Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos División de Ingeniería Industrial AGOSTO – DICIEMBRE 2018 INTEGRANTES:
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Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos División de Ingeniería Industrial
AGOSTO – DICIEMBRE 2018 INTEGRANTES: CRUZ
MARTINEZ
VICTOR MANUEL
DE LOS SANTOS
YUNIS
RODRIGUEZ
MARIN
Apellido Paterno
Apellido Materno
ALMA LAURA RONALL Nombre(s)
ASIGNATURA: CALCULO VECTORIAL UNIDAD 4: FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLES
REPORTE DE INVESTIGACIÓN
Nombre del Docente:
TORRES Apellido Paterno
Carrera: ING. INDUSTRIAL
Semestre:
CABRERA
CARLOS
Apellido Materno
3°
Grupo:
Nombre(s)
¨C¨
Unidad 4
Funciones reales de varias variables.
Calculo vectorial
INDICE Unidad 4 FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLES 4.1 Definición de una función de varias variables. 4.2 Gráfica de una función de varias variables. Curvas y superficies de nivel. 4.3 Límite y continuidad de una función de varias variables. 4.4 Derivadas parciales. 4.5 Incrementos y diferenciales. 4.6 Regla de la cadena y derivada implícita. 4.7 Derivadas parciales de orden superior. 4.8 Derivada direccional y gradiente. 4.9 Valores extremos de funciones de varias variables
INTRODUCCIÓN
Unidad 4
Funciones reales de varias variables.
Calculo vectorial
4.1 Definición de una función de varias variables.
Unidad 4
Funciones reales de varias variables.
Calculo vectorial
4.2 Gráfica de una función de varias variables. Curvas y superficies de nivel.
Unidad 4
Funciones reales de varias variables.
Calculo vectorial
4.3 Límite y continuidad de una función de varias variables.
Unidad 4
Funciones reales de varias variables.
Calculo vectorial
4.4 Derivadas parciales. De acuerdo al texto una derivada parcial es la derivada respecto a cada una de las variables que tiene, pero manteniendo las otras como constantes. Es necesario que para poder aplicarla a calculo vectorial se denomine las derivadas. Las derivadas parciales vienen o puede ser representada también en gráficas, interpretando un desplazamiento vertical o un desplazamiento horizontal de la gráfica mostrada (de f) y también para la interpretación depende mucho del punto en el que comience.[ CITATION Sag15 \l 2058 ] Una de las principales recomendaciones que se hace (para interpretar la derivada parcial de una gráfica) es que se considere a Y como una constante, esto se debe
Unidad 4
Funciones reales de varias variables.
Calculo vectorial
a
que
en
la
tridimensional
y
gráfica este
existe conjunto
una
figura
de
puntos
conforman un plano perpendicular (esto hace que el eje y pase por el origen). [ CITATION Ren06 \l 2058 ] En la siguiente imagen que se muestra pude interpretar que la derivada de F/ derivada de X da la pendiente de una recta tangente a la curva, porque la derivada de X es un ligero desplazamiento y la derivada d Y es el cambio resultante en la dirección de Z (el desplazamiento vertical).
4.5 Incrementos y diferenciales. Como podemos saber un incremento es el aumento, crecimiento o desarrollo de algún objeto o cantidad. En el cálculo un incremento es cuando la cantidad de una variable pasa de un valor inicial a otro valor distinto al inicial y para hallar un incremento basta con buscar la diferencia entre el valor final y el inicial. Una función de una variable podemos decir que el incremento de y
como
y
se puede decir que está dado por
es
y=f ( x + x)−f (x )
dy=f ´( x )dx
y=f ( x) ,
y la diferencial de
y la diferencial de
y representa el cambio en la altura de la curva y=f ( x) y dy
y
representa la
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Calculo vectorial
variación en y cuando
x
a lo largo de la recta tangente
varía en una cantidad
dx=x .
[ CITATION Fra07 \l 3082 ] En la siguiente figura se observa
z=f (x , y ) en dos Para funciones como pueden ser variables, estos son los incrementos independientes de x e y , y el incremento de z en el punto que existe entre las funciones (x , y ) viene dado por: Z f ( x x , y y ) f ( x , y ) .[ CITATION Men12 \l 3082 ]
4.6 Regla de la cadena y derivada implícita. Regla de la cadena En el cálculo de una variable la regla de la cadena está basado mediante lo siguiente:
'
( g ( h ( x ) ) ) =g ' [ h( x)] h' ( x ) .
es decir que tenemos que realizar una
multiplicación sucesivo a las derivadas de la funciones componentes.[ CITATION Ern08 \l 3082 ]
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Calculo vectorial
Por ejemplo supongamos que tenemos una función de dos variables como podría estar
dado
z=f (z , y ) . El tipo de composición para esta función seria aplicar una
h
función de variable h ( z )=h [ f ( x , y ) ]
z .
a
La siguiente función quedaría dado como
esta función seria nueva ya que es una función con dos
variables. En general, el dominio de una función con n variable (n ≥ 1) está formado por puntos con n coordenadas, y la función asocia a cada punto un número real determinado. [ CITATION Men12 \l 3082 ] Derivadas explicitas e implícitas Las funciones pueden clasificarse en funciones explícitas e implícitas. Una función en la que la variable dependiente se expresa únicamente en términos de la variable independiente es una función explícita. La forma de estas funciones puede ser dada como encontrar
y=f ( x)
, y al momento de derivarlas, lo importante es
y ’ . Por ejemplo, la función
1 y= x 3−1 2
es una función explícita.
En casos en los que nuestra variable dependiente no esté dada sólo en términos de la variable independiente, se tiene una función implícita. Una expresión equivalente a
1 y= x 3−1 2
y en términos de
es
3 2 y−x + 2=0 . Esta expresión no nos presenta a
x , por lo que en este caso tenemos a la función definida de
manera implícita.[ CITATION Men121 \l 3082 ]
4.8 Gradiente y derivada direccional. Gradiente El gradiente es un vector que se encuentra normal a la curva de nivel en el punto que se esté estudiando llámese
( x , y )(x , y , z).
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Calculo vectorial
El gradiente de una función punto
x 0, y 0, z 0 ¿ es :
( ∂∂ xf )
,
(x 0, y 0, z 0)
∂f ∂y
)
,
(x 0, y 0, z0)
∂f ∂z
(
f (x, y ,z)
en el
Nota: Se llama componente del gradiente a cada derivada parcial en el punto ( x 0, y 0, z 0 )
)
(x 0, y 0, z 0)
f es cualquier punto
El gradiente de la función
∇f=
(x , y , z). Se designa:
( ∂∂ xf , ∂∂ fy , ∂∂ fz )
∇ f se dice; gradiente de f y nabla de f . Se llama gradiente de el simbolo ∇ se Gradf , al vector cuyas proyecciones sobre los una función, que se representa Para leer
llama nabla.
ejes de coordenadas son las derivadas parciales de dicha función. ∇ f (x , y , z) es un vector de 3 dimensiones en cada punto
Así
el gradiente de
( x , y , z) por eso
f (x , y , z ) se escribe:
( ∂∂ fx i, ∂∂ fy j , ∂∂ fz k )
Grad f =∇ f =
Se relaciona el tema de la unidad con la gradiente porque el gradiente de f por tanto, una función vectorial de las mismas variables reales que
es,
f .
La función vectorial es el gradiente de una función escalar, se llama potencial de la función vectorial a la función escalar. Eso quiere decir que f es el potencial de la función vectorial ∇
Grad f =∇ f .
se puede escribir con cualquiera de los 3 miembros de la igualdad:
( ∂∂x , ∂∂y , ∂∂z )= ∂∂x i , ∂∂y j , ∂∂z k
∇=
[ CITATION Rob13 \l 2058 ]
Derivada Direccional Se fija un vector dx , dy , dz
dr =(dx , dy , dz) = dxi+dyj +dzk
se fija su módulo y su dirección.
dando valores concreto a
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Funciones reales de varias variables.
Calculo vectorial
Cada valor de la
df
en un punto
el producto escalar de su gradiente en ese punto por un vector ∇ f . dr=
x , y , z ) es ¿
dr :
∂f ∂f ∂f dx , dy , dz=df ∂x ∂y ∂z
El vector
dr
x , y , z ) el ¿
puede tener cualquier modulo y dirección en cambio en cada punto grad ∇ f es fijo, por tanto tiene un valor concreto.
La derivada de una función
f (x1, x 2 , x 3 ) en un punto en cualquier dirección es el
producto escalar o producto interno del gradiente en ese punto por el vector unitario de esa dirección Du f =∇ f . u
La derivada direccional máxima de una función en cada punto es la derivada en la dirección del gradiente en ese punto, y vale el módulo o norma del gradiente en ese punto. [ CITATION Rob13 \l 2058 ]
APLICACIÓN
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Funciones reales de varias variables.
Calculo vectorial
Podemos
decir
que
el
gradiente
es
la
temperatura � �, en cualquier punto �, de una
placa metálica plana. En este caso, 𝛻� �, da la dirección de máximo aumento de temperatura en el punto �, como se ilustra en el ejemplo siguiente.
Figure 4: Tomada de pag web:john-lamberto.pdf
Hallar la dirección de máximo incremento: La temperatura en grados Celsius sobre la superficie de una placa metálica es: T(x,y) = 20 –4x2-y2 Donde x,y se mide en centímetros. ¿En qué dirección crece más rápidamente la temperatura en el punto (2,3)? ¿Cuál es el ritmo de crecimiento? Solución: El gradiente es 𝛻� �, = �� �, � + �� �, � = -8xi–2yj.
Se sigue que la dirección de máximo incremento está dada por 𝛻� 2,−3 = −16� + 6�
Y la tasa de incremento es 𝛻� 2,−3 = 256 + 36 = 292 = 17.09°C/por centímetros
[ CITATION Vel10 \l 2058 ]
4.9 Valores extremos de funciones de varias variables
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Las funciones de varias variables también tienen extremos relativos y absolutos. Un
máximo o un mínimo absoluto es un valor para que la función tome el mayor o el menor valor. Existen condiciones necesarias de los cuales nos dice que si Z=F(X,Y) alcanzan un extremo en el punto P(X0,Y0) entonces sus derivadas parciales de primer orden son iguales a cero. Los puntos en el que las derivadas son iguales a cero se llaman pinto estacionario o pinto crítico. Aunque no todos los puntos críticos son igual a cero. [ CITATION the12 \l 2058 ]
CONCLUSIÓN
Unidad 4
Funciones reales de varias variables.
Calculo vectorial
En
la
investigación
nos
hemos
referido
principalmente a funciones reales de tres variables reales porque son las que más aparecen en ingeniería. Además, los conceptos son más fáciles de interpretar en el espacio tridimensional ordinario, lo que hace didácticamente aconsejable centrar la atención sobre las funciones reales de tres variables reales. Pero los resultados son válidos para cualquier número de variables.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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Referencias Benitez, R. (2006). Calculo integral. Puebla, México: DF.
Ernest F. Haeussler, J. R. (2006). Matemáticas. PANAMA. Ernest F. Haeussler, J. R. (2008). MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA. PANAMA. González, F. J. (2007). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. GRANADA. Ignacio, M. e. (2012). MATEMATICAS 3. MÉXICO. Melchor, R. C. (28 de enero del 2013). Concepto de gradiente y derivada direccional V1.1. Universidad de salamanca . Paéz, M. e. (2012). MATEMATICAS 3. MEXICO. Sagrero, A. V. (2015). Matematicas. Calculo vectorial. México DF. . theZombiestudent. (21 de noviembre de 2012). valores extremos de funciones de varias variables . (H. V. Vazquez, Intérprete) Youtube, piedras negras , Piedras negras , México. Velásquez, D. M. (2010). Gradiente y derivada direccional. Universidad Nacional Experimental .