Calculo Del Monto Compuesto

CALCULO DEL MONTO COMPUESTO El ejemplo anterior mostró la forma como se calcula el monto compuesto, efectuando cálculos

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CALCULO DEL MONTO COMPUESTO El ejemplo anterior mostró la forma como se calcula el monto compuesto, efectuando cálculos de interés simple periodo por periodo. Esta forma de calcular el monto compuesto es bastante laboriosa y tardada, sobre todo si se tienen muchos periodos de capitalización. Imagine el lector el tiempo que se tardaría en calcular el monto compuesto del ejemplo anterior si el tiempo fuera de 20 años (¡40 periodos de capitalización!). A fin de evitar pérdida de tiempo, a continuación se deduce una fórmula que permitirá obtener el monto compuesto de una manera directa. Sea P un capital invertido ala tasa de interés compuesto de j% por periodo de capitalización∗ Se desea obtener el monto compuesto F obtenido al final de n periodos de capitalización o conversión. Observe que j no es tasa anual, sino que es la tasa convertida al periodo de capitalización. ∗∗ Recuerde que i = j/ 100. ∗∗∗ Se realizó una factorización. El factor común es P(1 + i). De la tabla anterior se observa que el monto compuesto al final del primer periodo es P(1 + i); el monto compuesto al final del segundo periodo-es P (1+ i)2; el monto compuesto al final del tercer periodo es P (1+ i)3, y así sucesivamente, de tal forma que al final de n periodos el monto compuesto viene dado por: donde F es el monto compuesto o valor futuro, P es el capital original, i es la tasa de interés en forma decimal (esto es, dividida entre 100) por periodo de capitalización y n es el número de periodos de capitalización. La ecuación (7.2) es la fórmula general del interés compuesto. Su demostración general se lleva a cabo mediante inducción matemática. EJEMPLO 7.2 Obtener el monto compuesto y el interés compuesto al final de 6 años de $ 10,000 invertidos a una tasa del 34% con capitalización trimestral. SOLUCION En este caso el trimestre es la unidad básica de tiempo. Como la tasa es anual y en un año hay 4 trimestres, se tiene que:

Por tanto, i=0.085 por trimestre El tiempo es igual a 6 años. Por tanto, 6 años = (6 años) (4 trimestres/año) = 24 trimestres. Esto significa que hay 24 periodos de capitalización. Es decir: n = 24. Sustituyendo valores en la ecuación (7.2) se tiene: F = 10,000 (1 + 0.085)24 = 10,000 (1.085)24 Desde un punto de vista práctico, existen 2 formas para evaluar la expresión anterior: a) Resolver utilizando logaritmos∗ b) Utilizar la calculadora de forma directa. Resolviendo mediante el uso de los logaritmos, se tiene: log F = log 10,000 + 24 log 1.085 log F = 4 + (24) (0.03542973818) = 4.850313716 F=antilog 4.850313716 F = 70,845.74 Se espera que con lo estudiado en el capítulo 2 el lector pueda advertir los casos en donde se usan los logaritmos. Resolviendo por medio de la función de elevación a potencia de la calculadora, se tiene: En 6 años, la inversión de $ 10,000 se transformará en un valor futuro o monto por $ 70,845.74 debido a la generación de un interés compuesto de $ 60,845.74