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Mec´anica de Materiales (ICM2028) Unidad 5: Flexi´ on en vigas

Profesor: Julio M´endez Opazo∗ ∗

Magister en Ciencias de la Ingenier´ıa menci´ on Mec´ anica Universidad de Santiago de Chile

Octubre 2017

Profesor: Julio M´ endez Opazo∗

Mec´ anica de Materiales

Unidad 5. Flexi´on 5.6 Esfuerzo cortante τ en vigas sometidas a flexi´ on

Obs: τ = 0 cuando y = ±h/2

(Cap.5 J.M. Gere)

Profesor: Julio M´ endez Opazo∗

Mec´ anica de Materiales

Unidad 5. Flexi´on 5.6 Esfuerzo cortante τ en vigas sometidas a flexi´ on

Profesor: Julio M´ endez Opazo∗

Mec´ anica de Materiales

Unidad 5. Flexi´on 5.6 Esfuerzo cortante τ en vigas sometidas a flexi´ on

σ1 = − MI y

Profesor: Julio M´ endez Opazo∗

)y σ2 = − (M +dM I

Mec´ anica de Materiales

Unidad 5. Flexi´on 5.6 Esfuerzo cortante τ en vigas sometidas a flexi´ on

´ A0 : Area perpendicular a σ sobre la coordenada y1 F3 = F2 − F1 (1) Z Z Z (M + dM )y 0 My dM y 0 F3 = dA − = dA (2) I I A0 A0 I A0 Considerando que F3 = τ bdx Profesor: Julio M´ endez Opazo∗

Mec´ anica de Materiales

(3)

Unidad 5. Flexi´on 5.6 Esfuerzo cortante τ en vigas sometidas a flexi´ on

Combinando las ecuaciones (2) y (3), el esfuerzo de corte τ corresponde a:  Z dM 1 ydA0 τ= dx Ib 0 A R Si se define Q = A0 ydA0 (momento de ´area) y sabiendo que dM dx = V , entonces: VQ τ= Ib

Profesor: Julio M´ endez Opazo∗

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(4)

(5)

Unidad 5. Flexi´on 5.6 Esfuerzo cortante τ en vigas sometidas a flexi´ on

τ=

VQ Ib

Observaci´ on: i ii

R ´ Q = A0 ydA0 = y 0 A0 , A0 : Area sobre y1 y y 0 centroide de A0 . Q = Q(y1 ) → τ = τ (y1 ) Profesor: Julio M´ endez Opazo∗

Mec´ anica de Materiales

Unidad 5. Flexi´on 5.6 Esfuerzo cortante τ en vigas sometidas a flexi´ on / Secci´ on rectangular

Z

ydA0

i) Q =

A0 Z h/2

=

ybdy y1

=

b 2



h2 − y12 4



ii) Q = y 0 A0   h/2 − y1 = y1 + b (h/2 − y1 ) 2   b h2 2 = − y1 2 4 Profesor: Julio M´ endez Opazo∗

Mec´ anica de Materiales

Unidad 5. Flexi´on 5.6 Esfuerzo cortante τ en vigas sometidas a flexi´ on / Secci´ on rectangular

τ=

VQ Ib

τ=

V 2I



τmax =

h2 4

− y12

V h2 8I

=



3V 2bh

=

3V 2A

Obs: El valor de τprom = VA , entonces el valor de τmax de una secci´ on rectangular es 1,5 veces el valor promedio.

Limitaciones τmax • Comportamiento el´ astico lineal • Peque˜ nas deflexiones • Secciones esbeltas (h  b)

Profesor: Julio M´ endez Opazo∗

Mec´ anica de Materiales

Unidad 5. Flexi´on 5.6 Esfuerzo cortante τ en vigas sometidas a flexi´ on / Secci´ on rectangular

Restricciones para τ =

VQ Ib

• No aplicable para secciones

triangulares o semicirculares • τ debe actuar paralelo al eje

y • τ debe ser constante en el

ancho b de la secci´on

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Unidad 5. Flexi´on 5.6 Esfuerzo cortante τ en vigas sometidas a flexi´ on / Secci´ on rectangular / Ejemplo

MC = 17920 lb · in Vc = −1600 lb I=

bh3 12

=

1 3 12 (1,0 in)(4,0 in)

= 5,333 in4

QC = y 0 C A0C = (1,5 in)(1,0 in · 1,0 in) = 1,5 in3 τC =

VQ Ib

=

(1600 lb)(1,5 in3 ) (5,333 in4 )(1,0 in)

Profesor: Julio M´ endez Opazo∗

= 450 psi

Mec´ anica de Materiales

Unidad 5. Flexi´on 5.6 Esfuerzo cortante τ en vigas sometidas a flexi´ on / Secci´ on circular

Consideraciones • El esfuerzo τ es m´ aximo en el eje z • τ es constante a lo largo del eje z • τ es paralelo a y

I=

πr4 4

Q = y 0 A0 = τmax =

QV Ib

=

4r 3π

2

2r 3 V 3 πr 4 2r 4

τmax = Profesor: Julio M´ endez Opazo∗


 πr2 

=

4V 3A

=

4V 3πr2

2r3 3

=

4V 3A

(6)

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b = 2r

Unidad 5. Flexi´on 5.6 Esfuerzo cortante τ en vigas sometidas a flexi´ on / Secci´ on circular

I = π4 (r22 − r12 )

Q = 32 (r23 − r13 )

b = 2(r2 − r1 )

τmax

4V = 3A



Profesor: Julio M´ endez Opazo∗

r12 + r1 r2 + r22 r12 + r22



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(7)

Unidad 5. Flexi´on 5.6 Esfuerzo cortante τ en vigas sometidas a flexi´ on / Alma de una viga con alas

A0 = A1 + A2

A1 = b(h − h1 )/2

Profesor: Julio M´ endez Opazo∗

A2 = t(h1 /2 − y1 )

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Unidad 5. Flexi´on 5.6 Esfuerzo cortante τ en vigas sometidas a flexi´ on / Alma de una viga con alas

Q = A1



h1 2

Q=

τ=

+ 1 8



h/2−h1 /2 2



 + A2 y1 +

h1 /2−y1 2



 b(h2 − h21 ) + t(h21 − 4y12 )

 QV V  2 = b(h − h21 ) + t(h21 − 4y12 ) It 8It

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(8)

Unidad 5. Flexi´on 5.6 Esfuerzo cortante τ en vigas sometidas a flexi´ on / Alma de una viga con alas

τmax =


V bh2 − bh21 + th21 8It

τmin =


Vb 2 h − h21 8It

(10)

1 1

τmax ocurre en el eje neutro de la secci´ on transversal Profesor: Julio M´ endez Opazo∗

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(9)

Unidad 5. Flexi´on 5.6 Esfuerzo cortante τ en vigas sometidas a flexi´ on / Alma de una viga con alas

Determinar τmax y τ1 (en la secci´ on nn) si la viga de la figura est´a sometida a una fuerza de corte V = 10000 lb

(Cap.5 J.M Gere)

τmax = 1760 psi Profesor: Julio M´ endez Opazo∗

τ1 = 1460 psi Mec´ anica de Materiales