• Author / Uploaded
• YENIFER SANCHEZ NAVARRO

• Categories
• Derivado
• Pi
• Calculo diferencial
• Tanques
• Tarifas

Citation preview

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación Escuela ECBTI Programa: Ingeniería de Sistemas Curso: Calculo Diferencial Grupo: 100410_577

Unidad 3: Tarea 3 Derivadas

Presentado por: Marye Liceth Jiménez Niño - Código: 1065873408

Presentado al tutor(a): Sarita Rodríguez

Universidad Nacional Abierta y a Distancia- UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería 27 de abril del 2020

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación Escuela ECBTI Programa: Ingeniería de Sistemas Curso: Calculo Diferencial Grupo: 100410_577

Introducción

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación Escuela ECBTI Programa: Ingeniería de Sistemas Curso: Calculo Diferencial Grupo: 100410_577 A continuación, se presentan los ejercicios gráficas y problemas de la tarea 3 asignados en este grupo de trabajo. 1. De acuerdo con la definición de derivada de una función

f ´ ( x )=lim h →0

f ( x+ h )−f ( x) h

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: Estudiante 3

Ejercicio

f ( x )=8 x 2 +2 x

SOLUCION:

f ' ( x )=8 x 2+ 2 x f ' ( x )=? f ' ( x )=lim h→ 0

lim h→ 0

f ( x +h )−f ( x) h

[ 8 (x+ h)2 +2(x +h)]− [ 8 x 2 +2 x ] h

[ 8 ( x 2 +2 xh+h2 ) +2 x+ 2h ]−[ 8 x 2+ 2 x ] lim h→ 0

h

lim

8 x 2+ 16 xh+8 h2 +2 x+2 h−8 x2 −2 x h

h→ 0

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación Escuela ECBTI Programa: Ingeniería de Sistemas Curso: Calculo Diferencial Grupo: 100410_577

lim

16 xh+8 h 2+2 h h

lim

h (16 x +8 h+ 2) h

h→ 0

h→ 0

lim 16 x +8 h+ 2 h→ 0

¿ 16 x+ 8 ( 0 ) +2=¿ 16 x +0+2

f ' ( x )=16 x +2

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación. 2. Estudiante 3

SOLUCION:

Ejercicio

f ( x )=( √ x+ 9)( 4 x 4 −8 x2 )

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación Escuela ECBTI Programa: Ingeniería de Sistemas Curso: Calculo Diferencial Grupo: 100410_577 d ( √ x +9)(4 x 4−8 x 2) ] [ dx

¿

d [ √ x +9 ] ∙ d ( 4 x 4 −8 x 2) +( √ x+ 9)∙ d [ 4 x 4 −8 x2 ] dx dx dx

¿

( dxd [ √ x ] ∙ dxd [ 9 ]) ∙( 4 x −8 x )+ ( √ x +9 ) ∙( 4 dxd [ x ]−8 dxd [ x ])

¿

( 12 x

¿

4 x 4 −8 x 2 ( + √ x+ 9 ) ∙ ( 16 x 3−16 x ) 2√x

4

1 /2−1

2

4

)

+ 0 ∙ ( 4 x 4−8 x 2 ) + ( √ x+ 9 ) ∙(4 ∙ 4 x3 −8 ∙2 x)

2(2 x ¿ ¿ 4−4 x 2) ¿ +16 x3 √ x−16 x √ x+ 144 x3 −144 x ¿ 2√x

¿

2 x 4 −4 x 2 + 16 x 3 √ x −16 x √ x+144 x 3−144 x √x

Racionalizando:

2

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación Escuela ECBTI Programa: Ingeniería de Sistemas Curso: Calculo Diferencial Grupo: 100410_577

¿

(2 x ¿ ¿ 4−4 x 2 ) √ x +16 x 3 √ x−16 x √ x +144 x 3−144 x ¿ x

Factorizando:

¿

x (2 x ¿¿ 3−4 x) √ x 3 3 +16 x √ x−16 x √ x +144 x −144 x ¿ x

Simplificando:

¿( 2 x ¿¿ 3−4 x) √ x+16 x 3 √ x−16 x √ x +144 x 3−144 x ¿ Multiplicando dentro del paréntesis por

√x

¿ 2 x3 √ x−4 x √ x +16 x 3 √ x−16 x √ x +144 x 3−144 x ¿ 18 x3 √ x−20 x √ x+ 144 x3 −144 x

3. Ejercicio Estudiante 3

SOLUCION:

f ( x )=

5 x 2+12 x 5 x 3−3 x

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación Escuela ECBTI Programa: Ingeniería de Sistemas Curso: Calculo Diferencial Grupo: 100410_577 d 5 x 2 +12 x dx 5 x 3−3 x

[

]

d [ 5 x 2+ 12 x ] ∙ ( 5 x 3−3 x )−( 5 x 2 +12 x ) ∙ d [ 5 x 3−3 x ] dx dx ¿ 3 2 (5 x −3 x)

(¿ 5 dxd [ x ]+12 dxd [ x ] )∙ (5 x −3 x)−(5 x +12 x )∙[ 5 dxd ( x )−3 dxd ( x) ] 2

3

2

3

2

( 5 x 3−3 x )

¿

¿

¿

(5 ∙ 2 x +12 ∙1 ) ∙ ( 5 x 3−3 x ) −(5 x 2+12 x) ∙ ( 5∙ 3 x 2−3 ∙1 ) 2

( 5 x3 −3 x )

(10 x +12 ) ∙ ( 5 x 3−3 x )−( 15 x 2−3 ) ∙(5 x 2+ 12 x )

( 5 x 3−3 x )

2

10 x ( 5 x3 −3 x ) +12 ( 5 x 3−3 x )−15 x 2 ( 5 x 2+12 x ) +3(5 x 2+ 12 x ) 2

( 5 x 3−3 x )

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación Escuela ECBTI Programa: Ingeniería de Sistemas Curso: Calculo Diferencial Grupo: 100410_577

¿

¿

¿

¿

50 x x3 −15 x 2 +60 x 3−75 x 4−180 x x 2 2 ( 5 x 3−3 x )

50 x 4 −15 x2 +60 x 3−75 x 4−180 x 3 2

( 5 x 3−3 x )

−25 x 4−120 x 3−15 x2 2 ( 5 x 3−3 x )

−5 x 2 (5 x 2+ 24 x+3) 2

( 5 x 3 −3 x )

4.

Estudiante 3

Ejercicio 5

f ( x )= ( 3 x 4 + 3 ) . ( 9 x ) 7 x SOLUCION:

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación Escuela ECBTI Programa: Ingeniería de Sistemas Curso: Calculo Diferencial Grupo: 100410_577 5 d ( 9 x)7 x ∙ ( 3 x 4 +3 ) ] [ dx

¿

5 5 5 d 7 x 7x ( 9 ) ∙ x ∙ ( 3 x 4 +3 ) + 97 x ∙ d ( x 7 x ) ∙ ( 3 x 4 + 3 ) +97 x ∙ x7 x ∙ d [ ( 3 x 4 +3 ) ] dx dx dx

¿ l n (9)∙

5 5 4 d d d ( 7 x ) ∙ 97 x ∙ x 7 x ∙ ( 3 x 4+ 3 ) +97 x ( e 7 xln ( x ) ) ∙ ( 3 x 4 + 3 ) +5 ∙9 7 x ∙ x 7 x ∙ ( 3 x 4 +3 ) ∙ ( 3 x 4 +3 ) dx dx dx

¿ 7 l n( 9)∙

5 5 4 d d d ( x ) ∙ 97 x ∙ x 7 x ∙ ( 3 x 4+ 3 ) +97 x ( 7 x ∙ ln ( x) ) ∙e 7 xln( x ) ∙ ( 3 x 4 +3 ) +5∙ 97 x ∙ ( 3 x 4 ) ∙ x 7 x ∙ ( 3 x 4 +3 ) dx dx dx

5

5

[

5

5

(

¿ 7 l n ( 9 ) ∙ 97 x ∙ x7 x ∙ ( 3 x 4 +3 ) +9 7 x ∙ e 7 xln ( x ) ∙ ( 3 x 4 +3 ) ∙ 7

4 d d d ( x ) ∙ ln ( x )+7 x ∙ ( ln ( x ) ) +15 (x 4) ∙ 97 x ∙ x 7 x ∙ ( 3 x 4 +3 ) dx dx dx

]

¿ 7 l n ( 9 ) ∙ 97 x ∙ x7 x ∙ ( 3 x 4 +3 ) +9 7 x ∙ e 7 xln ( x ) ∙ ( 3 x 4 +3 ) ∙ 7 ln ( x ) +

7x

7x

4

5

4

5

4 7x + 60∙ 97 x ∙ x 7 x+3 ∙ ( 3 x 4 +3 ) x

)

4

4

¿ 9 (1701 ln ⁡(9))∙ x ∙ ( x +1 ) +1701 ∙(ln ( x )+1)∙ ( x +1 ) ∙ e 7 xln x + 4860 ( x +1 ) ∙ x

5

5

( )

5

7 x+3

4

¿ 1701l n ( 9 ) ∙ 97 x ∙ ( x 4 + 1 ) + 97 x (1701 ∙ ln ( x ) ∙ ( x 4 + 1 ) ∙ e 7 xln ( x ) +1701∙ ( x 4 +1 ) ∙ e7 xln( x )) +4860 ∙ 97 x ∙ ( x 4 + 1 ) ∙ x 7 x+3

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación Escuela ECBTI Programa: Ingeniería de Sistemas Curso: Calculo Diferencial Grupo: 100410_577

¿ 97 x ¿

¿ 97 x ¿

5. Calcule la derivada implícita de la Siguiente función. Estudiante 3 SOLUCION:

d 2 2 ( x y + y + x )= d (2) dx dx Trataremos a (y) como una función de (x)

d d d ( y ¿ ¿ 2 x 2)+ ( x )+ ( y )=0 ¿ dx dx dx d d ( y ¿¿ 2)∙ x 2+ y 2 ( x 2 ) +1+ y ' =0 ¿ dx dx

Ejercicio 2

x y 2 + y + x=2

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación Escuela ECBTI Programa: Ingeniería de Sistemas Curso: Calculo Diferencial Grupo: 100410_577

2y

d ( y) ∙ x 2 + y 2 ∙ 2 x+1+ y '=0 dx

2 yy ' ∙ x 2+ y 2 ∙ 2 x +1+ y '=0 Reescribiendo:

2 y y ' ∙ x 2 +2 y2 x+ y ' +1=0 2 x2 y y ' + y ' +2 y 2 x +1=0

( 2 x 2 y +1 ) y ' +2 y 2 x+1=0

'

y=

−2 x y 2−1 2 x2 y +1

Escribir y’ como

d (y) dx

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación Escuela ECBTI Programa: Ingeniería de Sistemas Curso: Calculo Diferencial Grupo: 100410_577

d ( ) −2 x y 2−1 y= dx 2 x 2 y +1 6. Calcule las siguientes derivadas de orden superior. Estudiante 3

Ejercicio

f ( x )=5 x 3 +4 x 2 +9 x

Derivada de orden superior

f ' ' ' (x)=?

SOLUCION:

f ( x )=5 x 3 +4 x 2 +9 x f ' ' ' (x)=? f ( x )=5 x 3 +4 x 2 +9 x f ' ( x )=15 x 2 +8 x+ 9 f ' ' ( x )=30 x +8 f ' ' ' ( x )=30

Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra). Estudian

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación Escuela ECBTI Programa: Ingeniería de Sistemas Curso: Calculo Diferencial Grupo: 100410_577 te 3

a. f ( x )=7 x 2 +9 x

f ' ( x )=14 x +9 Primera derivada de la funcion

a.

f ( x )=7 x 2 +9 x

b.

f ( x )=tan ( x )

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación Escuela ECBTI Programa: Ingeniería de Sistemas Curso: Calculo Diferencial Grupo: 100410_577

b. f ( x )=tan ( x )

f ' ( x )=

1 =sec 2 ( x ) 2 cos (x )

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación Escuela ECBTI Programa: Ingeniería de Sistemas Curso: Calculo Diferencial Grupo: 100410_577

Asignación Estudiante 3

3. PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Problemas A Se necesita un tanque cilíndrico para almacenar agua, para su fabricación se requieren materiales distintos para las bases y el lateral. El precio por metro cuadrado del material de las bases es de

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación Escuela ECBTI Programa: Ingeniería de Sistemas Curso: Calculo Diferencial Grupo: 100410_577 $5000 y el del lateral es de $10000. Calcular la altura h y el diámetro d para que el costo de un tanque de 15 mil litros de capacidad sea mínimo. ¿Cuál es el precio del tanque?

B

Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función

3 f ( x )= x 3 −3 x +10 7

A. Se necesita un tanque cilíndrico para almacenar agua, para su fabricación se requieren materiales distintos para las bases y el lateral. El precio por metro cuadrado del material de las bases es de $5000 y el del lateral es de $10000. Calcular la altura h y el diámetro d para que el costo de un tanque de 15 mil litros de capacidad sea mínimo. ¿Cuál es el precio del tanque?

Solución: Datos: Pb= 5.000$ Pl= 10.000$ h=? d=? Para realizar el cálculo por el producto de los costos de materiales por unidad de área y el área superficial del tanque cilíndrico. Si llamamos h la altura y r el radio del cilindro; nos queda:

C=h ( La altura del cilindro ) +r (El radio del cilindro)   C=h ( 2 ∙ π ∙h )+ 5(2 ∙ π ∙r 2 )  

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación Escuela ECBTI Programa: Ingeniería de Sistemas Curso: Calculo Diferencial Grupo: 100410_577 Lo ideal sería que el costo esté expresado solo en función del radio, por lo que usaremos el volumen conocido (ecuación auxiliar) para despejar h en función de r:

15=π ∙ r 2 ∙ h D espejamosh h=

15 π ∙ r2

Por tanto la función principal nos queda:

C=

30 +10 ∙ π ∙ r 2 r

Hay que tener en cuenta que los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos. Parte I Buscamos los puntos críticos de la función. Esto se hace derivando la función e igualando a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de C.

C '=

−300 +20 ∙ π ∙ r r

C ' =0=¿−

300 + 20∙ π ∙ r =0 r

¿−300+20 ∙ π ∙ r 2=0 r=

√ 3

15 π

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación Escuela ECBTI Programa: Ingeniería de Sistemas Curso: Calculo Diferencial Grupo: 100410_577 Parte II Ahora nos toca hallar la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.

C ''=

600 +20 ∙ π r3

Parte III Evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.

C ''

15 π

(√ ) 3

> 0=¿ r =

√ 3

15 es un mínimo de la función C π

Parte IV Hallamos el valor de h y tenemos las dimensiones del cilindro de precio mínimo de construcción.

15

h= π

15 π

2

(√ ) 3

d=2∙ r=¿ 2 ∙

√ 3

15 π

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación Escuela ECBTI Programa: Ingeniería de Sistemas Curso: Calculo Diferencial Grupo: 100410_577 Las dimensiones para el tanque cilíndrico de menor precio son: Altura = 16.8 dm Diámetro = 33.6 dm El precio del tanque es de aproximadamente $266.000

B. Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función

3 f ( x )= x 3 −3 x +10 7

Solución:

3 7

3

Sea la función f ( x )= x −3 x +10 PARTE I Se halla la primera derivada de la función y luego se iguala a cero.

9 f ' ( x )= x 2−3=1.28 x2 −3=0 7 x 2=

3 =2.34 1.28

x=± 2.34

PARTE II

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación Escuela ECBTI Programa: Ingeniería de Sistemas Curso: Calculo Diferencial Grupo: 100410_577 Por criterio de la segunda derivada: Si al evaluar el punto crítico en la segunda derivada es positiva, entonces es un mínimo, si es negativa es un máximo.

f ' ' ( x ) =2∙ 1.28 ∙ x=2.56 x

f ' ' ( √ 2.34 )= √ 2.34 >0 ES UN MINIMO

f ' ' (−√ 2.34 ) =−√ 2.34