloj situado en la nave, ´esta pasa por delante de una estaci´on interplanetaria que se encuentra fija en relaci´on a la Tierra y cuyos relojes se˜ nalan el tiempo de la Tierra. ¿Qu´e hora es en la estaci´on? b) ¿A qu´e distancia de la Tierra (en coordenadas terrestres) se encuentra la estaci´on? c) Alas 12:30 PM, hora de la nave, se establece comunicaci´on con la Tierra desde la nave. ¿Cu´ando (en tiempo de la Tierra) recibe ´esta la se˜ nal? d) La estaci´on terrestre contesta inmediatamente. ¿Cu´ando se recibir´a la respuesta (hora de la nave)? [Nota: Es conveniente resolver este problema desde el punto de vista tanto de los sistema de la Tierra como de la nave. Smith, Introduction to Special Relativity (1965)].

8. Una barra de longitud propia L est´a dirigida seg´ un el eje de las x, pero se mueve en una direcci´on que forma un ´angulo de 45◦ con ´este eje. Una plataforma, tambi´en paralela al eje de las x, intercepta la trayectoria de la barra, pero se ha cortado una rendija con una longitud propia de 1.1L, de manera que la barra pueda pasar con holgura si su velocidad es no relativista. ¿Qu´e sucede si su velocidad es de 0.9c? Analizar el problema desde el punto de vista de ambos sistemas de referencia. y Rendija v 45◦ Barra

Plataforma x

9. Se dan a continuaci´on las coordenadas espaciotemporales de dos pares de sucesos, medidas en un sistema S. Considerando cada uno de ellos como independiente, dar una respuesta a las preguntas siguientes: a) ¿Puede existir una conexi´on causal entre ambos sucesos? b) ¿Existe un sistema S0 en el cual ambos sucesos pueden ser registrados como simult´aneos?. En caso afirmativo, ¿cu´al ser´a la velocidad de este sistema? ¿Cu´al ser´a ahora la distancia espacial entre ambos? Suc. 1 x1 Caso A

0.3 m

Caso B

0.7 m

y1

z1

t1

0.5 m 0 m 2 · 10−9 s 0.5 m 0 m 5 · 10−9 s

Suc. 2 x2 Caso A

0.4 m

Caso B

0.4 m

y2

z2

t2

0.7 m 0 m 3 · 10−9 s 0.6 m 0 m 4 · 10−9 s

10. Una part´ıcula se encuentra en t = 0 en el origen de un sistema de referencia S, y empieza a moverse a lo largo del eje Ox de tal forma que su aceleraci´on, relativa a un sistema inercial respecto al cual se encuentra instant´aneamente en reposo, es constante e igual a g. a) Hallar la velocidad y posici´on relativa a S despu´es de un tiempo t medido en S. b) Probar que una se˜ nal de luz enviada desde el origen de S en el instante t = c/g ´o posterior nunca alcanzar´a a la part´ıcula mencionada. 11. Un emisor de radar que env´ıa pulsos electromagn´eticos est´a en reposo en x = 0 en el sistema S. Un gran meteorito se mueve con velocidad v =cte hacia el emisor. En el instante t = 0 medido en S, el meteorito se encuentra en x = −l. En ese instante se emite un primer pulso, y posteriormente un segundo pulso en t = t0 (t0 < l/c). Dibujar el diagrama de Minkowski para el movimiento del meteorito y los pulsos de radar emitidos por la estaci´on y reflejados por el meteorito. Obtener el intervalo de tiempo entre las llegadas a la estaci´on de los dos pulsos reflejados. Calcular el intervalo de tiempo entre las llegadas al meteorito de los dos pulsos de radar emitidos desde la estaci´on, medido en el sistema del meteorito. 12. Existe un servicio de naves espaciales desde la Tierra a Marte. Cada nave est´a equipada con dos luces id´enticas, una delante y otra detr´as. Las naves marchan normalmente a una velocidad v relativa a la Tierra, de forma que el faro delantero de la nave espacial que se dirige hacia la Tierra aparenta ser verde (λ = 5000 ˚ A) y la luz de cola de una nave que despega aparenta ser roja (λ = 6000 ˚ A). ¿Cu´al es el valor de β = v/c? Si una nave espacial acelera para adelantar a otra que marcha por delante de ella, ¿a qu´e velocidad relativa a la Tierra deber´a marchar la nave primera para que la luz de cola de la nave a la que quiere adelantar parezca un faro delantero (λ = 5000 ˚ A)? 13. Supongamos que un fot´on posee una energ´ıa de 200 MeV y marcha seg´ un el eje de las x. Supongamos que otro fot´on posee una energ´ıa de 100 MeV y marcha seg´ un el eje de las y. ¿Cu´al es

la energ´ıa total de este sistema?¿Cu´al es la cantidad de movimiento total? Si una part´ıcula aislada poseyese esta misma energ´ıa y cantidad de movimiento totales, ¿cu´al ser´ıa su masa?¿En qu´e direcci´on marchar´ıa?¿Con qu´e velocidad? 14. En cierto sistema de referencia se observa que una part´ıcula posee una energ´ıa total de 5 GeV y una cantidad de movimiento de 3 GeV/c (es decir, cP , que tiene dimensiones de energ´ıa, vale 3 GeV). a) ¿Cu´al es la energ´ıa de esta part´ıcula en un sistema en el que su cantidad de movimiento vale 4 GeV/c?. b) ¿Cu´al ser´a su masa en reposo en u.m.a.?. c) ¿Cu´al es la velocidad relativa de los dos sistemas de referencia? 15. Una part´ıcula con masa en reposo m0 y energ´ıa cin´etica 2m0 c2 choca contra una part´ıcula cuya masa es 2m0 y se adhiere a ella. Calcular la masa en reposo M0 de la part´ıcula compuesta. 16. a) Un fot´on de energ´ıa E choca con una part´ıcula estacionaria de masa en reposo m0 , y es absorbido. ¿Cu´al es la velocidad de la part´ıcula compuesta resultante? b) Una part´ıcula con una masa en reposo m0 que se mueve a una velocidad de 4c/5 choca con una part´ıcula semejante que est´a en reposo y se forma entonces una part´ıcula compuesta. ¿Cu´al es la masa en reposo de la part´ıcula compuesta y cu´al es su velocidad? 17. Una part´ıcula en reposo de masa M0 se encuentra en reposo en el laboratorio cuando se descompone en tres part´ıculas iguales, cada una de las cuales posee una masa en reposo m0 . Dos de las part´ıculas (denominadas #1 y #2) poseen las velocidades y direcciones indicadas en la figura. Calcular la velocidad y direcci´on de la part´ıcula #3. Obtener el cociente M0 /m0 . #3 #1 4c/5

v

θ M0 #2

3c/5

18. Un cohete de fotones emplea radiaci´on pura para lograr la propulsi´on. Si las masas inicial y final del cohete son Mi y Mf , demostrar que la velocidad final v relativa a su sistema en reposo inicial puede obtenerse de la ecuaci´on: Mi /Mf = [(c + v)/(c − v)]1/2

19. Una nave espacial lleva una especie de vela que recibe el emp` uje de un fuerte rayo laser dirigido hacia ella desde la Tierra. Si la vela es perfectamente reflectora, calcular la masa de luz que se necesita para acelerar un veh´ıculo de masa en reposo M0 hasta alcanzar una velocidad v. 20. Demostrar que los procesos que se se˜ nalan a continuaci´on son imposibles din´amicamente: • Un fot´on choca con un electr´on en reposo y entrega toda su energ´ıa al electr´on. • Un fot´on situado en el espacio libre se transforma en un electr´on y un positr´on. • Un positr´on r´apido y un electr´on en reposo se destruyen mutuamente dando lugar a un solo fot´on. v+ Q θ ϕ v−

8. Cinem´ atica y din´ amica del s´ olido r´ıgido 1. a) Indicar la operaci´on o transformaci´on que representa la aplicaci´on de la matriz siguiente, indicando sus caracter´ısticas:   √ −√ 2/2 −1/2 −1/2  A= 2/2 √ −1/2 −1/2   √ 0 2/2 − 2/2 b) Calcular a×b y (a×b)·c en funci´on de las nuevas componentes de los vectores bajo la transformaci´on indicada por A, siendo los vectores primitivos a(1, 0, 0), b(0, 1, 1), c(0, −1, 1), en los siguientes casos: • • • •

I. II. III. IV.

a, b y c son vectores a, b y c son seudovectores a y b son vectores, c es seudovector a y c son vectores, b es seudovector.

2. Averiguar qu´e representa (o qu´e operaci´on efect´ ua) ter´ısticas:  1/2 −3/4 A=  3/4 √ √5/8 − 3/4 3/8

la matriz siguiente, indicando sus carac√  3/4 √  3/8  7/8

3. El problema inverso al anterior se enuncia as´ı: Calcular la matriz que representa un giro de los vectores de 60◦ en sentido directo alrededor de un eje que est´a en el plano Oyz y forma un ´angulo de 60◦ con el eje Oy. 4. Calcular las componentes de la velocidad angular de un s´olido con un punto fijo respecto al sistema de ejes del espacio en funci´on de los ´angulos de Euler y sus derivadas temporales. Calcular as´ı mismo las componentes del mismo vector respecto al sistema de ejes fijo en el s´olido r´ıgido. 5. Expr´esese la ligadura de rodadura de una esfera sobre un plano horizontal en funci´on de los ´angulos de Euler (no hay deslizamiento). ¿De qu´e tipo es la ligadura? 6. Compru´ebese que el ´angulo de giro Φ puede expresarse en funci´on de los ´angulos de Euler de la siguiente forma: Φ ϕ+ψ θ cos = cos cos 2 2 2 7. Un cilindro de radio a realiza un movimiento plano sobre una superficie horizontal. Encontrar las ecuaciones de la base y de la ruleta cuando hay deslizamiento y cuando no lo hay. 8. Una barra AB se encuentra en contacto permanente con un apoyo vertical de altura h, mientras el extremo B desliza a lo largo de una l´ınea horizontal CD. Teniendo en cuenta que el movimiento es plano, hallar las ecuaciones de la base y de la ruleta.

9. Obtener las ecuaciones de la base y de la ruleta del movimiento de una varilla que por una lado se apoya en una circunferencia de radio R y por el otro resbala sobre una recta horizontal que pasa a trav´es del centro de la misma circunferencia.

10. Una recta r se mueve permaneciendo tangente a una circunferencia de radio R, mientras un punto O, fijo en la recta, se desplaza a lo largo de una tangente horizontal t fija de la circunferencia. Halle las ecuaciones de la base y de la ruleta. Dib´ ujelas.

11. Obtener gr´afica y anal´ıticamente la base y la ruleta del movimiento plano de una varilla cuyo extremo A va deslizando por una circunferencia de radio R a partir de un orificio B situado en el punto m´as alto de la misma, seg´ un se muestra en la figura. 12. Dos c´ırculos conc´entricos C1 y C2 , de radios r1 y r2 , pueden girar alrededor de un eje perpendicular al plano de la figura por el centro com´ un de ambos, O. El c´ırculo C2 engrana exteriormente y el C1 interiormente con un tercer c´ırculo C. Si son ω 1 y ω 2 las velocidades angulares de C1 y C2 , respectivamente, calc´ ulese la velocidad del centro de C y su velocidad angular. H´allese la base y la ruleta del movimiento de C. Disc´ utanse los resultados.

13. El disco de la figura, de radio a, rueda sin deslizar sobre un plano horizontal, estando unido por medio de un eje r´ıgido de longitud L, paralelo al plano Oxy, a un punto fijo M del eje Oz. El sistema gira a su vez alrededor de ese eje Oz con una velocidad angular, que llamaremos de pivotamiento, ω P . Obtener la velocidad angular total del disco respecto a los ejes fijos en la pista. Obtener tambi´en la velocidad de los puntos Q, N, S y T. 14. Determinar la posici´on del centro de masa de una arco de h´elice trazado sobre un cilindro de revoluci´on, siendo α0 la abertura de la proyecci´on del arco de h´elice sobre el plano base. 15. Determinar el momento de inercia de un tri´angulo cualquiera respecto a un eje paralelo a su base y que pasa por su gentro de masa G, sabiendo que la base mide a, la altura h y la densidad σ. Determinar previamente la posici´on del centro de masa G.

16. Probar que los momentos principales de inercia de un tri´angulo cualquiera de lados a, b y c, y masa M , en un sistema de ejes principales de centro de masa son: √ ó î I1 = M a2 + b2 + c2 + 2 a4 + b4 + c4 − a2 b2 − a2 c2 − b2 c2 /72 √ î ó I2 = M a2 + b2 + c2 − 2 a4 + b4 + c4 − a2 b2 − a2 c2 − b2 c2 /72 I3 = M a2 + b2 + c2 /36 î

ó

17. Calc´ ulese el tensor de inercia de la placa cuadrada homog´enea de masa M y lado a de la figura en el sistema de ejes cartesianos se˜ nalado. Obt´enganse, as´ı mismo, las direcciones de los ejes principales de inercia y los momentos principales de inercia en el v´ertice O.

18. Calcule los tensores de inercia en los sistemas coordenados con origen en O para las dos distribuciones de masa que se muestran en las figuras, diagonaliz´andolos y obteniendo las direcciones de los ejes principales de inercia. 19. Una l´amina plana y r´ıgida tiene asociados un par de sistemas coordenados Oxy y Ox0 y 0 , con el mismo origen O y tal que el segundo est´a girado respecto al primero un ´angulo α. a) Obtener los momentos y productos de inercia respecto a los nuevos ejes en funci´on de los antiguos y del ´angulo α. b) Si el segundo sistema de ejes corresponde a un sistema de ejes principales, ¿qu´e valor ha de tener el ´angulo α como funci´on de los momentos y productos de inercia antiguos para que esto sea as´ı?. c) ¿Cu´ales son los valores de los momentos principales de inercia para el apartado b)?

20. Tenemos dos distribuciones de masa tales que los tensores de inercia correspondientes respecto a ejes cartesianos rectangulares con origen en O (en el primero de los casos coincidente con el centro de masa) vienen dados por: 



150 0 −100 0 250 0  I=   −100 0 300





a −b −b −b a −b  I=   −b −b a

Determinar los momentos y ejes principales de inercia, as´ı como las matrices de transformaci´on que consiguen diagonalizar ambos tensores. 21. Tres part´ıculas, cada una de masa m, est´an colocadas a distancia unidad del origen de coordenadas en las direcciones positivas de los ejes Ox, Oy, Oz. a) Determinar el tensor de inercia en el sistema Oxyz. b) Encontrar el tensor de inercia en unos ejes paralelos a los anteriores por el centro de masa. c) Encontrar los ejes principales con origen en el centro de masa y la matriz de giro que opera la

transformaci´on de semejanza que me pasa al sistema de ejes principales (El´ıjanse los ejes principales de forma que la matriz que opera la transformaci´on de semejanza, B, sea tal que su primera fila tenga elementos positivos y el elemento B23 = 0). 22. Calc´ ulese el momento de ienrcia de un cono homog´eneo de radio R y altura h, cuya densidad es ρ ( por lo tanto, su masa ser´a M = 31 πR2 h ρ) respecto a sus ejes principales por el centro de masa G. Obtener previamente la posici´on de ´este. 23. Hallar los momentos principales de inercia de un elipsoide de semiejes a, b y c en su centro de masa. Aplicarlo al caso particular de a = b = c (esfera).

24. Probar que la energ´ıa cin´etica de una barra homog´enea de masa m puede escribirse como: 1 T = m(u2 + u · v + v 2 ) 6 donde u y v son las velocidades de los extremos de la barra. 25. Obt´engase la energ´ıa cin´etica de un cilindro homog´eneo de radio a y masa m que rueda sin deslizar por el interior de una superficie cil´ındrica de radio R, en funci´on del ´angulo que determina su ˙ posici´on angular θ relativa al centro C y de su derivada temporal θ.

26. a) Hallar la energ´ıa cin´etica de un elipsoide asim´etrico homog´eneo que est´a girando alrededor de uno de los ejes principales AB, estando a la vez este u ´ltimo girando respecto a un eje perpendicular al anterior que pasa por el centro del elipsoide, CD. b) Repetir el problema anterior considerando ahora que el eje AB se inclina un ´angulo α. 27. a. Una varilla de masa m y longitud L gira con una velocidad angular ω 0 en un plano horizontal liso en torno a un eje vertical que fija uno de sus extremos. En un instante dado, se sustituye este eje por otro que fija la posici´on de un punto O situado a una distancia a de su centro de masa G. ¿Cu´al es la nueva velocidad angular de rotaci´on de la varilla, ω? Discutir el resultado analizando los distintos casos extremos que pueden presentarse. ¿Cu´al es la p´erdida relativa de energ´ıa cin´etica durante la sustituci´on de ejes? ¿Por qu´e no se conserva la energ´ıa? b. Consideremos ahora el caso de un disco de masa m y radio R gira con velocidad angular ω 0 en torno a un eje perpendicular a su plano y que fija un punto P de su periferia. En un instante dado, se sustituye r´apidamente el eje por otro paralelo a ´el y que pasa por otro punto Q, tambi´en perif´erico. Determinar la posici´on del punto Q para que despu´es de la sustituci´on el disco quede en reposo.

28. Una varilla delgada de longitud L y masa M gira en torno al eje e con velocidad angular constante ω, de forma que el ´angulo θ que forma la varilla con el eje es constante. Sobre el sistema no act´ uan campos gravitatorios. a) ¿Cu´al es momento angular JA del sistema respecto al punto de uni´on A de la varilla con el eje? b) ¿Cu´ales son las acciones exteriores que, actuando sobre el eje, producen el citado movimiento? c) En un instante dado, se sustituye el eje e por el pivote sin rozamiento P, que fija la posici´on del centro de masa G de la varilla. Suponiendo la sustituci´on instant´anea, ¿qu´e teoremas de conservaci´on pueden aplicarse en la descripci´on de dicho proceso? d) ¿Cu´al ha sido el impulso de la fuerza que el pivote ejerce sobre la varilla? e) ¿Cu´anto vale JG (momento angular respecto al centro de masa) antes y despu´es de la sutituci´on del eje por el pivote? ¿Cu´al es, cualitativamente, su evoluci´on temporal en ambos casos? f) ¿Cu´al es la fuerza que el pivote ejerce sobre la varilla despu´es de la sustituci´on descrita arriba? g) Utilizando los conos del espacio y del cuerpo, describir el movimiento de la varilla despu´es de la sustituci´on de la ligadura. h) Teniendo en cuenta todo lo anterior, ¿cu´al es el efecto de suprimir la ligadura en P una vez establecido el movimiento descrito en el apartado anterior? Discutir el resultado. i) Si el eje de rotaci´on inicial hubiera sido el e0 y ω 0 = ω sin θ la velocidad angular de rotaci´on, ¿qu´e cambios habr´ıa que introducir en las respuestas de los apartados anteriores? j) ¿Cu´al es la energ´ıa antes y despu´es del primer proceso de cambio de eje por pivote? k) Si se replantea el problema sustituyendo la varilla por un cilindro, ¿qu´e cambios cualitativos deber´ıan introducirse en las respuestas de los apartados anteriores? 29. Las masas de la figura est´an unidas mediante una varilla sin masa de longitud 3a. Esta varilla se encuentra unida r´ıgidamente a otra tambi´en sin masa de tal forma que el ´angulo θ0 es constante. El sistema gira en torno al eje AA0 con velocidad angular ω0 =cte. Calcular: a) El momento angular J0 . ¿Se conserva?. b) La reacci´on, si la hubiere, en los puntos A y A0 . c) La energ´ıa cin´etica. d) Describir cualitativamente el movimiento del sistema. e) ¿Qu´e ocurrir´ıa en el caso de actuar la gravedad en direcci´on vertical?

30. Una placa rectangular y homog´enea de masa M y lados a y b gira con velocidad angular ω constante alrededor de un eje que pasa por su diagonal. a) Calc´ ulese el momento angular JG (donde G es el centro geom´etrico de la placa) en cada instante, y h´agase una representaci´on esquem´atica de su evoluci´on. b) Calc´ ulese el momento de fuerzas necesario para mantener el movimiento, as´ı como las reacciones en los soportes (sup´ongase que no act´ ua la gravedad ni existe rozamiento en los cojinetes). c) ¿Cu´al es la energ´ıa cin´etica de la placa?. d) En el caso a = b, ¿cu´al ser´a la reacci´on de los soportes? ¿Cu´al es el sentido f´ısico de este hecho? 31. Un s´olido r´ıgido est´a constituido por una l´amina r´ombica de masa M y lado a (el ´angulo agudo es de 60◦ ) y por dos masas puntuales m adheridas en dos de los v´ertices opuestos, B y D. El sistema gira con velocidad angular constante ω alrededor del eje EF. Calcular: a) la energ´ıa cin´etica del sistema; b) el momento del par necesario para mantener constante la velocidad angular, y c) la relaci´on m/M tal que el momento angular y la velocidad angular sean paralelos.

32. Un disco circular y homog´eneo de masa M y radio R gira con velocidad angular constante ω alrededor de un eje AB que pasa por su centro de gravedad G. El plano del disco forma un a´ngulo α con la direcci´on GA del eje. Calcule las reacciones producidas en los cojinetes de apoyo en A y en B, supuestos sin rozamiento (no act´ ua la gravedad). Discuta los casos α = π2 y a = b. 33. Sea un cono homog´eneo de masa M , semi´angulo en el v´ertice α y altura h, por lo que la distancia entre el v´ertice O y el centro de masa G es a = 3h/4. .a) Si el cono rueda por un plano horizontal apoyado en todo momento sobre una de sus generatrices, obtenga la expresi´on de su energ´ıa cin´etica. b) Si inclinamos el plano sobre el que descansa el cono un ´angulo β sobre la horizontal, obtenga sus ecuaciones del movimiento. c) Si ahora imaginamos que el cono del primer apartado tiene su v´ertice fijo a una altura sobre el plano igual al radio de la base del cono, ¿cu´al ser´a ahora la expresi´on de su energ´ıa cin´etica si rueda sobre su base?.

34. Calcular el momento angular alrededor del punto O y la energ´ıa cin´etica de una varilla delgada y uniforme de longitud 2a y masa M , que tiene un movimiento de giro con velocidad angular (en determinado instante) θ˙ en un plano vertical alrededor de un eje horizontal que pasa por la articulaci´on G. A su vez, la varilla OG, sin masa y de longitud L, est´a soldada al eje vertical y el conjunto gira alrededor de ese eje vertical (en el momento se˜ nalado anteriormente) con velocidad angular ϕ. ˙

35. Un cono homog´eneo de masa M , radio R y altura H tiene su v´ertice fijo por medio de un pivote sin rozamiento. En un primer caso, el cono est´a en reposo y su eje de simetr´ıa forma un ´angulo de 90◦ con la vertical. Como act´ ua la gravedad, si abandonamos el cono, se cae, por lo que en el instante de abandonarlo se le aplica un impulso I hacia arriba en un peque˜ no resalte A que tiene el cono en el centro de la base. a) ¿Cu´al debe ser el m´ınimo valor de I para que el cono alcance la posici´on vertical (θ = 0)?. b) En un segundo caso, la situaci´on inicial es an´aloga, con la u ´nica diferencia de que la energ´ıa cin´etica ya no es nula, pues el cono est´a girando alrededor de su eje de simetr´ıa con una velocidad angular ψ˙ 0 = ξ. Demostrar que aunque el valor de I sobrepase al calculado en el apartado anterior, θ nunca alcanzar´a el valor θ = 0. c) Si hici´eramos la hip´otesis de trompo r´apido, es decir, 1 I ξ 2 >> M gl, siendo l = 34 H (distancia del v´ertice al centro de masa), ¿cu´al ser´a el valor m´ınimo de 2 3 3 3 M (R2 + 4H 2 ), I3 = 10 M R2 ]. θ del apartado anterior?. [Datos: I1 = I2 = 20

36. Un cono homog´eneo de masa M , radio R y altura H, de semi´angulo en el v´ertice α = 15◦ , tiene su v´ertice fijo por medio de un pivote sin rozamiento. El pivote es el v´ertice de un soporte, tambi´en c´onico y de semi´angulo β = 30◦ , que est´a encima de una mesa. La posici´on inicial es la indicada en la figura. Si cuando el cono se abandona su energ´ıa cin´etica es nula, el cono, al cabo de de un cierto tiempo, golpear´a el cono soporte. Pero si antes de abandonarlo se le ha comunicado un movimiento de giro alrededor de su eje de simetr´ıa con velocidad angular ψ˙ 0 = ξ, puede ocurrir que posteriormente el cono no toque el soporte. calcular el valor m´ınimo de x para que esto ocurra. 3 3 M (R2 + 4H 2 ), I3 = 10 M R2 ]. [Datos: I1 = I2 = 20

37. Un cono homog´eneo de masa M y radio R = 2H, que, como se sabe, es totalmente sim´etrico respecto al v´ertice, se mueve con ´este fijo por medio de un pivote, bajo la acci´on de la gravedad, realizando una precesi´on estable de ´angulo θ. Si la velocidad angular de precesi´on del eje de simetr´ıa del cono alrededor de la vertical es Ω, calcular: a) la velocidad angular instant´anea y su evoluci´on temporal; b) el momento angular J respecto al v´ertice y su evoluci´on temporal; c) la fuerza que el 3 M R2 = 65 M H 2 = I]. pivote debe ejercer sobre el cono en tal movimiento. [Datos: I1 = I2 = I3 = 10

38. Una peonza sim´etrica, que se encuentra en una regi´on libre de campos de fuerzas, tiene su extremo fijo y gira en torno a su eje mientras ´este gira en torno a la direcci´on inicial de su momento angular respecto al punto fijo, direcci´on a la que denominaremos vertical. Si el movimiento de rotaci´on propia y el de precesi´on son uniformes y no hay movimiento de nutaci´on, determinar el ´angulo con la ˙ ϕ˙ y θ. vertical de su eje instant´aneo de giro y el m´odulo de su velocidad angular como funci´on de ψ, Obtener el lugar del polo en la esfera fija y en la esfera ligada al s´olido, y demostrar que el movimiento de la peonza se obtiene engranando una curva en la otra. 39. Un cono de masa m, altura h y semi´angulo en el v´ertice α rueda sin deslizar por el inerior de otro cono de semiabertura β (α < β). El eje de simetr´ıa del cono interior gira alrededor del eje de simetr´ıa del cono exterior con una velocidad angular constante Ω. H´allense la velocidad angular del cono m´ovil, su momento angular y su energ´ıa cin´etica.

´ 9. Fuerzas centrales (I): Orbitas 1. Calc´ ulese aproximadamente la raz´on de la masa del Sol a la de la Tierra empleando s´olo las longitudes del a˜ no terrestre y del mes lunar (27.3 d´ıas), y los radios medios de las ´orbitas de la Tierra alrededor del Sol (1.49 × 108 km) y de la Luna alrededor de la Tierra (3.8 × 105 km).

2. Una part´ıcula se est´a moviendo en una ´orbita circular bajo la acci´on de una fuerza atractiva inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Si el per´ıodo de revoluci´on es τ y si s´ ubitamente −5/2 detenemos la part´ıcula en su ´orbita, demostrar que tardar´a un tiempo t = 2 τ en caer hasta el centro de fuerzas.

3. La excentricidad de la ´orbita de la Tierra es ε = 0.0167. Si imaginamos la ´orbita de la Tierra dividida en dos partes iguales por el eje menor, probar que el tiempo durante el que est´a la Tierra en nos, y calcular la diferencia en d´ıas. cada una de las dos mitades es 12 ± πε a˜

4. Si la ´orbita de la Tierra se ve dividida en dos partes por el llamado latus rectum (perpendicular al eje mayor por uno de los focos, centro de fuerzas), probar que la diferencia de tiempos que la Tierra emplea en cubrir cada una de las partes es, en a˜ nos: ó 2î √ ε 1 − ε2 + sin−1 ε π p 5. Un punto M describe una par´abola de v´ertice S, foco F y ecuaci´on, en polares, dada por r = 1+cos , θ de forma que el ´area del tri´angulo curvil´ıneo SFM es directamente proporcional al tiempo que emplea el punto en recorrer la trayectoria desde S hasta M. Determinar la velocidad y aceleraci´on del punto M.

6. El radio de la ´orbita de Venus es 0.72 veces el de la ´orbita de la Tierra R. Se supone que ambas ´orbitas son aproximadamente circulares y coplanarias. Una nave espacial va a viajar de la Tierra a Venus siguiendo la ´orbita el´ıptica indicada en la figura (es el tipo de ´orbita de transferencia m´as

econ´omica). Calcular: a) la velocidad relativa de la nave respecto a la Tierra un momento despu´es del lanzamiento, y la relativa a Venus un instante antes de la llegada, despreciando en cada caso cualquier atracci´on gravitatoria que no sea la del Sol y las velocidades de rotaci´on propias de cada uno de los dos planetas mencionados (la velocidad orbital de la Tierra alrededor del Sol es de 30 km/s); b) el tiempo que dura el viaje de la nave; c) el ´angulo que deber´an formar en el instante del lanzamiento los radios vectores desde el Sol a la Tierra y a Venus para asegurarse de que la nave alcanzar´a este u ´ltimo planeta. 7. El problema de lanzar una astronave de la Tierra al Sol aplicando el impulso m´ınimo posible no se resuelve frenando instant´aneamente el cohete en su ´orbita hasta detenerlo. Una v´ıa m´as econ´omica requiere un proceso de dos etapas. Para verlo, supongamos que la Tierra describe una ´orbita circular de radio r1 con el Sol en su centro. En la primera etapa, la nave recibe un impulso tangencial en la direcci´on orbital y en el mismo sentido de movimiento, de forma que pasa a una ´orbita el´ıptica de la que el punto donde recibe el impulso es el perihelio. En el afelio de esta ´orbita, a una distancia r2 del Sol, la nave recibe un impulso contrario que reduce su velocidad a cero, cayendo posteriormente al Sol (no se tendr´a en cuenta m´as que la acci´on gravitatoria del Sol sobre la nave, despreciando la de la Tierra). Se pide calcular: a) para un valor dado de r2 , el incremento de velocidad dado a la nave en el primer encendido de los motores; b) la velocidad de la nave en el afelio y, una vez obtenida ´esta, el nuevo impulso neto de velocidad para que termine cayendo hacia el Sol. La suma de los valores absolutos de estos impulsos de velocidad proporciona el valor del impulso total de velocidad que los motores deben suministrar. Comparar este impulso para el caso de frenado directo de la nave en ´orbita terrestre y la que corresponde al proceso de dos etapas para el caso de ser r2 = 10 r1 . ¿Qu´e ocurrir´ıa si r2  r1 ?

8. Un cometa describe una ´orbita parab´olica con el Sol como foco en el mismo plano que la ´orbita de la Tierra. Si su distancia m´ınima al Sol es βR, con β < 1 y R el radio de la ´orbita de la Tierra, probar que el tiempo que permanece el cometa en el interior de la ´orbita terrestre se puede expresar como: » 2 (1 − β) (1 + 2 β) a˜ nos 3π Apl´ıquelo al caso en el que β = 21 . ¿Bajo qu´e ´angulo cruzar´a el cometa la ´orbita terrestre? ¿Cu´al ser´a su velocidad en el perihelio comparada con la velocidad orbital de la Tierra? ¿Qu´e ´angulo formar´an los radios vectores del Sol al cometa en los instantes de entrada y salida del mismo de la ´orbita terrestre? ¿Qu´e tiempo permanece en el interior de la ´orbita terrestre? 9. Consideremos la Tierra como una esfera de radio R y masa M , homog´enea y fija. Un sat´elite de masa m se pone en ´orbita en un punto tal como » el P, con las siguientes caracter´ısticas: Distancia al centro de la Tierra: d = 2R, y velocidad vP = GM/d, que forma un ´angulo α con la direcci´on radial correspondiente a ese punto. a) Calcular el valor de α para que el sat´elite, sin chocar con la Tierra, se aleje la mayor distancia posible de ´esta. ¿Cu´al es esta distancia m´axima?; b) ¿Qu´e tipo de trayectoria describir´ıa el sat´elite y cu´ales ser´ıan sus caracter´ısticas si α = π2 ?

10. a) Probar que la posici´on de un planeta en su ´orbita el´ıptica puede expresarse, utilizando el eje Ox en direcci´on del perihelio, con el par´ametro angular ψ, denominado anomal´ıa exc´ entrica (cuya definici´on y construcci´on se muestra en la figura adjunta), de la forma: x = a(cos ψ − ε) y = b sin ψ

´

→

r = a(1 − ε cos ψ)

b) Encontrar un conjunto de relaciones que me permitan pasar de la anomal´ıa verdadera a la anomal´ıa exentrica y viceversa. c) Demostrar que, siendo τ el per´ıodo orbital del planeta, el tiempo medido desde el perihelio puede escribirse como: τ (ψ − ε sin ψ) t= 2π d) Encontrar una relaci´on sencilla para el valor de la velocidad del planeta en su ´orbita en funci´on de la distancia al centro de fuerzas O. e) Usar esta parametrizaci´on para calcular los valores medios de la energ´ıa cin´etica y potencial a lo largo de una ´orbita, verificando el teorema del virial: V = −2 T .

11. Si, por definici´on, η es el ´angulo que forma la direcci´on del movimiento de un planeta en ´orbita el´ıptica con la normal al vector de posici´on del mismo, probar que, siendo ψ la anomal´ıa exc´entrica, se cumple: ε sin ψ tan η = √ 1 − ε2

12. Una part´ıcula describe una trayectoria el´ıptica bajo una fuerza gravitatoria. Si la relaci´on entre las velocidades angulares m´axima y m´ınima es n, probar que la excentricidad de la ´orbita est´a dada por: √ n−1 ε= √ n+1 2

a(1−ε ) 13. La Tierra describe alrededor del Sol una trayectoria el´ıptica de ecuaci´on r = 1+ε , expresada cos θ en coordenadas polares cuyo origen es el Sol, con el eje polar en direcci´on del perihelio. En esta expresi´on, a es el semieje mayor de la ´orbita, ε es la excentricidad de la misma y θ el ´angulo polar. Si denominamos β a la velocidad areolar constante y v0 la velocidad m´ınima sobre la trayectoria, se nos pide calcular: a) las componentes radial y transversal de la velocidad de la Tierra en cualquier punto de su trayectoria (definida por el ´angulo polar θ), as´ı como el m´odulo de esa velocidad, v, en funci´on de a, ε y v0 ; b) la relaci´on v0 /v1 entre las velocidades m´ınima y m´axima de la Tierra en su ´orbita.

14. Un sat´elite de la Tierra tiene en el perigeo una velocidad v y en el apogeo su velocidad es v/3. Determinar la distancia al perigeo, al apogeo, la excentricidad ε y el semieje mayor a. √ 15. Un cohete es disparado desde al superficie de la Tierra con una velocidad v < gR y un ´angulo α con la vertical. Hallar la ecuaci´on de su ´orbita. Expresar el alcance 2Rϕ en funci´on de los par´ametros

2

l y a, semieje mayor, y probar que el alcance m´aximo se obtiene para un ´angulo α tal que A = km v2 A = 2a − R. Deducir que este m´aximo alcance es 2Rϕ, donde sin ϕ = 2gR−v 2.

16. a) Un sat´elite terrestre describe una ´orbita el´ıptica y, en un punto determinado de su ´orbita en el que se encuentra a una distancia r del centro de la Tierra, tiene una velocidad v, formando ´esta un ´angulo α con la direcci´on perpendicular a la radial (α ser´a positiva si se mide por encima de esa direcci´on y negativa en el caso contrario). H´allense el semieje mayor de la ´orbita, la excentricidad de la misma y su ecuaci´on en coordenadas polares. b) Nada m´as terminar el encendido de la u ´ltima fase de un cohete en elpunto B, los datos recibidos de su movimiento son: r = 6700 km, r˙ = 3600 m/s, θ˙ = 1.4 × 10−3 rad/s, datos todos ellos referidos a un sistema de referencia inercial con origen en el centro de la Tierra. Utilice los resultados del apartado anterior para encontrar la distancia al apogeo y, vali´endose de las definiciones realizadas en ejercicios anteriores sobre la anomal´ıa exc´entrica, el tiempo que tarda el cohete en impactar de nuevo con la Tierra , medido desde la finalizaci´on del encendido de la u ´ltima fase.[Dato: Radio de la Tierra, R = 6370 km, masa de la Tierra, M = 5.98 × 1024 kg].

17. Una part´ıcula describe una ´orbita circular en un campo de fuerzas central de la forma F (r) = − rk2 (k > 0). Probar que si, de repente, el valor de la constante k se reduce a la mitad, la ´orbita de la part´ıcula pasa a ser una par´abola. 18. Un sat´elite de masa m se coloca en el punto P de la figura en ´orbita parab´olica (E = 0) respecto a la Tierra, supuesta como una esfera de masa M y radio R, cuyo centro est´a fijo en O. Al llegar el sat´elite a Q, se detecta un fallo y es preciso hacerlo volver a la Tierra. Para ello se accionan los cohetes del sat´elite y en dicho punto Q se invierte la direcci´on de la velocidad, reduci´endose su m´odulo a la mitad. H´allense los valores de vP , vQ y rQ . ¿De qu´e tipo ser´a la nueva ´orbita? ¿Chocar´a el sat´elite con la Tierra?

19. Un sat´elite de masa m describe con velocidad v0 una ´orbita circular de radio r0 bajo la acci´on de la fuerza gravitatoria de una masa M fija en un punto O. En un punto de la ´orbita, se cambia bruscamente la direcci´on del movimiento del sat´elite manteniendo sin alteraci´on el m´odulo de la velocidad. Como resultado de ello, el sat´elite pasa a una ´orbita el´ıptica con un pericentro a una distancia r50 del centro de fuerzas. ¿Cu´al ser´a la velocidad del sat´elite en el pericentro? ¿Cu´al fue el ´angulo α respecto a su direcci´on primitiva con que fue variada la direcci´on de la velocidad? 20. Consideremos un sistema sobre el que act´ uan fuerzas conservativas F0i y de rozamiento fi proporcionales a la velocidad. Demu´estrese que en tal sistema el teorema del virial adopta la forma: T =−

1X 0 F · ri 2 i i

en el supuesto de que el sistema alcanza un estado estacionario y no desaparece el movimiento como resultado de las fuerzas de rozamiento. 21. Un sat´elite orbita la Tierra a 230 km sobre el ecuador. Calcular el impulso total de velocidad necesario para que pase a una ´orbita Syncom, acr´onimo de synchronous communications (geoestacionaria) usando una ´orbita intermedia el´ıptica tal que s´olo toca en un punto a las anteriores. Si se ha de colocar en ´orbita un sat´elite de 30 kg y la velocidad de eyecci´on es u = 2.5 km/s, encontrar la masa inicial del cohete. [Datos: Masa de la Tierra M = 5.98 × 1024 kg; radio de la Tierra R = 6370 km; constante gravitatoria G = 6.67 × 10−11 N·m2 /kg2 ].

22. Una estrella de masa M y radio R se mueve con una velocidad v a trav´es de una nube de part´ıculas de densidad ρ. Si todas las part´ıculas que chocan con la estrella resultan capturadas por ´esta, demostrar que la masa de la estrella aumentar´a seg´ un: 2GM R dM = πρv R2 + dt v2 Ç

å

23. Un sat´elite de masa msat y secci´on media S se mueve en una ´orbita circular de altura h sobre la superficie de un planeta de masa M y radio R, inmerso en una atm´osfera de densidad media igual a ρ. Bajo la hip´otesis de que los impactos moleculares son inel´asticos pero que las mol´eculas que golpean el sat´elite no se quedan pegados a ´el, desprendi´endose a velocidad relativa muy baja, calcular la fuerza que experimentar´a el sat´elite debido al rozamiento con esa atm´osfera y su variaci´on con la velocidad. ¿Variar´a la velocidad del sat´elite como resultado de la fuerza?¿Cu´al ser´a la situaci´on final del mismo? 24. Si la ´orbita del sat´elite del problema anterior fuera altamente el´ıptica en lugar de circular, la fuerza retardadora podr´ıa considerarse que se ejerce casi enteramente en el periastro. Reempl´acela, pues, por una fuerza impulsiva de impulso I que se ejerce una vez en cada ´orbita, en el periastro. Considerando cambios en la energ´ıa E y en el momento angular l, encontrar los cambios en el semieje mayor de la ´orbita, a, y en el denominado semilatus rectum, p. Demostrar que δp = δa(1 − ε)2 , y

que en consecuencia el efecto de esta fuerza retardadora es hacer decrecer el per´ıodo y la distancia al apoastro, dejando la distancia al periastro inalterada (es decir, con el tiempo, la ´orbita se vuelve m´as y m´as circular). Demostrar, igualmente, que la velocidad en el apoastro aumenta, mientras que en el periastro disminuye. 25. a) Est´ udiese el movimiento de una part´ıcula en un campo de fuerzas centrales cuya ley de fuerzas viene expresada de la forma: C k f (r) = − 2 + 3 r r siendo k y C dos constantes, la primera positiva y la segunda positiva ´o negativa. Demu´estrese en particular que la ecuaci´on de la ´orbita puede ponerse en la forma: a(1 − ε2 ) r= 1 + ε cos(αθ) que representa una elipse para α = 1, y una elipse con movimiento de precesi´on si α 6= 1 (se supone en cualquier caso que ε < 1). Este movimiento de precesi´on puede describirse en funci´on de la velocidad de precesi´on del periastro, t´ermino que se emplea en sentido amplio para designar cualquiera de los dos puntos de retroceso de la ´orbita. Ded´ uzcase una f´ormula aproximada de la velocidad de precesi´on del periastro cuando α tiende a la unidad, en funci´on de la magnitud adimensional η definida como C . El nuevo par´ametro η es una medida de la influencia del t´ermino de tercer grado negativo en η = ka relaci´on con el de segundo, que es el principal.

b) Se ha observado que el perihelio de Mercurio tiene un movimiento de precesi´on de 4000 de arco por siglo. Pru´ebese que cabe explicar esta precesi´on en forma cl´asica si η vale tan s´olo 1.42 · 10−7 . [Datos: La excentricidad de la ´orbita de Mercurio es 0.206 y su per´ıodo, 0.24 a˜ nos]. 26. a) Una part´ıcula de masa m se mueve en una ´orbita circular de centro O y radio a bajo la acci´on de una fuerza central a la que corresponde una energ´ıa potencial V (r). Probar que, si la ´orbita es estable, entonces se cumple que: V 0 (a) >0 V 00 (a) + 3 a 2

donde V 0 = dV y V 00 = ddrV2 . Demostrar tambi´en que, siendo ´orbita estable, una peque˜ na perturbaci´on dr radial produce un movimiento de peque˜ nas oscilaciones alrededor de la ´orbita circular original de per´ıodo: ñ ô V 0 (a) 2π 2 00 mω = V (a) + 3 τ= ω a b) Como aplicaci´on, suponga que V (r) = Kr4 (K > 0). ¿Para qu´e valores de la energ´ıa y el momento angular la ´orbita es una circunferencia de radio a? ¿Cu´anto vale su per´ıodo? Si la part´ıcula se perturba ligeramente sin cambiar su momento angular, ¿cu´al ser´a el per´ıodo de las peque˜ nas oscilaciones radiales alrededor de a? 27. Una part´ıcula de masa m es atra´ıda hacia un punto O por una fuerza central inversamente (k > 0). La part´ıcula es proporcional al cubo de la distancia, expresada de la forma: F (r) = − km r3

√

proyectada desde un punto A situado a una distancia a de O, con una velocidad inicial v0 = ak , en una direcci´on que forma un ´angulo de 45◦ con el radio vector del punto A, en la forma indicada en la figura. Demostrar que la part´ıcula describe una ´orbita expresada por la ecuaci´on: r = ae−θ .

28. a) Bajo la influencia de una fuerza central de origen O, una part´ıcula describe una ´orbita circular de radio R que pasa por O. Obtener la ley de fuerzas responsable de este movimiento y demostrar que para la ´orbita descrita la energ´ıa total es nula.

b) Una part´ıcula se mueve en una ´orbita de ecuaci´on r = a cos 2θ bajo la acci´on de una fuerza central dirigida hacia el origen de coordenadas. ¿Cu´al es el tipo de fuerza que genera una ´orbita de esta naturaleza? 29. Una part´ıcula de masa m recorre una trayectoria circular de radio r0 con momento angular J0 respecto a un punto fijo O, hacia el cual es atra´ıda con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Se da a la part´ıcula un peque˜ no impulso de m´odulo I de corta duraci´on, dirigido radialmente hacia afuera. Demostrar que su trayectoria perturbada oscila en torno a la trayectoria circular original con una magnitud Ir02 /J0 y un per´ıodo 2πmr02 /J0 . ¿Cu´al ser´ıa el movimiento perturbado si se aplicara el impulso en la direcci´on de la velocidad original en lugar de en direcci´on radial? 30. Pru´ebese que la trayectoria relativista de una part´ıcula sometida a una fuerza atractiva inversamente proporcional al cuadrado de la distancia es una elipse animada de un movimiento de precesi´on. Como aplicaci´on num´erica, calc´ ulese la precesi´on del perihelio de Mercurio debida a este efecto. (La respuesta, unos 700 de arco por siglo, es mucho menor que la precesi´on realmente observada, de unos 4000 por siglo, lo que s´olo se explica de manera satisfactoria mediante la Teor´ıa de la Relatividad Generalizada). 31. La modificaci´on de la ley gravitatoria impuesta por la Teor´ıa de la Relatividad Generalizada introduce en la expresi´on de la fuerza una peque˜ na componente inversamente proporcional a la cuarta potencia de la distancia. Demuestre que esta modificaci´on en la ley de fuerzas es capaz de dar cuenta, casi exactamente, de la discrepancia entre los valores predichos por el caso cl´asico (una vez que se han compensado los avances en el perihelio debido a la influencia sobre Mercurio de otros planetas del sistema Solar) y los predichos por la modificaci´on relativista aludida en el avance del perihelio de Mercurio de 4300 por siglo.

10. Fuerzas centrales (II): Dispersi´ on 1. Demu´estrese que, para cualquier fuerza central repulsiva, una soluci´on formal del ´angulo de dispersi´on es: Z um bdu   θ =π−2 V 0 1 − − b 2 u2 E donde V es la energ´ıa potencial, E la energ´ıa total, b el par´ametro de impacto y u = 1/r. El valor u = um corresponde al punto de m´axima aproximaci´on de la part´ıcula al centro de fuerzas (punto de retroceso).

2. Est´ udiese la difusi´on producida por una fuerza central repulsiva de la forma F (r) = k/r3 , k > 0 . Demu´estrese que la secci´on eficaz elemental, siendo E la energ´ıa, est´a dada por: σ (θ) =

1−x k 2 2πE x (2 − x)2 sin πx

[x = θ/π]

3. Dos part´ıculas de masas m1 y m2 , con velocidades u1 y u2 = αu1 (α 6= 0) en la recta que las une, chocan el´asticamente. Si las energ´ıas cin´eticas de ambas part´ıculas antes del choque son iguales, ¿qu´e relaci´on ha de cumplirse entre las masas para que tras el choque la masa m1 quede en reposo? 4. Consid´erese el choque de una part´ıcula de masa m1 y velocidad u1 , medida en el laboratorio, contra una part´ıcula de masa m2 , que se encuentra en reposo. Sea v1 la velocidad de la part´ıcula de masa m1 tras el choque, que forma un ´angulo ψ con la direcci´on primitiva (´angulo de dispersi´on en el laboratorio), mientras que el ´angulo de dispersi´on de ambas part´ıculas medido en el sistema de centro de masas es θ. Sean T0 y T1 las energ´ıas cin´eticas inicial y final, respectivamente, de la part´ıcula de masa m1 medidas en el laboratorio. Demostrar que se cumple la siguiente relaci´on: T1 m21 cos (θ − ψ) = 2 cos ψ + T0 m1 /m2 (m1 + m2 ) ñ

ô2

5. Calcular la secci´on eficaz elemental σ(θ) y la secci´on eficaz total σT para la dispersi´on de part´ıculas por una esfera r´ıgida de radio a, asimilable a un potencial de la forma:  ∞

V (r) =  0

r≤a r>a

√ 6. Dada la superficie de revoluci´on ρ = A z, supuesta lisa r´ıgida e inm´ovil, hallar la secci´on eficaz elemental σ(θ) y la secci´on eficaz total σT para la dispersi´on de part´ıculas. 7. En F´ısica Nuclear aparece con frecuencia un potencial de fuerzas centrales conocido como pozo rectangular, definido por: ® 0 r>a V (r) = −V0 r≤a

Demu´estrese que la dispersi´on producida por tal potencial en Mec´anica Cl´asica es id´entica a la refracci´ on de los rayos luminosos en una esfera de radio a e ´ındice de refracci´on relativo cuyo valor es: » n = 1 + V0 /E. (Esta equivalencia prueba por qu´e es posible explicar los fen´omenos de refracci´on tanto mediante las ondas de Huygens como con los corp´ usculos mec´anicos de Newton). Demostrar tambi´en que la secci´on eficaz diferencial es: n2 a2 [n cos (θ/2) − 1] [n − cos (θ/2)] σ (θ) = 4 cos (θ/2) [1 + n2 − 2n cos (θ/2)]2 ¿Cu´al es la secci´on eficaz total?

11. Oscilaciones libres, amortiguadas y forzadas 1. Una part´ıcula de un miligramo de masa describe un movimiento arm´onico simple que se expresa por la ecuaci´on x(t) = a sin ω0 t. El per´ıodo del movimiento es τ = 1/100 s y cuando t = τ /12 s, la velocidad vale v = 31.4 cm/s. Obtener la amplitud del movimento, la energ´ıa total y el valor de la constante recuperadora. 2. Un volante efect´ ua un movimiento arm´onico de rotaci´on. Las caracter´ısticas del movimiento son las siguientes: Amplitud α = 60◦ , per´ıodo τ = 4 s, y momento de inercia I = 100 g·cm2 . Obtener: a) el momento de las fuerzas que act´ uan sobre el volante en el instante en el que el desplazamiento corresponde a la amplitud m´axima, y b) la velocidad angular ω al pasar por la posici´on de equilibrio (darla en revoluciones por minuto). 3. Obtener la amplitud, el ´angulo de fase inicial y el per´ıodo del movimiento arm´onico dado por la ecuaci´on: 5 5 y = √ sin πt − cos πt 2 2 3 4. Un cilindro de secci´on recta A y densidad ρ flota en un l´ıquido desplazando un volumen V en el equilibrio. Si desplazamos al cilindro levemente en la vertical, encontrar el per´ıodo de las peque˜ nas oscilaciones que realiza.

5. Sobre una masa puntual m act´ ua una fuerza central directamente proporcional a la distancia a un punto fijo expresada como F = −16mr. Obtener las caracter´ısticas del movimiento y la trayectoria, teniendo en cuenta que las condiciones iniciales son: t = 0 → r0 = 1 cm, v0 = 1 cm/s, siendo adem´as el ´angulo que forma el radio vector con la velocidad en ese instante inicial de 45◦ . 6. Las ecuaciones del movimento de dos vibraciones que tienen lugar en direcciones perpendiculares son las siguientes: Å πã x = 10 cos 5πt y = 10 cos 10πt + 3 Dibujar las curvas de Lissajous que se obtienen de la composici´on de los dos movimientos. 7. Una cuenta de masa m est´a ensartada en un alambre liso de forma de cicloide, de ecuaciones param´etricas: x = a(θ − sin θ), y = −a(1 − cos θ), [a > 0, 0 ≤ θ ≤ 2π], colocada en un plano vertical. Si la cuenta (sobre la que act´ ua la gravedad) se suelta desde el reposo en el punto (0, 0), encontrar: a) la velocidad a su paso por la parte inferior de la cicloide, y b) el per´ıodo de las oscilaciones que realiza, interpretando el resultado.

8. La masa M de la figura est´a unida a las paredes laterales por dos muelles de constantes distintas, k1 y k2 , siendo sus longitudes en reposo del mismo valor, l0 < a/2. Determinar la posici´on de equilibrio y el per´ıodo de las peque˜ nas oscilaciones que realiza el sistema alrededor de la misma cuando se la desplaza ligeramente. 9. Calcular el per´ıodo del movimiento para peque˜ nas oscilaciones en torno a la posici´on de equilibrio del sistema representado en la figura. La cuerda no resbala sobre la polea, cuya masa es 2M , siendo K la constante recuperadora del muelle, cuya longitud natural es l0 < a.

10. Obtener la ecuaci´on diferencial del movimiento para peque˜ nas oscilaciones del sistema representado en la figura, donde los muelles tienen longitudes naturales l1 < a y l2 < a, la polea es maciza de masa M y radio R y la cuerda no resbala sobre la polea. 11. Si el cilindro de la figura rueda sin deslizar, calcular la posici´on de equilibrio del sistema, as´ı como la frecuencia de las peque˜ nas oscilaciones en torno a ella. La masa del cilindro es M , su radio es R, la constante recuperadora del muelle es K y su longitud natural es l0 . ¿Es v´alida la frecuencia obtenida para cualquier amplitud de las oscilaciones? [Utilizar la variable angular ϕ para describir el movimiento].

12. Calcular el per´ıodo del movimiento para peque˜ nas oscilaciones en torno a la posici´on de equilibrio del sistema de la figura. Calcular la condici´on que deben cumplir los datos M , K y L para que dicha posici´on de equilibrio sea la correspondiente a la posici´on vertical de la barra, si es l0 la longirud natural del muelle y M es la masa de la barra, siendo l su longitud. 13. El sistema de la figura consta de una masa M unida al techo por medio de dos muelles de constantes k1 y k2 , respectivamente. La longitud natural de ambos muelles es la misma, l0 . La masa realiza un movimiento en la vertical, manteni´endose paralelamente a s´ı misma. Si se abandona el

sistema hasta que llegue a su posici´on de equilibrio y a partir de aqu´ı se le perturba ligeramente, calc´ ulense la ecuaci´on del movimiento de la masa y la pulsaci´on propia de las peque˜ nas oscilaciones que realiza.

14. a) Hallar la frecuencia de las peque˜ nas oscilaciones que realiza una part´ıcula de masa m que puede moverse sobre una l´ınea recta y est´a unida a un resorte de constante k cuyo otro extremo est´a unido a un punto fijo A, a una distancia l de la recta. La longitud natural del resorte es tambi´en l. b) Si la longitud natural del resorte es l0 < l, ¿es v´alido el resultado del apartado anterior? 15. Demostrar que si no se hace la suposici´on de peque˜ nas oscilaciones en el p´endulo simple el per´ıodo, cuando se suelta desde una amplitud angular θ0 y haciendo k = sin(θ0 /2), est´a dado por: s

"

Ç å2

1 l τ = 2π 1+ g 2

1·3 k + 2·4 2

Ç

å2

1·3·5 k + 2·4·6 4

Ç

å2

6

k + ···

#

16. Una part´ıcula de masa m est´a situada en el punto P del interior de un paraboloide de revoluci´on liso de ecuaci´on cz = x2 + y 2 , a una altura H sobre el plano horizontal que pasa por su v´ertice O. Suponiendo que la part´ıcula se abandona desde el reposo, encontrar: a) la velocidad a la que pasa por el v´ertice, b) el tiempo que tarda en llegar a ´el y el per´ıodo de las oscilaciones que realiza, supuesto que ´estas no son peque˜ nas, y c) el per´ıodo de estas oscilaciones en la aproximaci´on de peque˜ nas oscilaciones.

17. La frecuencia natural de una masa vibrando en el extremo de un muelle es de 20 vib/s y su correspondiente frecuencia cuando est´a amortiguado es de 16 vib/s. Encontrar el valor del decremento logar´ıtmico.

18. Observando el movimiento de una part´ıcula unida a un muelle, se midieron estos datos: Masa/Per´ıodo Masa (g) Per´ıodo (s) 50 0.72 100 0.85 150 0.96 1.06 200 250 1.16 1.23 300

Amplitud de vibraci´on/Tiempo m = 150 g Tiempo (s) Amplitud (cm) 0 4.5 30 4.0 80 3.5 125 3.0 180 2.5 235 2.0 340 1.5 1.0 455

a) Expresar el cuadrado del per´ıodo de oscilaci´on en funci´on de la masa, teniendo en cuenta que los valores de las masas que se dan en las tablas no tienen en cuenta la masa del muelle. Obtener la masa efectiva del muelle. b) Obtener la constante recuperadora del muelle. c) Expresar el logaritmo neperiano de la amplitud en funci´on del tiempo y obtener el tiempo de relajaci´on. d) Obtener la constante o factor de amortiguamiento. 19. Una part´ıcula de 10 g de masa se encuentra sometida a la acci´on de dos fuerzas: F1 = −50x y F2 = −bx, ˙ y se mueve a lo largo del eje Ox. En el instante inicial la part´ıcula se encuentra en reposo a 50 cm del origen, y cuando la velocidad es de 10 cm/s, la fuerza F2 vale 400 dinas. Obtener: a) la ecuaci´on del movimiento, b) la posici´on de la part´ıcula en funci´on del tiempo, c) la amplitud, frecuencia, per´ıodo y decremento logar´ıtmico, y d) el valor de la constante b para que el movimiento sea aperi´odico y aperi´odico cr´ıtico. 20. Demostrar que cuando la amplitud de un oscilador amortiguado se hace 1/e de su valor inicial despu´es de n per´ıodos, la pulsaci´on debe ser aproximadamente [1 − (8π 2 n2 )−1 ] ω0 , donde ω0 es la pulsaci´on del oscilador no amortiguado correspondiente. 21. La posici´on de una part´ıcula que se mueve a lo largo del eje Ox viene dada por la siguiente ecuaci´on: x¨ + 4x˙ + 8x = 20 cos 2t Si en el instante t = 0 la part´ıcula se encuentra en el origen y en reposo, obtener: a) la posici´on de la part´ıcula en funci´on del tiempo, y b) la amplitud y el per´ıodo en el movimiento permanente. 22. Cuando un p´endulo oscila en el vac´ıo, tiene un per´ıodo τ0 = 2 s. Colocado en un medio disipativo, la amplitud de cada oscilaci´on es la mitad del de la anterior. ¿Cu´al ser´a el per´ıodo del nuevo movimiento? Si suponemos ahora a este p´endulo sometio a una fuerza externa de tipo cosenoidal cuyo per´ıodo es de 1 s, 2 s y de 2.5 s, ¿cu´al ser´a la relaci´on entre las amplitudes de las oscilaciones forzadas correspondientes? 23. Un muelle vertical tiene una constante recuperadora de valor k = 32 N/m. En t = 0 s se le aplica una fuerza F (t) = 12 sin 4t N a una masa de 2 kg que cuelga en equilibrio, bajo la acci´on de la gravedad, del extremo del muelle. Despreciando el amortiguamiento, encontrar la posici´on en funci´on del tiempo. ¿Cu´al ser´ıa el resultado en caso de aplicar una fuerza externa de la forma F (t) = 40 cos 6t? 24. Un oscilador amortiguado se ve sometido a una fuerza exterior de la forma F = F0 e−at cos(ωt+α). Obtener la soluci´on general del movimiento. 25. Tenemos un oscilador amortiguado constituido por una masa de valor m = 1 g unido a un muelle de constante recuperadora k = 104 dina/cm y que tiene un tiempo de relajaci´on τr = 0.5 s. Sobre ´el act´ ua una fuerza exterior de la forma F = 10 sin 90t expresada en dinas. Encontrar: a) la pulsaci´on propia (sin amortiguaci´on) del oscilador, la pulsaci´on del oscilador amortiguado y la pulsaci´on de resonancia en amplitud del oscilador forzado, y b) la amplitud de la oscilaci´on forzada permanente y el desfase que ´esta tiene respecto a la fuerza exterior.

26. Obtener la expresi´on de la energ´ıa disipada por unidad de tiempo para un oscilador amortiguado en el caso de amortiguamienton d´ebil (β  ω0 ).

27. Dado un oscilador forzado amortiguado, con una fuerza exterior arm´onica, se define el factor de calidad Q del oscilador como 2π veces el cociente entre la energ´ıa almacenada en el oscilador y la p´erdida de energ´ıa por per´ıodo. Hallar una expresi´on para dicho factor Q en la resonancia. ¿Cu´al ser´ıa un valor aproximado si el amortiguamiento es peque˜ no?

28. Probar que el valor m´aximo de la potencia media absorbida (resonancia en la potencia absorbida) en el caso de un oscilador forzado correspondiente a una fuerza externa sinusoidal se da para la pulsaci´on ω0 . ¿Para qu´e valor de la pulsaci´on la potencia absorbida se reduce a la mitad de la m´axima? Llamemos ω1/2 a esa pulsaci´on y (M ω)1/2 = ω1/2 − ω0 . En el caso de un oscilador muy poco amortiguado (β  ω0 ), probar que el factor de calidad Q, definido como ω2βR , se puede expresar en buena aproximaci´on de esta forma: ω0 Q= 2(M ω)1/2 29. Hallar las peque˜ nas oscilaciones de un p´endulo plano de longitud l, cuyo punto de suspensi´on se mueve uniformemente por la circunferencia de radio a  l con una frecuencia angular Ω2  gl . H´agase la hip´otesis de que, en el instante inicial, la part´ıcula se encuentra en reposo y con el punto de suspensi´on S en su posici´on m´as baja.

30. Un oscilador lineal amortiguado, inicialmente funci´on fuerza dada por:   0 F (t)  t = a τ m   a

en su posici´on de equilibrio, est´a sometido a la t