Cálculo 2 de Varias Variables, 9na Edición - Ron Larson & Bruce H. Edwards

Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos División de Ingeniería Industrial AGOSTO – DICIEMBRE 2018 INTEGRANTES:

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Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos División de Ingeniería Industrial

AGOSTO – DICIEMBRE 2018 INTEGRANTES: CRUZ

MARTINEZ

VICTOR MANUEL

DE LOS SANTOS

YUNIS

RODRIGUEZ

MARIN

Apellido Paterno

Apellido Materno

ALMA LAURA RONALL Nombre(s)

ASIGNATURA: CALCULO VECTORIAL UNIDAD 4: FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLES

REPORTE DE INVESTIGACIÓN

Nombre del Docente:

TORRES Apellido Paterno

Carrera: ING. INDUSTRIAL

Semestre:

CABRERA

CARLOS

Apellido Materno



Grupo:

Nombre(s)

¨C¨

Unidad 4

Funciones reales de varias variables.

Calculo vectorial

INDICE Unidad 4 FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLES 4.1 Definición de una función de varias variables. 4.2 Gráfica de una función de varias variables. Curvas y superficies de nivel. 4.3 Límite y continuidad de una función de varias variables. 4.4 Derivadas parciales. 4.5 Incrementos y diferenciales. 4.6 Regla de la cadena y derivada implícita. 4.7 Derivadas parciales de orden superior. 4.8 Derivada direccional y gradiente. 4.9 Valores extremos de funciones de varias variables

INTRODUCCIÓN

Unidad 4

Funciones reales de varias variables.

Calculo vectorial

4.1 Definición de una función de varias variables.

Unidad 4

Funciones reales de varias variables.

Calculo vectorial

4.2 Gráfica de una función de varias variables. Curvas y superficies de nivel.

Unidad 4

Funciones reales de varias variables.

Calculo vectorial

4.3 Límite y continuidad de una función de varias variables.

Unidad 4

Funciones reales de varias variables.

Calculo vectorial

4.4 Derivadas parciales. De acuerdo al texto una derivada parcial es la derivada respecto a cada una de las variables que tiene, pero manteniendo las otras como constantes. Es necesario que para poder aplicarla a calculo vectorial se denomine las derivadas. Las derivadas parciales vienen o puede ser representada también en gráficas, interpretando un desplazamiento vertical o un desplazamiento horizontal de la gráfica mostrada (de f) y también para la interpretación depende mucho del punto en el que comience.[ CITATION Sag15 \l 2058 ] Una de las principales recomendaciones que se hace (para interpretar la derivada parcial de una gráfica) es que se considere a Y como una constante, esto se debe

Unidad 4

Funciones reales de varias variables.

Calculo vectorial

a

que

en

la

tridimensional

y

gráfica este

existe conjunto

una

figura

de

puntos

conforman un plano perpendicular (esto hace que el eje y pase por el origen). [ CITATION Ren06 \l 2058 ] En la siguiente imagen que se muestra pude interpretar que la derivada de F/ derivada de X da la pendiente de una recta tangente a la curva, porque la derivada de X es un ligero desplazamiento y la derivada d Y es el cambio resultante en la dirección de Z (el desplazamiento vertical).

4.5 Incrementos y diferenciales. Como podemos saber un incremento es el aumento, crecimiento o desarrollo de algún objeto o cantidad. En el cálculo un incremento es cuando la cantidad de una variable pasa de un valor inicial a otro valor distinto al inicial y para hallar un incremento basta con buscar la diferencia entre el valor final y el inicial. Una función de una variable podemos decir que el incremento de y

como

y

se puede decir que está dado por

es

y=f ( x + x)−f (x )

dy=f ´( x )dx

y=f ( x) ,

y la diferencial de

y la diferencial de

y representa el cambio en la altura de la curva y=f ( x) y dy

y

representa la

Unidad 4

Funciones reales de varias variables.

Calculo vectorial

variación en y cuando

x

a lo largo de la recta tangente

varía en una cantidad

dx=x .

[ CITATION Fra07 \l 3082 ] En la siguiente figura se observa

z=f (x , y ) en dos Para funciones como pueden ser variables, estos son los incrementos independientes de x e y , y el incremento de z en el punto que existe entre las funciones (x , y ) viene dado por: Z f ( x x , y y ) f ( x , y ) .[ CITATION Men12 \l 3082 ]

4.6 Regla de la cadena y derivada implícita. Regla de la cadena En el cálculo de una variable la regla de la cadena está basado mediante lo siguiente:

'

( g ( h ( x ) ) ) =g ' [ h( x)] h' ( x ) .

es decir que tenemos que realizar una

multiplicación sucesivo a las derivadas de la funciones componentes.[ CITATION Ern08 \l 3082 ]

Unidad 4

Funciones reales de varias variables.

Calculo vectorial

Por ejemplo supongamos que tenemos una función de dos variables como podría estar

dado

z=f (z , y ) . El tipo de composición para esta función seria aplicar una

h

función de variable h ( z )=h [ f ( x , y ) ]

z .

a

La siguiente función quedaría dado como

esta función seria nueva ya que es una función con dos

variables. En general, el dominio de una función con n variable (n ≥ 1) está formado por puntos con n coordenadas, y la función asocia a cada punto un número real determinado. [ CITATION Men12 \l 3082 ] Derivadas explicitas e implícitas Las funciones pueden clasificarse en funciones explícitas e implícitas. Una función en la que la variable dependiente se expresa únicamente en términos de la variable independiente es una función explícita. La forma de estas funciones puede ser dada como encontrar

y=f ( x)

, y al momento de derivarlas, lo importante es

y ’ . Por ejemplo, la función

1 y= x 3−1 2

es una función explícita.

En casos en los que nuestra variable dependiente no esté dada sólo en términos de la variable independiente, se tiene una función implícita. Una expresión equivalente a

1 y= x 3−1 2

y en términos de

es

3 2 y−x + 2=0 . Esta expresión no nos presenta a

x , por lo que en este caso tenemos a la función definida de

manera implícita.[ CITATION Men121 \l 3082 ]

4.8 Gradiente y derivada direccional. Gradiente El gradiente es un vector que se encuentra normal a la curva de nivel en el punto que se esté estudiando llámese

( x , y )(x , y , z).

Unidad 4

Funciones reales de varias variables.

Calculo vectorial

El gradiente de una función punto

x 0, y 0, z 0 ¿ es :

( ∂∂ xf )

,

(x 0, y 0, z 0)

∂f ∂y

)

,

(x 0, y 0, z0)

∂f ∂z

(

f (x, y ,z)

en el

Nota: Se llama componente del gradiente a cada derivada parcial en el punto ( x 0, y 0, z 0 )

)

(x 0, y 0, z 0)

f es cualquier punto

El gradiente de la función

∇f=

(x , y , z). Se designa:

( ∂∂ xf , ∂∂ fy , ∂∂ fz )

∇ f se dice; gradiente de f y nabla de f . Se llama gradiente de el simbolo ∇ se Gradf , al vector cuyas proyecciones sobre los una función, que se representa Para leer

llama nabla.

ejes de coordenadas son las derivadas parciales de dicha función. ∇ f (x , y , z) es un vector de 3 dimensiones en cada punto

Así

el gradiente de

( x , y , z) por eso

f (x , y , z ) se escribe:

( ∂∂ fx i, ∂∂ fy j , ∂∂ fz k )

Grad f =∇ f =

Se relaciona el tema de la unidad con la gradiente porque el gradiente de f por tanto, una función vectorial de las mismas variables reales que

es,

f .

La función vectorial es el gradiente de una función escalar, se llama potencial de la función vectorial a la función escalar. Eso quiere decir que f es el potencial de la función vectorial ∇

Grad f =∇ f .

se puede escribir con cualquiera de los 3 miembros de la igualdad:

( ∂∂x , ∂∂y , ∂∂z )= ∂∂x i , ∂∂y j , ∂∂z k

∇=

[ CITATION Rob13 \l 2058 ]

Derivada Direccional Se fija un vector dx , dy , dz

dr =(dx , dy , dz) = dxi+dyj +dzk

se fija su módulo y su dirección.

dando valores concreto a

Unidad 4

Funciones reales de varias variables.

Calculo vectorial

Cada valor de la

df

en un punto

el producto escalar de su gradiente en ese punto por un vector ∇ f . dr=

x , y , z ) es ¿

dr :

∂f ∂f ∂f dx , dy , dz=df ∂x ∂y ∂z

El vector

dr

x , y , z ) el ¿

puede tener cualquier modulo y dirección en cambio en cada punto grad ∇ f es fijo, por tanto tiene un valor concreto.

La derivada de una función

f (x1, x 2 , x 3 ) en un punto en cualquier dirección es el

producto escalar o producto interno del gradiente en ese punto por el vector unitario de esa dirección Du f =∇ f . u

La derivada direccional máxima de una función en cada punto es la derivada en la dirección del gradiente en ese punto, y vale el módulo o norma del gradiente en ese punto. [ CITATION Rob13 \l 2058 ]

APLICACIÓN

Unidad 4

Funciones reales de varias variables.

Calculo vectorial

Podemos

decir

que

el

gradiente

es

la

temperatura � �, en cualquier punto �, de una

placa metálica plana. En este caso, 𝛻� �, da la dirección de máximo aumento de temperatura en el punto �, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

Figure 4: Tomada de pag web:john-lamberto.pdf

Hallar la dirección de máximo incremento: La temperatura en grados Celsius sobre la superficie de una placa metálica es: T(x,y) = 20 –4x2-y2 Donde x,y se mide en centímetros. ¿En qué dirección crece más rápidamente la temperatura en el punto (2,3)? ¿Cuál es el ritmo de crecimiento? Solución: El gradiente es 𝛻� �, = �� �, � + �� �, � = -8xi–2yj.

Se sigue que la dirección de máximo incremento está dada por 𝛻� 2,−3 = −16� + 6�

Y la tasa de incremento es 𝛻� 2,−3 = 256 + 36 = 292 = 17.09°C/por centímetros

[ CITATION Vel10 \l 2058 ]

4.9 Valores extremos de funciones de varias variables

Unidad 4

Funciones reales de varias variables.

Calculo vectorial

Las funciones de varias variables también tienen extremos relativos y absolutos. Un

máximo o un mínimo absoluto es un valor para que la función tome el mayor o el menor valor. Existen condiciones necesarias de los cuales nos dice que si Z=F(X,Y) alcanzan un extremo en el punto P(X0,Y0) entonces sus derivadas parciales de primer orden son iguales a cero. Los puntos en el que las derivadas son iguales a cero se llaman pinto estacionario o pinto crítico. Aunque no todos los puntos críticos son igual a cero. [ CITATION the12 \l 2058 ]

CONCLUSIÓN

Unidad 4

Funciones reales de varias variables.

Calculo vectorial

En

la

investigación

nos

hemos

referido

principalmente a funciones reales de tres variables reales porque son las que más aparecen en ingeniería. Además, los conceptos son más fáciles de interpretar en el espacio tridimensional ordinario, lo que hace didácticamente aconsejable centrar la atención sobre las funciones reales de tres variables reales. Pero los resultados son válidos para cualquier número de variables.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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Funciones reales de varias variables.

Calculo vectorial

Referencias Benitez, R. (2006). Calculo integral. Puebla, México: DF.

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