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• Widman Gutiérrez Reyes

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RAZONAMIENTO DEDUCTIVO Prof. Widman Gutiérrez

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO

PROPÓSITO DE APRENDIZAJE COMPETENCIA

Resuelve problemas de cantidad

CAPACIDAD

Usa estrategias y procedimientos

PROPÓSITO DE LA SESIÓN

Selecciona estrategias heurísticas para resolver problemas de criptoarimética y cifras terminales.

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO

CASO GENERAL

Consiste en aplicar un caso general ya comprobado en casos particulares método por el cual se procede de manera lógica de lo general (universal) a lo particular.

CASO 1

DEDUCCIÓN

CASO 2

CASO 3

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO CRIPTOARITMÉTICA Constituye uno de los múltiples aspectos de la matemática recreativa y se estudia desde la antigüedad. El objetivo de la criptoarimética es reconstruir operaciones fundamentales a través de un análisis detallado en el que se hace uso de las propiedades de estas.

Debemos recordar… Representación de un número natural: • Numeral de 1 cifra :𝑎 • Numeral de 2 cifras : 𝑎𝑏 • Numeral de 3 cifras : 𝑎𝑏𝑐 • Numeral de 4 cifras : 𝑎𝑏𝑐𝑑

R.D. - CRIPTOARITMÉTICA Dígitos en el sistema de base 10: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 Descomposición de un número: • 4375 = 4(10)3 + 3(10)2 + 7(10) + 5 • 4375 = 4300 + 75 • 4375 = 4000 + 375 • 4375 = 4000 + 300 + 75 PARA LA ADICIÓN • par + par = par • impar + impar = par • par + impar = impar

PARA LA MULTIPLICACIÓN • par × par = par • impar × impar = impar • par × impar = par

R. D. - CRIPTOARITMÉTICA Veamos el siguiente ejemplo: Hallar 𝑎𝑏𝑐, si: 𝑎𝑏𝑐 + 𝑐𝑏𝑎 = 888 . Además: 𝑐 − 𝑎 = 4 Solución: Escribimos en forma vertical la adición 𝑎𝑏𝑐 + 𝑐𝑏𝑎 888.

Al sumar la columna de las unidades existen dos posibilidades para el resultado de …8

Las posibilidades son: 𝑐 + 𝑎 = 8 ∧ 𝑐 + 𝑎 = 18

R. D. - CRIPTOARITMÉTICA ¿Cuál de ellos escogemos?....Analicemos Observemos la columna de las centenas 𝑎𝑏𝑐 + 𝑐𝑏𝑎 888.

𝑐 + 𝑎 = 8, suma 8 Entonces 𝑐 + 𝑎 = 18 queda descartada

Luego ahora tenemos:

𝑐−𝑎 =4 𝑐+𝑎 =8

Dato del problema Conclusión anterior

Deducimos los valores de: 𝑐=6 ∧ 𝑎=2

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO CIFRA TERMINAL Se llama así a la cifra de las unidades, después de efectuar diferentes operaciones, lo cual sólo se realiza con las cifras de las unidades. Veamos algunos ejemplos: a) (2143𝟖) + (4315𝟔)– (314𝟐) = ...𝟖 + ...𝟔 − ...𝟐 = ...𝟐

b)

c)

3143𝟕 8347𝟑 2131𝟗 = ⋯ ...𝟕 …𝟑 ...𝟗 = ⋯ …𝟏 ...𝟗 = …𝟗

43173 3 = (… 𝟑)𝟑 (… 𝟑)(… 𝟑) … 𝟑 = ⋯ 𝟕 …𝟗 …𝟑 = …𝟕

R. D. – CIFRA TERMINAL Números que terminen en 0, 1, 5 y 6, …𝟎 …𝟏 1𝟏

2

= 12𝟏

3𝟏

2

= 96𝟏

2𝟎

2

= 40𝟎

4𝟎

2

= 160𝟎

𝑛 𝑛

= …𝟎 = …𝟏

…𝟓 …𝟔

𝑛 𝑛

𝒏∈𝑵

= …𝟓 = …𝟔

Terminan en “1”

1𝟓

2

= 22𝟓

6𝟓

2

= 422𝟓

Terminan en “0”

2𝟔

2

= 67𝟔

1𝟔

2

= 25𝟔

Terminan en “5”

Terminan en “6”

R. D. – CIFRA TERMINAL Para números que terminan en 4 y 9 …𝟒 …𝟒

𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓

𝒑𝒂𝒓

= …𝟒 = …𝟔

…𝟗 …𝟗

𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓

𝒑𝒂𝒓

= …𝟗 = …𝟏

(...4)²=(...4)(...4)=....6 (...4)3=(...4)(...4)(...4)= ....4 (...4)4=(...4)(...4)(...4)(...4)= ....6 (...4)5=(...4)(...4)(...4)(...4)(...4)=...4 (...9)²=(...9)(...9)=....1 (...9)3=(...9)(...9)(...9)= ....9 (...9)4=(...9)(...9)(...9)(...9)= ....1 (...9)5=(...9)(...9)(...9)(...9)(...9)=...9

R. D. – CIFRA TERMINAL Para números que terminan en 2, 3, 7 y 8 En estos casos dividiremos el exponente entre 4 y si el residuo es 1; 2 ó 3 la cifra terminal de la base se multiplica dicha cantidad de veces; pero si la división es exacta entonces la cifra terminal se multiplica por si misma 4 veces. Observación: Ejemplo Sólo es necesario dividir las 2 últimas cifras Hallar la cifra terminal de A = (2143)4375 del exponente. SOLUCIÓN:

A = (2143)4375 = (...3)75

A = (...3) (...3) (...3) = ...7

Dividiendo: 3 veces 75 4 Respuesta: termina en cifra 7 35 18 3  residuo  la cifra terminal (...3) se repite 3 veces

R. D. – CIFRA TERMINAL Ejemplo Hallar la cifra terminal de B = (3148)7473 SOLUCIÓN

B = (3148)7473 = (...8)73 Dividiendo:

B = (...8) = ...8

1 vez

Respuesta.- B termina en cifra 8 73 4 33 18 1  residuo  la cifra terminal (...8) se repite 1 veces

R. D. – CIFRA TERMINAL Ejemplo Hallar la cifra terminal de C = (31427)2148 SOLUCIÓN: C = (31427)2148 = (...7)48 Dividiendo: 48 4 08 12 0  residuo  la cifra terminal (...7) se repite 4 veces

C = (...7) (...7) (...7) (...7) =...1

Respuesta.- C termina en cifra 1

R. D. – CIFRA TERMINAL

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PROBLEMA 1 Halla la cifra terminal de:

𝑃 = 𝑅𝐴𝑍𝑂𝑁𝐴𝑀𝐼𝐸𝑁𝑇𝑂19 + 𝑀𝐴𝑇𝐸𝑀𝐴𝑇𝐼𝐶𝑂99 − 12

𝐿𝑂∙𝑀𝐴𝑋𝐼𝑀𝑂

SOLUCIÓN

Respuesta: 6

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PROBLEMA 1

Hallar la cifra terminal de A = (21474)1217 + (32879)3146 SOLUCIÓN

Respuesta: 5

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PROBLEMA 1 En qué cifra termina 𝐴 = 55 × 54 × 53 × 52 × … × 1 A) 3 B) 5 C) 7 D) 0 SOLUCIÓN

E) 1.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PROBLEMA 1 Calcular: a + b si:

(1 x 3 x 5 x 7 x ...)4  ...ab    2003 factores

A) 16 SOLUCIÓN

B) 25

C) 7

D) 10

E) 8

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PROBLEMA 1 En qué cifra termina: A) 2 SOLUCIÓN

B) 4

(MAMA864  MATEMATICA 22)RM C) 6

D) 8

E) 5

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PROBLEMA 1 Calcular la suma de cifras del resultado: E = (12345678)2 – (12345676)2 A) 36 B) 39 C) 41 D) 52 SOLUCIÓN

E) 24

FELICITACIONES!