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Edgar Eduardo Mosquera Vargas, MSc. PhD. Departamento de Física - UV

Facultad de Ciencias Naturales y Exactas Image of the Earth from a NASA satellite. The sky appears black from out in space because there are so few molecules to reflect light. (Why the sky appears blue to us on Earth has to do with scattering of light by molecules of the atmosphere, as discussed in Chapter 24.) Note the storm off the coast of Mexico

Copyright © 2014, 2005, 1998, 1995, 1991, 1985, 1980 by Douglas C. Giancoli

FíSICA 1

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-1 Cantidad de movimiento lineal y su relación con la fuerza 7-2 Conservación de la cantidad del movimiento 7-3 Colisiones e impulso

7-4 Conservación de la energía y de la cantidad de movimiento lineal en colisiones 7-5 Colisiones elásticas en 1D 7-6 Colisiones inelásticas

7-7 Colisiones en 2D o 3D 7-8 Centro de masa (CM) 7-9 Resolviendo problemas

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-1 Cantidad de movimiento lineal y su relación con la fuerza La cantidad de movimiento lineal, también llamada momento lineal de un objeto se define como: 𝒑 = 𝒎𝒗 las unidades son: Kg m/s Se requiere una fuerza para cambiar la cantidad de movimiento lineal de un objeto, ya sea para aumentar o disminuir su magnitud, o bien, para cambiar su dirección y sentido. Según Newton: La tasa de cambio de la cantidad de movimiento de un objeto es igual a la fuerza neta aplicada sobre él. ෍𝑭 =

𝒅𝒑 𝒅𝒕

Por ejemplo, Fuerza de un servicio de tenis. El servicio de un tenista, la pelota perderá contacto con la raqueta con una rapidez de 55 m/s. si la pelota tiene una 𝑚 = 0,060 𝑘𝑔 y está en contacto con la raqueta por aproximadamente 4 ms, estime la fuerza promedio sobre la pelota. ¿Esta fuerza seria lo suficientemente grande como para levantar a una persona de 65 kg? Solución: 𝐹ത =

∆𝑝 ∆𝑡

=

𝑚𝑣2 −𝑚𝑣1 ∆𝑡

=

𝑚 𝑠

0,060 𝑘𝑔 55 0,004 𝑠

−0

= 825 𝑁

𝑤 = 𝑚𝑔 = 65 𝑘𝑔

9.8

𝑚 = 637 𝑁 𝑠2 7

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-1 Cantidad de movimiento lineal y su relación con la fuerza Por ejemplo, Lavado de un automóvil: cambio de la cantidad de movimiento y fuerza. De una manguera sale agua a una tasa de 1.5 kg/s con una rapidez de 20 m/s y se dirige al lado de un auto, que la detiene (Fig). Ignore cualquier salpicadura hacia atrás ¿ cual es la fuerza ejercida por el agua sobre el automóvil?

Solución: 𝐹ത =

∆𝑝 ∆𝑡

=

𝑚𝑣2 −𝑚𝑣1 ∆𝑡

=

𝑚 𝑠

0−(1.5 𝑘𝑔)(20 ) 1.0 𝑠

= −30 𝑁

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-2 Conservación de la cantidad del movimiento El concepto de cantidad de movimiento es particularmente importante porque sin ninguna fuerza neta externa actúa sobre el sistema, entonces se conserva la cantidad de movimiento total del sistema. Luego:

Cantidad de movimiento lineal antes = Cantidad de movimiento después

𝑚𝐴 𝑣റ 𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣റ 𝐵 = 𝑚𝐴 𝑣´ റ 𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣´ റ𝐵 ෍𝑭 =

σ 𝐹റ𝑒𝑥𝑡 = 0

𝒅𝒑 𝒅𝒕

Donde σ 𝐹റ𝑒𝑥𝑡 es la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre nuestro sistema. 𝒅𝒑 Si la σ 𝐹റ𝑒𝑥𝑡 = 0, entonces = 𝟎, asi ∆𝑝റ = 0 por lo que 𝑝റ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝒅𝒕

LEY DE CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL: Si la fuerza neta externa sobre un sistema de objetos es cero, entonces la cantidad de movimiento total del sistema permanece constante 7

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-2 Conservación de la cantidad del movimiento Por ejemplo, Colisión de carros de ferrocarril: conservación de la cantidad de movimiento. Un carro de ferrocarril con masa de 10.000 kg que viaja con una rapidez de 24.0 m/s golpea a un carro idéntico en reposo. Si los carros se quedan unidos como resultado de la colisión, ¿Cuál será su rapidez común inmediatamente después de la colisión? Ver fig.

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-2 Conservación de la cantidad del movimiento Por ejemplo, Colision de carros de ferrocarril: conservación de la cantidad de movimiento. Un carro de ferrocarril con masa de 10.000 kg que viaja con una rapidez de 24.0 m/s golpea a un carro idéntico en reposo. Si los carros se quedan unidos como resultado de la colisión, ¿Cuál será su rapidez común inmediatamente después de la colisión? Ver fig. ENFOQUE: Si se ignoran la fuerza externa y la fricción. 𝑝𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑝𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 Solución: 𝑝𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑚𝐴 𝑣𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵 = 𝑚𝐴 𝑣𝐴, ya que el carro B esta en reposo (𝑣𝐵 = 0) 𝑝𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣´ Como no hay fuerzas externas, por lo que se conserva la cantidad de movimiento total. 𝑝𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑝𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑚𝐴 𝑣𝐴 = 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣´ Despejamos la velocidad, se tiene 𝑚𝐴 𝑣𝐴 𝑣´ = 𝑣 = 12.0 𝑚/𝑠 (𝑚𝐴 +𝑚𝐵 ) 𝐴

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-2 Conservación de la cantidad del movimiento Por ejemplo, Retroceso de un rifle. Calcule la velocidad de retroceso de un rifle de 5.0 kg que dispara una bala de 0.020 kg con una rapidez de 620 m/s. Ver Fig. ENFOQUE: Si se ignoran la fuerza externa (σ 𝐹റ𝑒𝑥𝑡 = 0) y la fricción. Cantidad de movimiento lineal antes = Cantidad de movimiento después 𝑝𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑝𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-2 Conservación de la cantidad del movimiento Por ejemplo, Retroceso de un rifle. Calcule la velocidad de retroceso de un rifle de 5.0 kg que dispara una bala de 0.020 kg con una rapidez de 620 m/s. Ver Fig. ENFOQUE: Si se ignoran la fuerza externa (σ 𝐹റ𝑒𝑥𝑡 = 0) y la fricción.

Cantidad de movimiento lineal antes = Cantidad de movimiento después 𝑝𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑝𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 Solución: 𝑚𝐵 𝑣റ 𝐵 + 𝑚𝑅 𝑣റ 𝑅 = 𝑚𝐵 𝑣´ റ 𝐵 + 𝑚𝑅 𝑣´ റ𝑅 0 + 0 = 𝑚𝐵 𝑣´ റ 𝐵 + 𝑚𝑅 𝑣´ റ𝑅

De manera que

𝑚𝐵 𝑣´𝐵 = −2.5 𝑚/𝑠 𝑚𝑅 Como el rifle tiene una masa mucho mayor, su velocidad (de retroceso) es mucho menor que la de la bala. El signo menos indica que la velocidad (y la cantidad de movimiento) del rifle es en la dirección 𝑥 negativa, opuesta la velocidad de la bala. 𝑣´𝑅 =

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-3 Colisiones e impulso En una colisión de dos objetos ordinarios, ambos objetos se deforman, debido a las grandes fuerzas aplicadas. Luego, una grafica de la magnitud de la fuerza que un objeto ejerce sobre el otro durante una colisión, en función del tiempo, tiene la forma de la Fig., donde ∆𝑡 es muy pequeño De la 2da Ley de Newton, 𝒅𝒑 𝒅𝒕 Para un intervalo de tiempo infinitesimal, 𝒅𝒑 = 𝑭𝒅𝒕 Si integramos dentro del intervalo de la colisión, 𝑭=

𝑓

𝒕𝟐

න 𝒅𝒑 = 𝑝റ𝒇 − 𝑝റ𝒊 = න 𝑭𝒅𝒕 = 𝑱റ ≡ impulso lineal 𝑖

𝒕𝟏

Así, el cambio de la cantidad de movimiento lineal o momento lineal de un objeto es igual al impulso lineal que actúa sobre el 𝒕𝟐

∆𝒑 = 𝑝റ𝒇 − 𝑝റ𝒊 = න 𝑭𝒅𝒕 = 𝑱റ 𝒕𝟏

𝒕𝟐 𝑱റ = ‫ ≡ 𝒕∆ 𝒎𝒐𝒓𝒑𝑭 = 𝒕𝒅𝑭 𝟏𝒕׬‬impulso lineal Las unidades son las misma del momento, kg  m/s, ó Ns

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-3 Colisiones e impulso Por ejemplo, Golpe de karate. Estime el impulso y la fuerza promedio de un golpe de karate que rompe una tabla de unos centímetros de grosor. Suponga que la mano se mueve aproximadamente a 10 m/s cuando golpea la tabla.

ENFOQUE: emplee la relación entre impulso y momento lineal, asumiendo la masa de la mano 𝑚 ≈ 1 𝑘𝑔 (considerando parte del brazo) Solución:

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-3 Colisiones e impulso Por ejemplo, Golpe de karate. Estime el impulso y la fuerza promedio de un golpe de karate que rompe una tabla de unos centímetros de grosor. Suponga que la mano se mueve aproximadamente a 10 m/s cuando golpea la tabla.

ENFOQUE: emplee la relación entre impulso y momento lineal, asumiendo la masa de la mano 𝑚 ≈ 1 𝑘𝑔 (considerando parte del brazo) 𝒕𝟐 Solución: como ∆𝒑 = 𝑝റ𝒇 − 𝑝റ𝒊 = ‫𝑱 = 𝒕𝒅𝑭 𝟏𝒕׬‬റ 𝒎 𝑱 = ∆𝒑 = 𝟏 𝒌𝒈 𝟏𝟎 − 𝟎 = 𝟏𝟎 𝑵𝒔 𝒔 Además, 𝐽 𝑱റ = 𝑭𝒑𝒓𝒐𝒎 ∆𝒕 , entonces 𝐹𝑝𝑟𝑜𝑚 = ∆𝑡 Pero, ¿cuanto vale ∆𝒕?

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-3 Colisiones e impulso Por ejemplo, Golpe de karate. Estime el impulso y la fuerza promedio de un golpe de karate que rompe una tabla de unos centímetros de grosor. Suponga que la mano se mueve aproximadamente a 10 m/s cuando golpea la tabla.

ENFOQUE: emplee la relación entre impulso y momento lineal, asumiendo la masa de la mano 𝑚 ≈ 1 𝑘𝑔 (considerando parte del brazo) 𝒕𝟐 Solución: como ∆𝒑 = 𝑝റ𝒇 − 𝑝റ𝒊 = ‫𝑱 = 𝒕𝒅𝑭 𝟏𝒕׬‬റ 𝒎 𝑱 = ∆𝒑 = 𝟏 𝒌𝒈 𝟏𝟎 − 𝟎 = 𝟏𝟎 𝑵𝒔 𝒔 Además, 𝐽 𝑱റ = 𝑭𝒑𝒓𝒐𝒎 ∆𝒕 , entonces 𝐹𝑝𝑟𝑜𝑚 = ∆𝑡 Pero, ¿cuanto vale ∆𝒕?

La mano llega al reposo después de una distancia de ∆𝑥 ≈ 1 𝑐𝑚, además, la rapidez promedio es 𝑣ҧ = Como ∆𝑡 =

∆𝑥 𝑣ത

𝑣1 +𝑣2 2

=5

𝑚 𝑠

.

= 2 × 10−3 𝑠, por consiguiente, 𝐹𝑝𝑟𝑜𝑚 =

𝐽 10 𝑘𝑔 𝑚/𝑠 = ≈ 5000 𝑁 ∆𝑡 2 × 10−3 𝑠 7

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-4 Conservación de la energía y de la cantidad de movimiento lineal en colisiones

Colisión elástica,

1 1 1 1 𝑚𝐴 𝑣𝐴2 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵2 = 𝑚𝐴 𝑣´𝐴2 + 𝑚𝐵 𝑣´2𝐵 2 2 2 2

Colisión inelástica,

𝐾𝐴 + 𝐾𝐵 = 𝐾´𝐴 + 𝐾´𝐵 + 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑦 𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-5 Colisiones elásticas en 1D Consideremos las partículas de la Fig.

Colisión elástica, El momento lineal es:

𝑚𝐴 𝑣𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵 = 𝑚𝐴 𝑣´𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣´𝐵

σ 𝐹റ𝑒𝑥𝑡 = 0

La energía se conserva, 1 1 1 1 𝑚𝐴 𝑣𝐴2 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵2 = 𝑚𝐴 𝑣´𝐴2 + 𝑚𝐵 𝑣´2𝐵 2 2 2 2 Si conocemos las masas y las velocidades antes de la colisión, entonces podemos encontrar las velocidades primas después dela colisión.

Reescribiendo se tiene,

El momento lineal es: 𝑚𝐴 (𝑣𝐴 − 𝑣´𝐴) = 𝑚𝐵 (𝑣´𝐵 − 𝑣𝐵) La energía se conserva, 𝑚𝐴 (𝑣𝐴2 −𝑣´𝐴2 ) = 𝑚𝐵 (𝑣´2𝐵 −𝑣𝐵2 ), empleando algebra, tenemos 𝑚𝐴 (𝑣𝐴 − 𝑣´𝐴) (𝑣𝐴 + 𝑣´𝐴) = 𝑚𝐵 (𝑣´𝐵 − 𝑣𝐵) (𝑣´𝐵 + 𝑣𝐵) Suponiendo 𝑣𝐴 ≠ 𝑣´𝐴 y 𝑣´𝐵 ≠ 𝑣𝐵

𝑣𝐴 − 𝑣𝐵 = −(𝑣´𝐴 − 𝑣´𝐵)

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-5 Colisiones elásticas en 1D Por ejemplo, Masas iguales. Una bola de billar A de masa 𝑚 que se mueve con rapidez 𝑣𝐴 entra en colisión frontal con una bola B de igual masa. ¿Determine la rapidez relativa de los dos objetos después de la colisión, suponiendo que ésta es elástica? Suponga: a) Que ambas bolas se están moviendo inicialmente (𝑣𝐴 y 𝑣𝐵 ), b) Que la bola B está inicialmente en reposo

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-5 Colisiones elásticas en 1D Por ejemplo, Masas iguales. Una bola de billar A de masa 𝑚 que se mueve con rapidez 𝑣𝐴 entra en colisión frontal con una bola B de igual masa. ¿Determine la rapidez relativa de los dos objetos después de la colisión, suponiendo que ésta es elástica? Suponga: a) Que ambas bolas se están moviendo inicialmente (𝑣𝐴 y 𝑣𝐵 ), b) Que la bola B está inicialmente en reposo ENFOQUE: hay dos incógnitas, 𝑣´𝐴 y 𝑣´𝐵 , así que se necesitan dos ecuaciones independientes. Además, no hay fuerza externas sobre el sistema,σ 𝐹റ𝑒𝑥𝑡 = 0, luego se conserva el momento lineal. LA COLISION ES ELASTICA. Solución: a) 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 𝑚, así tenemos: 𝑣𝐴 + 𝑣𝐵 = 𝑣´𝐴 + 𝑣´𝐵 (1) Empleando conservación de la energía cinética 𝑣𝐴 − 𝑣𝐵 = 𝑣´𝐵 − 𝑣´𝐴 (2) Sumado las ecuaciones (1) y (2): 𝑣𝐴 = 𝑣´𝐵 Restando las ecuación es (1) y (2): 𝑣𝐵 = 𝑣´𝐴 Las bolas intercambian velocidades como resultado de la colisión. 7

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-5 Colisiones elásticas en 1D Por ejemplo, Masas iguales. Una bola de billar A de masa 𝑚 que se mueve con rapidez 𝑣𝐴 entra en colisión frontal con una bola B de igual masa. ¿Determine la rapidez relativa de los dos objetos después de la colisión, suponiendo que ésta es elástica? Suponga: a) Que ambas bolas se están moviendo inicialmente (𝑣𝐴 y 𝑣𝐵 ), b) Que la bola B está inicialmente en reposo ENFOQUE: hay dos incógnitas, 𝑣´𝐴 y 𝑣´𝐵 , así que se necesitan dos ecuaciones independientes. Además, no hay fuerza externas sobre el sistema,σ 𝐹റ𝑒𝑥𝑡 = 0, luego se conserva el momento lineal. LA COLISION ES ELASTICA. Solución: a) 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 𝑚, así tenemos: 𝑣𝐴 + 𝑣𝐵 = 𝑣´𝐴 + 𝑣´𝐵 (1) Empleando conservación de la energía cinética 𝑣𝐴 − 𝑣𝐵 = 𝑣´𝐵 − 𝑣´𝐴 (2) Sumado las ecuaciones (1) y (2): 𝑣𝐴 = 𝑣´𝐵 Restando las ecuaciones (1) y (2): 𝑣𝐵 = 𝑣´𝐴

b) Como 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 𝑚, y 𝑣𝐵 = 0, tenemos: 𝑣𝐴 = 𝑣´𝐵 y 𝑣´𝐴 = 0

Esto es, la bola A es llevada al reposo por la colisión; en tanto la bola B adquiere la velocidad de la bola A.

Las bolas intercambian velocidades como resultado de la colisión. 7

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-5 Colisiones elásticas en 1D Por ejemplo, Masas desiguales, blanco en reposo. Un objeto en movimiento 𝑚𝐴 golpea un segundo objeto en reposo (𝑚𝐵 , el blanco) en reposo (𝑣𝐵 = 0). Suponiendo que las masas son distintas, y que la colisión es elástica y ocurre en línea recta (colisión frontal): a) Obtenga ecuaciones para 𝑣´𝐴 y 𝑣´𝐵 en términos de la velocidad inicial 𝑣𝐴 , 𝑚𝐴 y 𝑚𝐵 b) Determine las velocidades finales si el objeto en movimiento es mucho mas masivo (𝑚𝐴 ≫ 𝑚𝐵 ) que el blanco c) Determine las velocidades finales si el objeto en movimiento es mucho menos masivo (𝑚𝐴 ≪ 𝑚𝐵 ) que el blanco

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-5 Colisiones elásticas en 1D Por ejemplo, Masas desiguales, blanco en reposo. Un objeto en movimiento 𝑚𝐴 golpea un segundo objeto en reposo (𝑚𝐵 , el blanco) en reposo (𝑣𝐵 = 0). Suponiendo que las masas son distintas, y que la colisión es elástica y ocurre en línea recta (colisión frontal): a) Obtenga ecuaciones para 𝑣´𝐴 y 𝑣´𝐵 en términos de la velocidad inicial 𝑣𝐴 , 𝑚𝐴 y 𝑚𝐵 b) Determine las velocidades finales si el objeto en movimiento es mucho mas masivo (𝑚𝐴 ≫ 𝑚𝐵 ) que el blanco c) Determine las velocidades finales si el objeto en movimiento es mucho menos masivo (𝑚𝐴 ≪ 𝑚𝐵 ) que el blanco ENFOQUE: Del problema anterior se tiene (𝑣𝐵 = 0): Empleando el momento lineal 𝑚𝐴 𝑣𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵 = 𝑚𝐴 𝑣´𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣´𝐵 𝑚𝐴 (𝑣𝐴 −𝑣´𝐴 ) = 𝑚𝐵 𝑣´𝐵 Empleando conservación de la energía cinética 𝑣𝐴 − 𝑣𝐵 = 𝑣´𝐵 − 𝑣´𝐴 𝑣´𝐴 = 𝑣´𝐵 − 𝑣𝐴

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-5 Colisiones elásticas en 1D Por ejemplo, Masas desiguales, blanco en reposo. Un objeto en movimiento 𝑚𝐴 golpea un segundo objeto en reposo (𝑚𝐵 , el blanco) en reposo (𝑣𝐵 = 0). Suponiendo que las masas son distintas, y que la colisión es elástica y ocurre en línea recta (colisión frontal): a) Obtenga ecuaciones para 𝑣´𝐴 y 𝑣´𝐵 en términos de la velocidad inicial 𝑣𝐴 , 𝑚𝐴 y 𝑚𝐵 b) Determine las velocidades finales si el objeto en movimiento es mucho mas masivo (𝑚𝐴 ≫ 𝑚𝐵 ) que el blanco c) Determine las velocidades finales si el objeto en movimiento es mucho menos masivo (𝑚𝐴 ≪ 𝑚𝐵 ) que el blanco ENFOQUE: Del problema anterior se tiene (𝑣𝐵 = 0): Empleando el momento lineal 𝑚𝐴 𝑣𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵 = 𝑚𝐴 𝑣´𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣´𝐵 𝑚𝐴 (𝑣𝐴 −𝑣´𝐴 ) = 𝑚𝐵 𝑣´𝐵 (1) Empleando conservación de la energía cinética 𝑣𝐴 − 𝑣𝐵 = 𝑣´𝐵 − 𝑣´𝐴 𝑣´𝐴 = 𝑣´𝐵 − 𝑣𝐴 (2) Solución: a) sustituimos la ecuación de (2) en (1)

𝑣´𝐵 = 𝑣𝐴

2𝑚𝐴

𝑚𝐴 +𝑚𝐵

(3)

Sustituyendo (3) en (2) 𝑣´𝐴 = 𝑣𝐴

𝑚𝐴 − 𝑚𝐵 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 7

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-5 Colisiones elásticas en 1D Por ejemplo, Masas desiguales, blanco en reposo. Un objeto en movimiento 𝑚𝐴 golpea un segundo objeto en reposo (𝑚𝐵 , el blanco) en reposo (𝑣𝐵 = 0). Suponiendo que las masas son distintas, y que la colision es elástica y ocurre en línea recta (colision frontal): a) Obtenga ecuaciones para 𝑣´𝐴 y 𝑣´𝐵 en términos de la velocidad inicial 𝑣𝐴 , 𝑚𝐴 y 𝑚𝐵 b) Determine las velocidades finales si el objeto en movimiento es mucho mas masivo (𝑚𝐴 ≫ 𝑚𝐵 ) que el blanco c) Determine las velocidades finales si el objeto en movimiento es mucho menos masivo (𝑚𝐴 ≪ 𝑚𝐵 ) que el blanco ENFOQUE: Del problema anterior se tiene (𝑣𝐵 = 0): Empleando el momento lineal 𝑚𝐴 𝑣𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵 = 𝑚𝐴 𝑣´𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣´𝐵 𝑚𝐴 (𝑣𝐴 −𝑣´𝐴 ) = 𝑚𝐵 𝑣´𝐵 (1) Empleando conservación de la energía cinética 𝑣𝐴 − 𝑣𝐵 = 𝑣´𝐵 − 𝑣´𝐴 𝑣´𝐴 = 𝑣´𝐵 − 𝑣𝐴 (2)

b) Si 𝑣𝐵 = 0 y 𝑚𝐴 ≫ 𝑚𝐵 , y reemplazando en (3) y (4) 𝑣´𝐵 ≈ 2𝑣𝐴 𝑣´𝐴 ≈ 𝑣𝐴 c) Si 𝑣𝐵 = 0 y 𝑚𝐴 ≪ 𝑚𝐵 , y reemplazando en (3) y (4) 𝑣´𝐵 ≈ 0 𝑣´𝐴 ≈ −𝑣𝐴

Solución: a) sustituimos la ecuación de (2) en (1)

𝑣´𝐵 = 𝑣𝐴 Sustituyendo (3) en (2) 𝑣´𝐴 = 𝑣𝐴

2𝑚𝐴

𝑚𝐴 +𝑚𝐵 𝑚𝐴 −𝑚𝐵 𝑚𝐴 +𝑚𝐵

(3) (4)

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-5 Colisiones elásticas en 1D Por ejemplo, Masas desiguales, blanco en reposo. Un objeto en movimiento 𝑚𝐴 golpea un segundo objeto en reposo (𝑚𝐵 , el blanco) en reposo (𝑣𝐵 = 0). Suponiendo que las masas son distintas, y que la colision es elástica y ocurre en línea recta (colision frontal): a) Obtenga ecuaciones para 𝑣´𝐴 y 𝑣´𝐵 en términos de la velocidad inicial 𝑣𝐴 , 𝑚𝐴 y 𝑚𝐵 b) Determine las velocidades finales si el objeto en movimiento es mucho mas masivo (𝑚𝐴 ≫ 𝑚𝐵 ) que el blanco c) Determine las velocidades finales si el objeto en movimiento es mucho menos masivo (𝑚𝐴 ≪ 𝑚𝐵 ) que el blanco ENFOQUE: Del problema anterior se tiene (𝑣𝐵 = 0): Empleando el momento lineal 𝑚𝐴 𝑣𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵 = 𝑚𝐴 𝑣´𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣´𝐵 𝑚𝐴 (𝑣𝐴 −𝑣´𝐴 ) = 𝑚𝐵 𝑣´𝐵 (1) Empleando conservación de la energía cinética 𝑣𝐴 − 𝑣𝐵 = 𝑣´𝐵 − 𝑣´𝐴 𝑣´𝐴 = 𝑣´𝐵 − 𝑣𝐴 (2) Solución: a) sustituimos la ecuación de (2) en (1)

𝑣´𝐵 = 𝑣𝐴 Sustituyendo (3) en (2) 𝑣´𝐴 = 𝑣𝐴

2𝑚𝐴

𝑚𝐴 +𝑚𝐵 𝑚𝐴 −𝑚𝐵 𝑚𝐴 +𝑚𝐵

(3)

b) Si 𝑣𝐵 = 0 y 𝑚𝐴 ≫ 𝑚𝐵 , y reemplazando en (3) y (4) 𝑣´𝐵 ≈ 2𝑣𝐴 𝑣´𝐴 ≈ 𝑣𝐴 c) Si 𝑣𝐵 = 0 y 𝑚𝐴 ≪ 𝑚𝐵 , y reemplazando en (3) y (4) 𝑣´𝐵 ≈ 0 𝑣´𝐴 ≈ −𝑣𝐴 Para cualquier colisión elástica frontal se tiene: 𝟐𝒎𝑨 𝒎𝑩 − 𝒎𝑨 𝒗´𝑩 = 𝒗𝑨 + 𝒗𝑩 𝒎𝑨 + 𝒎𝑩 𝒎𝑨 + 𝒎𝑩

(4)

𝒗´𝑨 = 𝒗𝑨

𝒎𝑨 − 𝒎𝑩 𝟐𝒎𝑩 + 𝒗𝑩 𝒎𝑨 + 𝒎𝑩 𝒎𝑨 + 𝒎𝑩 7

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-5 Colisiones elásticas en 1D Por ejemplo, Colisión nuclear. Un protón (p) de masa 1.01 𝑢 (𝑢  unidad de masa atómica) que viaja con una rapidez de 3.60 × 104 𝑚/𝑠 tiene una colisión elástica frontal contra un núcleo de helio (𝑚𝐻𝑒 = 4.00 𝑢) inicialmente en reposo. Determine las velocidades del protón y del núcleo de helio después de la colisión. Nota: 1 𝑢 = 1.66 × 10−27 𝑘𝑔, suponga que la colisión ocurre en el espacio vacío.

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-6 Colisiones inelásticas Las colisiones en que no se conserva la energía cinética se llaman colisiones inelásticas. 𝐾0 = 𝐾𝑓 + 𝑈 + 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 Por ejemplo, Dos carros de ferrocarril colisionando. Para una colisión completamente inelástica de dos carros de ferrocarril (ejemplo previo), calcule cuanta de la energía cinética inicial se transforma en energía térmica o en otro tipo de energía. ENFOQUE: Recordar que los carros quedan enganchados al final de la colisión. Solución: antes de la colisión, Después de la colisión

1 1 𝑚𝑣12 = 10000 𝑘𝑔 2 2

24.0

𝑚 𝑠

2

1 1 𝑚𝑣22 = 20000 𝑘𝑔 2 2

12.0

𝑚 𝑠

2

= 2.88 × 106 𝑱 = 1.44 × 106 𝑱

Luego la energía transformada a otro tipo de energía es: (2.88 × 106 𝑱) − (1.44 × 106 𝑱) = 1.44 × 106 𝑱

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-6 Colisiones inelásticas Por ejemplo, Péndulo balístico. El péndulo balístico es un dispositivo usado para medir la rapidez de un proyectil (como una bala). El proyectil de masa 𝑚, se dispara hacia un gran bloque de madera de masa 𝑀, el cual esta suspendido como un péndulo (ver Fig.). Como resultado de la colisión, el sistema proyectil-péndulo oscila hasta una altura ℎ. Determine la relación entre la rapidez horizontal inicial del proyectil 𝑣 y la altura ℎ. ENFOQUE: Antes de la colisión, el intervalo de tiempo es muy corto por ende, σ 𝐹റ𝑒𝑥𝑡 = 0, así que aquí empleamos la conservación del momento lineal. Después de la colisión, hay una fuerza externa que actúa sobre el sistema, así que solo podemos emplear la conservación de la energía mecánica a esta colisión completamente inelástica.

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-6 Colisiones inelásticas Por ejemplo, Péndulo balístico. El péndulo balístico es un dispositivo usado para medir la rapidez de un proyectil (como una bala). El proyectil de masa 𝑚, se dispara hacia un gran bloque de madera de masa 𝑀, el cual esta suspendido como un péndulo (ver Fig.). Como resultado de la colisión, el sistema proyectil-péndulo oscila hasta una altura ℎ. Determine la relación entre la rapidez horizontal inicial del proyectil 𝑣 y la altura ℎ. ENFOQUE: Antes de la colisión, el intervalo de tiempo es muy corto por ende, σ 𝐹റ𝑒𝑥𝑡 = 0, así que aquí empleamos la conservación del momento lineal. Después de la colisión, hay una fuerza externa que actúa sobre el sistema, así que solo podemos emplear la conservación de la energía mecánica a esta colisión completamente inelástica. 𝑝 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = 𝑝 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑚𝑣 = 𝑚 + 𝑀 𝑣´ (1)

Solución: Antes de la colisión:

Después de la colisión:

𝐾 + 𝑈 𝑗𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 = 𝐾 + 𝑈 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝é𝑛𝑑𝑢𝑙𝑜 1 𝑚 + 𝑀 𝑣´2 + 0 = 0 + (𝑚 + 𝑀)𝑔ℎ (2) 2

Despejando 𝑣´ = Reemplazando en (1), tenemos: 𝑣=

2𝑔ℎ

(𝑚 + 𝑀) (𝑚 + 𝑀) 𝑣´ = 2𝑔ℎ 𝑚 𝑚 7

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-7 Colisiones en 2D o 3D Aplicamos la ley de conservación de la cantidad del movimiento lineal a la Fig. teniendo en cuenta el plano 𝑥𝑦 como el plano donde se encuentran las cantidades del movimiento inicial y final. Para 𝒙: 𝑝𝐴𝑥 + 𝑝𝐵𝑥 = 𝑝´𝐴𝑥 + 𝑝´𝐵𝑥 Para 𝒚: 𝑝𝐴𝑦 + 𝑝𝐵𝑦 = 𝑝´𝐴𝑦 + 𝑝´𝐵𝑦 Para la componente en 𝑥; 𝑝𝐵𝑥 = 𝑚𝐵 𝑣𝐵𝑥 = 0, entonces: 𝑚𝐴 𝑣𝐴 = 𝑚𝐴 𝑣´𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜃´𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣´𝐵 𝑐𝑜𝑠𝜃´𝐵 (1) para la componente en 𝑦; 𝑝𝐴𝑦 + 𝑝𝐵𝑦 = 0, entonces: 0 = 𝑚𝐴 𝑣´𝐴 𝑠𝑒𝑛𝜃´𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣´𝐵 𝑠𝑒𝑛𝜃´𝐵 (2)

Si sabemos que la colisión es elástica, podemos aplicar la conservación dela energía cinética y obtener una tercera ecuación. 𝐾𝐴 + 𝐾𝐵 = 𝐾´𝐴 + 𝐾´𝐵 1 1 1 𝑚𝐴 𝑣𝐴2 = 𝑚𝐴 𝑣´𝐴2 + 𝑚𝐵 𝑣´2𝐵 (3) 2

2

2

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-7 Colisiones en 2D o 3D Por ejemplo, Colisión de dos bolas de billar en 2D. La bola de billar A, que se mueve con rapidez 𝑣𝐴 en la dirección +𝑥 (ver Fig.), golpea una bola B de igual masa e inicialmente en reposo. Se observan que las dos bolas se mueven a 45° con respecto al eje 𝑥, la bola A por arriba del eje 𝑥 y la bola B por debajo. Determine la rapidez de cada bola después de la colisión. Solución:

7

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7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-8 Centro de masa (CM) Para un sistema de partículas, o para un objeto extenso que puede considerarse que tiene una distribucioncontinua de materia, el centro de masa (CM) se define como: 𝑥𝐶𝑀 = o bien, 𝑥𝐶𝑀 =

σ 𝑚𝑖 𝑥𝑖 𝑀

;

1

‫;𝑚𝑑 𝑥 ׬‬ 𝑀

𝑦𝐶𝑀 = 𝑦𝐶𝑀 =

σ 𝑚𝑖 𝑦𝑖 𝑀

𝑧𝐶𝑀 =

;

1

‫;𝑚𝑑 𝑦 ׬‬ 𝑀

𝑧𝐶𝑀 =

1 𝑀

σ 𝑚𝑖 𝑧𝑖 𝑀

‫𝑚𝑑 𝑧 ׬‬

Donde 𝑀 es la masa total del sistema.

Por ejemplo, CM de tres personas sobre una balsa. Tres personas de masa 𝑚 aproximadamente equivalentes sobre una balsa de banana (inflada) ligera, están sentadas a lo largo del eje 𝑥 en las posiciones 𝑥𝐴 = 1.0 𝑚, 𝑥𝐵 = 5.0 𝑚, y 𝑥𝐶 = 6.0 𝑚, medidas desde el extremo izquierdo, como se muestra en la Fig. Ignore la masa de la balsa y encuentre la posición del CM. Solución:

𝑥𝐶𝑀 =

σ 𝑚𝑖 𝑥𝑖 𝑀

=

𝑥𝐶𝑀 =

𝑚𝑥𝐴 +𝑚𝑥𝐵 +𝑚𝑥𝐶 𝑚+𝑚+𝑚

=

𝑚(𝑥𝐴 +𝑥𝐵 +𝑥𝐶 ) 3𝑚

𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 = 4.0 𝑚 3

Luego el CM esta a 4.0 m del extremo izquierdo de la balsa 7

UNIVERSIDAD DEL VALLE Facultad de Ciencias Naturales y Exactas

7 Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones 7-9 Resolviendo Problemas y Ejercicios

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